Трикутник - три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, які їх з'єднують. Інакше, трикутник - це багатокутник, у якого є рівно три кути.

Вказані три точки називаються вершинами трикутника, а відрізки – сторонами трикутника. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.

Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Рівностороннім чи правильним називається трикутник, у якого всі три сторони рівні. Усі кути рівностороннього трикутника також дорівнюють і дорівнюють 60°.

Площа довільного трикутника обчислюється за формулами: або

Площа прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:

Площа правильного чи рівностороннього трикутника обчислюється за формулами: або або

Де a,b,c- Сторони трикутника, h- Висота трикутника, y- кут між сторонами, R- радіус описаного кола, r- радіус вписаного кола.

Площа трикутника - формули та приклади розв'язання задач

Нижче наведено формули знаходження площі довільного трикутникаякі підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника незалежно від його властивостей, кутів або розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведено пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначень у формулах та графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо трикутник має особливі властивості (рівностегновий, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з даними властивостями, формули:

• Формули площі рівностороннього трикутника

Формули площі трикутника

Пояснення до формул:
a, b, c- Довжини сторін трикутника, площа якого ми хочемо знайти
r- радіус вписаного в трикутник кола
R- радіус описаного навколо трикутника кола
h- Висота трикутника, опущена на бік
p- Півпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра)
α - кут, що протилежить стороні a трикутника
β - Кут, що протилежить стороні b трикутника
γ - кут, що протилежить стороні з трикутника
h a, h b , h c- висота трикутника, опущена на бік a, b, c

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, що знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завдання з геометрії Вам візуально було легше підставити у потрібні місця правильні формули значення.

• Площа трикутника дорівнює половині добутку висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена(Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб'є довільний трикутник на два прямокутні. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h, то, очевидно, площа даних трикутників дорівнюватиме рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh)
• Площа трикутника дорівнює половині твору двох його сторін на синус кута між ними(Формула 2) (див. приклад розв'язання задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона здається несхожою на попередню, вона легко може бути перетворена в неї. Якщо з кута B опустити висоту на бік b, виявиться, що добуток сторони a на синус кута γ за властивостями синуса у прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що й дасть нам попередню формулу
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твірполовини радіусу вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін(Формула 3), простіше кажучи, потрібно півпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легко запам'ятати)
• Площа довільного трикутника можна знайти, розділивши твір всіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4)
• Формула 5 являє собою знаходження площі трикутника через довжини його сторін та його напівпериметр (половину суми всіх його сторін)
• Формула Герону(6) - це уявлення тієї ж формули без використання поняття напівпериметра, тільки через довжини сторін
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрата сторони трикутника на синуси кутів, що прилягають до цієї сторони, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7)
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів. (Формула 8)
• Якщо відома довжина однієї сторони і величини двох кутів, що прилягають до неї, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цієї сторони, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9)
• Якщо відома лише довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника обернено пропорційна довжинам цих висот, як за Формулою Герону
• Формула 11 дозволяє обчислити площа трикутника за координатами його вершин, які задані у вигляді значень (x; y) кожної з вершин. Зверніть увагу, що значення, що вийшло необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть всіх) вершин можуть знаходитися в області негативних значень

Примітка. Далі наведено приклади розв'язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, схожої на яку тут немає - пишіть про це у форумі. У рішеннях замість символу "квадратний корінь" може застосовуватися функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Іноді для простих підкорених виразів можна використовувати символ √

Завдання. Знайти площу з обох боків та кутку між ними

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення.

Для вирішення цієї задачі використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і дорівнюватиме
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (згідно з формулою) у нас є, нам залишається тільки підставити значення з умови завдання до формули:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставимо вираз значення синуса 60 градусів. Він дорівнюватиме кореню з трьох на два.
S = 15√3/2

Відповідь: 7,5 √3 (залежно від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3/2)

Завдання. Знайти площу рівностороннього трикутника

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3см.

Рішення .

Площу трикутника можна знайти за формулою Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3/4*a 2

S = √3/4*3 2

Відповідь: 9 √3 / 4.

Завдання. Зміна площі при зміні довжини сторін

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити у 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення задачі вважатимемо, що довжини сторін відповідно дорівнюють довільним числам a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на питання задачі, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого вчетверо більше. Співвідношення площ цих трикутників дасть нам відповідь завдання.

Далі наведемо текстове пояснення розв'язання задачі кроків. Однак, в самому кінці, це саме рішення наведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Охочі можуть відразу опуститися донизу рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона так:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника складе:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(Див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 – загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів за загальними правилами математики.
Тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 чудово витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. п'ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на запитання, задане в задачі, нам достатньо розділити площу трикутника, що вийшов, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вирази один на одного і скоротивши дроб, що вийшов.

Визначення трикутника

Трикутник- це геометрична фігура, яка утворюється внаслідок перетину трьох відрізків, кінці яких не лежать на одній прямій. У будь-якого трикутника є три сторони, три вершини та три кути.

Онлайн-калькулятор

Трикутники бувають різних видів. Наприклад, існує рівносторонній трикутник (той, у якого всі сторони рівні), рівнобедрений (у ньому рівні дві сторони) і прямокутний (у якому один із кутів прямий, тобто дорівнює 90 градусів).

Площа трикутника можна знайти різними способами в залежності від того, які елементи фігури відомі за умовою завдання, чи то кути, довжини, або взагалі радіуси кіл, пов'язаних з трикутником. Розглянемо кожен спосіб окремо із прикладами.

Формула площі трикутника на основі та висоті

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS =2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- основа трикутника;
h h h- Висота трикутника, проведена до даної основи a.

Приклад

Знайти площу трикутника, якщо відома довжина його основи, що дорівнює 10 (див.) і висота, проведена до цієї основи, дорівнює 5 (див.).

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Підставляємо у формулу для площі та отримуємо:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S =2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (Див. кв.)

Відповідь: 25 (див. кв.)

Формула площі трикутника за довжинами всіх сторін

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S =p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- Довжини сторін трикутника;
p p p- половина суми всіх сторін трикутника (тобто половина периметра трикутника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b +c)

Ця формула називається формулою Герона.

Приклад

Знайти площу трикутника, якщо відомі довжини трьох сторін, рівні 3 (див.), 4 (див.), 5 (див.).

Рішення

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Знайдемо половину периметра p p p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Тоді, за формулою Герона, площа трикутника:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5)) = \ sqrt (36) = 6S =6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (Див. кв.)

Відповідь: 6 (див. кв.)

Формула площі трикутника по одній стороні та двох кутах

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S =2 a 2 ​ ⋅ sin (β + γ )sin β sin γ ​ ,

A a a- Довжина сторони трикутника;
β , γ \beta, \gamma β , γ - кути, що прилягають до сторони a a a.

Приклад

Дано сторону трикутника, рівну 10 (див.) і два кути, що прилягають до неї, по 30 градусів. Знайти площу трикутника.

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

За формулою:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1) (2 \ sqrt (3)) \ approx14.4S =2 1 0 2 ​ ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (Див. кв.)

Відповідь: 14.4 (див. кв.)

Формула площі трикутника по трьох сторонах та радіусу описаного кола

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S =4 Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- Сторони трикутника;
R R R- радіус описаного кола навколо трикутника.

Приклад

Числа візьмемо з другого нашого завдання та додамо до них радіус R R Rкола. Нехай він дорівнюватиме 10 (див.).

Рішення

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R =1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S =4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (Див. кв.)

Відповідь: 1.5 (див. кв.)

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= p⋅ r,

p pp- половина периметра трикутника:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)p= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- Сторони трикутника;
r rr- радіус вписаного в трикутник кола.

Приклад

Нехай радіус вписаного кола дорівнює 2 (див.). Довжини сторін візьмемо із попереднього завдання.

Рішення

$a=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4b=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (Див. кв.)

Відповідь: 12 (див. кв.)

Формула площі трикутника з обох боків та кутку між ними

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ sin(α ) ,

b, c b, cb, c- Сторони трикутника;

α \alphaα - Кут між сторонами b bbі c cc.

Приклад

Сторони трикутника дорівнюють 5 (див.) і 6 (див.), кут між ними дорівнює 30 градусів. Знайти площу трикутника.

Рішення

$b=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (Див. кв.)

Відповідь: 7.5 (див. кв.)

Трикутник - найпростіша геометрична фігура, що складається з трьох сторін та трьох вершин. Завдяки своїй простоті трикутник з античних часів використовується для проведення різних вимірювань, а сьогодні фігура може стати в нагоді для вирішення практичних та побутових завдань.

Особливості трикутника

Фігура з давніх-давен використовується для обчислень, наприклад, землеміри і астрономи оперують властивостями трикутників для обчислення площ і відстаней. Через площу цієї фігури легко виразити площу будь-якого n-кутника, і ця властивість була використана античними вченими для виведення формул площ багатокутників. Постійна робота з трикутниками, особливо з прямокутним трикутником, стала основною цілого розділу математики - тригонометрії.

Геометрія трикутника

Властивості геометричної постаті вивчалися з давніх часів: рання інформація про трикутнику була знайдена в єгипетських папірусах 4000-річної давності. Потім фігуру вивчали у Стародавній Греції і найбільший внесок у геометрію трикутника внесли Евклід, Піфагор та Герон. Вивчення трикутника ніколи не припинялося, і в 18-му столітті Леонард Ейлер ввів поняття ортоцентра фігури та кола Ейлера. На рубежі 19 і 20 століть, коли здавалося, що про трикутник відомо все, Френк Морлі сформулював теорему про трисектриси кута, а Вацлав Серпінський запропонував трикутник-фрактал.

Існує кілька видів плоских трикутників, знайомих нам зі шкільного курсу геометрії:

• гострокутний – всі кути фігури гострі;
• тупокутний - фігура має один тупий кут (більше 90 градусів);
• прямокутний - фігура містить один прямий кут, що дорівнює 90 градусів;
• рівнобедрений - трикутник із двома рівними сторонами;
• рівносторонній – трикутник з усіма рівними сторонами.
• У реальному житті зустрічаються всі види трикутників, і в деяких випадках нам може знадобитися обчислити площу геометричної фігури.

Площа трикутника

Площа – це оцінка того, яку частину площини обмежує постать. Площа трикутника можна знайти шістьма способами, оперуючи сторонами, висотою, величинами кутів, радіусом вписаного або описаного кола, а також використовуючи формулу Герона або обчислюючи подвійний інтеграл по лініях, що обмежують площину. Найпростіша формула для обчислення площі трикутника виглядає як:

де a – сторона трикутника, h – його висота.

Однак на практиці нам не завжди зручно знаходити висоту геометричної фігури. Алгоритм нашого калькулятора дозволяє обчислювати площу, знаючи:

• три сторони;
• дві сторони та кут між ними;
• один бік і два кути.

Для визначення площі через три сторони ми використовуємо формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

де p – напівпериметр трикутника.

Обчислення площі з обох боків і куту виконуються за класичною формулою:

S = a x b x sin (alfa),

де alfa - кут між сторонами a та b.

Для визначення площі через один бік та два кути ми використовуємо співвідношення, що:

a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gamma)

Використовуючи просту пропорцію, ми визначаємо довжину другої сторони, після чого розраховуємо площу за формулою S = a x b x sin (alfa). Цей алгоритм повністю автоматизований і вам необхідно лише внести задані змінні та отримати результат. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади з життя

Тротуарна плитка

Допустимо, ви хочете замостити підлогу трикутною плиткою, і щоб визначити кількість необхідного матеріалу, вам слід дізнатися площу однієї плитки та площу підлоги. Нехай потрібно обробити 6 квадратних метрів поверхні, використовуючи плитку, розміри якої складають a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см.

Таким чином, площа одного елемента плитки складе 0,021 квадратного метра, і вам знадобиться 6/0,021 = 285 трикутників для впорядкування підлоги. Числа 20, 21 і 29 складають піфагорову трійку - числа, які задовольняють. І вірно, наш калькулятор також розрахував усі кути трикутника і кут гама становить саме 90 градусів.

Шкільне завдання

У шкільному завданні необхідно знайти площу трикутника, знаючи, що сторона a = 5 см, а кути альфа та бета рани 30 і 50 градусів відповідно. Для вирішення цієї задачі вручну ми спочатку знайшли б значення сторони b, використовуючи пропорцію співвідношення сторін і синусів протилежних кутів, після чого визначили площу з використанням простої формули S = ​​a x b x sin (alfa). Давайте заощадимо час, введемо дані у форму калькулятора та отримаємо миттєву відповідь

При використанні калькулятора важливо коректно вказати кути та сторони, інакше результат буде неправильним.

Висновок

Трикутник - унікальна постать, яка зустрічається як у реальному житті, так і в абстрактних розрахунках. Використовуйте наш онлайн калькулятор для визначення площі трикутників будь-яких видів.

Площа трикутника. У багатьох завданнях геометрії пов'язаних з обчисленням площ використовуються формули площі трикутника. Їх є кілька, тут ми розглянемо основні.Перерахувати ці формули було б надто просто і користі жодної. Ми розберемо походження основних формул, що використовуються найчастіше.

Перед тим як ознайомитися з висновком формул обов'язково перегляньте статтю про .Після вивчення матеріалу ви легко зможете відновити формули в пам'яті (якщо раптом вони «вилетять» у потрібний момент).

Перша формула

Діагональ паралелограма розбиває його на два рівні по площі трикутника:

Отже площа трикутника дорівнюватиме половині площі паралелограма:

Площа трикутника формула

*Тобто якщо нам буде відома будь-яка сторона трикутника та висота опущена на цю сторону, то ми завжди зможемо обчислити площу цього трикутника.

Формула друга

Як було викладено у статті про площу паралелограма формула має вигляд:

Площа трикутника дорівнює половині його площі, отже:

*Тобто якщо будуть відомі будь-які дві сторони у трикутнику та кут між ними, ми завжди зможемо обчислити площу такого трикутника.

Формула Герона (третя)

Цю формулу виводити складно і це вам ні до чого. Подивіться яка вона гарна, можна сказати, що сама запам'ятовується.

*Якщо дані три сторони трикутника, то за даною формулою ми завжди можемо обчислити його площу.

Формула четверта

де r– радіус вписаного кола

*Якщо відомі три сторони трикутника та радіус вписаного в нього кола, то ми завжди можемо знайти площу цього трикутника.

Формула п'ята

де R- Радіус описаного кола.

*Якщо відомі три сторони трикутника та радіус описаного біля нього кола, то ми завжди можемо знайти площу такого трикутника.

Виникає питання: якщо відомі три сторони трикутника, то чи не простіше його площу знайти за формулою Герона!

Так, буває простіше, але не завжди іноді виникає складність. Це з вилученням кореня. Крім того, дані формули дуже зручно застосовувати в задачах, де дана площа трикутника, його сторони і потрібно знайти радіус вписаного або описаного кола. Такі завдання є у складі ЄДІ.

Давайте окремо розглянемо формулу:

Вона є окремим випадком формули площі багатокутника, в який вписано коло:

Розглянемо її з прикладу п'ятикутника:

З'єднаємо центр кола з вершинами даного п'ятикутника та опустимо з центру перпендикуляри до його сторін. Отримаємо п'ять трикутників, причому опущені перпендикуляри є радіусами вписаного кола:

Площа п'ятикутника дорівнює:

Тепер зрозуміло, що якщо йдеться про трикутник, то дана формула набуває вигляду:

Формула шоста