Trojúhelník jsou tři body, které neleží na stejné přímce, a tři úsečky, které je spojují. Jinak je trojúhelník mnohoúhelník, který má přesně tři úhly.

Tyto tři body se nazývají vrcholy trojúhelníku a segmenty se nazývají strany trojúhelníku. Strany trojúhelníku svírají ve vrcholech trojúhelníku tři úhly.

Rovnoramenný trojúhelník je takový, ve kterém jsou dvě strany stejné. Tyto strany se nazývají strany, třetí strana se nazývá základna. V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly na základně stejné.

Nazývá se rovnostranný nebo pravoúhlý trojúhelník, ve kterém jsou všechny tři strany stejné. Všechny úhly rovnostranného trojúhelníku jsou rovny a rovny 60°.

Plocha libovolného trojúhelníku se vypočítá podle vzorců: nebo

Plocha pravoúhlého trojúhelníku se vypočítá podle vzorce:

Plocha pravidelného nebo rovnostranného trojúhelníku se vypočítá podle vzorců: nebo nebo

Kde A,b,C- strany trojúhelníku h- výška trojúhelníku, y- úhel mezi stranami, R- poloměr kružnice opsané, r je poloměr vepsané kružnice.

Oblast trojúhelníku - vzorce a příklady řešení problémů

Níže jsou uvedeny vzorce pro nalezení oblasti libovolného trojúhelníku které jsou vhodné pro nalezení oblasti jakéhokoli trojúhelníku, bez ohledu na jeho vlastnosti, úhly nebo rozměry. Vzorce jsou uvedeny ve formě obrázku, zde jsou vysvětlivky k aplikaci nebo zdůvodnění jejich správnosti. Na samostatném obrázku je také znázorněna shoda písmenných symbolů ve vzorcích a grafických symbolů na výkresu.

Poznámka . Pokud má trojúhelník speciální vlastnosti (rovnostranný, obdélníkový, rovnostranný), můžete použít níže uvedené vzorce a také další speciální vzorce, které platí pouze pro trojúhelníky s těmito vlastnostmi:

• "Vzorce pro oblast rovnostranného trojúhelníku"

Vzorce pro oblast trojúhelníku

Vysvětlivky pro vzorce:
a, b, c- délky stran trojúhelníku, jehož obsah chceme najít
r- poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku
R- poloměr kružnice opsané kolem trojúhelníku
h- výška trojúhelníku, sníženého na stranu
p- půlobvod trojúhelníku, 1/2 součet jeho stran (obvod)
α - úhel protilehlé strany a trojúhelníku
β - úhel protilehlé strany b trojúhelníku
γ - úhel protilehlé strany c trojúhelníku
h A, h b , h C- výška trojúhelníku, sníženého na stranu a, b, c

Upozorňujeme, že uvedený zápis odpovídá obrázku výše, takže při řešení skutečného problému v geometrii by pro vás bylo jednodušší vizuálně dosadit správné hodnoty na správná místa ve vzorci.

• Plocha trojúhelníku je polovina součinu výšky trojúhelníku a délky strany, na které je tato výška snížena(Formule 1). Správnost tohoto vzorce lze pochopit logicky. Výška snížená k základně rozdělí libovolný trojúhelník na dva obdélníkové. Pokud doplníme každý z nich do obdélníku o rozměrech b a h, pak se plocha těchto trojúhelníků bude samozřejmě rovnat přesně polovině plochy obdélníku (Spr = bh)
• Plocha trojúhelníku je poloviční součin jejích dvou stran a sinus úhlu mezi nimi(Vzorec 2) (viz příklad řešení problému pomocí tohoto vzorce níže). Navzdory tomu, že se zdá být odlišný od předchozího, lze jej snadno přeměnit. Snížíme-li výšku z úhlu B na stranu b, ukáže se, že součin strany a a sinu úhlu γ se podle vlastností sinu v pravoúhlém trojúhelníku rovná výšce trojúhelníku nakresleného nám, což nám dá předchozí vzorec
• Lze nalézt oblast libovolného trojúhelníku přes práce polovina poloměru kružnice do ní vepsané součtem délek všech jejích stran(Formule 3), jinými slovy, musíte vynásobit polovinu obvodu trojúhelníku poloměrem vepsané kružnice (je snazší si to zapamatovat)
• Oblast libovolného trojúhelníku lze nalézt vydělením součinu všech jeho stran 4 poloměry kruhu opsaného kolem něj (vzorec 4)
• Formule 5 zjišťuje obsah trojúhelníku z hlediska délek jeho stran a jeho půlobvodu (polovina součtu všech jeho stran)
• Heronův vzorec(6) je znázornění stejného vzorce bez použití pojmu semiperimetr, pouze přes délky stran
• Plocha libovolného trojúhelníku se rovná součinu čtverce strany trojúhelníku a sinů úhlů přilehlých k této straně děleného dvojitým sinem úhlu opačného k této straně (vzorec 7)
• Oblast libovolného trojúhelníku lze nalézt jako součin dvou čtverců kruhu opsaného kolem něj a sinů každého z jeho úhlů. (Formule 8)
• Pokud je známa délka jedné strany a velikost dvou úhlů, které k ní přiléhají, pak lze plochu trojúhelníku nalézt jako čtverec této strany, dělený dvojnásobným součtem kotangens těchto stran. úhly (Formule 9)
• Pokud je známa pouze délka každé z výšek trojúhelníku (vzorec 10), pak je plocha takového trojúhelníku nepřímo úměrná délkám těchto výšek, jako u Heronova vzorce
• Vzorec 11 umožňuje počítat plocha trojúhelníku podle souřadnic jeho vrcholů, které jsou uvedeny jako (x;y) hodnoty pro každý z vrcholů. Upozorňujeme, že výsledná hodnota musí být brána modulo, protože souřadnice jednotlivých (nebo dokonce všech) vrcholů mohou být v oblasti záporných hodnot

Poznámka. Následují příklady řešení problémů v geometrii k nalezení oblasti trojúhelníku. Pokud potřebujete vyřešit problém v geometrii, který zde není - napište o něm do fóra. V řešeních lze místo symbolu „druhé odmocniny“ použít funkci sqrt(), kde sqrt je symbol odmocniny a radikální výraz je uveden v závorkách.Někdy lze symbol použít pro jednoduché radikální výrazy √

Úkol. Najděte oblast daných dvěma stranami a úhel mezi nimi

Strany trojúhelníku jsou 5 a 6 cm, úhel mezi nimi je 60 stupňů. Najděte oblast trojúhelníku.

Rozhodnutí.

K vyřešení tohoto problému použijeme vzorec číslo dvě z teoretické části lekce.
Oblast trojúhelníku lze nalézt prostřednictvím délek dvou stran a sinusu úhlu mezi nimi a bude se rovnat
S=1/2 ab sin γ

Protože máme všechna potřebná data pro řešení (podle vzorce), můžeme do vzorce dosadit pouze hodnoty z podmínky problému:
S=1/2*5*6*sin60

V tabulce hodnot goniometrických funkcí najdeme a dosadíme do výrazu hodnotu sinus 60 stupňů. Bude se rovnat odmocnině ze tří na dvě.
S = 15 √3 / 2

Odpovědět: 7,5 √3 (v závislosti na požadavcích učitele je pravděpodobně možné nechat 15 √3/2)

Úkol. Najděte obsah rovnostranného trojúhelníku

Najděte obsah rovnostranného trojúhelníku o straně 3 cm.

Rozhodnutí .

Oblast trojúhelníku lze najít pomocí Heronova vzorce:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Protože a \u003d b \u003d c, vzorec pro oblast rovnostranného trojúhelníku bude mít tvar:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpovědět: 9 √3 / 4.

Úkol. Změna plochy při změně délky stran

Kolikrát se plocha trojúhelníku zvětší, pokud se strany zčtyřnásobí?

Rozhodnutí.

Protože neznáme rozměry stran trojúhelníku, budeme pro řešení problému předpokládat, že délky stran se rovnají libovolným číslům a, b, c. Poté, abychom odpověděli na otázku problému, najdeme oblast tohoto trojúhelníku a poté najdeme oblast trojúhelníku, jehož strany jsou čtyřikrát větší. Poměr ploch těchto trojúhelníků nám dá odpověď na problém.

Dále poskytneme textové vysvětlení řešení problému v krocích. Na samém konci je však stejné řešení uvedeno v grafické podobě, která je pro vnímání pohodlnější. Ti, kteří si to přejí, mohou okamžitě rozbalit řešení.

K řešení používáme Heronův vzorec (viz výše v teoretické části lekce). Vypadá to takto:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(viz první řádek obrázku níže)

Délky stran libovolného trojúhelníku jsou dány proměnnými a, b, c.
Pokud se strany zvětší 4krát, bude plocha nového trojúhelníku c:

S2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(viz druhý řádek na obrázku níže)

Jak můžete vidět, 4 je společný faktor, který lze seřadit ze všech čtyř výrazů podle obecných pravidel matematiky.
Pak

S 2 = 1/4 čtverce (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - na třetím řádku obrázku
S2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - čtvrtý řádek

Z čísla 256 je odmocnina dokonale vytažená, takže ji vyjmeme zpod odmocniny
S 2 = 16 * 1/4 čtverce ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c))
S2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(viz pátý řádek obrázku níže)

Abychom odpověděli na otázku položenou v problému, stačí, abychom rozdělili plochu výsledného trojúhelníku plochou původního.
Plošné poměry určíme rozdělením výrazů na sebe a zmenšením výsledného zlomku.

Definice trojúhelníku

Trojúhelník- Jedná se o geometrický obrazec, který je vytvořen jako výsledek průniku tří segmentů, jejichž konce neleží na jedné přímce. Každý trojúhelník má tři strany, tři vrcholy a tři úhly.

Online kalkulačka

Trojúhelníky jsou různých typů. Například existuje rovnostranný trojúhelník (ve kterém jsou všechny strany stejné), rovnoramenný (v něm jsou dvě strany stejné) a pravoúhlý (ve kterém je jeden z úhlů pravý, tedy rovný 90 stupňům). ).

Oblast trojúhelníku lze nalézt různými způsoby v závislosti na tom, které prvky obrázku jsou známy stavem problému, ať už jde o úhly, délky nebo obecně poloměry kruhů spojených s trojúhelník. Zvažte každou metodu samostatně s příklady.

Vzorec pro plochu trojúhelníku daný jeho základnou a výškou

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a A- základna trojúhelníku;
h h h- výška trojúhelníku nakresleného k dané základně a.

Příklad

Najděte obsah trojúhelníku, pokud je známa délka jeho základny rovna 10 (cm) a výška k této základně rovna 5 (cm).

Rozhodnutí

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Dosaďte do vzorce pro oblast a získejte:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (viz náměstí)

Odpovědět: 25 (viz čtverec)

Vzorec pro oblast trojúhelníku daný délkami všech stran

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, ca, b, c a, b, c- délka stran trojúhelníku;
str p- poloviční součet všech stran trojúhelníku (tj. polovina obvodu trojúhelníku):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (a +b +C)

Tento vzorec se nazývá Heronův vzorec.

Příklad

Najděte obsah trojúhelníku, pokud jsou známy délky jeho tří stran, rovné 3 (viz), 4 (viz), 5 (viz).

Rozhodnutí

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

Najděte polovinu obvodu str p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Pak podle Heronova vzorce je plocha trojúhelníku:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (viz náměstí)

Odpověď: 6 (viz čtverec)

Vzorec pro oblast trojúhelníku s jednou stranou a dvěma úhly

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 A 2 ​ ⋅ hřích (β+γ)hřích β hřích γ ​ ,

A a A- délka strany trojúhelníku;
β , γ \beta, \gamma β , γ - úhly přiléhající ke straně a a A.

Příklad

Je dána strana trojúhelníku rovna 10 (viz) a dva sousední úhly 30 stupňů. Najděte oblast trojúhelníku.

Rozhodnutí

A=10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Podle vzorce:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=^\dok(2)(10) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\cca 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ hřích (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) hřích 3 0 ∘ hřích 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (viz náměstí)

Odpovědět: 14.4 (viz čtverec)

Vzorec pro oblast trojúhelníku se třemi stranami a poloměrem opsané kružnice

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4 Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, ca, b, c a, b, c- strany trojúhelníku
R R R je poloměr kružnice opsané kolem trojúhelníku.

Příklad

Vezmeme čísla z našeho druhého problému a přidáme k nim poloměr R R R kruhy. Nechť se rovná 10 (viz).

Rozhodnutí

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (viz náměstí)

Odpovědět: 1,5 (cm.sq.)

Vzorec pro oblast trojúhelníku se třemi stranami a poloměrem vepsané kružnice

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= p⋅ r,

strp- polovina obvodu trojúhelníku:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)p= 2 A+ b+ C​ ,

a, b, c a, b, cA, b, C- strany trojúhelníku
r rr je poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku.

Příklad

Poloměr kružnice vepsané nechť je roven 2 (viz). Délky stran vezmeme z předchozí úlohy.

Rozhodnutí

$A=3b=4\; b=4b=4c=5\; c=5C=5r=2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6⋅2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (viz náměstí)

Odpovědět: 12 (viz čtverec)

Vzorec pro oblast trojúhelníku daná dvěma stranami a úhlem mezi nimi

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ C⋅ hřích(α ) ,

b, c b, cb, C- strany trojúhelníku

a\alfaα - úhel mezi stranami bbb a c cC.

Příklad

Strany trojúhelníku jsou 5 (viz) a 6 (viz), úhel mezi nimi je 30 stupňů. Najděte oblast trojúhelníku.

Rozhodnutí

$b=5c=6\; c=6C=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ hřích(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (viz náměstí)

Odpovědět: 7,5 (viz čtverec)

Trojúhelník je nejjednodušší geometrický útvar, který se skládá ze tří stran a tří vrcholů. Trojúhelník se pro svou jednoduchost používal již od starověku k různým měřením a dnes může být figurka užitečná pro řešení praktických i každodenních problémů.

Vlastnosti trojúhelníku

Obrazec se k výpočtům používá již od starověku, například geodeti a astronomové operují s vlastnostmi trojúhelníků pro výpočet ploch a vzdáleností. Prostřednictvím plochy tohoto obrázku je snadné vyjádřit plochu libovolného n-úhelníku a tuto vlastnost používali starověcí vědci k odvození vzorců pro oblasti polygonů. Neustálá práce s trojúhelníky, zejména s pravoúhlým trojúhelníkem, se stala základem pro celý jeden oddíl matematiky – trigonometrie.

trojúhelníková geometrie

Vlastnosti geometrického útvaru byly studovány od starověku: nejstarší informace o trojúhelníku byly nalezeny v egyptských papyrech starých 4000 let. Poté byla postava studována ve starověkém Řecku a největší příspěvek ke geometrii trojúhelníku měli Euclid, Pythagoras a Heron. Studium trojúhelníku se nikdy nezastavilo a v 18. století Leonhard Euler představil koncept ortocentra figury a Eulerova kruhu. Na přelomu 19. a 20. století, kdy se zdálo, že je o trojúhelníku známo naprosto vše, Frank Morley formuloval větu o úhlové trisectrix a Václav Sierpinski navrhl fraktální trojúhelník.

Existuje několik typů plochých trojúhelníků, které známe z kurzu školní geometrie:

• ostrý úhel - všechny rohy postavy jsou ostré;
• tupý - postava má jeden tupý úhel (větší než 90 stupňů);
• obdélníkový - obrázek obsahuje jeden pravý úhel rovný 90 stupňům;
• rovnoramenný - trojúhelník se dvěma stejnými stranami;
• rovnostranný - trojúhelník se všemi stejnými stranami.
• V reálném životě existují všechny druhy trojúhelníků a v některých případech možná budeme muset vypočítat plochu geometrického útvaru.

Oblast trojúhelníku

Plocha je odhad toho, jak velkou část roviny obrázek ohraničuje. Oblast trojúhelníku lze najít šesti způsoby, pomocí stran, výšky, úhlů, poloměru vepsané nebo opsané kružnice, stejně jako pomocí Heronova vzorce nebo výpočtu dvojitého integrálu přes čáry, které ohraničují rovinu. Nejjednodušší vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku je:

kde a je strana trojúhelníku, h je jeho výška.

V praxi však pro nás není vždy vhodné zjistit výšku geometrického útvaru. Algoritmus naší kalkulačky vám umožňuje vypočítat plochu s vědomím:

• tři strany;
• dvě strany a úhel mezi nimi;
• jedna strana a dva rohy.

K určení plochy z hlediska tří stran použijeme Heronův vzorec:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

kde p je polovina obvodu trojúhelníku.

Výpočet plochy na dvou stranách a úhlu se provádí podle klasického vzorce:

S = a × b × sin(alfa),

kde alfa je úhel mezi stranami a a b.

Pro určení plochy přes jednu stranu a dva rohy použijeme vztah, že:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Jednoduchým poměrem určíme délku druhé strany, načež vypočteme plochu pomocí vzorce S = a × b × sin (alfa). Tento algoritmus je plně automatizovaný a stačí pouze zadat dané proměnné a získat výsledek. Podívejme se na pár příkladů.

Příklady ze života

dlažebních desek

Řekněme, že chcete podlahu vydláždit trojúhelníkovými dlaždicemi, a abyste mohli určit množství potřebného materiálu, měli byste zjistit plochu jedné dlaždice a podlahovou plochu. Nechť je třeba zpracovat 6 metrů čtverečních plochy pomocí dlaždice, jejíž rozměry jsou a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Kalkulačka samozřejmě používá Heronův vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku a dá výsledek:

Plocha jednoho dlaždicového prvku tedy bude 0,021 metrů čtverečních a ke zlepšení podlahy budete potřebovat 6 / 0,021 \u003d 285 trojúhelníků. Čísla 20, 21 a 29 tvoří pythagorejská trojčísla, která splňují . A je to tak, naše kalkulačka také vypočítala všechny úhly trojúhelníku a úhel gama je přesně 90 stupňů.

školní úkol

Ve školním problému musíte najít oblast trojúhelníku s vědomím, že strana a \u003d 5 cm a úhly alfa a beta rány jsou 30 a 50 stupňů. Abychom tento problém vyřešili ručně, nejprve bychom našli hodnotu strany b pomocí poměru stran a sinů opačných úhlů a poté určili plochu pomocí jednoduchého vzorce S = a × b × sin(alfa). Ušetřeme čas, zadejte data do formuláře kalkulačky a získejte okamžitou odpověď

Při použití kalkulačky je důležité správně zadat úhly a strany, jinak bude výsledek nesprávný.

Závěr

Trojúhelník je jedinečná postava, která se vyskytuje jak v reálném životě, tak v abstraktních výpočtech. Použijte naši online kalkulačku k nalezení oblasti trojúhelníků jakéhokoli druhu.

Oblast trojúhelníku. V mnoha geometrických problémech souvisejících s výpočtem oblastí se používají vzorce pro oblast trojúhelníku. Existuje několik z nich, zde zvážíme ty hlavní.Vyjmenovat tyto vzorce by bylo příliš jednoduché a zbytečné. Budeme analyzovat původ hlavních vzorců, těch, které se používají nejčastěji.

Než se seznámíte s odvozováním vzorců, určitě se podívejte na článek o.Po prostudování materiálu můžete vzorce snadno obnovit v paměti (pokud pro vás najednou "vyletí" ve správný čas).

První formule

Úhlopříčka rovnoběžníku jej rozděluje na dva trojúhelníky o stejné ploše:

Proto se plocha trojúhelníku bude rovnat polovině plochy rovnoběžníku:

Vzorec pro oblast trojúhelníku

* To znamená, že pokud známe jakoukoli stranu trojúhelníku a výšku sníženou na tuto stranu, můžeme vždy vypočítat plochu tohoto trojúhelníku.

Formule dvě

Jak již bylo uvedeno v článku o ploše rovnoběžníku, vzorec má tvar:

Plocha trojúhelníku je polovina jeho plochy, takže:

*To znamená, že pokud jsou známy jakékoli dvě strany v trojúhelníku a úhel mezi nimi, vždy můžeme vypočítat plochu takového trojúhelníku.

Heronova formule (třetí)

Tento vzorec je obtížné odvodit a nepotřebujete ho. Podívejte se, jak je krásná, můžeme říci, že se na ni pamatuje.

*Pokud jsou dány tři strany trojúhelníku, pak pomocí tohoto vzorce můžeme vždy vypočítat jeho plochu.

Formule čtyři

kde rje poloměr vepsané kružnice

*Pokud jsou známy tři strany trojúhelníku a poloměr v něm vepsané kružnice, pak vždy můžeme najít oblast tohoto trojúhelníku.

Formule pět

kde Rje poloměr kružnice opsané.

*Pokud jsou známy tři strany trojúhelníku a poloměr opsané kružnice, pak vždy můžeme najít oblast takového trojúhelníku.

Nabízí se otázka: jsou-li známy tři strany trojúhelníku, pak není jednodušší najít jeho obsah pomocí Heronova vzorce!

Ano, je to jednodušší, ale ne vždy, někdy je to obtížné. Souvisí to s extrakcí kořenů. Kromě toho jsou tyto vzorce velmi vhodné pro použití v problémech, kde je dána plocha trojúhelníku, jsou dány jeho strany a je nutné najít poloměr vepsané nebo opsané kružnice. Takové úkoly jsou součástí zkoušky.

Pojďme se podívat na vzorec:

Je to speciální případ vzorce pro oblast mnohoúhelníku, do kterého je vepsán kruh:

Zvažte to na příkladu pětiúhelníku:

Střed kružnice spojíme s vrcholy tohoto pětiúhelníku a od středu pustíme kolmice na jeho strany. Dostaneme pět trojúhelníků, přičemž pokleslé kolmice jsou poloměry vepsané kružnice:

Oblast pětiúhelníku je:

Nyní je jasné, že pokud mluvíme o trojúhelníku, pak má tento vzorec tvar:

Formule šest