Եռանկյունը երեք կետեր է, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա, և երեք գծային հատվածներ, որոնք միացնում են դրանք: Հակառակ դեպքում, եռանկյունը պոլիգոն է, որն ունի ուղիղ երեք անկյուն:

Այս երեք կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ եռանկյան կողմեր։ Եռանկյան կողմերը եռանկյան գագաթներում կազմում են երեք անկյուն։

Հավասարսուռ եռանկյունին այն եռանկյունն է, որի երկու կողմերը հավասար են: Այս կողմերը կոչվում են կողմեր, երրորդ կողմը կոչվում է հիմք: Հավասարաչափ եռանկյունում հիմքի անկյունները հավասար են:

Կոչվում է հավասարակողմ կամ ուղղանկյուն եռանկյուն, որի բոլոր երեք կողմերը հավասար են։ Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները նույնպես հավասար են և հավասար են 60°-ի:

Կամայական եռանկյունու մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևերով

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

Կանոնավոր կամ հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևերով. կամ կամ

Որտեղ ա,բ,գ- եռանկյունու կողմերը հ- եռանկյունու բարձրությունը, y- կողմերի միջև եղած անկյունը, Ռ- շրջանագծի շառավիղը, rներգծված շրջանագծի շառավիղն է։

Եռանկյունի տարածք - խնդրի լուծման բանաձևեր և օրինակներ

Ստորև ներկայացված են կամայական եռանկյունու տարածքը գտնելու բանաձևերորոնք հարմար են ցանկացած եռանկյան մակերեսը գտնելու համար՝ անկախ նրա հատկություններից, անկյուններից կամ չափերից։ Բանաձևերը ներկայացված են նկարի տեսքով, այստեղ բացատրություններ են տրվում դրանց կոռեկտության կիրառման կամ հիմնավորման համար։ Նաև առանձին նկարում ներկայացված է տառային նշանների համապատասխանությունը բանաձևերում և գծագրության գրաֆիկական նշանները:

Նշում . Եթե ​​եռանկյունն ունի հատուկ հատկություններ (հավասարաչափ, ուղղանկյուն, հավասարակողմ), կարող եք օգտագործել ստորև բերված բանաձևերը, ինչպես նաև լրացուցիչ հատուկ բանաձևեր, որոնք ճշմարիտ են միայն այս հատկություններով եռանկյունների համար.

• «Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևեր»

Եռանկյունի տարածքի բանաձևերը

Բանաձևերի բացատրություններ:
ա, բ, գ- այն եռանկյան կողմերի երկարությունները, որի տարածքը մենք ցանկանում ենք գտնել
r- եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը
Ռ- եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը
հ- եռանկյունու բարձրությունը, իջեցված դեպի կողմը
էջ- Եռանկյան կիսաշրջագիծ, նրա կողմերի գումարի 1/2 (պարագիծ)
α - եռանկյան a կողմի հակառակ անկյունը
β - եռանկյան b կողմի հակառակ անկյունը
γ - եռանկյան c կողմի հակառակ անկյունը
հ ա, հ բ , հ գ- եռանկյան բարձրությունը՝ իջեցված դեպի a, b, c կողմերը

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նշված նշումը համապատասխանում է վերը նշված նկարին, որպեսզի երկրաչափության իրական խնդիր լուծելիս ձեզ համար ավելի հեշտ լինի տեսողականորեն փոխարինել ճիշտ արժեքները բանաձևի ճիշտ տեղերում:

• Եռանկյան մակերեսն է եռանկյան բարձրության և այն կողմի երկարության արտադրյալի կեսը, որի վրա այս բարձրությունն իջեցված է(Ֆորմուլա 1): Այս բանաձեւի ճիշտությունը կարելի է հասկանալ տրամաբանորեն։ Հիմքին իջեցված բարձրությունը կամայական եռանկյունը կբաժանի երկու ուղղանկյունի: Եթե ​​դրանցից յուրաքանչյուրը լրացնենք b և h չափերով ուղղանկյունի, ապա, ակնհայտորեն, այս եռանկյունների մակերեսը հավասար կլինի ուղղանկյան տարածքի ուղիղ կեսին (Spr = bh)
• Եռանկյան մակերեսն է նրա երկու կողմերի արտադրյալի կեսը և նրանց միջև անկյան սինուսը(Բանաձև 2) (տե՛ս ստորև բերված այս բանաձևով խնդիր լուծելու օրինակ): Չնայած այն հանգամանքին, որ այն տարբերվում է նախորդից, այն հեշտությամբ կարող է փոխակերպվել դրա մեջ: Եթե ​​բարձրությունը B անկյունից իջեցնենք b կողմ, ապա կստացվի, որ a կողմի և γ անկյան սինուսի արտադրյալը, ըստ ուղղանկյուն եռանկյան սինուսի հատկությունների, հավասար է գծված եռանկյան բարձրությանը. մեզ, որը մեզ կտա նախորդ բանաձեւը
• Կարելի է գտնել կամայական եռանկյունու տարածքը միջոցով աշխատանքշրջանագծի շառավիղի կեսը, որը գրված է նրա բոլոր կողմերի երկարությունների գումարով(Բանաձև 3), այլ կերպ ասած, դուք պետք է բազմապատկեք եռանկյան կես պարագիծը ներգծված շրջանագծի շառավղով (այսպես ավելի հեշտ է հիշել)
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել՝ նրա բոլոր կողմերի արտադրյալը բաժանելով շուրջը շրջագծված շրջանագծի 4 շառավղով (բանաձև 4)
• Ֆորմուլա 5-ը գտնում է եռանկյան մակերեսը կողմերի երկարությունների և կիսաշրջագծի (բոլոր կողմերի գումարի կեսը) առումով:
• Հերոնի բանաձեւը(6) նույն բանաձևի ներկայացումն է՝ առանց կիսաշրջագծային հասկացության օգտագործման, միայն կողմերի երկարությունների միջով
• Կամային եռանկյան մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի քառակուսու և այս կողմին հարող անկյունների սինուսների արտադրյալին, որը բաժանված է այս կողմին հակառակ անկյան կրկնակի սինուսով (Բանաձև 7)
• Կամայական եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես դրա շուրջը շրջագծված շրջանագծի երկու քառակուսիների և նրա յուրաքանչյուր անկյունի սինուսների արտադրյալը: (Ֆորմուլա 8)
• Եթե ​​հայտնի են մի կողմի երկարությունը և դրան հարող երկու անկյունների մեծությունը, ապա եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես այս կողմի քառակուսի, որը բաժանված է դրանց կոտանգենսների կրկնակի գումարով։ անկյուններ (Formula 9)
• Եթե ​​հայտնի է միայն եռանկյան յուրաքանչյուր բարձրության երկարությունը (Բանաձև 10), ապա այդպիսի եռանկյունու մակերեսը հակադարձ համեմատական ​​է այդ բարձրությունների երկարություններին, ինչպես Հերոնի բանաձևով։
• Formula 11-ը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյան մակերեսը՝ ըստ նրա գագաթների կոորդինատների, որոնք տրվում են որպես (x;y) արժեքներ յուրաքանչյուր գագաթի համար: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ստացված արժեքը պետք է ընդունվի մոդուլով, քանի որ առանձին (կամ նույնիսկ բոլոր) գագաթների կոորդինատները կարող են լինել բացասական արժեքների տարածքում:

Նշում. Ստորև բերված են երկրաչափության խնդիրների լուծման օրինակներ՝ եռանկյան մակերեսը գտնելու համար: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել երկրաչափության խնդիր, որի նմանն այստեղ չկա, գրեք այդ մասին ֆորումում: Լուծումներում sqrt() ֆունկցիան կարող է օգտագործվել «քառակուսի արմատ» նշանի փոխարեն, որում sqrt-ը քառակուսի արմատի նշանն է, իսկ արմատական ​​արտահայտությունը նշված է փակագծերում։.Երբեմն խորհրդանիշը կարող է օգտագործվել պարզ արմատական ​​արտահայտությունների համար √

Առաջադրանք. Գտե՛ք տրված երկու կողմերի տարածքը և նրանց միջև եղած անկյունը

Եռանկյան կողմերը 5 և 6 սմ են, նրանց միջև անկյունը 60 աստիճան է։ Գտեք եռանկյան մակերեսը.

Որոշում.

Այս խնդիրը լուծելու համար դասի տեսական մասից օգտագործում ենք թիվ երկու բանաձևը։
Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել երկու կողմերի երկարությունների և նրանց միջև անկյան սինուսի միջով և հավասար կլինի.
S=1/2 ab sin γ

Քանի որ մենք ունենք լուծման համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները (ըստ բանաձևի), մենք կարող ենք միայն արժեքները փոխարինել խնդրի վիճակից բանաձևի մեջ.
S=1/2*5*6*sin60

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակում մենք գտնում և փոխարինում ենք արտահայտության մեջ սինուսի արժեքը 60 աստիճան: Այն հավասար կլինի երեքից երկուսի արմատին։
S = 15 √3 / 2

Պատասխանել 7.5 √3 (կախված ուսուցչի պահանջներից, հավանաբար հնարավոր է թողնել 15 √3/2)

Առաջադրանք. Գտե՛ք հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը

Գտեք 3 սմ կողմ ունեցող հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը:

Որոշում .

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել Հերոնի բանաձևով.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Քանի որ a \u003d b \u003d c, հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը.

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Պատասխանել: 9 √3 / 4.

Առաջադրանք. Կողմերի երկարությունը փոխելիս տարածքի փոփոխություն

Քանի՞ անգամ կավելանա եռանկյան մակերեսը, եթե կողմերը քառապատկվեն:

Որոշում.

Քանի որ եռանկյան կողմերի չափերը մեզ անհայտ են, խնդիրը լուծելու համար կենթադրենք, որ կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են կամայական a, b, c թվերին։ Այնուհետև խնդրի հարցին պատասխանելու համար մենք գտնում ենք այս եռանկյան մակերեսը, այնուհետև գտնում ենք եռանկյան մակերեսը, որի կողմերը չորս անգամ մեծ են: Այս եռանկյունների մակերեսների հարաբերակցությունը մեզ կտա խնդրի պատասխանը։

Հաջորդը, մենք տալիս ենք տեքստային բացատրություն խնդրի լուծման փուլերով: Սակայն հենց վերջում նույն լուծումը ներկայացված է ընկալման համար առավել հարմար գրաֆիկական տեսքով։ Ցանկացողները կարող են անմիջապես թողնել լուծումը:

Լուծելու համար օգտագործում ենք Հերոնի բանաձևը (տե՛ս վերևում դասի տեսական մասում): Այն կարծես այսպիսին է.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի առաջին տողը)

Կամային եռանկյան կողմերի երկարությունները տրվում են a, b, c փոփոխականներով։
Եթե ​​կողմերը մեծացվեն 4 անգամ, ապա նոր եռանկյան c-ի մակերեսը կլինի.

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(տես ստորև նկարի երկրորդ տողը)

Ինչպես տեսնում եք, 4-ը ընդհանուր գործոն է, որը կարելի է փակագծերում դնել բոլոր չորս արտահայտություններից՝ համաձայն մաթեմատիկայի ընդհանուր կանոնների:
Հետո

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - նկարի երրորդ տողում
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - չորրորդ տող

256 թվից քառակուսի արմատը հիանալի արդյունահանված է, ուստի այն կհանենք արմատի տակից
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի հինգերորդ տողը)

Խնդրում առաջադրված հարցին պատասխանելու համար բավական է, որ ստացված եռանկյունու տարածքը բաժանենք սկզբնականի մակերեսով։
Տարածքների հարաբերակցությունները որոշում ենք արտահայտությունները միմյանց բաժանելով և ստացված կոտորակը փոքրացնելով։

Եռանկյունի սահմանում

Եռանկյուն- Սա երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք հատվածների հատման արդյունքում, որոնց ծայրերը մեկ ուղիղ գծի վրա չեն ընկած։ Ցանկացած եռանկյուն ունի երեք կողմ, երեք գագաթ և երեք անկյուն:

Առցանց հաշվիչ

Եռանկյունները տարբեր տեսակի են. Օրինակ՝ կա հավասարակողմ եռանկյուն (մեկը, որի բոլոր կողմերը հավասար են), հավասարաչափ (նրանում երկու կողմերը հավասար են) և ուղղանկյուն (որում անկյուններից մեկն ուղղանկյուն է, այսինքն՝ հավասար 90 աստիճանի։ ):

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել տարբեր ձևերով՝ կախված նրանից, թե նկարի որ տարրերն են հայտնի խնդրի պայմանով, լինեն դա անկյուններ, երկարություններ, թե, ընդհանրապես, շրջանակների հետ կապված շառավիղները։ եռանկյուն. Դիտարկենք յուրաքանչյուր մեթոդ առանձին օրինակներով:

Եռանկյան մակերեսի բանաձևը՝ հաշվի առնելով դրա հիմքը և բարձրությունը

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ ա ⋅հ,

Ա ա ա- եռանկյունու հիմքը;
ժ ժ հ- տրված հիմքի վրա գծված եռանկյան բարձրությունը ա.

Օրինակ

Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե հայտնի է նրա հիմքի երկարությունը, հավասար է 10 (սմ) և այս հիմքի վրա գծված բարձրությունը հավասար է 5 (սմ):

Որոշում

A=10 a=10 ա =1 0
h=5 h=5 h =5

Տարածքի բանաձևում փոխարինեք և ստացեք.
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (տես քառ.)

Պատասխան. 25 (տես քառ.)

Եռանկյունի մակերեսի բանաձևը՝ հաշվի առնելով բոլոր կողմերի երկարությունները

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

Ա, բ, գ ա, բ, գ ա, բ, գ- եռանկյունու կողմերի երկարությունը;
pp էջ- եռանկյան բոլոր կողմերի գումարի կեսը (այսինքն՝ եռանկյան պարագծի կեսը).

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac (1) (2) (a + b + c)p=2 1 ​ (a +բ+գ)

Այս բանաձեւը կոչվում է Հերոնի բանաձեւը.

Օրինակ

Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե հայտնի են նրա երեք կողմերի երկարությունները, հավասար են 3-ի (տես), 4-ի (տես), 5-ի (տես):

Որոշում

A=3 a=3 ա =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 գ=5

Գտեք պարագծի կեսը pp էջ:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Այնուհետև, ըստ Հերոնի բանաձևի, եռանկյան մակերեսը հետևյալն է.

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (տես քառ.)

Պատասխան՝ 6 (տես քառ.)

Եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է մեկ կողմ և երկու անկյուն

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\բետա+\գամմա))S=2 ա 2 ​ ⋅ մեղք (β + գ)մեղք β մեղք γ ​ ,

Ա ա ա- եռանկյունու կողմի երկարությունը;
β , γ \բետա, \գամմա β , γ - կողքին հարող անկյունները ա ա ա.

Օրինակ

Տրվում է 10-ի հավասար եռանկյան կողմը (տես) և երկու հարակից 30 աստիճանի անկյունները: Գտեք եռանկյան մակերեսը:

Որոշում

A=10 a=10 ա =1 0
β = 3 0 ∘ \բետա=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Ըստ բանաձևի.

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(2)\c2t) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1) (2 \ sqrt (3)) \ մոտ 14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ մեղք (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) մեղք 3 0 ∘ մեղք 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (տես քառ.)

Պատասխան. 14.4 (տես քառ.)

Եռանկյան տարածքի բանաձևը, որը տրված է երեք կողմերին և շրջագծված շրջանագծի շառավղին

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c) (4R)S=4 Ռա ⋅ բ ⋅ գ​ ,

Ա, բ, գ ա, բ, գ ա, բ, գ- եռանկյունու կողմերը
Ռ Ռ Ռեռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է։

Օրինակ

Մեր երկրորդ խնդրից վերցնում ենք թվերը և դրանց շառավիղ ենք ավելացնում Ռ Ռ Ռշրջանակներ. Թող այն հավասար լինի 10-ի (տես):

Որոշում

A=3 a=3 ա =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 գ=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (տես քառ.)

Պատասխան. 1,5 (սմ. քառ.)

Եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է երեք կողմերով և ներգծված շրջանագծի շառավղով

S = p ⋅ r S=p\cdot rՍ= էջ⋅ r,

ppէջ- եռանկյան պարագծի կեսը.

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)էջ= 2 ա+ բ+ գ​ ,

ա, բ, գ ա, բ, գա, բ, գ- եռանկյունու կողմերը
r rrեռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղն է։

Օրինակ

Թող ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար լինի 2-ի (տես): Նախորդ խնդրից վերցնում ենք կողմերի երկարությունները։

Որոշում

$ա=3b=4\; b=4բ=4c=5\; c=5գ=5r=2\; r=2r=2$

$էջ=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12Ս= 6 ⋅ 2 = 1 2 (տես քառ.)

Պատասխան. 12 (տես քառ.)

Եռանկյան տարածքի բանաձևը, որը տրված է երկու կողմերին և նրանց միջև եղած անկյունին

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\ալֆա)Ս= 2 1 ​ ⋅ բ⋅ գ⋅ մեղք(α ) ,

բ, գ բ, գբ, գ- եռանկյունու կողմերը

α\ալֆաα - կողմերի միջև անկյուն բբբև գ գգ.

Օրինակ

Եռանկյան կողմերն են 5 (տես) և 6 (տես), նրանց միջև անկյունը 30 աստիճան է։ Գտեք եռանկյան մակերեսը:

Որոշում

$բ=5c=6\; c=6գ=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash ալֆա=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5Ս= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ մեղք(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (տես քառ.)

Պատասխան. 7.5 (տես քառ.)

Եռանկյունը ամենապարզ երկրաչափական պատկերն է, որը բաղկացած է երեք կողմերից և երեք գագաթներից։ Իր պարզության շնորհիվ եռանկյունը հնագույն ժամանակներից օգտագործվել է տարբեր չափումների համար, իսկ այսօր գործիչը կարող է օգտակար լինել գործնական և առօրյա խնդիրների լուծման համար։

Եռանկյունի առանձնահատկությունները

Նկարը հնագույն ժամանակներից օգտագործվել է հաշվարկների համար, օրինակ՝ գեոդեզիստներն ու աստղագետները գործում են եռանկյունների հատկություններով՝ տարածքներն ու հեռավորությունները հաշվարկելու համար։ Այս նկարի տարածքի միջոցով հեշտ է արտահայտել ցանկացած n-gon տարածքը, և այս հատկությունը օգտագործվել է հին գիտնականների կողմից՝ բազմանկյունների տարածքների համար բանաձևեր ստանալու համար: Եռանկյունների հետ մշտական ​​աշխատանքը, հատկապես ուղղանկյուն եռանկյունու հետ, հիմք է դարձել մաթեմատիկայի մի ամբողջ բաժնի՝ եռանկյունաչափության համար։

եռանկյունի երկրաչափություն

Երկրաչափական պատկերի հատկությունները ուսումնասիրվել են դեռևս հնագույն ժամանակներից. եռանկյունու մասին ամենավաղ տեղեկությունները հայտնաբերվել են եգիպտական ​​պապիրուսներում՝ 4000 տարեկան: Այնուհետև պատկերն ուսումնասիրվել է Հին Հունաստանում և եռանկյունու երկրաչափության մեջ ամենամեծ ներդրումն են ունեցել Էվկլիդեսը, Պյութագորասը և Հերոնը: Եռանկյունու ուսումնասիրությունը երբեք չդադարեց, և 18-րդ դարում Լեոնհարդ Էյլերը ներկայացրեց գործչի ուղղանկյուն և Էյլերի շրջան հասկացությունը։ 19-րդ և 20-րդ դարերի վերջին, երբ թվում էր, թե եռանկյունու մասին բացարձակապես ամեն ինչ հայտնի է, Ֆրենկ Մորլին ձևակերպեց անկյան եռակողմ թեորեմը, իսկ Վացլավ Սիերպինսկին առաջարկեց ֆրակտալ եռանկյունին։

Դպրոցական երկրաչափության դասընթացից մեզ ծանոթ հարթ եռանկյունների մի քանի տեսակներ կան.

• սուր անկյուն - գործչի բոլոր անկյունները սուր են;
• բութ - գործիչն ունի մեկ բութ անկյուն (90 աստիճանից ավելի);
• ուղղանկյուն - նկարը պարունակում է մեկ ուղիղ անկյուն, որը հավասար է 90 աստիճանի;
• isosceles - երկու հավասար կողմերով եռանկյունի;
• հավասարակողմ - բոլոր հավասար կողմերով եռանկյունի:
• Իրական կյանքում կան բոլոր տեսակի եռանկյուններ, և որոշ դեպքերում մեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել երկրաչափական գործչի տարածքը:

Եռանկյունի մակերեսը

Մակերեսը գնահատվում է այն բանի, թե որքանով է սահմանվում նկարը: Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել վեց եղանակով՝ օգտագործելով կողմերը, բարձրությունը, անկյունները, ներգծված կամ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը, ինչպես նաև օգտագործելով Հերոնի բանաձևը կամ կրկնակի ինտեգրալը հաշվարկելով հարթությունը սահմանափակող գծերի վրա: Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու ամենապարզ բանաձևը հետևյալն է.

որտեղ a-ն եռանկյան կողմն է, h-ը նրա բարձրությունն է:

Այնուամենայնիվ, գործնականում մեզ համար միշտ չէ, որ հարմար է գտնել երկրաչափական գործչի բարձրությունը։ Մեր հաշվիչի ալգորիթմը թույլ է տալիս հաշվարկել տարածքը՝ իմանալով.

• երեք կողմ;
• երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը;
• մի կողմ և երկու անկյուն:

Տարածքը երեք կողմերից որոշելու համար մենք օգտագործում ենք Հերոնի բանաձևը.

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

որտեղ p-ը եռանկյան կիսաշրջագիծն է:

Երկու կողմի և անկյան տարածքի հաշվարկը կատարվում է դասական բանաձևով.

S = a × b × sin (ալֆա),

որտեղ ալֆան անկյունն է a և b կողմերի միջև:

Մեկ կողմի և երկու անկյունների տարածքը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք այն հարաբերությունը, որը.

a / sin(alfa) = b / sin (beta) = c / sin(gamma)

Պարզ համամասնությամբ որոշում ենք երկրորդ կողմի երկարությունը, որից հետո մակերեսը հաշվարկում ենք S = a × b × sin (ալֆա) բանաձևով։ Այս ալգորիթմը լիովին ավտոմատացված է, և անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել տվյալ փոփոխականները և ստանալ արդյունքը։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Իրական կյանքի օրինակներ

սալահատակ սալիկներ

Ենթադրենք, ցանկանում եք հատակը հարթել եռանկյունաձև սալիկներով, և անհրաժեշտ նյութի քանակը որոշելու համար պետք է պարզել մեկ սալիկի և հատակի մակերեսը: Թող անհրաժեշտ լինի մշակել 6 քառակուսի մետր մակերես՝ օգտագործելով սալիկ, որի չափերն են a = 20 սմ, b = 21 սմ, c = 29 սմ: Ակնհայտ է, որ հաշվիչը օգտագործում է Հերոնի բանաձևը եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար և արդյունքը կտա.

Այսպիսով, մեկ սալիկի տարրի մակերեսը կկազմի 0,021 քառակուսի մետր, և հատակը բարելավելու համար ձեզ անհրաժեշտ կլինի 6 / 0,021 \u003d 285 եռանկյուն: 20, 21 և 29 թվերը կազմում են Պյութագորասի եռակի թվերը, որոնք բավարարում են . Եվ դա ճիշտ է, մեր հաշվիչը հաշվարկել է նաև եռանկյան բոլոր անկյունները, իսկ գամմա անկյունը ուղիղ 90 աստիճան է։

դպրոցական առաջադրանք

Դպրոցական խնդրի դեպքում դուք պետք է գտնեք եռանկյունու մակերեսը՝ իմանալով, որ կողմը a \u003d 5 սմ է, իսկ վերքի ալֆա և բետա անկյունները համապատասխանաբար 30 և 50 աստիճան են: Այս խնդիրը ձեռքով լուծելու համար մենք նախ կգտնենք b կողմի արժեքը՝ օգտագործելով կողմերի և հակառակ անկյունների սինուսների հարաբերակցությունը, այնուհետև կորոշենք տարածքը՝ օգտագործելով S = a × b × sin(alfa) պարզ բանաձևը: Եկեք խնայենք ժամանակը, մուտքագրենք տվյալները հաշվիչի ձևաթղթում և ստանանք ակնթարթային պատասխան

Հաշվիչ օգտագործելիս կարևոր է ճիշտ նշել անկյունները և կողմերը, հակառակ դեպքում արդյունքը սխալ կլինի:

Եզրակացություն

Եռանկյունը եզակի պատկեր է, որը տեղի է ունենում ինչպես իրական կյանքում, այնպես էլ վերացական հաշվարկներում: Օգտագործեք մեր առցանց հաշվիչը ցանկացած տեսակի եռանկյունների տարածքը գտնելու համար:

Եռանկյունի մակերեսը. Տարածքների հաշվարկման հետ կապված երկրաչափության շատ խնդիրներում օգտագործվում են եռանկյունի տարածքի բանաձևեր: Դրանցից մի քանիսը կան, այստեղ մենք կդիտարկենք հիմնականները:Այս բանաձևերը թվարկելը չափազանց պարզ և անօգուտ կլինի: Մենք կվերլուծենք հիմնական բանաձևերի ծագումը, դրանք, որոնք առավել հաճախ օգտագործվում են:

Նախքան բանաձևերի ածանցմանը ծանոթանալը, համոզվեք, որ դիտեք հոդվածը:Նյութն ուսումնասիրելուց հետո կարող եք հեշտությամբ վերականգնել բանաձևերը հիշողության մեջ (եթե դրանք հանկարծ «դուրս թռչեն» ձեզ համար ճիշտ ժամանակին):

Առաջին բանաձևը

Զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է հավասար մակերեսով երկու եռանկյունների.

Այսպիսով, եռանկյան մակերեսը հավասար կլինի զուգահեռագծի տարածքի կեսին.

Եռանկյունի տարածքի բանաձևը

* Այսինքն, եթե մենք գիտենք եռանկյան որևէ կողմ և այս կողմ իջեցված բարձրությունը, ապա մենք միշտ կարող ենք հաշվարկել այս եռանկյան մակերեսը:

Ֆորմուլա երկու

Ինչպես արդեն ասվել է զուգահեռագծի տարածքի վերաբերյալ հոդվածում, բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Եռանկյան մակերեսը նրա մակերեսի կեսն է, ուստի.

*Այսինքն, եթե եռանկյան ցանկացած երկու կողմ և նրանց միջև եղած անկյունը հայտնի է, մենք միշտ կարող ենք հաշվարկել այդպիսի եռանկյան մակերեսը:

Հերոնի բանաձևը (երրորդ)

Այս բանաձևը դժվար է ստացվել, և դրա կարիքը չունեք: Տեսեք, թե որքան գեղեցիկ է նա, կարելի է ասել, որ նրան հիշում են։

*Եթե տրված են եռանկյան երեք կողմերը, ապա այս բանաձևով մենք միշտ կարող ենք հաշվարկել նրա մակերեսը։

Ֆորմուլա չորս

որտեղ rներգծված շրջանագծի շառավիղն է

*Եթե հայտնի են եռանկյան երեք կողմերը և դրանում ներգծված շրջանագծի շառավիղը, ապա մենք միշտ կարող ենք գտնել այս եռանկյան մակերեսը։

Ֆորմուլա հինգ

որտեղ Ռշրջագծված շրջանագծի շառավիղն է։

*Եթե հայտնի են եռանկյան երեք կողմերը և շրջագծված շրջանագծի շառավիղը, ապա մենք միշտ կարող ենք գտնել այդպիսի եռանկյան մակերեսը։

Հարց է առաջանում. եթե հայտնի են եռանկյան երեք կողմերը, ապա ավելի հեշտ չէ՞ Հերոնի բանաձևով գտնել դրա մակերեսը։

Այո, ավելի հեշտ է, բայց ոչ միշտ, երբեմն դժվարանում է։ Դա կապված է արմատների արդյունահանման հետ: Բացի այդ, այս բանաձևերը շատ հարմար են օգտագործելու այն խնդիրներում, որտեղ տրված է եռանկյան մակերեսը, տրված են նրա կողմերը և պահանջվում է գտնել ներգծված կամ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը: Նման առաջադրանքները ներառված են քննության մեջ։

Եկեք նայենք բանաձևին.

Դա պոլիգոնի տարածքի բանաձևի հատուկ դեպք է, որում շրջանագիծ է գրված.

Դիտարկենք այն հնգանկյունի օրինակով.

Շրջանի կենտրոնը կապում ենք այս հնգանկյան գագաթներով և ուղղահայացները գցում ենք կենտրոնից դեպի նրա կողմերը։ Մենք ստանում ենք հինգ եռանկյունի, ընդ որում, իջած ուղղահայացները ներգծված շրջանագծի շառավիղներն են.

Պենտագոնի մակերեսը հետևյալն է.

Այժմ պարզ է, որ եթե մենք խոսում ենք եռանկյունու մասին, ապա այս բանաձևը ստանում է ձևը.

Բանաձև վեց