V životě se často musíme potýkat s matematickými problémy: ve škole, na univerzitě a pak pomáháme svému dítěti s domácími úkoly. Lidé určitých profesí se budou s matematikou setkávat denně. Proto je užitečné si matematická pravidla zapamatovat nebo vybavit. V tomto článku budeme analyzovat jeden z nich: nalezení nohy pravoúhlého trojúhelníku.
Co je pravoúhlý trojúhelník
Nejprve si připomeňme, co je pravoúhlý trojúhelník. Pravoúhlý trojúhelník je geometrický obrazec tří segmentů, které spojují body, které neleží na stejné přímce, a jeden z úhlů tohoto obrazce je 90 stupňů. Strany, které svírají pravý úhel, se nazývají nohy a strana, která leží proti pravému úhlu, se nazývá přepona.
Hledání nohy pravoúhlého trojúhelníku
Existuje několik způsobů, jak zjistit délku nohy. Rád bych je zvážil podrobněji.
Pythagorova věta k nalezení ramene pravoúhlého trojúhelníku
Pokud známe přeponu a větev, pak můžeme zjistit délku neznámé věty pomocí Pythagorovy věty. Zní to takto: "Čtverec přepony se rovná součtu čtverců nohou." Vzorec: c²=a²+b², kde c je přepona, aab jsou nohy. Převedeme vzorec a dostaneme: a²=c²-b².
Příklad. Přepona je 5 cm a noha 3 cm Transformujeme vzorec: c²=a²+b² → a²=c²-b². Dále se rozhodneme: a²=5²-3²; a2=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Goniometrické vztahy k nalezení ramene pravoúhlého trojúhelníku
Je také možné najít neznámou nohu, pokud je známa jakákoli jiná strana a jakýkoli ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku. Existují čtyři možnosti, jak najít nohu pomocí goniometrických funkcí: podle sinus, kosinus, tečna, kotangens. K vyřešení problémů nám pomůže tabulka níže. Zvažme tyto možnosti.
Najděte nohu pravoúhlého trojúhelníku pomocí sinusu
Sinus úhlu (sin) je poměr opačné větve k přeponě. Vzorec: sin \u003d a / c, kde a je noha naproti danému úhlu a c je přepona. Dále vzorec transformujeme a dostaneme: a=sin*c.
Příklad. Přepona je 10 cm a úhel A je 30 stupňů. Podle tabulky vypočítáme sinus úhlu A, je roven 1/2. Potom pomocí transformovaného vzorce vyřešíme: a=sin∠A*c; a = 1/2 x 10; a=5 (cm).
Najděte nohu pravoúhlého trojúhelníku pomocí kosinusu
Kosinus úhlu (cos) je poměr přilehlé větve k přeponě. Vzorec: cos \u003d b / c, kde b je noha sousedící s daným úhlem a c je přepona. Převedeme vzorec a dostaneme: b=cos*c.
Příklad. Úhel A je 60 stupňů, přepona 10 cm Podle tabulky vypočítáme kosinus úhlu A, je roven 1/2. Dále řešíme: b=cos∠A*c; b = 1/2 x 10, b = 5 (cm).
Najděte nohu pravoúhlého trojúhelníku pomocí tečny
Tangenta úhlu (tg) je poměr protilehlé větve k sousední. Vzorec: tg \u003d a / b, kde a je noha naproti rohu a b sousedí. Transformujme vzorec a získáme: a=tg*b.
Příklad. Úhel A je 45 stupňů, přepona 10 cm Podle tabulky vypočítáme tangens úhlu A, rovná se Řešte: a=tg∠A*b; a = 1 x 10; a=10 (cm).
Najděte nohu pravoúhlého trojúhelníku pomocí kotangens
Kotangens úhlu (ctg) je poměr přilehlé větve k protější větvi. Vzorec: ctg \u003d b / a, kde b je noha sousedící s rohem a je opačná. Jinými slovy, kotangens je „převrácená tečna“. Dostaneme: b=ctg*a.
Příklad. Úhel A je 30 stupňů, protilehlá noha je 5 cm.Tečna úhlu A je podle tabulky √3. Vypočítejte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Nyní tedy víte, jak najít nohu v pravoúhlém trojúhelníku. Jak vidíte, není to tak těžké, hlavní věcí je zapamatovat si vzorce.
Naše studium trigonometrie začínáme pravoúhlým trojúhelníkem. Definujme si, co je sinus a kosinus, a také tangens a kotangens ostrého úhlu. Toto jsou základy trigonometrie.
Odvolej to pravý úhel je úhel rovný . Jinými slovy, polovina rozvinutého rohu.
Ostrý roh- menší.
Tupý úhel- větší. Ve vztahu k takovému úhlu není "tupé" urážka, ale matematický pojem :-)
Nakreslíme pravoúhlý trojúhelník. Obvykle se označuje pravý úhel. Všimněte si, že strana naproti rohu je označena stejným písmenem, pouze malým. Je tedy označena strana ležící proti úhlu.
Úhel je označen odpovídajícím řeckým písmenem.
Přepona Pravoúhlý trojúhelník je strana protilehlá pravému úhlu.
Nohy- strany proti ostrým rohům.
Noha naproti rohu se nazývá naproti(vzhledem k úhlu). Druhá noha, která leží na jedné straně rohu, se nazývá přilehlý.
Sinus ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protější větve k přeponě:
Kosinus ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku - poměr přilehlé nohy k přeponě:
Tečna ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku - poměr protilehlé nohy k sousední:
Další (ekvivalentní) definice: tangens ostrého úhlu je poměr sinu úhlu k jeho kosinu:
Kotangens ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku - poměr sousední větve k opačné (nebo ekvivalentně poměr kosinu a sinu):
Věnujte pozornost základním poměrům pro sinus, kosinus, tangens a kotangens, které jsou uvedeny níže. Budou se nám hodit při řešení problémů.
Pojďme si některé z nich dokázat.
1. Součet úhlů libovolného trojúhelníku je . Prostředek, součet dvou ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku je .
2. Jednak jako poměr protilehlé nohy k přeponě. Na druhou stranu, protože pro úhel bude noha sousedit.
Chápeme to. Jinými slovy, .
3. Vezměte Pythagorovu větu: . Rozdělme obě části takto:
Máme základní goniometrická identita:
Když tedy známe sinus úhlu, můžeme najít jeho kosinus a naopak.
4. Vydělením obou částí hlavní goniometrické identity číslem dostaneme:
To znamená, že pokud dostaneme tangens ostrého úhlu, můžeme okamžitě najít jeho kosinus.
Rovněž,
Dobře, dali jsme definice a napsané vzorce. Ale proč potřebujeme sinus, kosinus, tangens a kotangens?
Víme, že součet úhlů libovolného trojúhelníku je.
Známe vztah mezi strany pravoúhlý trojuhelník. Toto je Pythagorova věta: .
Ukazuje se, že když znáte dva úhly v trojúhelníku, můžete najít třetí. Když znáte dvě strany v pravoúhlém trojúhelníku, můžete najít třetí. Takže pro úhly - jejich poměr, pro strany - jejich vlastní. Co ale dělat, když v pravoúhlém trojúhelníku známe jeden úhel (kromě pravého) a jednu stranu, ale potřebujete najít další strany?
Tomu čelili lidé v minulosti, když dělali mapy oblasti a hvězdné oblohy. Koneckonců, není vždy možné přímo změřit všechny strany trojúhelníku.
Sinus, kosinus a tangens – také se jim říká goniometrické funkce úhlu- uveďte poměr mezi strany a rohy trojúhelník. Když znáte úhel, můžete najít všechny jeho goniometrické funkce pomocí speciálních tabulek. A když znáte sinus, kosinus a tangens úhlů trojúhelníku a jedné z jeho stran, můžete najít zbytek.
Nakreslíme také tabulku hodnot sinus, kosinus, tangens a kotangens pro "dobré" úhly od do.
Všimněte si dvou červených čárek v tabulce. Pro odpovídající hodnoty úhlů tangens a kotangens neexistují.
Pojďme analyzovat několik problémů v trigonometrii z úloh Bank of FIPI.
1. V trojúhelníku je úhel , . Najít .
Problém je vyřešen za čtyři sekundy.
Od , máme: .
2. V trojúhelníku je úhel , , . Najít . , je rovný polovina přepony.
Trojúhelník s úhly , a je rovnoramenný. V něm je přepona krát větší než noha.
Jedním z oborů matematiky, se kterým se školáci vyrovnávají s největšími obtížemi, je trigonometrie. Není divu: Abyste si mohli svobodně osvojit tuto oblast znalostí, potřebujete prostorové myšlení, schopnost najít sinus, kosinus, tangens, kotangens pomocí vzorců, zjednodušit výrazy a umět používat číslo pí ve výpočtech. Navíc při dokazování vět musíte umět používat trigonometrii, a to vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.
Počátky trigonometrie
Seznámení s touto vědou by mělo začít definicí sinus, kosinus a tangens úhlu, ale nejprve musíte zjistit, co dělá trigonometrie obecně.
Historicky byly pravoúhlé trojúhelníky hlavním předmětem studia v této části matematické vědy. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují určit hodnoty všech parametrů uvažovaného obrázku pomocí dvou stran a jednoho úhlu nebo dvou úhlů a jedné strany. V minulosti si lidé tohoto vzoru všimli a začali jej aktivně využívat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i umění.
První část
Zpočátku se o vztahu úhlů a stran mluvilo výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v každodenním životě tohoto úseku matematiky.
Studium trigonometrie ve škole dnes začíná pravoúhlými trojúhelníky, načež získané znalosti využijí studenti ve fyzice a řešení abstraktních goniometrických rovnic, s nimiž se začíná pracovat už na střední škole.
Sférická trigonometrie
Později, když věda dosáhla dalšího stupně vývoje, začaly se vzorce se sinusem, kosinus, tangens, kotangens používat ve sférické geometrii, kde platí jiná pravidla a součet úhlů v trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Tato část se ve škole nestuduje, ale je nutné o její existenci vědět, přinejmenším proto, že zemský povrch a povrch jakékoli jiné planety je konvexní, což znamená, že jakékoli označení povrchu bude mít „obloukový tvar“ v trojrozměrný prostor.
Vezměte glóbus a nit. Připojte nit k libovolným dvěma bodům na zeměkouli tak, aby byla napnutá. Věnujte pozornost - získal tvar oblouku. Právě takovými formami se zabývá sférická geometrie, která se používá v geodézii, astronomii a dalších teoretických i aplikovaných oborech.
Pravoúhlý trojuhelník
Poté, co jsme se dozvěděli něco málo o způsobech použití trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále pochopili, co je sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze s jejich pomocí provádět a jaké vzorce použít.
Prvním krokem je pochopení pojmů souvisejících s pravoúhlým trojúhelníkem. Za prvé, přepona je strana protilehlá úhlu 90 stupňů. Ta je nejdelší. Pamatujeme si, že podle Pythagorovy věty je jeho číselná hodnota rovna odmocnině součtu druhých mocnin ostatních dvou stran.
Pokud jsou například dvě strany 3 a 4 centimetry, délka přepony bude 5 centimetrů. Mimochodem, staří Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.
Dvě zbývající strany, které tvoří pravý úhel, se nazývají nohy. Navíc si musíme pamatovat, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlém souřadnicovém systému je 180 stupňů.
Definice
Nakonec, když dobře rozumíme geometrické základně, můžeme přejít k definici sinu, kosinu a tangens úhlu.
Sinus úhlu je poměr protilehlé větve (tj. strany protilehlé k požadovanému úhlu) k přeponě. Kosinus úhlu je poměr přilehlé větve k přeponě.
Pamatujte, že sinus ani kosinus nemohou být větší než jedna! Proč? Protože přepona je standardně nejdelší, bez ohledu na to, jak je noha dlouhá, bude kratší než přepona, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jedna. Pokud tedy v odpovědi na problém dostanete sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je zjevně špatná.
Konečně, tangens úhlu je poměr protilehlé strany k sousední straně. Stejný výsledek poskytne dělení sinusu kosinusem. Podívejte se: podle vzorce vydělíme délku strany přeponou, poté vydělíme délkou druhé strany a vynásobíme přeponou. Dostaneme tedy stejný poměr jako v definici tečny.
Kotangens, v tomto pořadí, je poměr strany přiléhající k rohu k opačné straně. Stejný výsledek dostaneme vydělením jednotky tečnou.
Takže jsme zvážili definice toho, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, a můžeme se zabývat vzorci.
Nejjednodušší vzorce
V trigonometrii se bez vzorců neobejdete – jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, kotangens? A to je přesně to, co je potřeba při řešení problémů.
První vzorec, který potřebujete znát, když začínáte studovat trigonometrii, říká, že součet druhých mocnin sinu a kosinu úhlu je roven jedné. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud chcete znát hodnotu úhlu, nikoli strany.
Mnoho studentů si nemůže vzpomenout na druhý vzorec, který je také velmi oblíbený při řešení školních úloh: součet jedné a druhé mocniny tečny úhlu je roven jedné dělené druhou mocninou kosinu úhlu. Podívejte se blíže: vždyť jde o stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny druhou mocninou kosinusu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace změní goniometrický vzorec zcela k nepoznání. Pamatujte: s vědomím, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, s pravidly převodu a několika základními vzorci, můžete kdykoli nezávisle odvodit požadované složitější vzorce na listu papíru.
Vzorce dvojitého úhlu a sčítání argumentů
Další dva vzorce, které se musíte naučit, souvisejí s hodnotami sinus a kosinus pro součet a rozdíl úhlů. Jsou znázorněny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus násobí oba časy a ve druhém se sčítá párový součin sinus a kosinus.
Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od předchozích - v praxi se je snažte získat sami, přičemž úhel alfa se rovná úhlu beta.
Nakonec si všimněte, že vzorce dvojitého úhlu lze převést tak, aby se snížil stupeň sinusu, kosinusu a tečny alfa.
Věty
Dvě hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinová věta a kosinová věta. S pomocí těchto teorémů můžete snadno pochopit, jak najít sinus, kosinus a tečnu, a tedy plochu obrázku a velikost každé strany atd.
Sinusová věta říká, že v důsledku dělení délky každé ze stran trojúhelníku hodnotou opačného úhlu dostaneme stejné číslo. Navíc se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům kružnice opsané, tedy kružnice obsahující všechny body daného trojúhelníku.
Kosinová věta zobecňuje Pythagorovu větu a promítá ji na libovolné trojúhelníky. Ukazuje se, že od součtu čtverců dvou stran odečtěte jejich součin, vynásobený dvojitým kosinusem úhlu, který k nim přiléhá - výsledná hodnota se bude rovnat čtverci třetí strany. Pythagorova věta se tedy ukazuje jako speciální případ kosinové věty.
Chyby způsobené nepozorností
I když víte, co je sinus, kosinus a tangens, je snadné udělat chybu kvůli roztržitosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abychom se vyhnuli takovým chybám, pojďme se seznámit s nejoblíbenějšími z nich.
Za prvé, neměli byste převádět obyčejné zlomky na desetinná místa, dokud nezískáte konečný výsledek – odpověď můžete ponechat jako obyčejný zlomek, pokud podmínka nestanoví jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba mít na paměti, že v každé fázi úkolu se mohou objevit nové kořeny, které by podle představy autora měly být redukovány. V tomto případě budete ztrácet čas zbytečnými matematickými operacemi. To platí zejména pro hodnoty, jako je odmocnina ze tří nebo dvou, protože se vyskytují v úkolech na každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování „ošklivých“ čísel.
Dále si všimněte, že kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale ne pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojnásobek součinu stran vynásobeného kosinusem úhlu mezi nimi, dostanete nejen zcela špatný výsledek, ale také prokážete naprosté nepochopení předmětu. To je horší než nedbalá chyba.
Zatřetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosinus, tangens, kotangens. Pamatujte si tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinu 60 a naopak. Je snadné je zamíchat, v důsledku čehož nevyhnutelně získáte chybný výsledek.
aplikace
Mnoho studentů se studiem trigonometrie nespěchá, protože nerozumí jejímu aplikovanému významu. Co je sinus, kosinus, tangens pro inženýra nebo astronoma? Jde o koncepty, díky kterým můžete vypočítat vzdálenost ke vzdáleným hvězdám, předpovědět pád meteoritu, poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich není možné postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení povrchu nebo trajektorii objektu. A to jsou jen ty nejviditelnější příklady! Ostatně trigonometrie v té či oné formě se používá všude, od hudby po medicínu.
Konečně
Takže jste sinus, kosinus, tangens. Můžete je použít ve výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.
Celá podstata trigonometrie se scvrkává na skutečnost, že neznámé parametry se musí vypočítat ze známých parametrů trojúhelníku. Parametrů je celkem šest: délky tří stran a velikosti tří úhlů. Celý rozdíl v úlohách spočívá v tom, že jsou dána různá vstupní data.
Jak najít sinus, kosinus, tečnu na základě známých délek nohou nebo přepony, nyní víte. Protože tyto pojmy neznamenají nic jiného než poměr a poměr je zlomek, hlavním cílem goniometrické úlohy je najít kořeny obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže běžná školní matematika.
Kapitola I. Řešení pravoúhlých trojúhelníků
§3 (37). Základní poměry a úkoly
V trigonometrii se zvažují problémy, ve kterých je nutné vypočítat určité prvky trojúhelníku dostatečným počtem číselných hodnot jeho daných prvků. Tyto úkoly se obvykle označují jako rozhodnutí trojúhelník.
Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník, C pravý úhel, A a b- nohy protilehlé ostrým úhlům A a B, s- přepona (obr. 3);
pak máme:
Kosinus ostrého úhlu je poměr přilehlé nohy k přeponě:
cos A = b/ C, cos B = a / C (1)
Sinus ostrého úhlu je poměr protilehlé nohy k přeponě:
hřích A = a / C, hřích B = b/ C (2)
Tangenta ostrého úhlu je poměr protilehlé větve k sousední větvi:
opálení A = a / b, tg B = b/ A (3)
Kotangens ostrého úhlu je poměr sousedního ramene k opačnému ramenu:
ctgA= b/ A, ctg B = a / b (4)
Součet ostrých úhlů je 90°.
Základní úlohy pro pravoúhlé trojúhelníky.
Úkol I. Vzhledem k přeponě a jednomu z ostrých úhlů vypočítejte ostatní prvky.
Rozhodnutí. Nechat dáno s a A. Úhel B = 90° - A je také znám; nohy se nalézají ze vzorců (1) a (2).
a = c sinA, b = c protože A.
Úkol II . Vzhledem k noze a jednomu z ostrých úhlů vypočítejte ostatní prvky.
Rozhodnutí. Nechat dáno A a A. Úhel B = 90° - A je známý; ze vzorců (3) a (2) zjistíme:
b = A tg B (= A ctg A), s = A/hřích A
Úkol III. S ohledem na nohu a přeponu vypočítejte zbývající prvky.
Rozhodnutí. Nechat dáno A a s(a A< с ). Z rovnosti (2) najdeme úhel A:
hřích A = a / C a A = obloukový hřích a / C ,
a nakonec noha b:
b = s cos A (= s hřích B).
Úkol IV. Nohy a a b jsou dány k nalezení dalších prvků.
Rozhodnutí. Z rovnosti (3) najdeme ostrý úhel, například A:
tg A = a / b, A = arctan a / b ,
úhel B \u003d 90 ° - A,
přepona: C = A/sin A (= b/sinB; = A/cos B)
Níže je uveden příklad řešení pravoúhlého trojúhelníku pomocí logaritmických tabulek*.
* Výpočet prvků pravoúhlých trojúhelníků podle přirozených tabulek je znám z kurzu geometrie třídy VIII.
Při výpočtu pomocí logaritmických tabulek je třeba zapsat odpovídající vzorce, prologaritmovat je, dosadit číselná data, najít požadované logaritmy známých prvků (nebo jejich goniometrické funkce) z tabulek, vypočítat logaritmy požadovaných prvků (nebo jejich goniometrické funkce). ) a najděte požadované prvky z tabulek.
Příklad. Dana noha A= 166,1 a přepona s= 187,3; vypočítat ostré úhly, druhou nohu a plochu.
Rozhodnutí. My máme:
hřích A = a / C; lg sin A = lg A-lg C; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Vypočítáme nohu b:
b = a tg B; lg b= log b+ lg tg B; 
Plochu trojúhelníku lze vypočítat pomocí vzorce
S = 1/2 ab = 0,5 A 2 tg B; 
Pro kontrolu vypočítáme úhel A na posuvném pravítku:
\u003d obloukový hřích a / C= obloukový hřích 166 / 187 ≈ 62°.
Poznámka. noha b lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty pomocí tabulek druhých mocnin a odmocnin (tabulky III a IV):
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Nesoulad s dříve získanou hodnotou b= 86.48 je vysvětleno chybami tabulek, které udávají přibližné hodnoty funkcí. Výsledek 86,54 je přesnější.
Jak vidíte, tato kružnice je postavena v kartézském souřadnicovém systému. Poloměr kružnice je roven jedné, zatímco střed kružnice leží v počátku, počáteční poloha vektoru poloměru je fixována podél kladného směru osy (v našem příkladu je to poloměr).
Každý bod kružnice odpovídá dvěma číslům: souřadnici podél osy a souřadnici podél osy. Jaká jsou tato čísla souřadnic? A obecně, co mají společného s daným tématem? Chcete-li to provést, nezapomeňte na uvažovaný pravoúhlý trojúhelník. Na obrázku výše můžete vidět dva celé pravoúhlé trojúhelníky. Zvažte trojúhelník. Je obdélníkový, protože je kolmý k ose.
Co se rovná z trojúhelníku? To je správně. Kromě toho víme, že je poloměr jednotkové kružnice, a proto, . Dosaďte tuto hodnotu do našeho kosinusového vzorce. Co se stane:
A co se rovná z trojúhelníku? No samozřejmě,! Dosaďte hodnotu poloměru do tohoto vzorce a získáte:
Můžete mi tedy říci, jaké jsou souřadnice bodu, který patří do kruhu? No, v žádném případě? A pokud si to uvědomujete a jsou to jen čísla? Jaké souřadnici odpovídá? No, samozřejmě, souřadnice! Jaké souřadnici odpovídá? Přesně tak, koordinujte! Tedy bod.
A co jsou si tedy rovni a? Správně, použijme vhodné definice tečny a kotangens a dosáhněte toho, a.
Co když je úhel větší? Zde například jako na tomto obrázku:
Co se v tomto příkladu změnilo? Pojďme na to přijít. K tomu se opět otočíme do pravoúhlého trojúhelníku. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník: úhel (jako sousedící s úhlem). Jakou hodnotu má sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu? Správně, dodržujeme odpovídající definice goniometrických funkcí:
No, jak vidíte, hodnota sinusu úhlu stále odpovídá souřadnici; hodnota kosinusu úhlu - souřadnice; a hodnoty tečny a kotangens k odpovídajícím poměrům. Tyto vztahy jsou tedy použitelné pro libovolné rotace vektoru poloměru.
Již bylo zmíněno, že počáteční poloha vektoru poloměru je podél kladného směru osy. Dosud jsme tento vektor otáčeli proti směru hodinových ručiček, ale co se stane, když jej otočíme po směru hodinových ručiček? Nic mimořádného, získáte také úhel určité velikosti, ale pouze negativní. Při otáčení vektoru poloměru proti směru hodinových ručiček tedy dostaneme kladné úhly a při otáčení ve směru hodinových ručiček - záporný.
Víme tedy, že celá otáčka vektoru poloměru kolem kružnice je nebo. Je možné otočit vektor poloměru o nebo o? No, samozřejmě, že můžete! V prvním případě tedy vektor poloměru udělá jednu úplnou otáčku a zastaví se na pozici resp.
V druhém případě, to znamená, že vektor poloměru provede tři úplné otáčky a zastaví se v poloze resp.
Z výše uvedených příkladů tedy můžeme usoudit, že úhly, které se liší o nebo (kde je jakékoli celé číslo), odpovídají stejné poloze vektoru poloměru.
Obrázek níže ukazuje úhel. Stejný obrázek odpovídá rohu a tak dále. Tento seznam může pokračovat donekonečna. Všechny tyto úhly lze zapsat obecným vzorcem nebo (kde je jakékoli celé číslo)
Nyní, když znáte definice základních goniometrických funkcí a pomocí jednotkového kruhu, zkuste odpovědět, čemu se hodnoty rovnají:
Zde je kruh jednotek, který vám pomůže:
Nějaké potíže? Tak na to pojďme přijít. Takže víme, že:
Odtud určíme souřadnice bodů odpovídající určitým mírám úhlu. No, začněme popořadě: roh v odpovídá bodu se souřadnicemi, proto:
Neexistuje;
Dále, při dodržení stejné logiky, zjistíme, že rohy v odpovídají bodům se souřadnicemi, resp. S vědomím toho je snadné určit hodnoty goniometrických funkcí v odpovídajících bodech. Nejprve si to vyzkoušejte sami a poté zkontrolujte odpovědi.
Odpovědi:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Můžeme tedy vytvořit následující tabulku:
Není potřeba si všechny tyto hodnoty pamatovat. Stačí si zapamatovat shodu mezi souřadnicemi bodů na jednotkové kružnici a hodnotami goniometrických funkcí:
Ale hodnoty goniometrických funkcí úhlů v a uvedené v tabulce níže, je třeba mít na paměti:
Nebojte se, nyní si ukážeme jeden z příkladů poměrně jednoduché zapamatování odpovídajících hodnot:
Chcete-li použít tuto metodu, je důležité zapamatovat si hodnoty sinus pro všechny tři míry úhlu () a také hodnotu tečny úhlu in. Se znalostí těchto hodnot je docela snadné obnovit celou tabulku - hodnoty kosinus se přenášejí podle šipek, to znamená:
Když to víte, můžete obnovit hodnoty pro. Čitatel „ “ bude odpovídat a jmenovatel „ “ bude odpovídat. Hodnoty kotangens se přenášejí v souladu se šipkami znázorněnými na obrázku. Pokud tomu rozumíte a pamatujete si diagram se šipkami, pak bude stačit zapamatovat si celou hodnotu z tabulky.
Souřadnice bodu na kružnici
Je možné najít bod (jeho souřadnice) na kružnici, znát souřadnice středu kružnice, její poloměr a úhel natočení?
No, samozřejmě, že můžete! Pojďme vynést obecný vzorec pro zjištění souřadnic bodu.
Zde máme například takový kruh:
Je nám dáno, že bod je středem kružnice. Poloměr kruhu je stejný. Je nutné najít souřadnice bodu získané otočením bodu o stupně.
Jak je vidět z obrázku, souřadnice bodu odpovídá délce segmentu. Délka segmentu odpovídá souřadnici středu kruhu, to znamená, že se rovná. Délku segmentu lze vyjádřit pomocí definice kosinu:
Pak to máme pro bod souřadnici.
Stejnou logikou zjistíme hodnotu souřadnice y bodu. Tím pádem,
Obecně se tedy souřadnice bodů určují podle vzorců:
Souřadnice středu kruhu,
poloměr kruhu,
Úhel natočení vektoru poloměru.
Jak vidíte, pro jednotkovou kružnici, kterou uvažujeme, jsou tyto vzorce výrazně omezeny, protože souřadnice středu jsou nulové a poloměr je roven jedné:
No, zkusíme pro chuť tyto vzorce, procvičíme si hledání bodů na kruhu?
1. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu.
2. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu na.
3. Najděte souřadnice bodu na jednotkové kružnici získané otočením bodu.
4. Bod - střed kruhu. Poloměr kruhu je stejný. Je nutné najít souřadnice bodu získané otočením vektoru počátečního poloměru o.
5. Bod - střed kruhu. Poloměr kruhu je stejný. Je nutné najít souřadnice bodu získané otočením vektoru počátečního poloměru o.
Máte problém najít souřadnice bodu na kružnici?
Vyřešte těchto pět příkladů (nebo řešení dobře pochopte) a naučíte se je najít!
1.
Je to vidět. A víme, co odpovídá úplnému otočení výchozího bodu. Požadovaný bod bude tedy ve stejné poloze jako při otáčení. Když to víme, najdeme požadované souřadnice bodu:
2. Kruh je jednotka se středem v bodě, což znamená, že můžeme použít zjednodušené vzorce:
Je to vidět. Víme, co odpovídá dvěma úplným otočením výchozího bodu. Požadovaný bod bude tedy ve stejné poloze jako při otáčení. Když to víme, najdeme požadované souřadnice bodu:
Sinus a kosinus jsou tabulkové hodnoty. Pamatujeme si jejich hodnoty a dostáváme:
Požadovaný bod má tedy souřadnice.
3. Kruh je jednotka se středem v bodě, což znamená, že můžeme použít zjednodušené vzorce:
Je to vidět. Znázorněme uvažovaný příklad na obrázku:
Poloměr svírá s osou úhly rovné a. S vědomím, že tabulkové hodnoty kosinusu a sinusu jsou stejné, a po zjištění, že kosinus zde nabývá záporné hodnoty a sinus je kladný, máme:
Podobné příklady jsou podrobněji rozebrány při studiu vzorců pro redukování goniometrických funkcí v tématu.
Požadovaný bod má tedy souřadnice.
4.
Úhel natočení vektoru poloměru (podle podmínky)
Abychom určili odpovídající znaménka sinus a kosinus, sestrojíme jednotkovou kružnici a úhel:
Jak vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, tedy záporná. Když známe tabulkové hodnoty odpovídajících goniometrických funkcí, získáme, že:
Dosadíme získané hodnoty do našeho vzorce a najdeme souřadnice:
Požadovaný bod má tedy souřadnice.
5. K vyřešení tohoto problému používáme vzorce v obecném tvaru, kde
Souřadnice středu kruhu (v našem příkladu
Poloměr kruhu (podle podmínky)
Úhel natočení vektoru poloměru (podle podmínky).
Nahraďte všechny hodnoty do vzorce a získejte:
a - tabulkové hodnoty. Zapamatujeme si je a dosadíme do vzorce:
Požadovaný bod má tedy souřadnice.
SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE
Sinus úhlu je poměr opačné (vzdálené) nohy k přeponě.
Kosinus úhlu je poměr přilehlé (blízké) větve k přeponě.
Tangenta úhlu je poměr protilehlé (vzdálené) nohy k sousední (blízké).
Kotangens úhlu je poměr přilehlé (blízké) nohy k opačné (daleké).
