দুটি কোণকে উল্লম্ব বলা হয় যদি একটি কোণের বাহু অন্য কোণের বাহুর সম্প্রসারণ হয়।
চিত্রটি কোণগুলি দেখায় 1 এবং 3 , সেইসাথে কোণ 2 এবং 4 - উল্লম্ব। ইনজেকশন 2 উভয় কোণ সংলগ্ন 1 , এবং কোণ সহ 3. সন্নিহিত কোণের সম্পত্তি অনুসারে 1 +2 =180 0 এবং 3 +2 =1800। এখান থেকে আমরা পাই: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. এইভাবে, কোণের ডিগ্রি পরিমাপ 1 এবং 3 সমান. এটি অনুসরণ করে যে কোণগুলি নিজেই সমান। সুতরাং উল্লম্ব কোণগুলি সমান।
2. ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন।
যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ যথাক্রমে দুটি বাহুর সমান এবং অন্য ত্রিভুজের মধ্যবর্তী কোণ হয়, তাহলে এই জাতীয় ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
যদি একটি ত্রিভুজের একটি বাহু এবং দুটি সন্নিহিত কোণ যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের একটি বাহুর এবং দুটি সন্নিহিত কোণের সমান হয়, তাহলে এই ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয়।
3. যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হয়, তবে এই ত্রিভুজগুলি সমান।
ত্রিভুজের সমতার 1টি চিহ্ন:
ABC এবং A 1 B 1 C 1 ত্রিভুজ বিবেচনা করুন, যেখানে AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, কোণ A এবং A 1 সমান। আসুন প্রমাণ করি যে ABC=A 1 B 1 C 1।
যেহেতু (y) A \u003d (y) A 1, তাহলে ত্রিভুজ ABC কে ত্রিভুজ A 1 B 1 C 1 এর উপর সুপারইম্পোজ করা যেতে পারে যাতে শীর্ষবিন্দু A শীর্ষবিন্দু A1 এর সাথে সারিবদ্ধ হয় এবং AB এবং AC বাহুগুলিকে সুপারইম্পোজ করা হয়, যথাক্রমে, A 1 B 1 এবং A 1 C 1 রশ্মিতে। যেহেতু AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, তারপর পাশের AB পাশে A 1 B 1 এবং পাশের AC - পাশে A 1 C 1 এর সাথে মিলিত হবে; বিশেষ করে, পয়েন্ট B এবং B 1 , C এবং C 1 মিলে যাবে। অতএব, BC এবং B 1 C 1 বাহুগুলি সারিবদ্ধ হবে। সুতরাং, ABC এবং A 1 B 1 C 1 ত্রিভুজ সম্পূর্ণরূপে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যার মানে তারা সমান। সিটিডি
3. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডিত উপপাদ্য।
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ভিত্তির দিকে টানা দ্বিখন্ড হল মধ্যমা এবং উচ্চতা।
আসুন চিত্রে ফিরে যাই, যেখানে ABC হল একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ভিত্তি BC, AD হল এর দ্বিখণ্ডক।
ABD এবং ACD ত্রিভুজের সমতা থেকে (ত্রিভুজের সমতার জন্য ২য় মানদণ্ড অনুসারে: AD সাধারণ; কোণ 1 এবং 2 সমান কারণ AD-দ্বিখণ্ডক; AB=AC, কারণ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু) এটি অনুসরণ করে যে BD = DC এবং 3 = 4। সমতা BD = DC মানে হল বিন্দু D হল বাহুর BC এর মধ্যবিন্দু এবং তাই AD হল ABC ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু। যেহেতু 3 এবং 4 কোণগুলি একে অপরের সংলগ্ন এবং সমান, তাই তারা সমকোণ। অতএব, রেখাংশ AO হল ত্রিভুজ ABC-এর উচ্চতাও। সিএইচটিডি।
4. যদি রেখাগুলি সমান্তরাল হয় -> কোণ…. (ঐচ্ছিক)
5. যদি কোণ ... ..-> লাইনগুলি সমান্তরাল হয় (ঐচ্ছিক)
যদি একটি সেকেন্টের দুটি রেখার সংযোগস্থলে সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান হয়, তবে রেখাগুলি সমান্তরাল হয়।
অনুরূপ কোণ সহ সেক্যান্টের লাইন a এবং b এর সংযোগস্থলে সমান হতে দিন, উদাহরণস্বরূপ 1=2।
যেহেতু কোণ 2 এবং 3 উল্লম্ব, তারপর 2=3। এই দুটি সমতা থেকে এটি 1=3 অনুসরণ করে। কিন্তু কোণ 1 এবং 3 আড়াআড়ি, তাই লাইন a এবং b সমান্তরাল। সিএইচটিডি।
6. একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টির উপর উপপাদ্য।
একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180 0.
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ ABC বিবেচনা করুন এবং প্রমাণ করুন যে A+B+C=180 0।
আসুন আমরা পাশের AC এর সমান্তরাল শীর্ষবিন্দু B এর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকি। কোণ 1 এবং 4 হল সেক্যান্ট AB দ্বারা সমান্তরাল রেখা a এবং AC-এর ছেদস্থলে আড়াআড়িভাবে শুয়ে থাকা কোণ এবং 3 এবং 5 কোণগুলি হল BC সেক্যান্ট দ্বারা একই সমান্তরাল রেখাগুলির ছেদকে আড়াআড়িভাবে শুয়ে থাকা কোণ৷ অতএব (1)4=1; ৫=৩।
স্পষ্টতই, 4, 2 এবং 5 কোণের যোগফল বি শীর্ষবিন্দু সহ সরল কোণের সমান, অর্থাৎ 4+2+5=1800। তাই, সমতা (1) বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই: 1+2+3=180 0 বা A+B+C=180 0।
7. সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন।
1. সমান্তরালতার প্রথম চিহ্ন।
যদি, তৃতীয়টির সাথে দুটি রেখার সংযোগস্থলে, জুড়ে থাকা অভ্যন্তরীণ কোণগুলি সমান হয়, তবে এই রেখাগুলি সমান্তরাল।
রেখা AB এবং CD রেখা EF এবং ∠1 = ∠2 দ্বারা ছেদ করা যাক। O বিন্দু ধরা যাক - সেক্যান্ট EF (চিত্র) এর KL সেগমেন্টের মাঝখানে।
চলুন আমরা লম্ব OM বিন্দু থেকে O বিন্দু থেকে AB রেখায় বাদ দিই এবং এটি চালিয়ে যাই যতক্ষণ না এটি লাইন CD, AB ⊥ MN এর সাথে ছেদ করে। আসুন প্রমাণ করি যে CD ⊥ MN পাশাপাশি।
এটি করার জন্য, দুটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন: MOE এবং NOK। এই ত্রিভুজগুলো একে অপরের সমান। প্রকৃতপক্ষে: উপপাদ্যের অনুমান দ্বারা ∠1 = ∠2; ঠিক আছে = OL - নির্মাণ দ্বারা;
∠MOL = ∠NOK উল্লম্ব কোণ হিসাবে। এইভাবে, একটি ত্রিভুজের বাহু এবং তার সংলগ্ন দুটি কোণ যথাক্রমে অন্য ত্রিভুজের বাহুর সমান এবং এর সংলগ্ন দুটি কোণ; অতএব, ΔMOL = ΔNOK, এবং তাই ∠LMO = ∠KNO,
কিন্তু ∠LMO সরাসরি, তাই ∠KNOও সরাসরি। এইভাবে, রেখা AB এবং CD একই রেখা MN এর লম্ব, তাই, তারা সমান্তরাল, যা প্রমাণ করা উচিত ছিল।
বিঃদ্রঃ. MO এবং CD রেখার ছেদ ত্রিভুজ MOL কে O বিন্দুর চারপাশে 180° ঘোরানোর মাধ্যমে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে।
2. সমান্তরালতার দ্বিতীয় চিহ্ন।
আসুন দেখি রেখা AB এবং CD সমান্তরাল কিনা, যদি তাদের তৃতীয় লাইন EF-এর ছেদস্থলে, সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান হয়।
কিছু সংশ্লিষ্ট কোণ সমান হতে দিন, উদাহরণস্বরূপ ∠ 3 = ∠2 (চিত্র);
∠3 = ∠1 উল্লম্ব কোণ হিসাবে; তাই ∠2 ∠1 এর সমান হবে। কিন্তু কোণ 2 এবং 1 হল অভ্যন্তরীণ আড়াআড়ি কোণ, এবং আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে যদি দুটি রেখাকে তৃতীয় দ্বারা ছেদ করে, অভ্যন্তরীণ আড়াআড়ি কোণগুলি সমান হয়, তাহলে এই রেখাগুলি সমান্তরাল। অতএব, AB || সিডি।
যদি তৃতীয়টির দুটি রেখার সংযোগস্থলে সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান হয়, তবে এই দুটি রেখা সমান্তরাল।
একটি শাসক এবং একটি অঙ্কন ত্রিভুজের সাহায্যে সমান্তরাল রেখার নির্মাণ এই সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে। এটি নিম্নরূপ করা হয়।
আসুন চিত্রে দেখানো হিসাবে রুলারের সাথে একটি ত্রিভুজ সংযুক্ত করি। আমরা ত্রিভুজটিকে সরাব যাতে এটির এক পাশ শাসকের সাথে স্লাইড করে এবং ত্রিভুজের অন্য কোন পাশে বেশ কয়েকটি সরল রেখা আঁকতে পারে। এই লাইনগুলি সমান্তরাল হবে।
3. সমান্তরালতার তৃতীয় চিহ্ন।
আসুন জেনে নেওয়া যাক যে দুটি রেখা AB এবং CD তৃতীয় লাইন দ্বারা ছেদ করলে, যেকোনো অভ্যন্তরীণ একমুখী কোণের সমষ্টি 2 এর সমান d(বা 180°)। এই ক্ষেত্রে রেখা AB এবং CD কি সমান্তরাল হবে (চিত্র)।
∠1 এবং ∠2 একতরফা অভ্যন্তরীণ কোণ হতে দিন এবং 2 পর্যন্ত যোগ করুন d.
কিন্তু ∠3 + ∠2 = 2 dসন্নিহিত কোণ হিসাবে। অতএব, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2।
তাই ∠1 = ∠3, এবং এই অভ্যন্তরীণ কোণগুলি ক্রসওয়াইজ। অতএব, AB || সিডি।
দুই লাইনের এক তৃতীয়াংশ ছেদ করলে, অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণের সমষ্টি সমান হয় 2 d (বা 180°), তারপর দুটি লাইন সমান্তরাল।
সমান্তরাল রেখার চিহ্ন:
1. যদি দুটি সরল রেখাকে তৃতীয় দ্বারা ছেদ করে, অভ্যন্তরীণ ক্রস লাইং কোণগুলি সমান হয়, তবে এই রেখাগুলি সমান্তরাল।2. যদি তৃতীয়টির দুটি রেখার সংযোগস্থলে, সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান হয়, তবে এই দুটি রেখা সমান্তরাল।
3. যদি তৃতীয়টির দুটি রেখার সংযোগস্থলে, অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণের সমষ্টি 180° হয়, তবে এই দুটি রেখা সমান্তরাল।
4. যদি দুটি রেখা তৃতীয় রেখার সমান্তরাল হয়, তবে তারা একে অপরের সমান্তরাল।
5. যদি দুটি রেখা তৃতীয় রেখার লম্ব হয়, তাহলে তারা একে অপরের সমান্তরাল।
ইউক্লিডের সমান্তরালতার স্বতঃসিদ্ধ
টাস্ক। AB রেখার বাইরে নেওয়া M বিন্দুর মাধ্যমে, AB রেখার সমান্তরাল একটি রেখা আঁকুন।
রেখার সমান্তরালতার লক্ষণগুলিতে প্রমাণিত উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করে, এই সমস্যাটি বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে,
সিদ্ধান্ত. 1ম s o s o b (চিত্র 199)।
আমরা MN⊥AB আঁকি এবং M বিন্দু দিয়ে আমরা CD⊥MN আঁকি;
আমরা CD⊥MN এবং AB⊥MN পাই।
উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে ("যদি দুটি রেখা একই রেখায় লম্ব হয়, তবে তারা সমান্তরাল।") আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে СD || এবি
2য় s p o s o b (চিত্র 200)।
আমরা যেকোন কোণ α এ AB কে ছেদ করে একটি MK আঁকি, এবং M বিন্দুর মাধ্যমে আমরা একটি সরল রেখা EF আঁকি, একটি সরল রেখা MK সহ একটি কোণ EMK গঠন করি, কোণ α এর সমান। উপপাদ্য () এর উপর ভিত্তি করে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে EF || এবি
এই সমস্যাটি সমাধান করার পরে, আমরা বিবেচনা করতে পারি যে এটি প্রমাণিত যে কোন বিন্দু M এর মাধ্যমে, রেখা AB এর বাইরে নেওয়া, এটির সমান্তরাল রেখা আঁকা সম্ভব। প্রশ্ন জাগে, একটি প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল এবং একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া কতটি রেখা বিদ্যমান থাকতে পারে?
নির্মাণের অনুশীলন আমাদের অনুমান করতে দেয় যে এই ধরনের একটি মাত্র রেখা রয়েছে, যেহেতু একটি সাবধানে সঞ্চালিত অঙ্কন সহ, একই লাইনের সমান্তরাল একই বিন্দুর মাধ্যমে বিভিন্ন উপায়ে আঁকা রেখাগুলি।
তত্ত্বগতভাবে, এই প্রশ্নের উত্তর ইউক্লিডের সমান্তরালতার তথাকথিত স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা দেওয়া হয়; এটি এই মত প্রণয়ন করা হয়:
একটি প্রদত্ত রেখার বাইরে নেওয়া একটি বিন্দুর মাধ্যমে, এই রেখার সমান্তরালে শুধুমাত্র একটি রেখা টানা যায়।
অঙ্কন 201-এ, সরলরেখা AB-এর সমান্তরাল O বিন্দু দিয়ে একটি সরল রেখা SK আঁকা হয়েছে।
O বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া অন্য কোনো রেখা আর AB রেখার সমান্তরাল থাকবে না, কিন্তু একে ছেদ করবে।
ইউক্লিড তার এলিমেন্টে গৃহীত স্বতঃসিদ্ধ, যা বলে যে একটি প্রদত্ত রেখার বাইরে নেওয়া বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সমতলে, এই রেখার সমান্তরালে শুধুমাত্র একটি রেখা টানা যায়, তাকে বলা হয় ইউক্লিডের সমান্তরালতার স্বতঃসিদ্ধ.
ইউক্লিডের পরে দুই হাজার বছরেরও বেশি সময় ধরে, অনেক গণিতবিদ এই গাণিতিক প্রস্তাবটি প্রমাণ করার চেষ্টা করেছিলেন, কিন্তু তাদের প্রচেষ্টা সর্বদা ব্যর্থ হয়েছিল। শুধুমাত্র 1826 সালে মহান রাশিয়ান বিজ্ঞানী, কাজান বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক নিকোলাই ইভানোভিচ লোবাচেভস্কি প্রমাণ করেছিলেন যে, অন্যান্য সমস্ত ইউক্লিডের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে, এই গাণিতিক প্রস্তাবটি প্রমাণ করা যায় না যে এটিকে সত্যিই একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে নেওয়া উচিত। এন.আই. লোবাচেভস্কি একটি নতুন জ্যামিতি তৈরি করেছিলেন, যেটিকে ইউক্লিডের জ্যামিতির বিপরীতে লোবাচেভস্কির জ্যামিতি বলা হয়।
এবিএবং সঙ্গেডিতৃতীয় লাইন দ্বারা অতিক্রম এমএন, তাহলে এই ক্ষেত্রে গঠিত কোণগুলি জোড়ায় নিম্নলিখিত নামগুলি গ্রহণ করে:সংশ্লিষ্ট কোণ: 1 এবং 5, 4 এবং 8, 2 এবং 6, 3 এবং 7;
অভ্যন্তরীণ আড়াআড়ি কোণ: 3 এবং 5, 4 এবং 6;
বাহ্যিক আড়াআড়ি কোণ: 1 এবং 7, 2 এবং 8;
অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণ: 3 এবং 6, 4 এবং 5;
বাহ্যিক একতরফা কোণ: 1 এবং 8, 2 এবং 7।
সুতরাং, ∠ 2 = ∠ 4 এবং ∠ 8 = ∠ 6, কিন্তু প্রমাণিত ∠ 4 = ∠ 6 দ্বারা।
অতএব, ∠ 2 = ∠ 8।
3. নিজ নিজ কোণ 2 এবং 6 একই, যেহেতু ∠ 2 = ∠ 4, এবং ∠ 4 = ∠ 6। আমরা নিশ্চিত করি যে অন্যান্য সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান।
4. সমষ্টি অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণ 3 এবং 6 হবে 2d কারণ যোগফল সংলগ্ন কোণে 3 এবং 4 সমান 2d = 180 0, এবং ∠ 4 অভিন্ন ∠ 6 দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। এছাড়াও নিশ্চিত করুন যে কোণের সমষ্টি 4 এবং 5 সমান 2d।
5. সমষ্টি বাহ্যিক একতরফা কোণ 2d হবে কারণ এই কোণগুলি যথাক্রমে সমান অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণকোণ মত উল্লম্ব.
উপরে প্রমাণিত ন্যায্যতা থেকে, আমরা প্রাপ্ত বিপরীত উপপাদ্য।
যখন, একটি নির্বিচারে তৃতীয় লাইনের দুটি লাইনের সংযোগস্থলে, আমরা এটি পাই:
1. অভ্যন্তরীণ ক্রস মিথ্যা কোণ একই;
বা 2বহিরাগত ক্রস মিথ্যা কোণ একই;
বা 3.সংশ্লিষ্ট কোণ একই;
বা 4.অভ্যন্তরীণ একমুখী কোণের সমষ্টি 2d = 180 0 এর সমান;
বা 5.বাইরের একতরফাটির যোগফল 2d = 180 0 ,
তারপর প্রথম দুটি লাইন সমান্তরাল।
দুটি লাইনের সমান্তরালতার চিহ্ন
উপপাদ্য 1. যদি একটি সেক্যান্টের দুটি লাইনের সংযোগস্থলে থাকে:
তির্যকভাবে শুয়ে থাকা কোণগুলি সমান, বা
সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান, বা
তখন একতরফা কোণের যোগফল 180°
লাইনগুলি সমান্তরাল(ডুমুর। 1).
প্রমাণ। আমরা কেস 1 এর প্রমাণের মধ্যে নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখি।
মনে করুন যে রেখার ছেদস্থলে a এবং b একটি সেকেন্ট AB দ্বারা শুয়ে থাকা কোণগুলি সমান। উদাহরণস্বরূপ, ∠ 4 = ∠ 6. আসুন প্রমাণ করি যে a || খ.
অনুমান করুন যে লাইন a এবং b সমান্তরাল নয়। তারপর তারা M এ ছেদ করে এবং ফলস্বরূপ, 4 বা 6 কোণের একটি হবে ত্রিভুজ ABM-এর বাহ্যিক কোণ। ধরুন, সুনির্দিষ্টতার জন্য, ∠ 4 হল ত্রিভুজ ABM-এর বাইরের কোণ এবং ∠ 6 হল ভেতরের কোণ৷ এটি একটি ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণের উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যে ∠ 4 ∠ 6-এর চেয়ে বড়, এবং এটি শর্তের বিরোধিতা করে, যার মানে রেখা a এবং 6 ছেদ করতে পারে না, তাই তারা সমান্তরাল।
করলারি 1. একই রেখার লম্ব একটি সমতলে দুটি স্বতন্ত্র রেখা সমান্তরাল(চিত্র 2)।
মন্তব্য করুন। আমরা যেভাবে উপপাদ্য 1 এর কেস 1 প্রমাণ করেছি তাকে বলা হয় দ্বন্দ্ব বা অযৌক্তিকতা হ্রাস দ্বারা প্রমাণের পদ্ধতি। এই পদ্ধতিটি এর প্রথম নাম পেয়েছে কারণ যুক্তির শুরুতে, একটি অনুমান তৈরি করা হয় যা প্রমাণ করার জন্য যা প্রয়োজন তার বিপরীত (বিপরীত)। এটিকে অযৌক্তিকতার হ্রাস বলা হয় কারণ, করা অনুমানের ভিত্তিতে তর্ক করে আমরা একটি অযৌক্তিক সিদ্ধান্তে উপনীত হই (অযৌক্তিকতা)। এই ধরনের উপসংহার প্রাপ্তি আমাদের শুরুতে করা অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করতে এবং যেটি প্রমাণ করা দরকার ছিল তা গ্রহণ করতে বাধ্য করে।
কার্যক্রম 1.একটি প্রদত্ত বিন্দু M এর মধ্য দিয়ে যাওয়া এবং একটি প্রদত্ত রেখা a-এর সমান্তরাল একটি রেখা তৈরি করুন, M বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে না।
সিদ্ধান্ত. আমরা লাইন a (চিত্র 3) এর লম্ব M বিন্দু দিয়ে একটি রেখা আঁকি।
তারপরে আমরা লাইন p এর উপর লম্ব M বিন্দু দিয়ে b একটি রেখা আঁকি। থিওরেম 1 এর ফলাঙ্ক অনুসারে রেখাটি a লাইনের সমান্তরাল।
বিবেচিত সমস্যা থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ উপসংহার নিম্নলিখিত:
প্রদত্ত রেখার উপর নয় এমন একটি বিন্দুর মাধ্যমে, একজন সর্বদা প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল একটি রেখা আঁকতে পারে।.
সমান্তরাল রেখার প্রধান বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ।
সমান্তরাল রেখার স্বতঃসিদ্ধ। একটি প্রদত্ত বিন্দুর মাধ্যমে একটি প্রদত্ত লাইনে নয়, প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল শুধুমাত্র একটি লাইন রয়েছে।
এই স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করা সমান্তরাল রেখার কিছু বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করুন।
1) যদি একটি রেখা দুটি সমান্তরাল রেখার একটিকে ছেদ করে, তবে এটি অন্যটিকে ছেদ করে (চিত্র 4)।
2) যদি দুটি ভিন্ন রেখা তৃতীয় লাইনের সমান্তরাল হয়, তবে তারা সমান্তরাল (চিত্র 5)।
নিম্নলিখিত উপপাদ্যটিও সত্য।
উপপাদ্য 2. যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি সেক্যান্ট দ্বারা অতিক্রম করা হয়, তাহলে:
মিথ্যা কোণগুলি সমান;
সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান;
একমুখী কোণের যোগফল হল 180°।
পরিণতি 2। যদি একটি রেখা দুটি সমান্তরাল রেখার একটিতে লম্ব হয়, তবে এটি অন্যটির সাথেও লম্ব।(চিত্র 2 দেখুন)।
মন্তব্য করুন। উপপাদ্য 2 কে উপপাদ্য 1 এর বিপরীত বলা হয়। উপপাদ্য 1-এর উপসংহার হল উপপাদ্য 2-এর শর্ত। এবং উপপাদ্য 1-এর শর্ত হল উপপাদ্য 2-এর উপসংহার। প্রতিটি উপপাদ্যের একটি বিপরীত নেই, অর্থাৎ যদি একটি প্রদত্ত উপপাদ্য সত্য হয়, তাহলে বিপরীত উপপাদ্য মিথ্যা হতে পারে।
উল্লম্ব কোণে উপপাদ্যের উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক। এই উপপাদ্যটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: যদি দুটি কোণ উল্লম্ব হয়, তাহলে তারা সমান। বিপরীত উপপাদ্যটি হবে এই: যদি দুটি কোণ সমান হয়, তাহলে তারা উল্লম্ব। এবং এই, অবশ্যই, সত্য নয়. দুটি সমান কোণ মোটেই উল্লম্ব হতে হবে না।
উদাহরণ 1দুটি সমান্তরাল রেখা একটি তৃতীয় দ্বারা অতিক্রম করা হয়। এটি জানা যায় যে দুটি অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণের মধ্যে পার্থক্য 30°। যারা কোণ খুঁজুন.
সিদ্ধান্ত. চিত্র 6 শর্ত পূরণ করা যাক.
