05.04.202227.05.2017

একটি ত্রিভুজ হল তিনটি বিন্দু যা একই সরলরেখার উপর থাকে না এবং তিনটি রেখার অংশ যা তাদের সংযুক্ত করে। অন্যথায়, একটি ত্রিভুজ একটি বহুভুজ যার ঠিক তিনটি কোণ রয়েছে।

এই তিনটি বিন্দুকে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং অংশগুলিকে ত্রিভুজের বাহু বলা হয়। একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে তিনটি কোণ তৈরি করে।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হল একটি যার দুটি বাহু সমান। এই দিকগুলিকে বলা হয় পার্শ্ব, তৃতীয় দিকগুলিকে বেস বলা হয়। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, গোড়ার কোণগুলি সমান।

একটি সমবাহু বা সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয়, যার তিনটি বাহুই সমান। একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমস্ত কোণও সমান এবং 60° এর সমান।

একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়: বা

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

একটি নিয়মিত বা সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়: বা বা

কোথায় ক,খ,গ- একটি ত্রিভুজের বাহু জ- ত্রিভুজের উচ্চতা, y- পক্ষের মধ্যে কোণ, আর- পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, rখোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল - সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

নিচে দেওয়া হল একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য সূত্রযেগুলো কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত, তার বৈশিষ্ট্য, কোণ বা মাত্রা নির্বিশেষে। সূত্রগুলি একটি ছবির আকারে উপস্থাপিত হয়, এখানে তাদের সঠিকতার প্রয়োগ বা ন্যায্যতার জন্য ব্যাখ্যা রয়েছে। এছাড়াও, একটি পৃথক চিত্র সূত্রে অক্ষর চিহ্ন এবং অঙ্কনের গ্রাফিক চিহ্নগুলির সঙ্গতি দেখায়।

বিঃদ্রঃ . যদি ত্রিভুজের বিশেষ বৈশিষ্ট্য থাকে (সমদ্বিবাহু, আয়তক্ষেত্রাকার, সমবাহু), আপনি নীচের সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারেন, পাশাপাশি বিশেষ সূত্রগুলিও ব্যবহার করতে পারেন যা শুধুমাত্র এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে ত্রিভুজের জন্য সত্য:

"একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র"

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

সূত্রের ব্যাখ্যা:
a, b, c- ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য যার ক্ষেত্রফল আমরা খুঁজে পেতে চাই
r- ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ
আর- ত্রিভুজের চারপাশে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ
জ- ত্রিভুজের উচ্চতা, পাশে নামানো
পি- একটি ত্রিভুজের সেমিপিরিমিটার, এর বাহুর সমষ্টি 1/2 (ঘের)
α - ত্রিভুজের বিপরীত বাহুর a কোণ
β - ত্রিভুজের বিপরীত বাহুর b কোণ
γ - ত্রিভুজের বিপরীত বাহুর c কোণ
জ ক, জ খ , জ গ- ত্রিভুজের উচ্চতা, a, b, c পাশের দিকে নামানো হয়েছে

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে প্রদত্ত স্বরলিপি উপরের চিত্রের সাথে মিলে যায়, যাতে জ্যামিতিতে একটি বাস্তব সমস্যা সমাধান করার সময়, সূত্রের সঠিক জায়গায় সঠিক মানগুলিকে দৃশ্যতভাবে প্রতিস্থাপন করা আপনার পক্ষে সহজ হবে।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল একটি ত্রিভুজের উচ্চতার অর্ধেক গুণফল এবং যে দিকে এই উচ্চতা কমানো হয়েছে তার দৈর্ঘ্য(1 নং সূত্র). এই সূত্রের যথার্থতা যৌক্তিকভাবে বোঝা যায়। বেসের দিকে নামানো উচ্চতা একটি নির্বিচারে ত্রিভুজকে দুটি আয়তক্ষেত্রাকারে বিভক্ত করবে। যদি আমরা তাদের প্রতিটিকে b এবং h মাত্রা সহ একটি আয়তক্ষেত্রে সম্পূর্ণ করি, তবে স্পষ্টতই, এই ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ঠিক অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান হবে (Spr = bh)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল এর দুই বাহুর অর্ধেক গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন(সূত্র 2) (নীচের এই সূত্রটি ব্যবহার করে একটি সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ দেখুন)। এটি আগেরটির থেকে আলাদা বলে মনে হওয়া সত্ত্বেও, এটি সহজেই এতে রূপান্তরিত হতে পারে। যদি আমরা B কোণ থেকে B দিকের উচ্চতা কম করি, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাইনের বৈশিষ্ট্য অনুসারে বাহুর a এবং কোণের সাইন γ এর গুণফল অঙ্কিত ত্রিভুজের উচ্চতার সমান। us, যা আমাদের পূর্ববর্তী সূত্র দেবে
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে মাধ্যম কাজএকটি বৃত্তের অর্ধেক ব্যাসার্ধ এটির সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি দ্বারা খোদাই করা হয়েছে৷(সূত্র 3), অন্য কথায়, আপনাকে ত্রিভুজের অর্ধ-ঘেরটি খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বারা গুণ করতে হবে (এটি মনে রাখা সহজ)
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাওয়া যেতে পারে তার চারপাশে থাকা বৃত্তের 4টি ব্যাসার্ধ দ্বারা তার সমস্ত বাহুর গুণফলকে ভাগ করে (সূত্র 4)
সূত্র 5 একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করছে এর বাহুর দৈর্ঘ্য এবং এর অর্ধ-ঘেরের পরিপ্রেক্ষিতে (এর সমস্ত বাহুর সমষ্টির অর্ধেক)
হেরনের সূত্র(6) একটি সেমিপিরিমিটারের ধারণা ব্যবহার না করে একই সূত্রের একটি উপস্থাপনা, শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের বাহুর বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান এবং এই পাশের সংলগ্ন কোণের সাইনগুলিকে এই বাহুর বিপরীত কোণের দ্বৈত সাইন দ্বারা ভাগ করা হয় (সূত্র 7)
একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার চারপাশে পরিধিকৃত একটি বৃত্তের দুটি বর্গক্ষেত্র এবং এর প্রতিটি কোণের সাইনের গুণফল হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। (সূত্র 8)
যদি এক বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তার সংলগ্ন দুটি কোণের মাত্রা জানা যায়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই বাহুর বর্গ হিসাবে পাওয়া যাবে, যা এইগুলির কোট্যাঞ্জেন্টের দ্বিগুণ যোগফল দ্বারা বিভক্ত। কোণ (সূত্র 9)
যদি শুধুমাত্র একটি ত্রিভুজের প্রতিটি উচ্চতার দৈর্ঘ্য জানা যায় (সূত্র 10), তবে এই জাতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই উচ্চতার দৈর্ঘ্যের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক, যেমন হেরনের সূত্র অনুসারে
সূত্র 11 আপনাকে গণনা করতে দেয় একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক অনুসারে, যা প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর জন্য (x;y) মান হিসাবে দেওয়া হয়। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে ফলাফলের মানটি অবশ্যই মডিউলে নেওয়া উচিত, যেহেতু পৃথক (বা এমনকি সমস্ত) শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি নেতিবাচক মানের ক্ষেত্রে হতে পারে

বিঃদ্রঃ. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে জ্যামিতিতে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ নিচে দেওয়া হল। আপনার যদি জ্যামিতিতে কোনও সমস্যা সমাধানের প্রয়োজন হয়, যার অনুরূপ এখানে নেই - ফোরামে এটি সম্পর্কে লিখুন। সমাধানগুলিতে, sqrt() ফাংশনটি "বর্গমূল" চিহ্নের পরিবর্তে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে sqrt হল বর্গমূল প্রতীক, এবং র্যাডিকাল অভিব্যক্তিটি বন্ধনীতে নির্দেশিত হয়.কখনও কখনও প্রতীকটি সাধারণ মৌলিক অভিব্যক্তির জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে √

একটি কাজ. দুটি বাহুর প্রদত্ত ক্ষেত্রফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ খুঁজুন

ত্রিভুজটির বাহুগুলি 5 এবং 6 সেমি। তাদের মধ্যবর্তী কোণটি 60 ডিগ্রি। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর.

সমাধান.

এই সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা পাঠের তাত্ত্বিক অংশ থেকে সূত্র নম্বর দুই ব্যবহার করি।
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের মাধ্যমে পাওয়া যাবে এবং এর সমান হবে
S=1/2 ab sin γ

যেহেতু আমাদের কাছে সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত ডেটা রয়েছে (সূত্র অনুসারে), আমরা কেবলমাত্র সমস্যার অবস্থা থেকে সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারি:
S=1/2*5*6*sin60

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানের সারণীতে, আমরা 60 ডিগ্রি সাইনের মান অভিব্যক্তিতে খুঁজে পাই এবং প্রতিস্থাপন করি। এটি তিন বাই দুই এর মূলের সমান হবে।
S = 15 √3 / 2

উত্তর: 7.5 √3 (শিক্ষকের প্রয়োজনীয়তার উপর নির্ভর করে, সম্ভবত 15 √3/2 ছেড়ে দেওয়া সম্ভব)

একটি কাজ. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর

3 সেমি বাহু সহ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান।

হেরনের সূত্র ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

যেহেতু একটি \u003d b \u003d c, একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি রূপ নেবে:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

উত্তর: 9 √3 / 4.

একটি কাজ. পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করার সময় এলাকায় পরিবর্তন করুন

বাহুগুলো চারগুণ হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত গুণ বাড়বে?

সমাধান.

যেহেতু ত্রিভুজের বাহুর মাত্রা আমাদের কাছে অজানা, সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা ধরে নেব যে বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c সংখ্যার সমান। তারপর, সমস্যার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমরা এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই এবং তারপরে আমরা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই যার বাহুগুলো চারগুণ বড়। এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত আমাদের সমস্যার উত্তর দেবে।

এর পরে, আমরা ধাপে ধাপে সমস্যার সমাধানের একটি পাঠ্য ব্যাখ্যা দিই। যাইহোক, একেবারে শেষে, একই সমাধানটি একটি গ্রাফিকাল আকারে উপস্থাপন করা হয়েছে যা উপলব্ধির জন্য আরও সুবিধাজনক। যারা ইচ্ছুক তারা সাথে সাথে সমাধানটি নামিয়ে দিতে পারেন।

সমাধান করতে, আমরা হেরন সূত্র ব্যবহার করি (পাঠের তাত্ত্বিক অংশে উপরে দেখুন)। এটি এই মত দেখায়:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(নীচের ছবির প্রথম লাইন দেখুন)

একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c ভেরিয়েবল দ্বারা দেওয়া হয়।
যদি বাহু 4 গুণ বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে নতুন ত্রিভুজ c এর ক্ষেত্রফল হবে:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(নীচের ছবির দ্বিতীয় লাইনটি দেখুন)

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, 4 হল একটি সাধারণ ফ্যাক্টর যা গণিতের সাধারণ নিয়ম অনুসারে চারটি অভিব্যক্তির মধ্যে বন্ধনী করা যেতে পারে।
তারপর

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ছবির তৃতীয় লাইনে
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - চতুর্থ লাইন

256 নম্বর থেকে, বর্গমূলটি পুরোপুরি বের করা হয়েছে, তাই আমরা এটিকে মূলের নীচে থেকে বের করব
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(নীচের চিত্রের পঞ্চম লাইন দেখুন)

সমস্যাটিতে উত্থাপিত প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আসল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করাই আমাদের পক্ষে যথেষ্ট।
আমরা এক্সপ্রেশনগুলিকে একে অপরের মধ্যে ভাগ করে এবং ফলস্বরূপ ভগ্নাংশকে হ্রাস করে ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ধারণ করি।

একটি ত্রিভুজের সংজ্ঞা

ত্রিভুজ- এটি একটি জ্যামিতিক চিত্র যা তিনটি অংশের ছেদ করার ফলে গঠিত হয়, যার শেষগুলি একটি সরল রেখায় থাকে না। যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু, তিনটি শীর্ষবিন্দু এবং তিনটি কোণ থাকে।

অনলাইন ক্যালকুলেটর

ত্রিভুজ হয় বিভিন্ন ধরণের. উদাহরণস্বরূপ, একটি সমবাহু ত্রিভুজ রয়েছে (যেটির সব বাহু সমান), সমদ্বিবাহু (এটির মধ্যে দুটি বাহু সমান) এবং সমকোণী (যার মধ্যে একটি কোণ একটি সমকোণী, অর্থাৎ 90 ডিগ্রির সমান) )

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বিভিন্ন উপায়ে পাওয়া যেতে পারে, চিত্রের কোন উপাদানগুলি সমস্যার অবস্থার দ্বারা পরিচিত তার উপর নির্ভর করে, এটি কোণ, দৈর্ঘ্য, বা, সাধারণভাবে, বৃত্তগুলির সাথে যুক্ত বৃত্তগুলির ব্যাসার্ধ। ত্রিভুজ উদাহরণ সহ প্রতিটি পদ্ধতি আলাদাভাবে বিবেচনা করুন।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি তার ভিত্তি এবং উচ্চতা দেওয়া হয়েছে

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S = \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ একটি ⋅জ,

ক ক ক- ত্রিভুজের ভিত্তি;
জ জ জ- প্রদত্ত বেসে আঁকা ত্রিভুজের উচ্চতা a.

উদাহরণ

একটি ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি এর ভিত্তির দৈর্ঘ্য 10 (সেমি) এর সমান এবং এই বেসের দিকে টানা উচ্চতা 5 (সেমি) এর সমান হয়।

সমাধান

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

এলাকার জন্য সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন এবং পান:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (বর্গ দেখুন)

উত্তর: 25 (বর্গ দেখুন)

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য প্রদত্ত

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,

A, b, c a, b, c a, b, c- ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য;
পিপি পি- ত্রিভুজের সব বাহুর অর্ধেক সমষ্টি (অর্থাৎ ত্রিভুজের পরিধির অর্ধেক):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 (a +b+গ)

এই সূত্র বলা হয় হেরনের সূত্র.

উদাহরণ

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা যায়, সমান 3 (দেখুন), 4 (দেখুন), 5 (দেখুন)।

সমাধান

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

অর্ধেক ঘের খুঁজুন পিপি পি:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

তারপর, হেরনের সূত্র অনুসারে, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (বর্গ দেখুন)

উত্তর: 6 (বর্গ দেখুন)

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র এক বাহু এবং দুটি কোণ দেওয়া হয়েছে

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 ক 2 ⋅ পাপ(β+γ)পাপ β পাপ γ ,

ক ক ক- ত্রিভুজের পাশের দৈর্ঘ্য;
β , γ \ বিটা, \ গামা β , γ - পার্শ্ব সংলগ্ন কোণ a a ক.

উদাহরণ

10 (দেখুন) এর সমান একটি ত্রিভুজের একটি বাহু এবং 30 ডিগ্রির দুটি সন্নিহিত কোণ দেওয়া হয়েছে। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান

A=10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

সূত্র অনুযায়ী:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\20 ≈ 14.4 S=\20c) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\আনুমানিক 14.4S=2 1 0 2 ⋅ পাপ (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) পাপ 3 0 ∘ পাপ 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (বর্গ দেখুন)

উত্তর: 14.4 (বর্গ দেখুন)

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র তিনটি বাহু এবং পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4 আরa ⋅ b ⋅ c ,

A, b, c a, b, c a, b, c- একটি ত্রিভুজের বাহু
আর আর আরত্রিভুজের চারপাশে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

উদাহরণ

আমরা আমাদের দ্বিতীয় সমস্যা থেকে সংখ্যা গ্রহণ করি এবং তাদের সাথে একটি ব্যাসার্ধ যোগ করি আর আর আরচেনাশোনা এটি 10 এর সমান হতে দিন (দেখুন)।

সমাধান

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 আর=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (বর্গ দেখুন)

উত্তর: 1.5 (সেমি. বর্গ.)

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র তিনটি বাহু এবং একটি উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধ

$S=p\cdot r$

$পি - ত্রিভুজের পরিধির অর্ধেক:$

$p=\frac(a+b+c)(2)$

$ক, খ, গ - একটি ত্রিভুজের বাহু r ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ।$

উদাহরণ

খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 এর সমান হতে দিন (দেখুন)। আমরা পূর্ববর্তী সমস্যা থেকে পক্ষের দৈর্ঘ্য গ্রহণ করি।

সমাধান

$ক = 3 খ = 4 গ = 5 r = 2$

$p=\frac(3+4+5)(2)=6$

$S=6\cdot 2=12$

উত্তর: 12 (বর্গ দেখুন)

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দেওয়া হয়েছে

$S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)$

$খ, গ - একটি ত্রিভুজের বাহু$

$α\আলফা$

উদাহরণ

ত্রিভুজের বাহুগুলি হল 5 (দেখুন) এবং 6 (দেখুন), তাদের মধ্যে কোণটি 30 ডিগ্রি। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান

$খ = 5 গ = 6 α = 3 0^{\circ}$

$S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5$

উত্তর: 7.5 (বর্গ দেখুন)

একটি ত্রিভুজ হল সবচেয়ে সহজ জ্যামিতিক চিত্র, যা তিনটি বাহু এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু নিয়ে গঠিত। এর সরলতার কারণে, ত্রিভুজটি প্রাচীনকাল থেকেই বিভিন্ন পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়ে আসছে এবং আজ চিত্রটি ব্যবহারিক এবং দৈনন্দিন সমস্যা সমাধানের জন্য উপযোগী হতে পারে।

ত্রিভুজ বৈশিষ্ট্য

চিত্রটি প্রাচীনকাল থেকে গণনার জন্য ব্যবহার করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, জরিপকারী এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা এলাকা এবং দূরত্ব গণনা করতে ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে কাজ করে। এই চিত্রটির ক্ষেত্রফলের মাধ্যমে, যেকোনো এন-গনের ক্ষেত্রফল প্রকাশ করা সহজ, এবং এই বৈশিষ্ট্যটি প্রাচীন বিজ্ঞানীরা বহুভুজের ক্ষেত্রগুলির জন্য সূত্র বের করতে ব্যবহার করেছিলেন। ত্রিভুজগুলির সাথে ধ্রুবক কাজ, বিশেষত একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাথে, গণিতের পুরো বিভাগের ভিত্তি হয়ে উঠেছে - ত্রিকোণমিতি।

ত্রিভুজ জ্যামিতি

জ্যামিতিক চিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রাচীনকাল থেকেই অধ্যয়ন করা হয়েছে: ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রথম তথ্য পাওয়া গেছে 4000 বছর বয়সী মিশরীয় প্যাপিরিতে। তারপরে চিত্রটি প্রাচীন গ্রীসে অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং ত্রিভুজের জ্যামিতিতে সর্বশ্রেষ্ঠ অবদান ছিল ইউক্লিড, পিথাগোরাস এবং হেরন। ত্রিভুজের অধ্যয়ন কখনই থামেনি, এবং 18 শতকে লিওনহার্ড অয়লার চিত্রের অর্থকেন্দ্র এবং অয়লারের বৃত্তের ধারণা চালু করেছিলেন। 19 এবং 20 শতকের শুরুতে, যখন মনে হয়েছিল যে ত্রিভুজ সম্পর্কে একেবারেই সব কিছু জানা গেছে, ফ্র্যাঙ্ক মর্লে কোণ ট্রাইসেক্ট্রিক্স উপপাদ্য প্রণয়ন করেছিলেন, এবং ভ্যাক্লাভ সিয়ের্পিনস্কি ফ্র্যাক্টাল ত্রিভুজ প্রস্তাব করেছিলেন।

স্কুল জ্যামিতি কোর্স থেকে আমাদের পরিচিত বিভিন্ন ধরণের সমতল ত্রিভুজ রয়েছে:

তীব্র-কোণ - চিত্রের সমস্ত কোণ ধারালো;
স্থূল - চিত্রটির একটি স্থূলকোণ রয়েছে (90 ডিগ্রির বেশি);
আয়তক্ষেত্রাকার - চিত্রটিতে 90 ডিগ্রির সমান একটি সমকোণ রয়েছে;
সমদ্বিবাহু - দুটি সমান বাহু সহ একটি ত্রিভুজ;
সমবাহু - সমস্ত সমান বাহু সহ একটি ত্রিভুজ।
বাস্তব জীবনে, সব ধরণের ত্রিভুজ রয়েছে এবং কিছু ক্ষেত্রে আমাদের জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করতে হতে পারে।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

ক্ষেত্রফল হল সমতলের কতটা পরিসংখ্যান সীমাবদ্ধ তার একটি অনুমান। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ছয়টি উপায়ে পাওয়া যায়, বাহু, উচ্চতা, কোণ, একটি খোদাই করা বা বৃত্তাকার ব্যাসার্ধ ব্যবহার করে, সেইসাথে হেরনের সূত্র ব্যবহার করে বা সমতলকে আবদ্ধ রেখাগুলির উপর একটি দ্বিগুণ অখণ্ড গণনা করে। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনার জন্য সবচেয়ে সহজ সূত্র হল:

যেখানে a হল ত্রিভুজের বাহু, h হল এর উচ্চতা।

যাইহোক, অনুশীলনে এটি একটি জ্যামিতিক চিত্রের উচ্চতা খুঁজে পাওয়া আমাদের জন্য সবসময় সুবিধাজনক নয়। আমাদের ক্যালকুলেটরের অ্যালগরিদম আপনাকে এলাকা গণনা করতে দেয়, জেনে নিন:

তিন দিক;
দুই পক্ষ এবং তাদের মধ্যে কোণ;
এক পাশ এবং দুই কোণে।

তিন দিকের পরিপ্রেক্ষিতে এলাকা নির্ধারণ করতে, আমরা হেরনের সূত্র ব্যবহার করি:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

যেখানে p হল ত্রিভুজের অর্ধ-ঘের।

দুই পাশের ক্ষেত্রফলের গণনা এবং একটি কোণ শাস্ত্রীয় সূত্র অনুসারে তৈরি করা হয়:

S = a × b × sin(alfa),

যেখানে আলফা হল a এবং b বাহুর মধ্যবর্তী কোণ।

একপাশ এবং দুই কোণার মাধ্যমে এলাকা নির্ধারণ করতে আমরা সম্পর্কটি ব্যবহার করি যা:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

একটি সাধারণ অনুপাত ব্যবহার করে, আমরা দ্বিতীয় দিকের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করি, তারপরে আমরা সূত্র S = a × b × sin (alfa) ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল গণনা করি। এই অ্যালগরিদম সম্পূর্ণরূপে স্বয়ংক্রিয় এবং আপনাকে শুধুমাত্র প্রদত্ত ভেরিয়েবল প্রবেশ করতে হবে এবং ফলাফল পেতে হবে। এর উদাহরণ একটি দম্পতি তাকান.

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

পাকা স্ল্যাব

ধরা যাক আপনি ত্রিভুজাকার টাইলস দিয়ে মেঝেটি প্রশস্ত করতে চান এবং প্রয়োজনীয় উপাদানের পরিমাণ নির্ধারণ করার জন্য, আপনাকে হাড়ের টাইলের ক্ষেত্রফল এবং মেঝে এলাকা খুঁজে বের করতে হবে। ধরুন আপনাকে টাইলস ব্যবহার করে একটি পৃষ্ঠের 6 বর্গ মিটার প্রক্রিয়া করতে হবে যার মাত্রা একটি \u003d 20 সেমি, b \u003d 21 সেমি, c \u003d 29 সেমি। স্পষ্টতই, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, ক্যালকুলেটর হেরনের সূত্র ব্যবহার করে এবং ফলাফল দেবে:

এইভাবে, একটি টাইল উপাদানের ক্ষেত্রফল হবে 0.021 বর্গ মিটার, এবং মেঝে উন্নত করতে আপনার 6 / 0.021 \u003d 285 ত্রিভুজ প্রয়োজন হবে। 20, 21 এবং 29 সংখ্যাগুলি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল-সংখ্যাগুলিকে সন্তুষ্ট করে। এবং এটা ঠিক, আমাদের ক্যালকুলেটরও ত্রিভুজের সমস্ত কোণ গণনা করেছে এবং গামা কোণটি ঠিক 90 ডিগ্রি।

স্কুল টাস্ক

একটি স্কুলের সমস্যায়, আপনাকে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে, এটি জেনে যে পার্শ্বটি একটি \u003d 5 সেমি, এবং ক্ষতের কোণ আলফা এবং বিটা যথাক্রমে 30 এবং 50 ডিগ্রি। এই সমস্যাটি ম্যানুয়ালি সমাধান করার জন্য, আমরা প্রথমে বাহুর অনুপাত এবং বিপরীত কোণের সাইন ব্যবহার করে বাহুর b এর মান খুঁজে বের করব এবং তারপর S = a × b × sin(alfa) সূত্রটি ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করব। আসুন সময় বাঁচাই, ক্যালকুলেটর ফর্মে ডেটা প্রবেশ করি এবং একটি তাত্ক্ষণিক উত্তর পাই

একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করার সময়, সঠিকভাবে কোণ এবং দিকগুলি নির্দিষ্ট করা গুরুত্বপূর্ণ, অন্যথায় ফলাফলটি ভুল হবে।

উপসংহার

ত্রিভুজ একটি অনন্য চিত্র যা বাস্তব জীবনে এবং বিমূর্ত গণনা উভয় ক্ষেত্রেই ঘটে। যেকোনো ধরনের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে আমাদের অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল। ক্ষেত্রফল গণনার সাথে সম্পর্কিত অনেক জ্যামিতি সমস্যায়, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করা হয়। তাদের মধ্যে বেশ কয়েকটি রয়েছে, এখানে আমরা প্রধানগুলি বিবেচনা করব।এই সূত্র তালিকা করা খুব সহজ এবং অকেজো হবে. আমরা প্রধান সূত্রগুলির উত্স বিশ্লেষণ করব, যেগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

সূত্রের উৎপত্তির সাথে নিজেকে পরিচিত করার আগে, নিবন্ধটি দেখতে ভুলবেন না।উপাদান অধ্যয়ন করার পরে, আপনি সহজেই স্মৃতিতে সূত্রগুলি পুনরুদ্ধার করতে পারেন (যদি আপনার প্রয়োজনের মুহুর্তে তারা হঠাৎ "উড়ে যায়")।

প্রথম সূত্র

একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ এটিকে সমান ক্ষেত্রফলের দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে:

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান্তরালগ্রামের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান হবে:

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

* অর্থাৎ, যদি আমরা ত্রিভুজের কোনো বাহু জানি এবং এই দিকের উচ্চতা কম হয়, তাহলে আমরা সর্বদা এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করতে পারি।

সূত্র দুই

একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত নিবন্ধে ইতিমধ্যেই বলা হয়েছে, সূত্রটির ফর্ম রয়েছে:

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার ক্ষেত্রফলের অর্ধেক, তাই:

*অর্থাৎ, একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ জানা থাকলে, আমরা সর্বদা এই জাতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারি।

হেরনের সূত্র (তৃতীয়)

এই সূত্রটি বের করা কঠিন এবং আপনার এটির প্রয়োজন নেই। দেখো সে কত সুন্দর, আমরা বলতে পারি তাকে মনে আছে।

*যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দেওয়া হয়, তাহলে এই সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা সর্বদা এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারি।

ফর্মুলা ফোর

কোথায় rখোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ

*যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং এতে খোদিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা থাকে, তাহলে আমরা সর্বদা এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পেতে পারি।

ফর্মুলা ফাইভ

কোথায় আরপরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

*যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা থাকে, তাহলে আমরা সর্বদা এই জাতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পেতে পারি।

প্রশ্ন জাগে: যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু জানা থাকে, তবে হেরনের সূত্র ব্যবহার করে এর ক্ষেত্রফল খুঁজে পাওয়া কি সহজ নয়!

হ্যাঁ, এটি সহজ, তবে সবসময় নয়, কখনও কখনও এটি কঠিন হয়ে যায়। এটা মূল নিষ্কাশন সঙ্গে করতে হবে. উপরন্তু, এই সূত্রগুলি এমন সমস্যায় ব্যবহার করা খুবই সুবিধাজনক যেখানে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল দেওয়া হয়, এর বাহুগুলি দেওয়া হয় এবং এটি একটি খোদাই করা বা বৃত্তাকার বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজে বের করতে হয়। এই ধরনের কাজগুলি পরীক্ষায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়।

আসুন সূত্রটি দেখে নেওয়া যাক:

এটি একটি বহুভুজের ক্ষেত্রের সূত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে একটি বৃত্ত খোদাই করা আছে:

পেন্টাগনের উদাহরণে এটি বিবেচনা করুন:

আমরা এই পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দুর সাথে বৃত্তের কেন্দ্রকে সংযুক্ত করি এবং কেন্দ্র থেকে এর পার্শ্বে লম্বগুলি ফেলে দিই। আমরা পাঁচটি ত্রিভুজ পাই, বাদ দেওয়া লম্বগুলি খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ:

পেন্টাগনের এলাকা হল:

এখন এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি একটি ত্রিভুজ সম্পর্কে কথা বলি, তাহলে এই সূত্রটি রূপ নেয়:

সূত্র ছয়

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল - সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

একটি কাজ. দুটি বাহুর প্রদত্ত ক্ষেত্রফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ খুঁজুন

একটি কাজ. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর

একটি কাজ. পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করার সময় এলাকায় পরিবর্তন করুন

অনলাইন ক্যালকুলেটর

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি তার ভিত্তি এবং উচ্চতা দেওয়া হয়েছে

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য প্রদত্ত

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র এক বাহু এবং দুটি কোণ দেওয়া হয়েছে

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র তিনটি বাহু এবং পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র তিনটি বাহু এবং একটি উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধ

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র দুটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ দেওয়া হয়েছে

ত্রিভুজ বৈশিষ্ট্য

ত্রিভুজ জ্যামিতি

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

বাস্তব জীবনের উদাহরণ

পাকা স্ল্যাব

স্কুল টাস্ক

উপসংহার

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

বিষয়ের উপর উপস্থাপনা "এক্স-রে এক্স-রে উপস্থাপনা আবিষ্কারের ইতিহাস

"লাতিন আমেরিকার দেশগুলি

মহাকাশে নীহারিকা কি কি নীহারিকা বিষয়ের উপর উপস্থাপনা