Bir açının kenarları diğerinin kenarlarının uzantısı ise iki açı dikey olarak adlandırılır.
Şekil köşeleri gösterir 1 ve 3 , aynı zamanda açılar 2 ve 4 - dikey. Enjeksiyon 2 her iki açıya bitişik 1 ve açı ile 3. Komşu açıların özelliğine göre 1 +2 =180 0 ve 3 +2 =1800. Buradan şunu elde ederiz: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Böylece açıların derece ölçüleri 1 ve 3 eşittir. Açıların kendilerinin eşit olduğu sonucu çıkar. Yani dikey açılar eşittir.
2. Üçgenlerin eşitlik işaretleri.
Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı sırasıyla iki kenara ve diğer üçgenin aralarındaki açıya eşitse, bu üçgenler eştir.
Bir üçgenin bir kenarı ve iki komşu açısı sırasıyla başka bir üçgenin bir kenarına ve iki komşu açısına eşitse, bu üçgenler eştir.
3. Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla diğer üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir.
1 üçgen eşitliği işareti:
AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, A ve A 1 açılarının eşit olduğu ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerini düşünün. ABC=A 1 B 1 C 1 olduğunu ispatlayalım.
(y) A \u003d (y) A 1 olduğundan, ABC üçgeni A 1 B 1 C 1 üçgeni üzerine bindirilebilir, böylece A köşesi A1 köşesi ile hizalanır ve AB ve AC kenarları üst üste gelir, sırasıyla, A 1 B 1 ve A 1 C 1 ışınlarında. AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 olduğundan, AB tarafı A 1 B 1 tarafı ve AC tarafı - A 1 C 1 tarafı ile birleştirilecektir; özellikle, B ve B 1 , C ve C 1 noktaları çakışacaktır. Bu nedenle, BC ve B 1 C 1 kenarları hizalanacaktır. Yani, ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri tamamen uyumludur, yani eşittirler. CTD
3. Bir ikizkenar üçgenin açıortayı üzerindeki teorem.
Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen açıortay medyan ve yüksekliktir.
ABC'nin tabanı BC olan bir ikizkenar üçgen ve AD'nin açıortayı olduğu şekle dönelim.
ABD ve ACD üçgenlerinin eşitliğinden (üçgenlerin eşitliği için 2. kritere göre: AD ortaktır; AD açıortay olduğu için 1 ve 2 açıları eşittir; AB=AC, çünkü üçgen ikizkenardır) BD'yi takip eder. = DC ve 3 = 4. BD = DC eşitliği, D noktasının BC kenarının orta noktası olduğu ve dolayısıyla AD'nin ABC üçgeninin medyanı olduğu anlamına gelir. Açı 3 ve 4 birbirine komşu ve eşit olduğundan dik açılardır. Bu nedenle, AO doğru parçası aynı zamanda ABC üçgeninin yüksekliğidir. CHTD.
4. Doğrular paralel ise -> açı…. (isteğe bağlı)
5. Açı ... ..-> doğrular paralel ise (opsiyonel)
Bir kesenin iki doğrusunun kesişme noktasında karşılık gelen açılar eşitse, o zaman doğrular paraleldir.
Kesenin a ve b çizgilerinin kesişme noktasında karşılık gelen açılarla eşit olmasına izin verin, örneğin 1=2.
2 ve 3 açıları dikey olduğundan, 2=3 olur. Bu iki eşitlikten 1=3 çıkar. Ancak 1 ve 3 açıları çaprazdır, dolayısıyla a ve b doğruları paraleldir. CHTD.
6. Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem.
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 0'dır..
Rasgele bir ABC üçgeni düşünün ve A+B+C=180 0 olduğunu kanıtlayın.
AC kenarına paralel, B köşesinden geçen düz bir a çizgisi çizelim. 1 ve 4 açıları, AB sekantı tarafından a ve AC paralel çizgilerinin kesişiminde çapraz uzanan açılardır ve 3 ve 5 açıları, BC keseniyle aynı paralel doğruların kesişiminde çapraz uzanan açılardır. Bu nedenle (1)4=1; 5=3.
Açıkça, 4, 2 ve 5 açılarının toplamı, B köşesi ile düz açıya eşittir, yani. 4+2+5=1800 . Dolayısıyla, (1) eşitliklerini hesaba katarak, 1+2+3=180 0 veya A+B+C=180 0 elde ederiz.
7. Sağ üçgenlerin eşitliğinin işareti.
1. Paralelliğin ilk işareti.
İki doğrunun bir üçüncüsü ile kesiştiği yerde, karşılıklı iç açılar eşitse, bu doğrular paraleldir.
AB ve CD doğruları EF ve ∠1 = ∠2 doğrularıyla kesişsin. O noktasını alalım - EF sekantının KL segmentinin ortası (Şek.).
OM dikini O noktasından AB doğrusuna bırakalım ve CD, AB ⊥ MN doğrusuyla kesişene kadar devam edelim. CD ⊥ MN olduğunu da ispatlayalım.
Bunu yapmak için iki üçgen düşünün: MOE ve NOK. Bu üçgenler birbirine eşittir. Nitekim: ∠1 = ∠2 teoreminin hipotezine göre; OK = OL - yapım gereği;
∠MOL = ∠NOK dikey açılar olarak. Böylece, bir üçgenin kenarı ve ona bitişik iki açı sırasıyla başka bir üçgenin kenarına ve ona bitişik iki açıya eşittir; bu nedenle, ΔMOL = ΔNOK ve dolayısıyla ∠LMO = ∠KNO,
ancak ∠LMO doğrudandır, dolayısıyla ∠KNO da doğrudandır. Bu nedenle, AB ve CD çizgileri aynı MN çizgisine diktir, bu nedenle paraleldirler, ki bu kanıtlanması gerekiyordu.
Not. MO ve CD çizgilerinin kesişimi, MOL üçgeni O noktası etrafında 180° döndürülerek belirlenebilir.
2. Paralelliğin ikinci işareti.
AB ve CD çizgilerinin paralel olup olmadığını görelim, eğer üçüncü çizgileri EF'nin kesişiminde karşılık gelen açılar eşitse.
Bazı karşılık gelen açılar eşit olsun, örneğin ∠ 3 = ∠2 (Şek.);
∠3 = ∠1 dikey açılar olarak; yani ∠2, ∠1'e eşit olacaktır. Ancak 2 ve 1 açıları iç çapraz açılardır ve zaten biliyoruz ki iki doğrunun üçte biri ile kesiştiği yerde, iç çapraz yatma açıları eşitse, o zaman bu doğrular paraleldir. Bu nedenle, AB || CD.
Üçüncünün iki çizgisinin kesişiminde karşılık gelen açılar eşitse, bu iki çizgi paraleldir.
Bir cetvel ve bir çizim üçgeni yardımıyla paralel çizgilerin oluşturulması bu özelliğe dayanmaktadır. Bu aşağıdaki gibi yapılır.
Cetvele Şekil 1'de gösterildiği gibi bir üçgen ekleyelim. Üçgeni, bir tarafı cetvel boyunca kayacak şekilde hareket ettireceğiz ve üçgenin diğer herhangi bir tarafı boyunca birkaç düz çizgi çizeceğiz. Bu çizgiler paralel olacak.
3. Paralelliğin üçüncü işareti.
AB ve CD çizgilerinin üçüncü çizgiyle kesiştiği noktada, herhangi bir iç tek kenarlı açının toplamının 2'ye eşit olduğunu bize bildirin. d(veya 180°). Bu durumda AB ve CD doğruları paralel olacak mı (Şek.).
∠1 ve ∠2 tek kenarlı iç açılar olsun ve toplamı 2 olsun d.
Ama ∠3 + ∠2 = 2 d komşu açılar gibi. Bu nedenle, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Dolayısıyla ∠1 = ∠3 ve bu iç açılar çaprazdır. Bu nedenle, AB || CD.
İki doğrunun üçte bir oranında kesiştiği noktada, iç tek kenarlı açıların toplamı şuna eşittir: 2 d (veya 180°), o zaman iki doğru paraleldir.
Paralel çizgilerin işaretleri:
1. İki düz çizginin üçte bir oranında kesişme noktasında, iç çapraz yatma açıları eşitse, bu çizgiler paraleldir.2. Üçüncünün iki çizgisinin kesişiminde, karşılık gelen açılar eşitse, bu iki çizgi paraleldir.
3. Üçüncünün iki çizgisinin kesişme noktasında, tek taraflı iç açıların toplamı 180 ° ise, bu iki çizgi paraleldir.
4. Eğer iki doğru üçüncü doğruya paralel ise, bunlar birbirine paraleldir.
5. Eğer iki doğru üçüncü doğruya dik ise, bunlar birbirine paraleldir.
Öklid'in paralellik aksiyomu
Görev. AB doğrusu dışında alınan bir M noktasından AB doğrusuna paralel bir doğru çizin.
Doğruların paralellik işaretleri üzerinde kanıtlanmış teoremler kullanılarak bu problem çeşitli şekillerde çözülebilir,
Karar. 1. s o s o b (Şek. 199).
MN⊥AB çiziyoruz ve M noktasından CD⊥MN çiziyoruz;
CD⊥MN ve AB⊥MN elde ederiz.
Teoreme dayanarak ("İki doğru aynı doğruya dikse, paraleldirler.") sonucuna varıyoruz СD || AB.
2. s po s o b (Şek. 200).
AB'yi herhangi bir α açısında kesen bir MK çiziyoruz ve M noktasından, α açısına eşit bir MK düz çizgisiyle bir EMK açısı oluşturan düz bir EF çizgisi çiziyoruz. () teoremine dayanarak EF || AB.
Bu problemi çözdükten sonra, AB çizgisinin dışında alınan herhangi bir M noktasından, ona paralel bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu kanıtladığını düşünebiliriz. Soru ortaya çıkıyor, belirli bir doğruya paralel ve belirli bir noktadan geçen kaç doğru var olabilir?
İnşa pratiği, böyle bir çizginin sadece bir tane olduğunu varsaymamıza izin verir, çünkü dikkatlice yürütülen bir çizimde, aynı noktadan aynı çizgiye paralel olarak çeşitli şekillerde çizilen çizgiler birleşir.
Teoride, bu sorunun cevabı Öklid'in paralellik aksiyomu olarak adlandırılan aksiyom tarafından verilir; şu şekilde formüle edilmiştir:
Belirli bir doğrunun dışından alınan bir noktadan bu doğruya paralel sadece bir doğru çizilebilir.
Çizim 201'de, AB düz çizgisine paralel O noktasından geçen bir SK düz çizgisi çizilir.
O noktasından geçen diğer herhangi bir doğru artık AB doğrusuna paralel olmayacak, onu kesecektir.
Öklid'in Elements adlı eserinde kabul ettiği ve verilen bir doğrunun dışından alınan bir noktadan geçen bir düzlemde bu doğruya paralel sadece bir doğru çizilebileceğini belirten aksiyom denir. Öklid'in paralellik aksiyomu.
Öklid'den sonra iki bin yıldan fazla bir süre boyunca birçok matematikçi bu matematiksel önermeyi kanıtlamaya çalıştı, ancak girişimleri her zaman başarısız oldu. Büyük Rus bilim adamı, Kazan Üniversitesi profesörü Nikolai İvanoviç Lobachevsky, diğer tüm Öklid aksiyomlarını kullanarak, bu matematiksel önermenin kanıtlanamayacağını, gerçekten bir aksiyom olarak alınması gerektiğini ancak 1826'da kanıtladı. N. I. Lobachevsky, Öklid'in geometrisinin aksine Lobachevsky'nin geometrisi olarak adlandırılan yeni bir geometri yarattı.
AB ve İleDüçüncü çizgiden geçti MN, daha sonra bu durumda oluşan açılar çiftler halinde aşağıdaki isimleri alır:karşılık gelen açılar: 1 ve 5, 4 ve 8, 2 ve 6, 3 ve 7;
iç çapraz köşeler: 3 ve 5, 4 ve 6;
dış çapraz köşeler: 1 ve 7, 2 ve 8;
iç tek taraflı köşeler: 3 ve 6, 4 ve 5;
dış tek taraflı köşeler: 1 ve 8, 2 ve 7.
Yani, ∠ 2 = ∠ 4 ve ∠ 8 = ∠ 6, ancak kanıtlanmış ∠ 4 = ∠ 6 ile.
Bu nedenle, ∠ 2 = ∠ 8.
3. ilgili açılar∠ 2 = ∠ 4 ve ∠ 4 = ∠ 6 olduğundan 2 ve 6 aynıdır. Diğer karşılık gelen açıların da eşit olduğundan emin oluruz.
4. toplam iç tek taraflı köşeler 3 ve 6 2d olacaktır çünkü toplam bitişik köşeler 3 ve 4, 2d = 180 0'a eşittir ve ∠ 4, aynı ∠ 6 ile değiştirilebilir. açıların toplamı 4 ve 5, 2d'ye eşittir.
5. toplam dış tek taraflı köşeler 2d olacak çünkü bu açılar sırasıyla eşit iç tek taraflı köşeler köşeler gibi dikey.
Yukarıda kanıtlanan gerekçeden şunu elde ederiz: ters teoremler.
Rastgele bir üçüncü çizginin iki çizgisinin kesiştiği noktada şunu elde ederiz:
1. İç çapraz yatma açıları aynıdır;
veya 2. Dış çapraz yatma açıları aynıdır;
veya 3. Karşılık gelen açılar aynıdır;
veya 4. Tek taraflı iç açıların toplamı 2d = 180 0'a eşittir;
veya 5. Dış tek taraflı toplamı 2d = 180 0 ,
o zaman ilk iki çizgi paraleldir.
İki çizginin paralellik belirtileri
Teorem 1. Bir sekantın iki çizgisinin kesiştiği noktada ise:
çapraz olarak uzanan açılar eşittir veya
karşılık gelen açılar eşittir veya
tek kenarlı açıların toplamı 180° ise
çizgiler paralel(Şek. 1).
Kanıt. Kendimizi durum 1'in kanıtıyla sınırlıyoruz.
a ve b çizgilerinin bir AB sekantıyla kesişme noktasında, yatma açılarının eşit olduğunu varsayalım. Örneğin, ∠ 4 = ∠ 6. Bir || b.
a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. Sonra bir M noktasında kesişirler ve sonuç olarak 4 veya 6 açılarından biri ABM üçgeninin dış açısı olacaktır. Kesinlik için, ABM üçgeninin dış köşesi ∠ 4 ve iç köşesi ∠ 6 olsun. Bir üçgenin dış açısıyla ilgili teoremden, ∠ 4'ün ∠ 6'dan büyük olduğu sonucu çıkar ve bu, koşulla çelişir, yani a ve 6 doğruları kesişemez, bu nedenle paraleldirler.
Sonuç 1. Aynı doğruya dik bir düzlemde iki farklı doğru paraleldir(İncir. 2).
Yorum. Teorem 1'in 1. durumunu az önce kanıtlama şeklimize, çelişki veya saçmalığa indirgeme yoluyla ispat yöntemi denir. Bu yöntem ilk adını, akıl yürütmenin başlangıcında, kanıtlanması gerekenin tersi (zıt) bir varsayımda bulunulması nedeniyle almıştır. Yapılan varsayıma dayanarak tartışarak saçma bir sonuca (saçmalık) vardığımız için saçmalığa indirgeme denir. Böyle bir sonuca varmak, bizi başlangıçta yapılan varsayımı reddetmeye ve kanıtlanması gerekeni kabul etmeye zorlar.
Görev 1. Verilen bir M noktasından geçen ve verilen bir a doğrusuna paralel, M noktasından geçmeyen bir doğru oluşturun.
Karar. M noktasından a çizgisine dik bir p çizgisi çiziyoruz (Şekil 3).
Sonra M noktasından p doğrusuna dik bir b doğrusu çiziyoruz. Teorem 1'in sonucuna göre b çizgisi a çizgisine paraleldir.
Ele alınan problemden önemli bir sonuç çıkar:
Belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya her zaman paralel bir doğru çizilebilir..
Paralel çizgilerin ana özelliği aşağıdaki gibidir.
Paralel doğruların aksiyomu. Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen, verilen doğruya paralel sadece bir doğru vardır.
Bu aksiyomdan çıkan paralel çizgilerin bazı özelliklerini düşünün.
1) Bir doğru, iki paralel çizgiden biriyle kesişiyorsa, diğeriyle de kesişir (Şek. 4).
2) İki farklı çizgi üçüncü çizgiye paralel ise paraleldir (Şek. 5).
Aşağıdaki teorem de doğrudur.
Teorem 2. İki paralel çizgi bir kesen tarafından kesiliyorsa, o zaman:
yatma açıları eşittir;
karşılık gelen açılar eşittir;
tek kenarlı açıların toplamı 180° dir.
Sonuç 2. Bir doğru iki paralelden birine dik ise diğerine de diktir.(bkz. Şekil 2).
Yorum. Teorem 2, Teorem 1'in tersi olarak adlandırılır. Teorem 1'in sonucu, Teorem 2'nin koşuludur. Ve Teorem 1'in koşulu, Teorem 2'nin sonucudur. Her teoremin tersi yoktur, yani. belirli bir teorem doğruysa, o zaman ters teorem yanlış olabilir.
Bunu dikey açılarla ilgili teorem örneği ile açıklayalım. Bu teorem şu şekilde formüle edilebilir: eğer iki açı dikey ise, o zaman eşittir. Ters teorem şu olurdu: iki açı eşitse, o zaman dikeydir. Ve bu, elbette, doğru değil. İki eşit açının hiç dikey olması gerekmez.
örnek 1İki paralel çizgi üçte biri ile kesişir. İki iç tek kenarlı açı arasındaki farkın 30° olduğu bilinmektedir. Bu açıları bulun.
Karar. Şekil 6 koşulu karşılasın.
