Bir üçgen, aynı düz çizgi üzerinde olmayan üç nokta ve onları birbirine bağlayan üç çizgi parçasıdır. Aksi takdirde, bir üçgen tam olarak üç açısı olan bir çokgendir.

Bu üç noktaya üçgenin köşeleri, parçalara ise üçgenin kenarları denir. Bir üçgenin kenarları, üçgenin köşelerinde üç açı oluşturur.

İkizkenar üçgen, iki kenarı birbirine eşit olan üçgendir. Bu kenarlara kenar, üçüncü kenara ise taban denir. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

Üç kenarı da eşit olan eşkenar veya dik üçgen denir. Bir eşkenar üçgenin tüm açıları da eşittir ve 60°'ye eşittir.

İsteğe bağlı bir üçgenin alanı aşağıdaki formüllerle hesaplanır: veya

Bir dik üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Düzenli veya eşkenar üçgenin alanı aşağıdaki formüllerle hesaplanır: veya veya

Neresi a,b,c- bir üçgenin kenarları h- üçgenin yüksekliği, y- kenarlar arasındaki açı, R- çevrelenmiş dairenin yarıçapı, r yazılı dairenin yarıçapıdır.

Bir üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri

Aşağıda keyfi bir üçgenin alanını bulmak için formüllerözellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun herhangi bir üçgenin alanını bulmak için uygundur. Formüller bir resim şeklinde sunulur, işte bunların doğruluğunun uygulanması veya gerekçelendirilmesi için açıklamalar. Ayrıca, ayrı bir şekil, formüllerdeki harf sembollerinin ve çizimdeki grafik sembollerin karşılıklarını gösterir.

Not . Üçgenin özel özellikleri varsa (ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıdaki formülleri ve ayrıca yalnızca bu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan özel formülleri kullanabilirsiniz:

• "Eşkenar üçgenin alanı için formüller"

Üçgen alan formülleri

Formüller için açıklamalar:
a, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenar uzunlukları
r- üçgende yazılı dairenin yarıçapı
R- üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapı
h- yana indirilmiş üçgenin yüksekliği
p- bir üçgenin yarı çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α - üçgenin a tarafının karşısındaki açı
β - üçgenin b tarafının karşısındaki açı
γ - üçgenin c tarafının karşısındaki açı
h a, h b , h c- a, b, c tarafına indirilen üçgenin yüksekliği

Lütfen verilen gösterimin yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın, böylece geometride gerçek bir problemi çözerken, formülde doğru yerlerde doğru değerleri görsel olarak değiştirmeniz sizin için daha kolay olacaktır.

• Üçgenin alanı bir üçgenin yüksekliği ile bu yüksekliğin indirildiği kenarın uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana indirilen yükseklik, keyfi bir üçgeni iki dikdörtgen olana bölecektir. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgene tamamlarsak, o zaman açıkçası, bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam olarak yarısına eşit olacaktır (Spr = bh)
• Üçgenin alanı iki kenarının çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problem çözme örneğine bakın). Bir öncekinden farklı görünmesine rağmen, kolayca ona dönüştürülebilir. Yüksekliği B açısından b kenarına düşürürsek, bir dik üçgendeki sinüsün özelliklerine göre a kenarı ile γ açısının sinüsünün çarpımının, çizilen üçgenin yüksekliğine eşit olduğu ortaya çıkar. bize önceki formülü verecek olan
• İsteğe bağlı bir üçgenin alanı bulunabilir vasıtasıyla İş tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı tarafından içine yazılan bir dairenin yarıçapının yarısı(Formül 3), başka bir deyişle, üçgenin yarım çevresini yazılı dairenin yarıçapı ile çarpmanız gerekir (böyle hatırlamak daha kolay)
• Rastgele bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımını, etrafı çevrili dairenin 4 yarıçapına bölerek bulunabilir (Formül 4)
• Formül 5, kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi (tüm kenarlarının toplamının yarısı) cinsinden bir üçgenin alanını bulmaktır.
• balıkçıl formülü(6) aynı formülün yarım çevre kavramı kullanılmadan, sadece kenarların uzunlukları üzerinden bir temsilidir.
• Rastgele bir üçgenin alanı, üçgenin kenarının karesinin ürününe ve bu kenara bitişik açıların sinüslerinin, bu kenarın karşısındaki açının çift sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 7)
• Rastgele bir üçgenin alanı, etrafı çevrili bir dairenin iki karesinin ve her bir açısının sinüsünün ürünü olarak bulunabilir. (Formül 8)
• Bir kenarın uzunluğu ve ona bitişik iki açının büyüklüğü biliniyorsa, o zaman üçgenin alanı, bu tarafın karesi olarak, bunların kotanjantlarının çift toplamına bölünmesiyle bulunabilir. açılar (Formül 9)
• Bir üçgenin yalnızca yüksekliklerinin her birinin uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülünde olduğu gibi bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
• Formül 11 hesaplamanızı sağlar köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, köşelerin her biri için (x;y) değerleri olarak verilir. Bireysel (veya hatta tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler alanında olabileceğinden, elde edilen değerin modulo alınması gerektiğini lütfen unutmayın.

Not. Aşağıdakiler, bir üçgenin alanını bulmak için geometride problem çözme örnekleridir. Burada olmayan benzer bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa - forumda bunun hakkında yazın. Çözümlerde, sqrt'nin karekök sembolü olduğu ve radikal ifadenin parantez içinde gösterildiği "kare kök" sembolü yerine sqrt() işlevi kullanılabilir..Bazen sembol basit radikal ifadeler için kullanılabilir. √

Görev. İki kenarı verilen alanı ve aralarındaki açıyı bulun

Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm, aralarındaki açı 60 derecedir. Bir üçgenin alanını bulun.

Karar.

Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmından iki numaralı formülü kullanıyoruz.
Bir üçgenin alanı, iki kenarın uzunlukları ve aralarındaki açının sinüsü aracılığıyla bulunabilir ve buna eşit olacaktır.
S=1/2 ab sin γ

Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuz için (formüle göre), sadece problem ifadesindeki değerleri formüle değiştirebiliriz:
S=1/2*5*6*sin60

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda, sinüsün 60 derece değerini ifadede bulur ve değiştiririz. Üçe iki köküne eşit olacaktır.
S = 15 √3 / 2

Cevap: 7.5 √3 (Öğretmenin ihtiyacına göre 15 √3/2 bırakmak mümkün olabilir)

Görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun

Kenarları 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulunuz.

Karar .

Bir üçgenin alanı, Heron formülü kullanılarak bulunabilir:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c olduğundan, bir eşkenar üçgenin alan formülü şu şekilde olacaktır:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Cevap: 9 √3 / 4.

Görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanda değişiklik

Kenarlar dörde katlanırsa üçgenin alanı kaç kat artar?

Karar.

Üçgenin kenarlarının boyutları bizim için bilinmediğinden, sorunu çözmek için kenarların uzunluklarının sırasıyla a, b, c keyfi sayılarına eşit olduğunu varsayacağız. Daha sonra sorunun cevabını bulmak için bu üçgenin alanını buluyoruz ve ardından kenarları dört kat daha büyük olan bir üçgenin alanını buluyoruz. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize sorunun cevabını verecektir.

Ardından, sorunun çözümünün adım adım metinsel bir açıklamasını veriyoruz. Ancak en sonunda, aynı çözüm, algı için daha uygun olan grafiksel bir biçimde sunulmaktadır. Dileyen hemen çözümü bırakabilir.

Çözmek için Heron formülünü kullanıyoruz (yukarıya dersin teorik bölümünde bakın). Şuna benziyor:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin ilk satırına bakın)

Rastgele bir üçgenin kenar uzunlukları a, b, c değişkenleri tarafından verilir.
Kenarlar 4 kat artırılırsa, yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:

S 2 = 1/4 kare((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimdeki ikinci satıra bakın)

Gördüğünüz gibi 4, matematiğin genel kurallarına göre dört ifadenin hepsinden parantez içine alınabilecek ortak bir faktördür.
Sonra

S 2 = 1/4 kare(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - resmin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 kare(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü satır

256 sayısından karekök mükemmel bir şekilde çıkarılır, bu yüzden onu kökün altından çıkaracağız.
S 2 = 16 * 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki şeklin beşinci satırına bakın)

Problemde ortaya çıkan soruyu cevaplamak için ortaya çıkan üçgenin alanını orijinalin alanına bölmemiz yeterlidir.
İfadeleri birbirine bölüp elde edilen kesri küçülterek alan oranlarını belirliyoruz.

Bir üçgenin tanımı

Üçgen- Bu, uçları tek bir düz çizgi üzerinde olmayan üç parçanın kesişmesi sonucu oluşan geometrik bir şekildir. Herhangi bir üçgenin üç kenarı, üç köşesi ve üç açısı vardır.

Cevrimici hesap makinesi

üçgenler Çeşitli türler. Örneğin, bir eşkenar üçgen (tüm tarafların eşit olduğu), ikizkenar (içinde iki taraf eşittir) ve dik açılı (açılardan birinin dik olduğu, yani 90 dereceye eşit olduğu) vardır. ).

Bir üçgenin alanı, şeklin hangi elemanlarının problemin durumuna göre bilindiğine, açılar, uzunluklar veya genel olarak dairelerin yarıçapları olup olmadığına bağlı olarak çeşitli şekillerde bulunabilir. üçgen. Her yöntemi örneklerle ayrı ayrı ele alın.

Tabanı ve yüksekliği verilen bir üçgenin alan formülü

S = 1 2 ⋅ bir ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ bir ⋅h,

bir a- üçgenin tabanı;
ss h- verilen tabana çizilen üçgenin yüksekliği a.

Misal

Tabanının uzunluğu 10 (cm) ve bu tabana çizilen yükseklik 5 (cm) biliniyorsa bir üçgenin alanını bulun.

Karar

A=10 a=10 bir =1 0
h=5 h=5 h =5

Alan için formülde değiştirin ve şunu elde edin:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (bkz. sq.)

Cevap: 25 (bkz. sq.)

Tüm kenarların uzunlukları verilen bir üçgenin alan formülü

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - a ) ⋅ (p - b ) ⋅ (p - c )​ ,

A , b , c a, b, c a, b, c- üçgenin kenarlarının uzunluğu;
kişi p- üçgenin tüm kenarlarının toplamının yarısı (yani, üçgenin çevresinin yarısı):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (bir +b +c)

Bu formül denir balıkçıl formülü.

Misal

Üç kenarının uzunlukları biliniyorsa, 3'e (bkz.), 4'e (bkz.), 5'e (bkz.) eşit olan bir üçgenin alanını bulun.

Karar

A=3 a=3 bir =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

çevrenin yarısını bul kişi p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Ardından, Heron'un formülüne göre bir üçgenin alanı:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (bkz. sq.)

Cevap: 6 (bkz. sq.)

Bir kenar ve iki açı verilen bir üçgenin alanı için formül

S = a 2 2 ⋅ günah ⁡ β günah ⁡ γ günah ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gama))S=2 a 2 ​ ⋅ günah(β+γ)günah β günah γ ​ ,

bir a- üçgenin kenarının uzunluğu;
β , γ \beta, \gamma β , γ - yana bitişik açılar bir a.

Misal

10'a eşit bir üçgenin bir kenarı (bkz.) ve 30 derecelik iki bitişik açı verildi. Bir üçgenin alanını bulun.

Karar

A=10 a=10 bir =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Formüle göre:

S = 1 0 2 2 ⋅ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ 3 0 ∘ günah ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\yaklaşık14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ günah(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) günah 3 0 ∘ günah 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (bkz. sq.)

Cevap: 14.4 (bkz. sq.)

Üç kenar verilen bir üçgenin alanı ve çevrelenmiş dairenin yarıçapı için formül

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Rbir ⋅ b ⋅ c​ ,

A , b , c a, b, c a, b, c- bir üçgenin kenarları
R R Rüçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Misal

İkinci sorunumuzdan sayıları alıyoruz ve onlara bir yarıçap ekliyoruz. R R Rçevreler. 10'a eşit olsun (bkz.).

Karar

A=3 a=3 bir =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (bkz. sq.)

Cevap: 1.5 (cm.sq.)

Üç kenar verilen bir üçgenin alanı ve yazılı bir dairenin yarıçapı için formül

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= p⋅ r,

kişip- üçgenin çevresinin yarısı:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)p= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- bir üçgenin kenarları
r rrüçgende yazılı dairenin yarıçapıdır.

Misal

Yazılı dairenin yarıçapı 2'ye eşit olsun (bkz.). Kenar uzunluklarını önceki problemden alıyoruz.

Karar

$a=3b=4\; b=4b=4c=5\; c=5c=5r=2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (bkz. sq.)

Cevap: 12 (bkz. sq.)

İki kenarı ve aralarındaki açı verilen bir üçgenin alanı için formül

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ günah ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ günah(α ) ,

b, cb, cb, c- bir üçgenin kenarları

α\alfaα - kenarlar arasındaki açı bbb ve c cc.

Misal

Üçgenin kenarları 5 (bkz.) ve 6 (bkz.), aralarındaki açı 30 derecedir. Bir üçgenin alanını bulun.

Karar

$b=5c=6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ günah ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ günah(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (bkz. sq.)

Cevap: 7.5 (bkz. sq.)

Üçgen, üç kenar ve üç köşeden oluşan en basit geometrik şekildir. Sadeliği nedeniyle, üçgen eski zamanlardan beri çeşitli ölçümler için kullanılmıştır ve bugün şekil, pratik ve günlük sorunları çözmek için yararlı olabilir.

Üçgen Özellikleri

Şekil, eski zamanlardan beri hesaplamalar için kullanılmıştır, örneğin, haritacılar ve astronomlar alanları ve mesafeleri hesaplamak için üçgenlerin özellikleriyle çalışırlar. Bu şeklin alanı aracılığıyla, herhangi bir n-gonun alanını ifade etmek kolaydır ve bu özellik, eski bilim adamları tarafından çokgen alanları için formüller türetmek için kullanılmıştır. Üçgenlerle, özellikle de dik üçgenle sürekli çalışma, matematiğin bütün bir bölümünün - trigonometrinin temeli haline geldi.

üçgen geometri

Geometrik figürün özellikleri eski zamanlardan beri incelenmiştir: Üçgen hakkında en eski bilgiler 4000 yıllık Mısır papirüslerinde bulunmuştur. Daha sonra figür antik Yunanistan'da incelenmiş ve üçgenin geometrisine en büyük katkı Öklid, Pisagor ve Heron tarafından yapılmıştır. Üçgenin incelenmesi hiç durmadı ve 18. yüzyılda Leonhard Euler, figürün ortomerkezi ve Euler çemberi kavramını tanıttı. 19. ve 20. yüzyılların başında, üçgen hakkında kesinlikle her şeyin bilindiği göründüğünde, Frank Morley açı trisectrix teoremini formüle etti ve Vaclav Sierpinski fraktal üçgeni önerdi.

Okul geometri kursundan bize tanıdık gelen birkaç düz üçgen türü vardır:

• dar açılı - şeklin tüm köşeleri keskindir;
• geniş - şeklin bir geniş açısı vardır (90 dereceden büyük);
• dikdörtgen - şekil 90 dereceye eşit bir dik açı içerir;
• ikizkenar - iki eşit kenarı olan bir üçgen;
• eşkenar - tüm kenarları eşit olan bir üçgen.
• Gerçek hayatta her çeşit üçgen vardır ve bazı durumlarda geometrik bir şeklin alanını hesaplamamız gerekebilir.

Bir üçgenin alanı

Alan, şeklin düzlemin ne kadarını sınırladığının bir tahminidir. Bir üçgenin alanı, kenarları, yüksekliği, açıları, yazılı veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını kullanarak ve ayrıca Heron formülünü kullanarak veya düzlemi sınırlayan çizgiler üzerinde bir çift katlı integrali hesaplayarak altı şekilde bulunabilir. Bir üçgenin alanını hesaplamak için en basit formül:

a üçgenin kenarı olduğunda, h yüksekliğidir.

Ancak pratikte geometrik bir şeklin yüksekliğini bulmak her zaman bizim için uygun değildir. Hesap makinemizin algoritması, aşağıdakileri bilerek alanı hesaplamanıza olanak tanır:

• üç taraf;
• iki taraf ve aralarındaki açı;
• bir taraf ve iki köşe.

Alanı üç kenar cinsinden belirlemek için Heron'un formülünü kullanırız:

S = kare (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))),

p, üçgenin yarım çevresidir.

İki taraftaki alan ve bir açının hesaplanması klasik formüle göre yapılır:

S = a × b × günah(alfa),

alfa, a ve b kenarları arasındaki açıdır.

Bir kenar ve iki köşeden geçen alanı belirlemek için şu bağıntıyı kullanırız:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Basit bir orantı kullanarak ikinci kenarın uzunluğunu belirleriz, ardından S = a × b × sin (alfa) formülünü kullanarak alanı hesaplarız. Bu algoritma tamamen otomatiktir ve sadece verilen değişkenleri girmeniz ve sonucu almanız yeterlidir. Birkaç örneğe bakalım.

Gerçek hayattan örnekler

kaldırım levhaları

Diyelim ki zemini üçgen karolarla döşemek istiyorsunuz ve gerekli malzeme miktarını belirlemek için bir karo alanını ve zemin alanını öğrenmelisiniz. Boyutları a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm olan bir karo kullanarak 6 metrekarelik bir yüzeyin işlenmesi gerekli olsun.Açıkçası, hesap makinesi bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülünü kullanır ve sonucu verecektir:

Böylece, bir karo elemanının alanı 0.021 metrekare olacak ve zemini iyileştirmek için 6 / 0.021 \u003d 285 üçgene ihtiyacınız olacak. 20, 21 ve 29 sayıları, tatmin edici Pisagor üçlü sayılarını oluşturur. Ve bu doğru, hesap makinemiz üçgenin tüm açılarını da hesapladı ve gama açısı tam olarak 90 derece.

okul görevi

Bir okul probleminde, bir kenarın a \u003d 5 cm olduğunu ve yaranın alfa ve beta açılarının sırasıyla 30 ve 50 derece olduğunu bilerek bir üçgenin alanını bulmanız gerekir. Bu problemi manuel olarak çözmek için, önce kenarların ve karşı açıların sinüslerinin oranını kullanarak b tarafının değerini buluruz ve sonra S = a × b × sin(alfa) basit formülünü kullanarak alanı belirleriz. Zamandan tasarruf edelim, verileri hesap makinesi formuna girin ve anında cevap alın.

Hesap makinesi kullanırken açıları ve kenarları doğru bir şekilde belirlemek önemlidir, aksi takdirde sonuç yanlış olacaktır.

Çözüm

Üçgen, hem gerçek hayatta hem de soyut hesaplamalarda ortaya çıkan benzersiz bir figürdür. Her türden üçgenin alanını bulmak için çevrimiçi hesap makinemizi kullanın.

Bir üçgenin alanı. Alanların hesaplanmasıyla ilgili birçok geometri probleminde üçgenin alanı için formüller kullanılır. Bunlardan birkaçı var, burada ana olanları ele alacağız.Bu formülleri listelemek çok basit ve yararsız olur. En sık kullanılan ana formüllerin kökenini analiz edeceğiz.

Formüllerin türetilmesine aşina olmadan önce, makaleye baktığınızdan emin olun.Malzemeyi inceledikten sonra, formülleri bellekte kolayca geri yükleyebilirsiniz (ihtiyacınız olduğu anda aniden “uçarlarsa”).

İlk formül

Bir paralelkenarın köşegeni onu eşit alana sahip iki üçgene böler:

Bu nedenle, üçgenin alanı paralelkenarın alanının yarısına eşit olacaktır:

üçgen alan formülü

* Yani, üçgenin herhangi bir tarafını ve bu tarafa indirilen yüksekliği biliyorsak, o zaman bu üçgenin alanını her zaman hesaplayabiliriz.

Formula 2

Paralelkenar alanıyla ilgili makalede daha önce belirtildiği gibi, formül şu şekildedir:

Bir üçgenin alanı, alanının yarısıdır, yani:

*Yani bir üçgende herhangi iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, böyle bir üçgenin alanını her zaman hesaplayabiliriz.

Heron formülü (üçüncü)

Bu formülü elde etmek zordur ve buna ihtiyacınız yoktur. Bakın ne kadar güzel, hatırlanıyor diyebiliriz.

*Bir üçgenin üç kenarı verilmişse, bu formülü kullanarak alanını her zaman hesaplayabiliriz.

Formula Dört

nerede ryazılı dairenin yarıçapıdır

*Bir üçgenin üç kenarı ve içinde yazılı dairenin yarıçapı biliniyorsa, o zaman bu üçgenin alanını her zaman bulabiliriz.

formül beş

nerede Rçevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

*Bir üçgenin üç kenarı ve çevrelenmiş dairenin yarıçapı biliniyorsa, o zaman böyle bir üçgenin alanını her zaman bulabiliriz.

Soru ortaya çıkıyor: Bir üçgenin üç tarafı biliniyorsa, Heron formülünü kullanarak alanını bulmak daha kolay değil mi!

Evet daha kolay ama her zaman değil bazen zor oluyor. Kök çıkarma ile ilgisi var. Ek olarak, bu formüller, bir üçgenin alanının verildiği, kenarlarının verildiği ve yazılı veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmanın gerekli olduğu problemlerde kullanmak için çok uygundur. Bu tür görevler sınava dahildir.

Formüle bir göz atalım:

Bir dairenin yazılı olduğu bir çokgenin alanı için formülün özel bir halidir:

Bir beşgen örneğinde düşünün:

Çemberin merkezini bu beşgenin köşeleriyle birleştiriyoruz ve merkezden yanlarına dik açılar bırakıyoruz. Düşen dikeylerin yazılı dairenin yarıçapları olduğu beş üçgen elde ederiz:

Beşgenin alanı:

Şimdi, bir üçgenden bahsediyorsak, bu formülün şu şekli aldığı açıktır:

formül altı