В живота често ни се налага да се сблъскваме с математически проблеми: в училище, в университета и след това да помагаме на детето си с домашните. Хората с определени професии ще се сблъскват ежедневно с математиката. Ето защо е полезно да запомните или припомните математически правила. В тази статия ще анализираме един от тях: намиране на катета на правоъгълен триъгълник.
Какво е правоъгълен триъгълник
Първо, нека си спомним какво е правоъгълен триъгълник. Правоъгълният триъгълник е геометрична фигура от три сегмента, които свързват точки, които не лежат на една и съща права линия, а един от ъглите на тази фигура е 90 градуса. Страните, образуващи прав ъгъл, се наричат катети, а страната, която лежи срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза.
Намиране на катета на правоъгълен триъгълник
Има няколко начина да разберете дължината на крака. Бих искал да ги разгледам по-подробно.
Питагорова теорема за намиране на катета на правоъгълен триъгълник
Ако знаем хипотенузата и катета, тогава можем да намерим дължината на неизвестния катет, използвайки питагоровата теорема. Звучи така: "Квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катета." Формула: c²=a²+b², където c е хипотенузата, a и b са катетите. Преобразуваме формулата и получаваме: a²=c²-b².
Пример. Хипотенузата е 5 см, а катетът е 3 см. Преобразуваме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². След това решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).
Тригонометрични отношения за намиране на катета на правоъгълен триъгълник
Възможно е също да се намери неизвестен крак, ако са известни друга страна и всеки остър ъгъл на правоъгълен триъгълник. Има четири опции за намиране на крака с помощта на тригонометрични функции: по синус, косинус, тангенс, котангенс. За да разрешим проблемите, таблицата по-долу ще ни помогне. Нека разгледаме тези опции.
Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате синуса
Синусът на ъгъл (sin) е съотношението на противоположния катет към хипотенузата. Формула: sin \u003d a / c, където a е кракът срещу дадения ъгъл, а c е хипотенузата. След това трансформираме формулата и получаваме: a=sin*c.
Пример. Хипотенузата е 10 см, а ъгълът А е 30 градуса. Според таблицата изчисляваме синуса на ъгъл A, той е равен на 1/2. След това, използвайки трансформираната формула, решаваме: a=sin∠A*c; а=1/2*10; a=5 (см).
Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате косинус
Косинусът на ъгъл (cos) е отношението на съседния катет към хипотенузата. Формула: cos \u003d b / c, където b е кракът, съседен на дадения ъгъл, а c е хипотенузата. Нека трансформираме формулата и получаваме: b=cos*c.
Пример. Ъгъл А е 60 градуса, хипотенузата е 10 см. Според таблицата изчисляваме косинуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).
Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате допирателната
Тангенсът на ъгъл (tg) е отношението на противоположния крак към съседния. Формула: tg \u003d a / b, където a е кракът, противоположен на ъгъла, а b е съседен. Нека трансформираме формулата и получаваме: a=tg*b.
Пример. Ъгъл A е 45 градуса, хипотенузата е 10 см. Според таблицата изчисляваме тангенса на ъгъл A, той е равен на Solve: a=tg∠A*b; а=1*10; a=10 (см).
Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате котангенса
Котангенсът на ъгъл (ctg) е отношението на съседния крак към противоположния крак. Формула: ctg \u003d b / a, където b е кракът, съседен на ъгъла, и е противоположен. С други думи, котангенсът е "обърната допирателна". Получаваме: b=ctg*a.
Пример. Ъгъл А е 30 градуса, противоположният катет е 5 см. Според таблицата тангенсът на ъгъл А е √3. Изчислете: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).
И така, сега знаете как да намерите крака в правоъгълен триъгълник. Както можете да видите, не е толкова трудно, основното е да запомните формулите.
Започваме нашето изучаване на тригонометрията с правоъгълен триъгълник. Нека дефинираме какво представляват синусът и косинусът, както и тангенсът и котангенсът на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.
Припомнете си това прав ъгъле ъгъл равен на . С други думи, половината от разгънатия ъгъл.
Остър ъгъл- по-малък.
Тъп ъгъл- по-голям. Във връзка с такъв ъгъл "тъп" не е обида, а математически термин :-)
Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Обикновено се обозначава прав ъгъл. Имайте предвид, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. И така, страната, лежаща срещу ъгъла, е обозначена.
Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.
ХипотенузаПравоъгълен триъгълник е страната, противоположна на правия ъгъл.
Крака- страни срещу остри ъгли.
Кракът срещу ъгъла се нарича противоположно(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи от едната страна на ъгъла, се нарича съседен.
Синусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния катет към хипотенузата:
косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към хипотенузата:
Тангентаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположния крак към съседния:
Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:
Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към противоположния (или, еквивалентно, съотношението на косинус към синус):
Обърнете внимание на основните съотношения за синус, косинус, тангенс и котангенс, които са дадени по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаването на проблеми.
Нека докажем някои от тях.
1. Сборът от ъглите на всеки триъгълник е . означава, сумата от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е .
2. От една страна, като отношението на противоположния катет към хипотенузата. От друга страна, тъй като за ъгъла кракът ще бъде съседен.
Ние разбираме това. С други думи, .
3. Вземете теоремата на Питагор: . Нека разделим двете части на:
имаме основна тригонометрична идентичност:
По този начин, знаейки синуса на ъгъла, можем да намерим неговия косинус и обратно.
4. Разделяйки двете части на основната тригонометрична идентичност на , получаваме:
Това означава, че ако ни е даден тангенсът на остър ъгъл, тогава можем веднага да намерим неговия косинус.
по същия начин,
Добре, дадохме определения и написали формули. Но защо имаме нужда от синус, косинус, тангенс и котангенс?
Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е.
Ние знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е питагоровата теорема: .
Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки две страни в правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. И така, за ъглите - тяхното съотношение, за страните - тяхното собствено. Но какво да направите, ако в правоъгълен триъгълник са известни един ъгъл (с изключение на правилния) и едната страна, но трябва да намерите други страни?
С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на района и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.
Синус, косинус и тангенс - те също се наричат тригонометрични функции на ъгъла- дайте съотношението между партиии ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции с помощта на специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангентите на ъглите на триъгълник и една от неговите страни, можете да намерите останалите.
Ще начертаем и таблица със стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс за "добри" ъгли от до.
Обърнете внимание на двете червени чертички в таблицата. За съответните стойности на ъглите тангенсът и котангенсът не съществуват.
Нека анализираме няколко проблема по тригонометрия от задачите на Bank of FIPI.
1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .
Проблемът се решава за четири секунди.
Тъй като имаме: .
2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам . , е равно на половината от хипотенузата.
Триъгълник с ъгли , и е равнобедрен. В него хипотенузата е в пъти по-голяма от катета.
Един от клоновете на математиката, с които учениците се справят с най-големите трудности, е тригонометрията. Нищо чудно: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способност да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изразите и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да прилагате тригонометрия при доказване на теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.
Произход на тригонометрията
Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синуса, косинуса и тангенса на ъгъла, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.
Исторически, правоъгълните триъгълници са били основният обект на изследване в този раздел на математическата наука. Наличието на ъгъл от 90 градуса прави възможно извършването на различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на разглежданата фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязаха този модел и започнаха активно да го използват в строителството на сгради, навигация, астрономия и дори изкуство.
Първи етап
Първоначално хората говореха за връзката на ъглите и страните изключително на примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които позволиха да се разширят границите на употреба в ежедневието на този раздел от математиката.
Изучаването на тригонометрията в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което придобитите знания се използват от учениците по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, работата с които започва в гимназията.
Сферична тригонометрия
По-късно, когато науката достига следващото ниво на развитие, в сферичната геометрия започват да се използват формули със синус, косинус, тангенс, котангенс, където се прилагат различни правила, а сборът на ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му, най-малкото защото земната повърхност, както и повърхността на всяка друга планета, е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще бъде "дъговидна" в триизмерно пространство.
Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на глобуса, така че да е опънат. Обърнете внимание - той е придобил формата на дъга. Именно с такива форми се занимава сферичната геометрия, която се използва в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.
Правоъгълен триъгълник
След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да се използват.
Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната, противоположна на ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема нейната числена стойност е равна на корена от сбора на квадратите на другите две страни.
Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.
Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат крака. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е 180 градуса.
Определение
И накрая, със солидно разбиране на геометричната основа, можем да се обърнем към дефиницията на синуса, косинуса и тангенса на ъгъла.
Синусът на ъгъла е съотношението на противоположния катет (т.е. страната срещу желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъла е отношението на съседния катет към хипотенузата.
Не забравяйте, че нито синусът, нито косинусът могат да бъдат по-големи от единица! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата. Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното съотношение винаги ще бъде по-малко от единица. По този начин, ако получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1 в отговора на задачата, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор очевидно е грешен.
И накрая, тангенсът на ъгъла е съотношението на противоположната страна към съседната страна. Същият резултат ще даде разделянето на синуса на косинус. Вижте: в съответствие с формулата, ние разделяме дължината на страната на хипотенузата, след което разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. По този начин получаваме същото съотношение като при дефиницията на допирателната.
Котангенсът, съответно, е отношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим единицата на допирателната.
И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да се справим с формули.
Най-простите формули
В тригонометрията не може без формули - как да намерим синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? И точно това се изисква при решаване на проблеми.
Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, казва, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъла е равна на единица. Тази формула е пряко следствие от теоремата на Питагор, но спестява време, ако искате да знаете стойността на ъгъла, а не на страната.
Много ученици не могат да си спомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сборът от единица и квадратът на тангенса на ъгъл е равен на единицата, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: в края на краищата това е същото твърдение като в първата формула, само двете страни на идентичността бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за преобразуване и няколко основни формули, можете по всяко време самостоятелно да извлечете необходимите по-сложни формули на лист хартия.
Формули за двоен ъгъл и добавяне на аргументи
Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сумата и разликата на ъглите. Те са показани на фигурата по-долу. Моля, имайте предвид, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя двойното произведение на синуса и косинуса.
Има и формули, свързани с аргументи за двоен ъгъл. Те са изцяло извлечени от предишните – като практика опитайте да ги получите сами, като вземете ъгъла на алфа равен на ъгъла на бета.
И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат преобразувани за понижаване на степента на синус, косинус, тангенс алфа.
Теореми
Двете основни теореми в основната тригонометрия са теоремата за синусите и теоремата за косинусите. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.
Теоремата за синусите гласи, че в резултат на разделянето на дължината на всяка от страните на триъгълника на стойността на противоположния ъгъл, получаваме същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки от дадения триъгълник.
Косинусовата теорема обобщава питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сбора на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния до тях ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така теоремата на Питагор се оказва частен случай на косинусовата теорема.
Грешки поради невнимание
Дори като знаете какво са синус, косинус и тангенс, е лесно да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека се запознаем с най-популярните от тях.
Първо, не трябва да преобразувате обикновени дроби в десетични, докато не се получи крайният резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако условието не посочва друго. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще губите време за ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или две, защото се срещат в задачите на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на "грозните" числа.
Освен това, имайте предвид, че косинусовата теорема важи за всеки триъгълник, но не и питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, вие не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълно неразбиране на темата. Това е по-лошо от небрежна грешка.
Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синусът от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги смесите, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.
Приложение
Много студенти не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейното приложно значение. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, благодарение на които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит, да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването на повърхността или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музика до медицина.
Най-накрая
Значи вие сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и успешно да решавате училищни задачи.
Цялата същност на тригонометрията се свежда до факта, че неизвестните параметри трябва да бъдат изчислени от известните параметри на триъгълника. Има общо шест параметъра: дължините на трите страни и величините на три ъгъла. Цялата разлика в задачите се състои във факта, че се дават различни входни данни.
Как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известни дължини на краката или хипотенузата, сега знаете. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричния проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.
Глава I. Решение на правоъгълни триъгълници
§3 (37). Основни съотношения и задачи
В тригонометрията се разглеждат задачи, при които се изисква да се изчислят определени елементи на триъгълник чрез достатъчен брой числови стойности на дадените му елементи. Тези задачи обикновено се наричат решениетриъгълник.
Нека ABC е правоъгълен триъгълник, C - прав ъгъл, аи б- крака срещу остри ъгли A и B, с- хипотенуза (фиг. 3);
тогава имаме:
Косинусът на острия ъгъл е съотношението на съседния крак към хипотенузата:
cos A = б/ ° С, cos B = а / ° С (1)
Синусът на острия ъгъл е съотношението на противоположния крак към хипотенузата:
sin A = а / ° С, sin B = б/ ° С (2)
Тангенсът на острия ъгъл е съотношението на противоположния крак към съседния:
тен A = а / б, tg B = б/ а (3)
Котангенсът на острия ъгъл е съотношението на съседния крак към противоположния:
ctgA= б/ а, ctg B = а / б (4)
Сборът от острите ъгли е 90°.
Основни задачи за правоъгълни триъгълници.
Задача I. Имайки предвид хипотенузата и един от острите ъгли, изчислете останалите елементи.
Решение.Нека дадено си A. Ъгъл B = 90° - A също е известен; краката се намират от формули (1) и (2).
a = c sinA, b = c cos A.
Задача II . Даден е крак и един от острите ъгли, изчислете останалите елементи.
Решение.Нека дадено аи A. Ъгъл B = 90° - A е известен; от формули (3) и (2) намираме:
б = а tg B (= а ctg A), с = а/грях А
Задача III. Като се имат предвид катета и хипотенузата, изчислете останалите елементи.
Решение.Нека дадено аи с(и а< с ). От равенства (2) намираме ъгъла A:
sin A = а / ° Си A = arc sin а / ° С ,
и накрая кракът б:
б = с cos A (= сгрях Б).
Задача IV. Крака a и b са дадени за намиране на други елементи.
Решение.От равенства (3) намираме остър ъгъл, например A:
tg A = а / б, A = арктан а / б ,
ъгъл B \u003d 90 ° - A,
хипотенуза: ° С = а/sin A (= б/sinB; = а/cos B)
По-долу е даден пример за решаване на правоъгълен триъгълник с помощта на логаритмични таблици*.
* Изчисляването на елементите на правоъгълни триъгълници по естествени таблици е известно от курса по геометрия на VIII клас.
Когато се изчислява с помощта на логаритмични таблици, трябва да се изпишат съответните формули, да се прологаритъмът, да се заменят числови данни, да се намерят необходимите логаритми на известни елементи (или техните тригонометрични функции) от таблиците, да се изчислят логаритмите на желаните елементи (или техните тригонометрични функции ) и намерете необходимите елементи от таблиците.
Пример.Дана крак а= 166.1 и хипотенуза с= 187,3; изчисляване на остри ъгли, други крака и площ.
Решение.Ние имаме:
sin A = а / ° С; lg sin A = lg а-lg ° С; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Изчисляваме крака б:
b = a tg B ; lg б= дневник б+ lg tg B ; 
Площта на триъгълник може да се изчисли по формулата
S=1/2 аб = 0,5 а 2 tg B; 
За контрол изчисляваме ъгъла A на плъзгаща се линейка:
\u003d дъгов грях а / ° С= дъга грех 166 / 187 ≈ 62°.
Забележка.крак бможе да се изчисли по питагоровата теорема, като се използват таблиците на квадратите и квадратните корени (таблици III и IV):
б= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Несъответствие с получената по-рано стойност b= 86.48 се обяснява с грешките на таблиците, които дават приблизителните стойности на функциите. Резултатът от 86,54 е по-точен.
Както можете да видите, този кръг е изграден в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).
Всяка точка от окръжността съответства на две числа: координата по оста и координата по оста. Какви са тези координатни числа? И общо взето какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, не забравяйте за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Той е правоъгълен, защото е перпендикулярен на оста.
На какво е равно от триъгълник? Това е вярно. Освен това знаем, че е радиусът на единичната окръжност и следователно, . Заменете тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:
И на какво е равно от триъгълник? Добре, разбира се, ! Заменете стойността на радиуса в тази формула и получете:
И така, можете ли да ми кажете какви са координатите на точка, която принадлежи на окръжността? Е, няма начин? И ако осъзнавате това и са само числа? На каква координата отговаря? Е, разбира се, координатите! На каква координата отговаря? Точно така, координирайте! И така, точката.
И какви тогава са равни и? Точно така, нека използваме подходящите дефиниции на допирателна и котангенс и да получим това, а.
Ами ако ъгълът е по-голям? Ето, например, както на тази снимка:
Какво се промени в този пример? Нека го разберем. За да направите това, отново се обръщаме към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Каква е стойността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:
Е, както можете да видите, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. Следователно тези отношения са приложими за всякакви завъртания на радиус вектора.
Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега сме завъртели този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо извънредно, вие също ще получите ъгъл с определен размер, но само той ще бъде отрицателен. Така при завъртане на радиус вектора обратно на часовниковата стрелка получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.
И така, знаем, че едно цяло завъртане на радиус вектора около окръжността е или. Възможно ли е да се завърти радиус векторът с или по? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция или.
Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни оборота и ще спре в позиция или.
Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е всяко цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.
Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани с общата формула или (където е всяко цяло число)
Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичния кръг, опитайте се да отговорите на какво са равни стойностите:
Ето единичен кръг, който да ви помогне:
Някакви трудности? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:
От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени мерки на ъгъла. Е, нека започнем по ред: ъгълът в съответства на точка с координати, следователно:
Не съществува;
Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват на точки с координати, съответно. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Опитайте първо сами, след това проверете отговорите.
Отговори:
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Така можем да направим следната таблица:
Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките в единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:
Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:
Не се страхувайте, сега ще покажем един от примерите доста просто запомняне на съответните стойности:
За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса и за трите мерки на ъгъла (), както и стойността на тангенса на ъгъла в. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - косинусните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, тоест:
Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят " " ще съвпадне и знаменателят " " ще съвпадне. Стойностите на котангенса се прехвърлят в съответствие със стрелките, показани на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелки, тогава ще бъде достатъчно да запомните цялата стойност от таблицата.
Координати на точка в окръжност
Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) на окръжност, познаване на координатите на центъра на окръжността, нейния радиус и ъгъл на въртене?
Е, разбира се, че можете! Да извадим обща формула за намиране на координатите на точка.
Ето, например, имаме такъв кръг:
Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получени чрез завъртане на точката на градуси.
Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на отсечката. Дължината на отсечката съответства на координатата на центъра на окръжността, тоест е равна на. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на дефиницията на косинус:
Тогава имаме това за точката координатата.
По същата логика намираме стойността на координатата y за точката. По този начин,
Така че, общо взето, координатите на точките се определят по формулите:
Координати на центъра на кръга,
радиус на окръжност,
Ъгъл на завъртане на радиус вектора.
Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са нула, а радиусът е равен на едно:
Е, нека опитаме тези формули за вкус, практикувайки намиране на точки в кръг?
1. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получени чрез завъртане на точка.
2. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получени чрез завъртане на точка.
3. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получени чрез завъртане на точка.
4. Точка - центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получени чрез завъртане на началния радиус вектор по.
5. Точка - центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получени чрез завъртане на началния радиус вектор по.
Имате проблеми с намирането на координатите на точка в окръжност?
Решете тези пет примера (или разберете добре решението) и ще научите как да ги намерите!
1.
Вижда се, че. И знаем какво отговаря на пълен завой на изходната точка. По този начин желаната точка ще бъде в същото положение, както при завъртане към. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:
2. Кръгът е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Вижда се, че. Знаем какво отговаря на две пълни завъртания на началната точка. По този начин желаната точка ще бъде в същото положение, както при завъртане към. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:
Синусът и косинусът са таблични стойности. Ние помним техните стойности и получаваме:
Така желаната точка има координати.
3. Кръгът е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Вижда се, че. Нека изобразим разглеждания пример на фигурата:
Радиусът образува ъгли с оста, равни на и. Знаейки, че табличните стойности на косинуса и синуса са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът е положителен, имаме:
Подобни примери се анализират по-подробно при изучаване на формулите за редукция на тригонометрични функции в темата.
Така желаната точка има координати.
4.
Ъгъл на завъртане на радиус вектора (по условие)
За да определим съответните знаци на синус и косинус, ние изграждаме единична окръжност и ъгъл:
Както можете да видите, стойността, тоест, е положителна, а стойността, тоест, е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:
Нека заменим получените стойности в нашата формула и да намерим координатите:
Така желаната точка има координати.
5. За да решим този проблем, използваме формули в общ вид, където
Координатите на центъра на окръжността (в нашия пример,
Радиус на окръжност (по условие)
Ъгъл на завъртане на радиус вектора (по условие).
Заменете всички стойности във формулата и получете:
и - таблични стойности. Запомняме ги и ги заместваме във формулата:
Така желаната точка има координати.
ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА
Синусът на ъгъла е отношението на противоположния (далечен) катет към хипотенузата.
Косинусът на ъгъла е отношението на съседния (близък) катет към хипотенузата.
Тангенсът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близкия).
Котангенсът на ъгъла е съотношението на съседния (близък) крак към противоположния (далеч).
