Ikki burchak vertikal deyiladi, agar bir burchakning tomonlari ikkinchisining yon tomonlarining kengaytmasi bo'lsa.
Rasmda burchaklar ko'rsatilgan 1 va 3 , shuningdek burchaklar 2 va 4 - vertikal. In'ektsiya 2 ikkala burchakka ham ulashgan 1 , va burchak bilan 3. Qo'shni burchaklar xususiyatiga ko'ra 1 +2 =180 0 va 3 +2 =1800. Bu erdan biz olamiz: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Shunday qilib, burchaklarning daraja o'lchovlari 1 va 3 teng. Bundan kelib chiqadiki, burchaklarning o'zlari tengdir. Shunday qilib, vertikal burchaklar teng.
2. Uchburchaklar tenglik belgilari.
Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.
Agar bitta uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagiga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.
3. Agar bir uchburchakning uch tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar tengdir.
Uchburchaklar tengligining 1 belgisi:
ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklarini ko'rib chiqing, ularda AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, A va A 1 burchaklari teng. ABC=A 1 B 1 C 1 ekanligini isbotlaymiz.
(y) A \u003d (y) A 1 bo'lgani uchun, ABC uchburchagini A 1 B 1 C 1 uchburchak ustiga qo'yish mumkin, shunda A cho'qqisi A1 cho'qqisiga to'g'ri keladi va AB va AC tomonlari ustma-ust qo'yiladi, mos ravishda A 1 B 1 va A 1 C 1 nurlarida. AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 bo'lgani uchun, keyin AB tomoni A 1 B 1 tomoni bilan va AC tomoni - A 1 C 1 tomoni bilan birlashtiriladi; xususan, B va B 1, C va C 1 nuqtalari mos keladi. Shuning uchun BC va B 1 C 1 tomonlari tekislanadi. Demak, ABC va A 1 B 1 C 1 uchburchaklar to‘liq mos keladi, ya’ni ular tengdir. CTD
3. Teng yonli uchburchakning bissektrisasi haqidagi teorema.
Teng yon tomonli uchburchakda asosga chizilgan bissektrisa mediana va balandlikdir.
Keling, ABC asosi BC bo'lgan teng yonli uchburchak, AD uning bissektrisasi bo'lgan rasmga murojaat qilaylik.
ABD va ACD uchburchaklar tengligidan (uchburchaklar tengligining 2-mezoniga ko‘ra: AD umumiy; 1 va 2 burchaklar AD-bissektrisa bo‘lgani uchun teng; AB=AC, chunki uchburchak teng yon tomonli) BD degan xulosa kelib chiqadi. = DC va 3 = 4. BD = DC tengligi D nuqtaning BC tomonining o'rta nuqtasi ekanligini va shuning uchun AD ABC uchburchakning medianasi ekanligini anglatadi. 3 va 4 burchaklar qo'shni va bir-biriga teng bo'lgani uchun ular to'g'ri burchaklardir. Demak, AO segmenti ham ABC uchburchagining balandligidir. CHTD.
4. Agar chiziqlar parallel bo'lsa -> burchak .... (ixtiyoriy)
5. Agar burchak ... ..-> chiziqlar parallel bo'lsa (ixtiyoriy)
Agar sekantning ikkita chizig'i kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa, u holda chiziqlar parallel bo'ladi.
Sekantning a va b chiziqlari kesishgan joyida mos burchaklar teng bo'lsin, masalan 1=2.
2 va 3 burchaklar vertikal bo‘lgani uchun 2=3 bo‘ladi. Bu ikki tenglikdan 1=3 kelib chiqadi. Ammo 1 va 3 burchaklar ko'ndalang, shuning uchun a va b chiziqlar parallel. CHTD.
6. Uchburchak burchaklarining yig’indisi haqidagi teorema.
Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng.
ABC ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqing va A+B+C=180 0 ekanligini isbotlang.
B cho'qqi orqali AC tomoniga parallel ravishda a to'g'ri chiziq o'tkazamiz. 1 va 4 burchaklar a va AC parallel toʻgʻri chiziqning AB kesmasi bilan kesishgan joyidagi koʻndalang yotgan burchaklar, 3 va 5 burchaklar esa bir xil parallel toʻgʻri chiziqlarning BC kesmasi bilan kesishgan joyda koʻndalang yotgan burchaklardir. Shuning uchun (1)4=1; 5=3.
Shubhasiz, 4, 2 va 5 burchaklarining yig'indisi B cho'qqisi bilan to'g'ri burchakka teng, ya'ni. 4+2+5=1800 . Demak, (1) tengliklarni hisobga olib: 1+2+3=180 0 yoki A+B+C=180 0 ni olamiz.
7. To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tenglik belgisi.
1. Parallelizmning birinchi belgisi.
Agar ikkita to'g'ri chiziqning uchinchisi bilan kesishgan joyda bo'ylab yotadigan ichki burchaklar teng bo'lsa, bu chiziqlar parallel bo'ladi.
AB va CD chiziqlari EF va ∠1 = ∠2 chiziq bilan kesishsin. O nuqtani olaylik - EF sekantining KL segmentining o'rtasi (rasm).
O nuqtadan AB to‘g‘riga perpendikulyar OMni tushirib, uni CD, AB ⊥ MN to‘g‘ri chiziq bilan kesishguncha davom ettiramiz. CD ⊥ MN ni ham isbotlaylik.
Buning uchun ikkita uchburchakni ko'rib chiqing: MOE va NOK. Bu uchburchaklar bir-biriga teng. Haqiqatan ham: teorema gipotezasi bo'yicha ∠1 = ∠2; OK = OL - qurilish bo'yicha;
Vertikal burchaklar sifatida ∠MOL = ∠NOK. Shunday qilib, bir uchburchakning yon tomoni va unga tutashgan ikkita burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning yon tomoniga va unga tutashgan ikkita burchagiga teng; demak, DMOL = DNOK, demak, ∠LMO = ∠KNO,
lekin ∠LMO to'g'ridan-to'g'ri, shuning uchun ∠KNO ham to'g'ridan-to'g'ri. Shunday qilib, AB va CD chiziqlar bir xil MN to'g'riligiga perpendikulyar, shuning uchun ular parallel bo'lib, isbotlanishi kerak edi.
Eslatma. MOL uchburchagini O nuqta atrofida 180° ga aylantirish orqali MO va CD chiziqlarning kesishishini aniqlash mumkin.
2. Parallelizmning ikkinchi belgisi.
Keling, AB va CD to'g'ri chiziq parallel yoki yo'qligini ko'rib chiqaylik, agar ularning uchinchi EF chizig'ining kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa.
Ba'zi mos burchaklar teng bo'lsin, masalan, ∠ 3 = ∠2 (rasm);
∠3 = ∠1 vertikal burchaklar sifatida; shuning uchun ∠2 ∠1 ga teng bo'ladi. Ammo 2 va 1 burchaklar ichki ko'ndalang burchaklardir va biz allaqachon bilamizki, agar ikkita chiziqning uchdan bir qismi kesishmasida ichki ko'ndalang yotqizilgan burchaklar teng bo'lsa, u holda bu chiziqlar parallel bo'ladi. Shuning uchun AB || CD.
Agar uchinchisining ikkita chizig'ining kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa, bu ikki chiziq parallel bo'ladi.
Chizgich va chizma uchburchak yordamida parallel chiziqlarni qurish shu xususiyatga asoslanadi. Bu quyidagicha amalga oshiriladi.
Rasmda ko'rsatilganidek, o'lchagichga uchburchakni biriktiramiz. Biz uchburchakni uning bir tomoni o'lchagich bo'ylab siljishi uchun harakatlantiramiz va uchburchakning boshqa tomoni bo'ylab bir nechta to'g'ri chiziqlar chizamiz. Bu chiziqlar parallel bo'ladi.
3. Parallelizmning uchinchi belgisi.
Bilamizki, ikkita AB va CD toʻgʻrining uchinchi chiziq bilan kesishgan joyida har qanday ichki bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 2 ga teng. d(yoki 180 °). Bu holda AB va CD chiziqlar parallel bo'ladimi (rasm).
∠1 va ∠2 bir tomonlama ichki burchaklar bo'lsin va 2 ga teng bo'lsin d.
Lekin ∠3 + ∠2 = 2 d qo'shni burchaklar sifatida. Demak, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Demak, ∠1 = ∠3 va bu ichki burchaklar ko'ndalang. Shuning uchun AB || CD.
Agar ikki chiziqning uchdan bir qismi kesishganda, ichki bir tomonlama burchaklarning yig'indisi teng bo'ladi. 2 d (yoki 180 °), keyin ikkita chiziq parallel bo'ladi.
Parallel chiziqlarning belgilari:
1. Agar ikkita to'g'ri chiziqning uchdan bir qismi kesishmasida ichki ko'ndalang yotuvchi burchaklar teng bo'lsa, bu chiziqlar parallel bo'ladi.2. Agar uchinchisining ikkita chizig'ining kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa, bu ikki chiziq parallel bo'ladi.
3. Agar uchinchisining ikkita chizig'ining kesishmasida ichki bir tomonlama burchaklarning yig'indisi 180 ° bo'lsa, bu ikki chiziq parallel bo'ladi.
4. Agar ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular bir-biriga parallel.
5. Agar ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda ular bir-biriga parallel.
Evklidning parallellik aksiomasi
Vazifa. AB chiziqdan tashqarida olingan M nuqta orqali AB to'g'riga parallel chiziq o'tkazing.
Chiziqlarning parallellik belgilari bo'yicha isbotlangan teoremalardan foydalanib, bu muammoni turli yo'llar bilan hal qilish mumkin,
Qaror. 1-s o s o b (199-rasm).
MN⊥AB chizamiz va M nuqta orqali CD⊥MN chizamiz;
biz CD⊥MN va AB⊥MN ni olamiz.
Teoremaga asoslanib («Agar ikkita to‘g‘ri chiziq bir xil to‘g‘rilikka perpendikulyar bo‘lsa, ular parallel bo‘ladi.») SD || AB.
2-s p o s o b (200-rasm).
AB ni istalgan a burchak ostida kesib o'tuvchi MK ni o'tkazamiz va M nuqta orqali a burchakka teng MK to'g'ri chiziq bilan EMK burchak hosil qiluvchi EF to'g'ri chiziqni o'tkazamiz. () teoremasi asosida EF || degan xulosaga kelamiz AB.
Bu masalani hal qilib, AB chiziqdan tashqarida olingan har qanday M nuqta orqali unga parallel chiziq chizish mumkinligini isbotlangan deb hisoblashimiz mumkin. Savol tug'iladi, berilgan chiziqqa parallel va berilgan nuqtadan o'tuvchi nechta chiziq mavjud bo'lishi mumkin?
Qurilish amaliyoti bizga faqat bitta chiziq bor deb taxmin qilish imkonini beradi, chunki diqqat bilan chizilgan chizma bilan bir xil nuqta orqali turli yo'llar bilan chizilgan chiziqlar bir xil chiziqqa parallel ravishda birlashadi.
Nazariy jihatdan bu savolga javob Evklid parallelizmi aksiomasi deb ataladi; u quyidagicha tuzilgan:
Berilgan chiziqdan tashqarida olingan nuqta orqali bu chiziqqa parallel ravishda faqat bitta chiziq o'tkazish mumkin.
201 chizmada O nuqta orqali AB to'g'ri chiziqqa parallel SK to'g'ri chiziq o'tkaziladi.
O nuqtadan o‘tuvchi boshqa har qanday chiziq endi AB to‘g‘riga parallel bo‘lmaydi, balki uni kesib o‘tadi.
Evklid o‘zining “Elementlar” asarida qabul qilgan, berilgan to‘g‘ri chiziqdan tashqarida olingan nuqta orqali tekislikda shu to‘g‘riga parallel faqat bitta chiziq o‘tkazish mumkin, degan aksioma deyiladi. Evklidning parallellik aksiomasi.
Evkliddan keyin ikki ming yildan ko'proq vaqt davomida ko'plab matematiklar ushbu matematik taklifni isbotlashga harakat qilishdi, ammo ularning urinishlari doimo muvaffaqiyatsiz bo'ldi. Faqat 1826 yilda buyuk rus olimi, Qozon universiteti professori Nikolay Ivanovich Lobachevskiy Evklidning boshqa barcha aksiomalaridan foydalangan holda, bu matematik taklifni isbotlab bo'lmasligini, uni haqiqatan ham aksioma sifatida qabul qilish kerakligini isbotladi. N. I. Lobachevskiy yangi geometriya yaratdi, u Evklid geometriyasidan farqli ravishda Lobachevskiy geometriyasi deb ataldi.
AB va BilanD uchinchi chiziq bilan kesib o'tdi MN, keyin bu holda hosil bo'lgan burchaklar quyidagi nomlarni juftlikda oladi:mos keladigan burchaklar: 1 va 5, 4 va 8, 2 va 6, 3 va 7;
ichki o'zaro faoliyat burchaklar: 3 va 5, 4 va 6;
tashqi o'zaro faoliyat burchaklar: 1 va 7, 2 va 8;
ichki bir tomonlama burchaklar: 3 va 6, 4 va 5;
tashqi bir tomonlama burchaklar: 1 va 8, 2 va 7.
Shunday qilib, ∠ 2 = ∠ 4 va ∠ 8 = ∠ 6, ammo isbotlangan ∠ 4 = ∠ 6.
Demak, ∠ 2 = ∠ 8.
3. Tegishli burchaklar 2 va 6 bir xil, chunki ∠ 2 = ∠ 4 va ∠ 4 = ∠ 6. Shuningdek, boshqa mos burchaklar teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
4. so'm ichki bir tomonlama burchaklar 3 va 6 2d bo'ladi, chunki yig'indi qo'shni burchaklar 3 va 4 2d = 180 0 ga teng va ∠ 4 bir xil ∠ 6 bilan almashtirilishi mumkin. Shuningdek, ishonch hosil qiling: burchaklar yig'indisi 4 va 5 2d ga teng.
5. so'm tashqi bir tomonlama burchaklar 2d bo'ladi, chunki bu burchaklar mos ravishda teng ichki bir tomonlama burchaklar burchaklar kabi vertikal.
Yuqorida isbotlangan asoslardan biz shunday xulosaga keldik teskari teoremalar.
Ixtiyoriy uchinchi chiziqning ikkita chizig'i kesishganida, biz quyidagilarni olamiz:
1. Ichki o'zaro faoliyat yotish burchaklari bir xil;
yoki 2. Tashqi o'zaro faoliyat yotish burchaklari bir xil;
yoki 3. Tegishli burchaklar bir xil;
yoki 4. Ichki bir tomonlama burchaklar yig'indisi 2d = 180 0 ga teng;
yoki 5. Tashqi bir tomonlama yig'indisi 2d = 180 0 ga teng ,
keyin birinchi ikkita chiziq parallel bo'ladi.
Ikki chiziqning parallellik belgilari
Teorema 1. Agar sekantning ikkita chizig'i kesishmasida bo'lsa:
diagonal yotuvchi burchaklar teng, yoki
mos burchaklar teng yoki
bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 °, keyin
chiziqlar parallel(1-rasm).
Isbot. Biz o'zimizni 1-holning isboti bilan cheklaymiz.
Faraz qilaylik, a va b to'g'rilar kesishmasida AB kesuvchi bilan yotgan burchaklar teng bo'lsin. Masalan, ∠ 4 = ∠ 6. a || ekanligini isbotlaylik b.
Faraz qilaylik, a va b chiziqlar parallel emas. Keyin ular M nuqtada kesishadi va shuning uchun 4 yoki 6 burchaklardan biri ABM uchburchakning tashqi burchagi bo'ladi. Aniqlik uchun ∠ 4 ABM uchburchakning tashqi burchagi va ∠ 6 ichki burchagi bo'lsin. Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremadan kelib chiqadiki, ∠ 4 ∠ 6 dan katta va bu shartga ziddir, ya'ni a va 6 chiziqlar kesishishi mumkin emas, shuning uchun ular parallel.
Xulosa 1. Xuddi shu chiziqqa perpendikulyar bo'lgan tekislikdagi ikkita aniq chiziq parallel(2-rasm).
Izoh. Biz 1-teoremaning 1-holatini hozirgina isbotlagan usul qarama-qarshilik yoki absurdlikka qisqartirish orqali isbotlash usuli deb ataladi. Bu usul o'zining birinchi nomini oldi, chunki fikrlashning boshida isbotlanishi kerak bo'lgan narsaga qarama-qarshi (teskari) taxmin qilinadi. Bu absurdga qisqarish deb ataladi, chunki biz qilingan faraz asosida bahslashar ekanmiz, biz bema'ni xulosaga (absurd) kelamiz. Bunday xulosani olish bizni boshida qilingan taxminni rad etishga va isbotlanishi kerak bo'lgan taxminni qabul qilishga majbur qiladi.
Vazifa 1. Berilgan M nuqtadan o‘tuvchi va berilgan a to‘g‘riga parallel, M nuqtadan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziqni quring.
Qaror. M nuqta orqali a chiziqqa perpendikulyar p chiziq o'tkazamiz (3-rasm).
Keyin M nuqta orqali p chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. 1-teoremaning xulosasiga ko‘ra b chiziq a to‘g‘riga parallel.
Ko'rib chiqilgan muammodan muhim xulosa kelib chiqadi:
Berilgan to‘g‘rida bo‘lmagan nuqta orqali har doim berilgan chiziqqa parallel chiziq o‘tkazish mumkin..
Parallel chiziqlarning asosiy xossasi quyidagicha.
Parallel chiziqlar aksiomasi. Berilgan toʻgʻrida boʻlmagan nuqta orqali berilgan toʻgʻrilikka parallel boʻlgan faqat bitta chiziq bor.
Ushbu aksiomadan kelib chiqadigan parallel chiziqlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqing.
1) Agar chiziq ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan birini kesib oʻtsa, u ikkinchisini kesib oʻtadi (4-rasm).
2) Agar ikki xil chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi (5-rasm).
Quyidagi teorema ham to'g'ri.
Teorema 2. Agar ikkita parallel chiziq sekant bilan kesilsa, u holda:
yotgan burchaklar teng;
mos burchaklar teng;
bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180° ga teng.
Natija 2. Agar chiziq ikkita parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi.(2-rasmga qarang).
Izoh. 2-teorema 1-teoremaning teskarisi deyiladi. 1-teoremaning xulosasi 2-teoremaning sharti. 1-teoremaning sharti esa 2-ning xulosasidir. Har bir teorema teskari emas, yaʼni berilgan teorema toʻgʻri boʻlsa, u holda teskari teorema noto'g'ri bo'lishi mumkin.
Buni vertikal burchaklar haqidagi teorema misolida tushuntiramiz. Bu teoremani quyidagicha shakllantirish mumkin: agar ikkita burchak vertikal bo'lsa, ular tengdir. Teskari teorema quyidagicha bo'ladi: agar ikkita burchak teng bo'lsa, ular vertikaldir. Va bu, albatta, to'g'ri emas. Ikki teng burchak umuman vertikal bo'lishi shart emas.
1-misol Ikki parallel chiziq uchdan biri bilan kesishadi. Ma'lumki, ikkita ichki bir tomonlama burchaklar orasidagi farq 30 ° ga teng. Bu burchaklarni toping.
Qaror. 6-rasm shartga javob bersin.
