05.04.202227.05.2017

Uchburchak - bu bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta va ularni bog'laydigan uchta chiziq segmenti. Aks holda, uchburchak to'liq uchta burchakka ega bo'lgan ko'pburchakdir.

Bu uch nuqta uchburchakning uchlari, segmentlari esa uchburchakning tomonlari deyiladi. Uchburchakning tomonlari uchburchakning uchlarida uchta burchak hosil qiladi.

Teng yonli uchburchak - bu ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak. Bu tomonlar tomonlar deb ataladi, uchinchi tomon asos deb ataladi. Teng yonli uchburchakda asosdagi burchaklar teng.

Teng tomonli yoki to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi, uning uch tomoni tengdir. Teng yonli uchburchakning barcha burchaklari ham teng va 60° ga teng.

Ixtiyoriy uchburchakning maydoni quyidagi formulalar bilan hisoblanadi: yoki

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Muntazam yoki teng qirrali uchburchakning maydoni quyidagi formulalar bilan hisoblanadi: yoki yoki

Qayerda a,b,c- uchburchakning tomonlari h- uchburchakning balandligi, y- tomonlar orasidagi burchak, R- aylana radiusi, r chizilgan aylana radiusidir.

Uchburchakning maydoni - formulalar va masalani yechish misollari

Quyida ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish uchun formulalar xususiyatlari, burchaklari yoki o'lchamlaridan qat'i nazar, har qanday uchburchakning maydonini topish uchun javob beradi. Formulalar rasm shaklida taqdim etilgan, bu erda ularning to'g'riligini qo'llash yoki asoslash uchun tushuntirishlar mavjud. Shuningdek, alohida rasmda formulalardagi harf belgilari va chizmadagi grafik belgilarning mosligi ko'rsatilgan.

Eslatma . Agar uchburchak maxsus xususiyatlarga ega bo'lsa (izossellar, to'rtburchaklar, teng yonli), siz quyidagi formulalardan, shuningdek, faqat ushbu xususiyatlarga ega bo'lgan uchburchaklar uchun to'g'ri keladigan maxsus formulalardan foydalanishingiz mumkin:

"Teng tomonli uchburchakning maydoni uchun formulalar"

Uchburchak maydoni formulalari

Formulalar uchun tushuntirishlar:
a, b, c- maydonini topmoqchi bo'lgan uchburchak tomonlarining uzunliklari
r- uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi
R- uchburchak atrofida aylana radiusi
h- yon tomonga tushirilgan uchburchakning balandligi
p- uchburchakning yarim perimetri, uning tomonlari yig'indisining 1/2 qismi (perimetri)
α - uchburchakning a tomoniga qarama-qarshi burchak
β - uchburchakning b tomoniga qarama-qarshi burchak
γ - uchburchakning c tomoniga qarama-qarshi burchak
h a, h b , h c- a, b, c tomoniga tushirilgan uchburchakning balandligi

E'tibor bering, berilgan belgi yuqoridagi rasmga to'g'ri keladi, shuning uchun geometriyadagi haqiqiy muammoni hal qilishda formulaning kerakli joylariga to'g'ri qiymatlarni vizual ravishda almashtirish osonroq bo'ladi.

Uchburchakning maydoni uchburchak balandligining yarmi mahsuloti va bu balandlik tushirilgan tomonning uzunligi(Formula 1). Ushbu formulaning to'g'riligini mantiqan tushunish mumkin. Poydevorga tushirilgan balandlik ixtiyoriy uchburchakni ikkita to'rtburchakka bo'ladi. Agar ularning har birini b va h o'lchamlari bo'lgan to'rtburchaklar bilan yakunlasak, bu uchburchaklar maydoni to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng bo'ladi (Spr = bh)
Uchburchakning maydoni uning ikki tomonining yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi(Formula 2) (quyida ushbu formuladan foydalangan holda muammoni hal qilish misoliga qarang). Bu avvalgisidan farqli ko'rinishiga qaramay, uni osongina aylantirish mumkin. Agar balandlikni B burchakdan b tomoniga tushirsak, to'g'ri burchakli uchburchakdagi sinusning xossalariga ko'ra a tomon va g burchak sinusining ko'paytmasi chizilgan uchburchak balandligiga teng ekanligi ma'lum bo'ladi. biz, bu bizga oldingi formulani beradi
Ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish mumkin orqali ish uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi bilan chizilgan doira radiusining yarmi(Formula 3), boshqacha qilib aytganda, siz uchburchakning yarim perimetrini chizilgan doira radiusiga ko'paytirishingiz kerak (buni eslab qolish osonroq)
Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning barcha tomonlari ko'paytmasini atrofida aylananing 4 radiusiga bo'lish orqali topish mumkin (Formula 4)
Formula 5 - bu uchburchakning yuzini uning tomonlari va yarim perimetri bo'yicha (barcha tomonlari yig'indisining yarmi) topishdir.
Heron formulasi(6) yarim perimetr tushunchasidan foydalanmasdan, faqat tomonlarning uzunliklari orqali bir xil formulaning tasviri.
O'zboshimchalik bilan uchburchakning maydoni uchburchak tomoni kvadrati va bu tomonga ulashgan burchaklar sinuslari ko'paytmasiga teng, bu tomonga qarama-qarshi burchakning qo'sh sinusiga bo'linadi (Formula 7)
Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning atrofida aylananing ikkita kvadrati va uning har bir burchagining sinuslari ko'paytmasi sifatida topish mumkin. (Formula 8)
Agar bir tomonning uzunligi va unga tutashgan ikkita burchakning kattaligi ma'lum bo'lsa, u holda uchburchakning maydonini ushbu tomonning kvadrati sifatida topish mumkin, bu kotangentlarning ikki barobar yig'indisiga bo'linadi. burchaklar (Formula 9)
Agar uchburchakning har bir balandligining uzunligi ma'lum bo'lsa (Formula 10), unda bunday uchburchakning maydoni Heron formulasida bo'lgani kabi, bu balandliklarning uzunliklariga teskari proportsionaldir.
Formula 11 hisoblash imkonini beradi uchburchakning uchlari koordinatalariga ko'ra maydoni, ular har bir cho'qqi uchun (x;y) qiymatlar sifatida berilgan. E'tibor bering, natijada olingan qiymat modul bo'yicha olinishi kerak, chunki alohida (yoki hatto barcha) cho'qqilarning koordinatalari salbiy qiymatlar sohasida bo'lishi mumkin.

Eslatma. Quyida uchburchakning maydonini topish uchun geometriyadagi muammolarni echish misollari keltirilgan. Agar siz geometriyadagi muammoni hal qilishingiz kerak bo'lsa, shunga o'xshash bu erda yo'q - bu haqda forumda yozing. Yechimlarda “kvadrat ildiz” belgisi o‘rniga sqrt() funksiyasidan foydalanish mumkin, bunda sqrt kvadrat ildiz belgisi, radikal ifoda esa qavs ichida ko‘rsatilgan..Ba'zida belgi oddiy radikal iboralar uchun ishlatilishi mumkin √

Vazifa. Ikki tomon berilgan maydonni va ular orasidagi burchakni toping

Uchburchakning tomonlari 5 va 6 sm.Ular orasidagi burchak 60 gradus. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz darsning nazariy qismidagi ikkinchi formuladan foydalanamiz.
Uchburchakning maydonini ikki tomonning uzunligi va ular orasidagi burchakning sinusi orqali topish mumkin va unga teng bo'ladi.
S=1/2 ab sin g

Yechim uchun barcha kerakli ma'lumotlarga ega bo'lganligimiz sababli (formula bo'yicha), biz faqat muammoning holatidagi qiymatlarni formulaga almashtirishimiz mumkin:
S=1/2*5*6*sin60

Trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari jadvalida biz 60 daraja sinus qiymatini topamiz va ifodada almashtiramiz. Bu uchdan ikkining ildiziga teng bo'ladi.
S = 15 √3 / 2

Javob: 7,5 √3 (o'qituvchining talablariga qarab, ehtimol 15 √3/2 qoldirish mumkin)

Vazifa. Teng tomonli uchburchakning maydonini toping

Tomoni 3 sm bo'lgan teng tomonli uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Uchburchakning maydonini Heron formulasi yordamida topish mumkin:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

A \u003d b \u003d c bo'lgani uchun, teng qirrali uchburchakning maydoni uchun formula quyidagi shaklni oladi:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Javob: 9 √3 / 4.

Vazifa. Yonlarning uzunligini o'zgartirganda maydonni o'zgartiring

Tomonlari to'rt baravar ko'paytirilsa, uchburchakning maydoni necha marta ortadi?

Yechim.

Biz uchburchak tomonlarining o'lchamlarini bilmaganimiz uchun masalani yechish uchun tomonlarning uzunliklari mos ravishda a, b, c ixtiyoriy sonlarga teng deb faraz qilamiz. Keyin muammoning savoliga javob berish uchun biz ushbu uchburchakning maydonini topamiz, so'ngra tomonlari to'rt marta kattaroq bo'lgan uchburchakning maydonini topamiz. Bu uchburchaklar maydonlarining nisbati bizga muammoga javob beradi.

Keyinchalik, muammoni bosqichma-bosqich hal qilishning matnli tushuntirishini beramiz. Biroq, eng oxirida, xuddi shu yechim idrok etish uchun qulayroq bo'lgan grafik shaklda taqdim etiladi. Xohlaganlar darhol yechimni tashlab yuborishlari mumkin.

Yechish uchun biz Heron formulasidan foydalanamiz (darsning nazariy qismida yuqoriga qarang). Bu shunday ko'rinadi:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning birinchi qatoriga qarang)

Ixtiyoriy uchburchak tomonlarining uzunliklari a, b, c o‘zgaruvchilari bilan beriladi.
Agar tomonlar 4 marta oshirilsa, yangi c uchburchakning maydoni quyidagicha bo'ladi:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(quyidagi rasmdagi ikkinchi qatorga qarang)

Ko'rib turganingizdek, 4 umumiy koeffitsient bo'lib, matematikaning umumiy qoidalariga ko'ra barcha to'rtta ifodadan qavs ichida olinishi mumkin.
Keyin

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - rasmning uchinchi qatorida
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - to'rtinchi qator

256 raqamidan kvadrat ildiz mukammal tarzda chiqariladi, shuning uchun biz uni ildiz ostidan chiqaramiz
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning beshinchi qatoriga qarang)

Muammoda qo'yilgan savolga javob berish uchun hosil bo'lgan uchburchakning maydonini asl uchburchakning maydoniga bo'lish kifoya.
Biz maydon nisbatlarini ifodalarni bir-biriga bo'lish va hosil bo'lgan kasrni kamaytirish orqali aniqlaymiz.

Uchburchak ta'rifi

Uchburchak- Bu uchlari bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta segmentning kesishishi natijasida hosil bo'lgan geometrik figura. Har qanday uchburchakning uchta tomoni, uchta uchi va uchta burchagi bor.

Onlayn kalkulyator

Uchburchaklar har xil turlari. Masalan, teng qirrali uchburchak (uning barcha tomonlari teng), teng yonli (ikki tomoni teng) va to'g'ri burchakli (burchaklardan biri to'g'ri, ya'ni 90 gradusga teng) mavjud. ).

Uchburchakning maydonini turli yo'llar bilan topish mumkin, masalaning sharti bo'yicha rasmning qaysi elementlari ma'lum bo'lishiga qarab, burchaklar, uzunliklar yoki umuman, doiralar radiusi bilan bog'liq. uchburchak. Har bir usulni misollar bilan alohida ko'rib chiqing.

Uchburchak maydonining formulasi uning asosi va balandligini hisobga olgan holda

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ⋅ a ⋅h,

A a a- uchburchak asosi;
h h h- berilgan asosga chizilgan uchburchakning balandligi a.

Misol

Uchburchakning maydonini toping, agar uning asosining uzunligi 10 (sm) ga va bu asosga chizilgan balandligi 5 (sm) ga teng bo'lsa.

Yechim

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Maydon uchun formulani almashtiring va quyidagilarni oling:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (kv.ga qarang)

Javob: 25 (kv.ga qarang)

Barcha tomonlarning uzunliklari berilgan uchburchakning maydoni uchun formula

S = p ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - a ) ⋅ (p - b ) ⋅ (p - c ) ,

A, b, c a, b, c a, b, c- uchburchak tomonlarining uzunligi;
pp p- uchburchakning barcha tomonlari yig'indisining yarmi (ya'ni uchburchak perimetrining yarmi):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 (a +b +c)

Bu formula deyiladi Heron formulasi.

Misol

Agar uchburchakning uch tomonining uzunligi ma'lum bo'lsa, 3 (qarang), 4 (qarang), 5 (qarang) ga teng bo'lgan uchburchakning maydonini toping.

Yechim

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

Perimetrning yarmini toping pp p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6

Keyin, Heron formulasiga ko'ra, uchburchakning maydoni:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (kv.ga qarang)

Javob: 6 (kv.ga qarang)

Bir tomoni va ikkita burchagi berilgan uchburchakning maydoni uchun formula

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ b sin ⁡ g sin ⁡ (b + g) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 a 2 ⋅ gunoh (b+g)gunoh β gunoh γ ,

A a a- uchburchak tomonining uzunligi;
b , g \beta, \gamma β , γ - yon tomonga ulashgan burchaklar a a a.

Misol

Uchburchakning 10 ga teng tomoni (qarang) va 30 graduslik ikkita qo'shni burchak berilgan. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim

A=10 a=10 a =1 0
b = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
g = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Formulaga ko'ra:

S = 1 0 2 2 ⋅ gunoh ⁡ 3 0 ∘ gunoh ⁡ 3 0 ∘ gunoh ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(10^2) \ frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\taxminan14,4S=2 1 0 2 ⋅ gunoh (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) gunoh 3 0 ∘ gunoh 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (kv.ga qarang)

Javob: 14,4 (kv.ga qarang)

Uchburchakning maydoni uchun formulada uch tomoni va aylana radiusi berilgan

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4 Ra ⋅ b ⋅ c ,

A, b, c a, b, c a, b, c- uchburchakning tomonlari
R R R uchburchak atrofida aylana radiusi.

Misol

Biz ikkinchi masalamizdan raqamlarni olamiz va ularga radius qo'shamiz R R R doiralar. 10 ga teng bo'lsin (qarang).

Yechim

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (kv.ga qarang)

Javob: 1,5 (sm.kv.)

Uchburchakning maydoni uchun formulada uchta tomon va chizilgan doira radiusi berilgan

$S=p\cdot r$

$p - uchburchak perimetrining yarmi:$

$p=\frac(a+b+c)(2)$

$a, b, c - uchburchakning tomonlari r uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi.$

Misol

Chizilgan doira radiusi 2 ga teng bo'lsin (qarang). Oldingi masaladan tomonlarning uzunliklarini olamiz.

Yechim

$a = 3 b = 4 c = 5 r = 2$

$p=\frac(3+4+5)(2)=6$

$S=6\cdot 2=12$

Javob: 12 (kv.ga qarang)

Ikki tomon va ular orasidagi burchak berilgan uchburchakning maydoni uchun formula

$S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alfa)$

$b, c - uchburchakning tomonlari$

$a\alfa$

Misol

Uchburchakning tomonlari 5 (qarang) va 6 (qarang), ular orasidagi burchak 30 daraja. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim

$b = 5 c = 6 α = 3 0^{\circ}$

$S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5$

Javob: 7,5 (kv.ga qarang)

Uchburchak eng oddiy geometrik shakl bo'lib, u uchta tomon va uchta cho'qqidan iborat. Oddiyligi tufayli uchburchak qadim zamonlardan beri turli o'lchovlar uchun ishlatilgan va bugungi kunda bu raqam amaliy va kundalik muammolarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.

Uchburchakning xususiyatlari

Bu raqam qadim zamonlardan beri hisob-kitoblar uchun ishlatilgan, masalan, geodeziyachilar va astronomlar maydonlar va masofalarni hisoblash uchun uchburchaklar xususiyatlari bilan ishlaydi. Ushbu raqamning maydoni orqali har qanday n-burchakning maydonini ifodalash oson va bu xususiyat qadimgi olimlar tomonidan ko'pburchaklar maydonlari uchun formulalar olish uchun ishlatilgan. Uchburchaklar bilan, ayniqsa to'g'ri burchakli uchburchak bilan doimiy ishlash matematikaning butun bo'limi - trigonometriya uchun asos bo'ldi.

uchburchak geometriyasi

Geometrik figuraning xususiyatlari qadim zamonlardan beri o'rganilgan: uchburchak haqidagi eng qadimgi ma'lumotlar Misr papiruslarida 4000 yil oldin topilgan. Keyin bu raqam qadimgi Yunonistonda o'rganildi va uchburchak geometriyasiga eng katta hissa Evklid, Pifagor va Heron tomonidan qo'shildi. Uchburchakni o'rganish hech qachon to'xtamadi va 18-asrda Leonhard Eyler figuraning ortosentri va Eyler doirasi tushunchasini kiritdi. 19-20-asrlar oxirida, uchburchak haqida hamma narsa ma'lum bo'lib tuyulganda, Frenk Morli burchak trisektorlari haqidagi teoremani shakllantirdi va Vatslav Serpinski fraktal uchburchakni taklif qildi.

Maktab geometriya kursidan bizga tanish bo'lgan tekis uchburchaklarning bir nechta turlari mavjud:

o'tkir burchakli - shaklning barcha burchaklari o'tkir;
o'tmas - raqam bitta o'tmas burchakka ega (90 darajadan katta);
to'rtburchaklar - rasmda 90 darajaga teng bitta to'g'ri burchak mavjud;
isosseles - ikki teng tomoni bo'lgan uchburchak;
teng tomonli - barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak.
Haqiqiy hayotda har xil turdagi uchburchaklar mavjud va ba'zi hollarda geometrik shaklning maydonini hisoblashimiz kerak bo'lishi mumkin.

Uchburchakning maydoni

Maydoni - bu raqam tekislikning qancha qismini chegaralashini taxmin qilish. Uchburchakning maydonini oltita usulda topish mumkin: tomonlar, balandlik, burchaklar, chizilgan yoki aylana radiusi, shuningdek, Heron formulasidan foydalanish yoki tekislikni chegaralovchi chiziqlar ustidagi qo'sh integralni hisoblash. Uchburchakning maydonini hisoblashning eng oddiy formulasi:

Bu erda a - uchburchakning tomoni, h - balandligi.

Biroq, amalda biz uchun geometrik figuraning balandligini topish har doim ham qulay emas. Kalkulyatorimiz algoritmi sizga hududni hisoblash imkonini beradi:

uch tomon;
ikki tomon va ular orasidagi burchak;
bir tomoni va ikkita burchagi.

Uch tomon bo'yicha maydonni aniqlash uchun biz Heron formulasidan foydalanamiz:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

Bu erda p - uchburchakning yarim perimetri.

Ikki tomondan va burchakdagi maydonni hisoblash klassik formula bo'yicha amalga oshiriladi:

S = a × b × sin(alfa),

Bu erda alfa - a va b tomonlari orasidagi burchak.

Bir tomon va ikki burchak orqali maydonni aniqlash uchun biz quyidagi munosabatdan foydalanamiz:

a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gamma)

Oddiy nisbatdan foydalanib, biz ikkinchi tomonning uzunligini aniqlaymiz, shundan so'ng biz S = a × b × sin (alfa) formulasi yordamida maydonni hisoblaymiz. Ushbu algoritm to'liq avtomatlashtirilgan va siz faqat berilgan o'zgaruvchilarni kiritishingiz va natijani olishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Haqiqiy hayot misollari

yulka plitalari

Aytaylik, siz polni uchburchak plitkalar bilan qoplamoqchisiz va kerakli material miqdorini aniqlash uchun siz bitta plitka maydoni va zamin maydonini bilib olishingiz kerak. Aytaylik, siz o'lchamlari \u003d 20 sm, b \u003d 21 sm, c \u003d 29 sm bo'lgan plitkalar yordamida 6 kvadrat metr sirtni qayta ishlashingiz kerak. Shubhasiz, uchburchakning maydonini hisoblash uchun, Kalkulyator Heron formulasidan foydalanadi va natijani beradi:

Shunday qilib, bitta plitka elementining maydoni 0,021 kvadrat metrni tashkil qiladi va polni yaxshilash uchun sizga 6 / 0,021 \u003d 285 uchburchak kerak bo'ladi. 20, 21 va 29 raqamlari Pifagorning uchlik sonlarini tashkil qiladi, ular qoniqtiradi. Va bu to'g'ri, bizning kalkulyatorimiz ham uchburchakning barcha burchaklarini hisoblab chiqdi va gamma burchagi aniq 90 daraja.

maktab vazifasi

Maktab muammosida siz uchburchakning maydonini topishingiz kerak, chunki uning tomoni a \u003d 5 sm, yaraning alfa va beta burchaklari mos ravishda 30 va 50 daraja. Bu masalani qo‘lda yechish uchun, avvalo, qarama-qarshi burchaklarning tomonlari va sinuslari nisbati yordamida b tomonining qiymatini topamiz, so‘ngra S = a × b × sin(alfa) oddiy formulasi yordamida maydonni aniqlaymiz. Keling, vaqtni tejaylik, ma'lumotlarni kalkulyator formasiga kiritamiz va bir zumda javob olamiz

Kalkulyatordan foydalanganda burchaklar va tomonlarni to'g'ri ko'rsatish muhim, aks holda natija noto'g'ri bo'ladi.

Xulosa

Uchburchak haqiqiy hayotda ham, mavhum hisob-kitoblarda ham uchraydigan noyob raqamdir. Har qanday turdagi uchburchaklar maydonini topish uchun onlayn kalkulyatorimizdan foydalaning.

Uchburchakning maydoni. Maydonlarni hisoblash bilan bog'liq ko'plab geometriya muammolarida uchburchakning maydoni uchun formulalar qo'llaniladi. Ulardan bir nechtasi bor, bu erda biz asosiylarini ko'rib chiqamiz.Ushbu formulalarni sanab o'tish juda oddiy va foydasiz bo'lar edi. Biz eng ko'p ishlatiladigan asosiy formulalarning kelib chiqishini tahlil qilamiz.

Formulalarning kelib chiqishi bilan tanishishdan oldin, maqolani ko'rib chiqing.Materialni o'rganib chiqqandan so'ng, formulalarni xotirada osongina tiklashingiz mumkin (agar ular siz uchun to'g'ri vaqtda to'satdan "uchib ketsa").

Birinchi formula

Parallelogrammaning diagonali uni teng maydonli ikkita uchburchakka ajratadi:

Shunday qilib, uchburchakning maydoni parallelogrammning yarmiga teng bo'ladi:

Uchburchak maydoni formulasi

* Ya'ni, agar biz uchburchakning biron bir tomonini va bu tomonga tushirilgan balandligini bilsak, biz har doim bu uchburchakning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Formula ikkinchi

Paralelogramm maydoni haqidagi maqolada aytib o'tilganidek, formula quyidagi shaklga ega:

Uchburchakning maydoni uning yarmiga teng, shuning uchun:

*Ya'ni, agar uchburchakning ikkita tomoni va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, biz har doim bunday uchburchakning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Heron formulasi (uchinchi)

Ushbu formulani olish qiyin va sizga kerak emas. Qarang, u qanchalik go'zal, biz uni eslab qolishgan deb aytishimiz mumkin.

*Agar uchburchakning uch tomoni berilgan bo'lsa, bu formuladan foydalanib, biz har doim uning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Formula to'rtinchi

qayerda rchizilgan aylana radiusidir

*Agar uchburchakning uch tomoni va unga chizilgan aylananing radiusi maʼlum boʻlsa, biz har doim bu uchburchakning maydonini topishimiz mumkin.

Formula besh

qayerda Rchegaralangan aylana radiusi.

*Agar uchburchakning uch tomoni va aylana radiusi maʼlum boʻlsa, biz har doim bunday uchburchakning maydonini topishimiz mumkin.

Savol tug'iladi: agar uchburchakning uchta tomoni ma'lum bo'lsa, uning maydonini Heron formulasi yordamida topish osonroq emasmi?

Ha, bu osonroq, lekin har doim ham emas, ba'zida qiyin bo'ladi. Bu ildizni olib tashlash bilan bog'liq. Bundan tashqari, bu formulalar uchburchakning maydoni berilgan, uning tomonlari berilgan va chizilgan yoki aylana radiusini topish talab qilinadigan masalalarda foydalanish uchun juda qulaydir. Bunday vazifalar imtihonga kiritilgan.

Keling, formulani ko'rib chiqaylik:

Bu doira chizilgan ko'pburchak maydoni uchun formulaning alohida holati:

Buni beshburchak misolida ko'rib chiqing:

Biz aylananing markazini shu beshburchakning uchlari bilan bog'laymiz va markazdan uning yon tomonlariga perpendikulyarlarni tushiramiz. Biz beshta uchburchakni olamiz, tushirilgan perpendikulyarlar chizilgan doiraning radiusi: