ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების გაგრძელებაა.
ფიგურაში ნაჩვენებია კუთხეები 1 და 3 , ისევე როგორც კუთხეები 2 და 4 - ვერტიკალური. ინექცია 2 ორივე კუთხის მიმდებარედ 1 და კუთხით 3. მიმდებარე კუთხეების თვისების მიხედვით 1 +2 =180 0 და 3 +2 =1800. აქედან ვიღებთ: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. ამრიგად, კუთხეების ხარისხი ზომავს 1 და 3 თანაბარი არიან. აქედან გამომდინარეობს, რომ თავად კუთხეები ტოლია. ასე რომ, ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.
2. სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები.
თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, შესაბამისად, ტოლია ორი გვერდის და მათ შორის სხვა სამკუთხედის კუთხე, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.
თუ ერთი სამკუთხედის გვერდი და ორი მიმდებარე კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და ორი მიმდებარე კუთხის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.
3. თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი შესაბამისად უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები ტოლია.
სამკუთხედების ტოლობის 1 ნიშანი:
განვიხილოთ სამკუთხედები ABC და A 1 B 1 C 1, რომლებშიც AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, კუთხეები A და A 1 ტოლია. დავამტკიცოთ, რომ ABC=A 1 B 1 C 1 .
ვინაიდან (y) A \u003d (y) A 1, მაშინ სამკუთხედი ABC შეიძლება დადგეს სამკუთხედზე A 1 B 1 C 1 ისე, რომ A წვერო გასწორდეს A1 წვეროსთან, ხოლო გვერდები AB და AC ზედმეტად იყოს გადანაწილებული, შესაბამისად A 1 B 1 და A 1 C 1 სხივებზე. ვინაიდან AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, მაშინ მხარე AB გაერთიანდება A 1 B 1 მხარესთან, ხოლო მხარე AC - A 1 C 1 გვერდით; კერძოდ, B და B 1 , C და C 1 პუნქტები ერთმანეთს დაემთხვევა. ამიტომ, BC და B 1 C 1 მხარეები გასწორდება. ასე რომ, სამკუთხედები ABC და A 1 B 1 C 1 სრულიად თავსებადია, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ტოლია. CTD
3. თეორემა ტოლფერდა სამკუთხედის ბისექტრის შესახებ.
ტოლკუთხედის სამკუთხედში ფუძესთან მიზიდული ბისექტორი არის მედიანა და სიმაღლე.
მოდით მივმართოთ ფიგურას, რომელშიც ABC არის ტოლფერდა სამკუთხედი BC ფუძით, AD არის მისი ბისექტორი.
ABD და ACD სამკუთხედების ტოლობიდან (სამკუთხედების ტოლობის მე-2 კრიტერიუმის მიხედვით: AD საერთოა; კუთხეები 1 და 2 ტოლია, რადგან AD-ბისექტორი; AB=AC, რადგან სამკუთხედი ტოლფერდაა) გამოდის, რომ BD. = DC და 3 = 4. ტოლობა BD = DC ნიშნავს, რომ D წერტილი არის BC გვერდის შუა წერტილი და, შესაბამისად, AD არის ABC სამკუთხედის მედიანა. ვინაიდან 3 და 4 კუთხეები ერთმანეთის მიმდებარე და ტოლია, ისინი მართი კუთხეებია. ამრიგად, AO სეგმენტი ასევე არის ABC სამკუთხედის სიმაღლე. CHTD.
4. თუ წრფეები პარალელურია -> კუთხე…. (სურვილისამებრ)
5. თუ კუთხე ... ..-> წრფეები პარალელურია (სურვილისამებრ)
თუ სეკანტის ორი წრფის გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია.
სკანტის a და b წრფეების შესაბამის კუთხეებთან ტოლი იყოს, მაგალითად 1=2.
ვინაიდან 2 და 3 კუთხეები ვერტიკალურია, მაშინ 2=3. ამ ორი ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ 1=3. მაგრამ კუთხეები 1 და 3 არის ჯვარედინი, ამიტომ წრფეები a და b პარალელურია. CHTD.
6. თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.
სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 0.
განვიხილოთ თვითნებური სამკუთხედი ABC და დაამტკიცეთ, რომ A+B+C=180 0 .
მოდით გავავლოთ a სწორი ხაზი B წვეროზე, AC გვერდის პარალელურად. კუთხეები 1 და 4 არის განივი კუთხეები a და AC პარალელური წრფეების გადაკვეთაზე AB სკანტით, ხოლო კუთხეები 3 და 5 არის განივი კუთხეები იმავე პარალელური წრფეების გადაკვეთაზე BC სკანტით. ამიტომ (1)4=1; 5=3.
ცხადია, 4, 2 და 5 კუთხეების ჯამი უდრის B წვეროსთან არსებულ სწორ კუთხეს, ე.ი. 4+2+5=1800 . აქედან გამომდინარე, ტოლობების (1) გათვალისწინებით ვიღებთ: 1+2+3=180 0 ან A+B+C=180 0 .
7. მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშანი.
1. პარალელიზმის პირველი ნიშანი.
თუ ორი წრფის მესამესთან გადაკვეთისას შიდა კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია.
მოდით, AB და CD ხაზები გადაიკვეთოს EF წრფით და ∠1 = ∠2. ავიღოთ წერტილი O - სეგმენტის KL სეგმენტის შუა EF (ნახ.).
მოდით ჩამოვუშვათ პერპენდიკულარული OM O წერტილიდან AB წრფეზე და გავაგრძელოთ სანამ არ გადაიკვეთება CD, AB ⊥ MN წრფესთან. დავამტკიცოთ, რომ CD ⊥ MN ასევე.
ამისათვის განიხილეთ ორი სამკუთხედი: MOE და NOK. ეს სამკუთხედები ერთმანეთის ტოლია. მართლაც: ∠1 = ∠2 თეორემის ჰიპოთეზის მიხედვით; OK = OL - კონსტრუქციით;
∠MOL = ∠NOK, როგორც ვერტიკალური კუთხეები. ამრიგად, ერთი სამკუთხედის მიმდებარე გვერდი და ორი კუთხე, შესაბამისად, უდრის მეორე სამკუთხედის გვერდს და მის მიმდებარე ორ კუთხეს; შესაბამისად, ΔMOL = ΔNOK და აქედან გამომდინარე ∠LMO = ∠KNO,
მაგრამ ∠LMO არის პირდაპირი, შესაბამისად ∠KNO ასევე პირდაპირი. ამრიგად, AB და CD წრფეები პერპენდიკულარულია ერთი და იგივე წრფის MN-ზე, შესაბამისად, ისინი პარალელურები არიან, რაც დასამტკიცებელი იყო.
Შენიშვნა. MO და CD ხაზების გადაკვეთა შეიძლება დადგინდეს MOL სამკუთხედის O წერტილის გარშემო 180°-ით შემობრუნებით.
2. პარალელიზმის მეორე ნიშანი.
ვნახოთ არის თუ არა AB და CD წრფეები პარალელური, თუ მათი მესამე ხაზის EF გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია.
ზოგიერთი შესაბამისი კუთხე იყოს ტოლი, მაგალითად ∠ 3 = ∠2 (ნახ.);
∠3 = ∠1 როგორც ვერტიკალური კუთხეები; ასე რომ ∠2 უდრის ∠1-ს. მაგრამ კუთხეები 2 და 1 არის შიდა ჯვარედინი კუთხეები და ჩვენ უკვე ვიცით, რომ თუ ორი წრფის მესამედზე გადაკვეთისას შიდა განივი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია. ამიტომ, AB || CD.
თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს ორი წრფე პარალელურია.
ამ თვისებას ეფუძნება პარალელური ხაზების აგება სახაზავისა და სახატავი სამკუთხედის დახმარებით. ეს კეთდება შემდეგნაირად.
სახაზავს მივამაგროთ სამკუთხედი, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახ. ჩვენ გადავაადგილებთ სამკუთხედს ისე, რომ მისი ერთი მხარე სრიალდეს სახაზავთან და გავავლოთ რამდენიმე სწორი ხაზი სამკუთხედის ნებისმიერი სხვა მხარის გასწვრივ. ეს ხაზები იქნება პარალელური.
3. პარალელიზმის მესამე ნიშანი.
გავიგოთ, რომ ორი AB და CD წრფის მესამე წრფესთან გადაკვეთისას ნებისმიერი შიდა ცალმხრივი კუთხის ჯამი უდრის 2-ს. დ(ან 180°). იქნება თუ არა AB და CD წრფეები ამ შემთხვევაში პარალელური (ნახ.).
მოდით ∠1 და ∠2 იყოს ცალმხრივი შიდა კუთხეები და დავამატოთ 2 დ.
მაგრამ ∠3 + ∠2 = 2 დროგორც მიმდებარე კუთხეები. ამიტომ, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
აქედან გამომდინარე, ∠1 = ∠3 და ეს შიდა კუთხეები ჯვარედინია. ამიტომ, AB || CD.
თუ ორი წრფის მესამედზე გადაკვეთისას შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 2 d (ან 180°), მაშინ ორი წრფე პარალელურია.
პარალელური ხაზების ნიშნები:
1. თუ ორი სწორი წრფის მესამედზე გადაკვეთისას შიდა ჯვარი დაწოლილი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს წრფეები პარალელურია.2. თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს ორი წრფე პარალელურია.
3. თუ მესამეს ორი წრფის გადაკვეთაზე შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამია 180 °, მაშინ ეს ორი წრფე პარალელურია.
4. თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.
5. თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია.
ევკლიდეს პარალელურობის აქსიომა
დავალება. M წერტილის გავლით, რომელიც აღებულია AB წრფის გარეთ, გავავლოთ AB წრფის პარალელურად.
წრფეთა პარალელურობის ნიშნებზე დადასტურებული თეორემების გამოყენებით, ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით,
გადაწყვეტილება. 1 ს ო ს ო ბ (სურ. 199).
ვხატავთ MN⊥AB და M წერტილის გავლით ვხატავთ CD⊥MN;
ვიღებთ CD⊥MN და AB⊥MN.
თეორემაზე დაყრდნობით („თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია ერთსა და იმავე წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურია“) დავასკვნათ, რომ СD || AB.
მე-2 ს პ ო ს ო ბ (სურ. 200).
ვხატავთ MK გადამკვეთ AB-ს ნებისმიერი α კუთხით და M წერტილის გავლით ვხაზავთ EF სწორ წრფეს, ვქმნით კუთხეს EMK სწორი ხაზით MK, ტოლი α კუთხით. თეორემაზე () დავასკვნათ, რომ EF || AB.
ამ ამოცანის ამოხსნის შემდეგ შეგვიძლია დადასტურებულად მივიჩნიოთ, რომ AB წრფეს გარეთ აღებული M წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია მის პარალელურ წრფის გავლება. ჩნდება კითხვა, რამდენი წრფე შეიძლება იყოს მოცემული წრფის პარალელურად და მოცემულ წერტილში გამავალი?
კონსტრუქციების პრაქტიკა საშუალებას გვაძლევს ვივარაუდოთ, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი ასეთი ხაზი, რადგან საგულდაგულოდ შესრულებული ნახაზით, ერთი და იმავე წრფის პარალელურად ერთი და იმავე წერტილის გავლით სხვადასხვა გზით შედგენილი ხაზები ერწყმის ერთმანეთს.
თეორიულად ამ კითხვაზე პასუხს ევკლიდეს პარალელიზმის აქსიომა გვაძლევს ე.წ. იგი ჩამოყალიბებულია ასე:
მოცემული წრფის მიღმა აღებული წერტილის გავლით ამ წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი ხაზის გაყვანა შეიძლება.
ნახაზზე 201, სწორი ხაზი SK დახაზულია O წერტილის გავლით, AB სწორი ხაზის პარალელურად.
ნებისმიერი სხვა წრფე, რომელიც გადის O წერტილში, აღარ იქნება AB წრფის პარალელურად, მაგრამ გადაკვეთს მას.
ევკლიდეს მიერ თავის ელემენტებში მიღებული აქსიომა, რომელიც ამბობს, რომ სიბრტყეში მოცემული წრფის მიღმა გადაღებულ წერტილში, ამ წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი წრფის გაყვანა შეიძლება ე.წ. ევკლიდეს პარალელურობის აქსიომა.
ევკლიდეს შემდეგ ორ ათასზე მეტი წლის განმავლობაში ბევრი მათემატიკოსი ცდილობდა დაემტკიცებინა ეს მათემატიკური წინადადება, მაგრამ მათი მცდელობები ყოველთვის წარუმატებელი იყო. მხოლოდ 1826 წელს დიდმა რუსმა მეცნიერმა, ყაზანის უნივერსიტეტის პროფესორმა ნიკოლაი ივანოვიჩ ლობაჩევსკიმ დაამტკიცა, რომ ევკლიდეს ყველა სხვა აქსიომების გამოყენებით, ეს მათემატიკური წინადადება არ შეიძლება დადასტურდეს, რომ ის ნამდვილად აქსიომად უნდა იქნას მიღებული. ნ.ი.ლობაჩევსკიმ შექმნა ახალი გეომეტრია, რომელსაც ევკლიდეს გეომეტრიისგან განსხვავებით, ლობაჩევსკის გეომეტრია ეწოდა.
ABდა თანდგადაკვეთა მესამე ხაზი MN, მაშინ ამ შემთხვევაში ჩამოყალიბებული კუთხეები წყვილებში იღებენ შემდეგ სახელებს:შესაბამისი კუთხეები: 1 და 5, 4 და 8, 2 და 6, 3 და 7;
შიდა ჯვარედინ დაწოლილი კუთხეები: 3 და 5, 4 და 6;
გარე ჯვარედინ დაწოლილი კუთხეები: 1 და 7, 2 და 8;
შიდა ცალმხრივი კუთხეები: 3 და 6, 4 და 5;
გარე ცალმხრივი კუთხეები: 1 და 8, 2 და 7.
ასე რომ, ∠ 2 = ∠ 4 და ∠ 8 = ∠ 6, მაგრამ დადასტურებული ∠ 4 = ∠ 6.
ამიტომ, ∠ 2 = ∠ 8.
3. შესაბამისი კუთხეები 2 და 6 იგივეა, რადგან ∠ 2 = ∠ 4 და ∠ 4 = ∠ 6. ჩვენ ასევე ვამოწმებთ, რომ სხვა შესაბამისი კუთხეები ტოლია.
4. ჯამი შიდა ცალმხრივი კუთხეები 3 და 6 იქნება 2d, რადგან ჯამი მიმდებარე კუთხეები 3 და 4 უდრის 2d = 180 0-ს და ∠ 4 შეიძლება შეიცვალოს იდენტური ∠ 6-ით. ასევე დარწმუნდით, რომ კუთხეების ჯამი 4 და 5 უდრის 2d-ს.
5. ჯამი გარე ცალმხრივი კუთხეებიიქნება 2d, რადგან ეს კუთხეები შესაბამისად ტოლია შიდა ცალმხრივი კუთხეებიკუთხეების მსგავსად ვერტიკალური.
ზემოთ დადასტურებული დასაბუთებიდან ვიღებთ შებრუნებული თეორემები.
როდესაც თვითნებური მესამე ხაზის ორი წრფის გადაკვეთაზე მივიღებთ იმას, რომ:
1. შიდა ჯვრის დაწოლის კუთხეები იგივეა;
ან 2.გარე ჯვრის დაწოლის კუთხეები იგივეა;
ან 3.შესაბამისი კუთხეები იგივეა;
ან 4.შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 2d = 180 0-ს;
ან 5.გარე ცალმხრივის ჯამი არის 2d = 180 0 ,
მაშინ პირველი ორი ხაზი პარალელურია.
ორი წრფის პარალელურობის ნიშნები
თეორემა 1. თუ სეკანტის ორი წრფის გადაკვეთაზე:
დიაგონალურად დაწოლილი კუთხეები ტოლია, ან
შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან
ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ
ხაზები პარალელურია(ნახ. 1).
მტკიცებულება. ჩვენ შემოვიფარგლებით 1-ლი შემთხვევის მტკიცებით.
დავუშვათ, რომ a და b წრფეების გადაკვეთაზე AB სეკანტით, დაწოლილი კუთხეები ტოლია. მაგალითად, ∠ 4 = ∠ 6. დავამტკიცოთ, რომ a || ბ.
დავუშვათ, რომ a და b წრფეები არ არის პარალელური. შემდეგ ისინი იკვეთებიან M რაღაც წერტილში და, შესაბამისად, 4 ან 6 კუთხეებიდან ერთ-ერთი იქნება ABM სამკუთხედის გარე კუთხე. დაზუსტებისთვის მოდით, ∠ 4 იყოს ABM სამკუთხედის გარე კუთხე, ხოლო ∠ 6 იყოს შიდა. სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ 4 მეტია ∠ 6-ზე და ეს ეწინააღმდეგება პირობას, რაც ნიშნავს, რომ a და 6 წრფეები ვერ იკვეთება, ამიტომ ისინი პარალელურები არიან.
დასკვნა 1. ერთი და იგივე წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში ორი განსხვავებული ხაზი პარალელურია(ნახ. 2).
კომენტარი. გზა, რომელსაც ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ თეორემა 1-ის შემთხვევა, ეწოდება მტკიცების მეთოდს წინააღმდეგობით ან აბსურდამდე დაყვანით. ამ მეთოდმა მიიღო თავისი სახელი, რადგან მსჯელობის დასაწყისში კეთდება ვარაუდი, რომელიც საპირისპიროა (საპირისპირო) იმისა, რაც დასამტკიცებელია. მას აბსურდობამდე დაყვანა იმიტომ ჰქვია, რომ გამოთქმული ვარაუდის საფუძველზე კამათით მივდივართ აბსურდულ დასკვნამდე (აბსურდობა). ასეთი დასკვნის მიღება გვაიძულებს უარვყოთ დასაწყისში გაკეთებული ვარაუდი და მივიღოთ ის, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.
დავალება 1.ააგეთ წრფე, რომელიც გადის მოცემულ M წერტილზე და პარალელურად არის მოცემული a წრფეზე, რომელიც არ გადის M წერტილს.
გადაწყვეტილება. ვხაზავთ p წრფეს A წრფის პერპენდიკულარულ M წერტილში (ნახ. 3).
შემდეგ ვხაზავთ b წრფეს M წერტილის პერპენდიკულარულ p წრფეზე. b წრფე პარალელურია a წრფის თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით.
განხილული პრობლემისგან მნიშვნელოვანი დასკვნა გამოდის:
წერტილის გავლით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, ყოველთვის შეიძლება მოცემული წრფის პარალელურად წრფის დახატვა..
პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება შემდეგია.
პარალელური წრფეების აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, არის მხოლოდ ერთი ხაზი მოცემული წრფის პარალელურად.
განვიხილოთ პარალელური წრფეების ზოგიერთი თვისება, რომელიც მოჰყვება ამ აქსიომას.
1) თუ წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის კვეთს მეორეს (სურ. 4).
2) თუ ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია მესამე წრფის პარალელურად, მაშინ ისინი პარალელურია (ნახ. 5).
შემდეგი თეორემა ასევე მართალია.
თეორემა 2. თუ ორი პარალელური წრფე გადაკვეთილია სეკანტით, მაშინ:
დაწოლის კუთხეები თანაბარია;
შესაბამისი კუთხეები ტოლია;
ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.
შედეგი 2. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.(იხ. სურ.2).
კომენტარი. თეორემა 2-ს ეწოდება თეორემა 1-ის შებრუნებული. თეორემა 1-ის დასკვნა არის თეორემა 2-ის პირობა. ხოლო თეორემა 1-ის პირობა არის თეორემა 2-ის დასკვნა. ყველა თეორემას არ აქვს შებრუნებული, ანუ თუ მოცემული თეორემა ჭეშმარიტია, მაშინ საპირისპირო თეორემა შეიძლება იყოს მცდარი.
ეს ავხსნათ ვერტიკალური კუთხეების თეორემის მაგალითით. ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია. შებრუნებული თეორემა ასეთი იქნება: თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ისინი ვერტიკალურია. და ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება. ორი თანაბარი კუთხე საერთოდ არ უნდა იყოს ვერტიკალური.
მაგალითი 1ორი პარალელური ხაზი კვეთს მესამეს. ცნობილია, რომ განსხვავება ორ შიდა ცალმხრივ კუთხეს შორის არის 30°. იპოვე ეს კუთხეები.
გადაწყვეტილება. დაე, ფიგურა 6 აკმაყოფილებდეს პირობას.
