სამკუთხედი არის სამი წერტილი, რომელიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და სამი ხაზის სეგმენტი, რომელიც მათ აკავშირებს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სამკუთხედი არის მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ზუსტად სამი კუთხე.

ამ სამ წერტილს სამკუთხედის წვეროები ეწოდება, სეგმენტებს კი სამკუთხედის გვერდები. სამკუთხედის გვერდები ქმნიან სამ კუთხეს სამკუთხედის წვეროებზე.

ტოლფერდა სამკუთხედი არის ის, რომელშიც ორი გვერდი ტოლია. ამ გვერდებს უწოდებენ გვერდებს, მესამე მხარეს - ფუძეს. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.

ტოლგვერდა ან მართკუთხა სამკუთხედი ეწოდება, რომელშიც სამივე გვერდი ტოლია. ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა კუთხე ასევე ტოლია და ტოლია 60°-ისა.

თვითნებური სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულებით: ან

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

რეგულარული ან ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულებით: ან ან

სად ა,ბ,გ- სამკუთხედის გვერდები თ- სამკუთხედის სიმაღლე, წ- კუთხე გვერდებს შორის, რ- შემოხაზული წრის რადიუსი, რარის შემოხაზული წრის რადიუსი.

სამკუთხედის ფართობი - პრობლემის გადაჭრის ფორმულები და მაგალითები

ქვემოთ მოცემულია ფორმულები თვითნებური სამკუთხედის ფართობის საპოვნელადრომლებიც შესაფერისია ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად, მიუხედავად მისი თვისებებისა, კუთხისა თუ განზომილებებისა. ფორმულები წარმოდგენილია სურათის სახით, აქ მოცემულია განმარტებები მათი სისწორის გამოყენებისა თუ დასაბუთებისთვის. ასევე, ცალკე ფიგურაში ნაჩვენებია ასოების სიმბოლოების შესაბამისობა ფორმულებში და გრაფიკული სიმბოლოები ნახაზში.

შენიშვნა . თუ სამკუთხედს აქვს სპეციალური თვისებები (ტოლფერდა, მართკუთხა, ტოლგვერდა), შეგიძლიათ გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული ფორმულები, ასევე დამატებით სპეციალური ფორმულები, რომლებიც მართებულია მხოლოდ ამ თვისებების მქონე სამკუთხედებისთვის:

• "ფორმულები ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობისთვის"

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

ფორმულების ახსნა:
ა, ბ, გ- სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, რომლის ფართობის პოვნა გვინდა
რ- სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი
რ- სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი
თ- სამკუთხედის სიმაღლე, გვერდით ჩამოწეული
გვ- სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, მისი გვერდების ჯამის 1/2 (პერიმეტრი)
α - კუთხე a სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს
β - კუთხე b სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს
γ - კუთხე c სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს
თ ა, თ ბ , თ გ- სამკუთხედის სიმაღლე, ჩამოშვებული a, b, c გვერდებზე

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მოცემული აღნიშვნა შეესაბამება ზემოთ მოცემულ ფიგურას, ასე რომ გეომეტრიაში რეალური პრობლემის გადაჭრისას გაგიადვილდებათ სწორი მნიშვნელობების ვიზუალურად ჩანაცვლება ფორმულაში სწორ ადგილებში.

• სამკუთხედის ფართობი არის სამკუთხედის სიმაღლისა და იმ მხარის სიგრძის ნამრავლის ნახევარი, რომელზედაც ეს სიმაღლე დაბლაა(Ფორმულა 1). ამ ფორმულის სისწორე ლოგიკურად შეიძლება გავიგოთ. ძირამდე დაშვებული სიმაღლე თვითნებურ სამკუთხედს ორ მართკუთხედად გაყოფს. თუ თითოეულ მათგანს დავასრულებთ მართკუთხედად b და h ზომებით, მაშინ, ცხადია, ამ სამკუთხედების ფართობი იქნება მართკუთხედის ფართობის ზუსტად ნახევარი (Spr = bh)
• სამკუთხედის ფართობი არის მისი ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარი და მათ შორის კუთხის სინუსი(ფორმულა 2) (იხილეთ ამ ფორმულის გამოყენებით პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ქვემოთ). იმისდა მიუხედავად, რომ ის განსხვავდება წინასგან, ის ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას მასში. თუ სიმაღლეს B კუთხიდან b გვერდისკენ შევამცირებთ, გამოდის, რომ a გვერდის და γ კუთხის სინუსის ნამრავლი, მართკუთხა სამკუთხედში სინუსის თვისებების მიხედვით, უდრის შედგენილი სამკუთხედის სიმაღლეს. us, რომელიც მოგვცემს წინა ფორმულას
• შეიძლება მოიძებნოს თვითნებური სამკუთხედის ფართობი მეშვეობით მუშაობამასში ჩაწერილი წრის რადიუსის ნახევარი მისი ყველა მხარის სიგრძის ჯამით(ფორმულა 3), სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი ჩაწერილი წრის რადიუსზე (ასე უფრო ადვილია დამახსოვრება)
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობის პოვნა შესაძლებელია მისი ყველა გვერდის ნამრავლის გაყოფით მის გარშემო შემოხაზული წრის 4 რადიუსზე (ფორმულა 4)
• ფორმულა 5 პოულობს სამკუთხედის ფართობს მისი გვერდების სიგრძისა და ნახევრად პერიმეტრის მიხედვით (მისი ყველა გვერდის ჯამის ნახევარი)
• ჰერონის ფორმულა(6) არის ერთი და იგივე ფორმულის წარმოდგენა ნახევარპერიმეტრის ცნების გამოყენების გარეშე, მხოლოდ გვერდების სიგრძით.
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობი უდრის სამკუთხედის გვერდის კვადრატის ნამრავლს და ამ მხარის მიმდებარე კუთხეების სინუსებს, გაყოფილი ამ მხარის მოპირდაპირე კუთხის ორმაგ სინუსზე (ფორმულა 7)
• თვითნებური სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც მის გარშემო შემოხაზული წრის ორი კვადრატისა და მისი თითოეული კუთხის სინუსების ნამრავლი. (ფორმულა 8)
• თუ ცნობილია ერთი გვერდის სიგრძე და მის მიმდებარე ორი კუთხის სიდიდე, მაშინ სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ამ გვერდის კვადრატად, გაყოფილი ამ კოტანგენტების ორმაგ ჯამზე. კუთხეები (ფორმულა 9)
• თუ ცნობილია მხოლოდ სამკუთხედის თითოეული სიმაღლის სიგრძე (ფორმულა 10), მაშინ ასეთი სამკუთხედის ფართობი უკუპროპორციულია ამ სიმაღლეების სიგრძისა, როგორც ჰერონის ფორმულით.
• ფორმულა 11 საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი მისი წვეროების კოორდინატების მიხედვით, რომლებიც მოცემულია როგორც (x;y) მნიშვნელობები თითოეული წვეროსთვის. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მიღებული მნიშვნელობა უნდა იქნას მიღებული მოდულით, რადგან ინდივიდუალური (ან თუნდაც ყველა) წვეროების კოორდინატები შეიძლება იყოს უარყოფითი მნიშვნელობების არეში.

შენიშვნა. ქვემოთ მოცემულია გეომეტრიის ამოცანების გადაჭრის მაგალითები სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად. თუ თქვენ გჭირდებათ პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში, რომლის მსგავსი აქ არ არის - დაწერეთ ამის შესახებ ფორუმზე. გადაწყვეტილებებში sqrt() ფუნქცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას სიმბოლოს ნაცვლად "კვადრატული ფესვი", რომელშიც sqrt არის კვადრატული ფესვის სიმბოლო, ხოლო რადიკალური გამოხატულება მითითებულია ფრჩხილებში..ზოგჯერ სიმბოლო შეიძლება გამოყენებულ იქნას მარტივი რადიკალური გამონათქვამებისთვის √

დავალება. იპოვეთ მოცემული ორი გვერდის ფართობი და მათ შორის კუთხე

სამკუთხედის გვერდებია 5 და 6 სმ, მათ შორის კუთხე 60 გრადუსია. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი.

გადაწყვეტილება.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ გაკვეთილის თეორიული ნაწილის ნომერ მეორე ფორმულას.
სამკუთხედის ფართობი გვხვდება ორი გვერდის სიგრძეზე და მათ შორის კუთხის სინუსში და ტოლი იქნება
S=1/2 ab sin γ

ვინაიდან ჩვენ გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი ამოხსნისთვის (ფორმულის მიხედვით), ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ პრობლემის მდგომარეობიდან მნიშვნელობები ჩავანაცვლოთ ფორმულაში:
S=1/2*5*6*sin60

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში ჩვენ ვპოულობთ და ვცვლით გამოხატულებაში სინუსის მნიშვნელობას 60 გრადუსი. უდრის ძირს სამი ორზე.
S = 15 √3 / 2

უპასუხე: 7.5 √3 (მასწავლებლის მოთხოვნებიდან გამომდინარე, ალბათ შესაძლებელია 15 √3/2 დატოვება)

დავალება. იპოვეთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი

იპოვეთ 3 სმ გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი.

გადაწყვეტილება .

სამკუთხედის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ჰერონის ფორმულით:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c-დან, ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მიიღებს ფორმას:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

უპასუხე: 9 √3 / 4.

დავალება. გვერდების სიგრძის შეცვლისას ფართობის შეცვლა

რამდენჯერ გაიზრდება სამკუთხედის ფართობი, თუ გვერდები ოთხმაგდება?

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან ჩვენ არ ვიცით სამკუთხედის გვერდების ზომები, ამოცანის ამოსახსნელად ჩავთვლით, რომ გვერდების სიგრძეები შესაბამისად უდრის თვითნებურ რიცხვებს a, b, c. შემდეგ, პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჩვენ ვიპოვით ამ სამკუთხედის ფართობს, შემდეგ კი ვპოულობთ სამკუთხედის ფართობს, რომლის გვერდები ოთხჯერ დიდია. ამ სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა გაგვცემს ამოცანის პასუხს.

შემდეგი, ჩვენ ვაძლევთ ტექსტურ ახსნას პრობლემის გადაჭრის ეტაპობრივად. თუმცა, ბოლოს და ბოლოს, იგივე გამოსავალი წარმოდგენილია აღქმისთვის უფრო მოსახერხებელი გრაფიკული ფორმით. მსურველებს შეუძლიათ დაუყოვნებლივ ჩამოაგდონ გამოსავალი.

ამოსახსნელად ვიყენებთ ჰერონის ფორმულას (იხილეთ ზემოთ გაკვეთილის თეორიულ ნაწილში). ეს ასე გამოიყურება:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(იხილეთ სურათის პირველი ხაზი ქვემოთ)

თვითნებური სამკუთხედის გვერდების სიგრძე მოცემულია a, b, c ცვლადებით.
თუ გვერდები გაიზარდა 4-ჯერ, მაშინ ახალი სამკუთხედის c ფართობი იქნება:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(იხილეთ მეორე ხაზი ქვემოთ მოცემულ სურათზე)

როგორც ხედავთ, 4 არის საერთო ფაქტორი, რომელიც ოთხივე გამონათქვამიდან შეიძლება იყოს ფრჩხილებში მათემატიკის ზოგადი წესების მიხედვით.
მერე

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - სურათის მესამე სტრიქონზე
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - მეოთხე ხაზი

256 რიცხვიდან კვადრატული ფესვი მშვენივრად არის ამოღებული, ამიტომ ამოვიღებთ ფესვის ქვემოდან
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(იხილეთ ნახაზის მეხუთე სტრიქონი ქვემოთ)

პრობლემაში დასმულ კითხვაზე პასუხის გასაცემად საკმარისია მიღებული სამკუთხედის ფართობი გავყოთ თავდაპირველის ფართობზე.
ფართობის თანაფარდობებს ვადგენთ გამონათქვამების ერთმანეთზე დაყოფით და მიღებული წილადის შემცირებით.

სამკუთხედის განმარტება

სამკუთხედი- ეს არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სამი სეგმენტის გადაკვეთის შედეგად, რომელთა ბოლოები არ დევს ერთ სწორ ხაზზე. ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს სამი გვერდი, სამი წვერო და სამი კუთხე.

ონლაინ კალკულატორი

სამკუთხედები სხვადასხვა ტიპისაა. მაგალითად, არის ტოლგვერდა სამკუთხედი (ერთი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია), ტოლგვერდა (მასში ორი გვერდი ტოლია) და მართკუთხედი (რომელშიც ერთი კუთხე მართია, ანუ 90 გრადუსის ტოლია. ).

სამკუთხედის ფართობის პოვნა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით, იმისდა მიხედვით, თუ რომელი ფიგურის ელემენტებია ცნობილი პრობლემის მდგომარეობით, იქნება ეს კუთხეები, სიგრძეები ან, ზოგადად, წრეების რადიუსი, რომლებიც დაკავშირებულია მათთან. სამკუთხედი. განვიხილოთ თითოეული მეთოდი ცალკე მაგალითებით.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მისი ფუძისა და სიმაღლის გათვალისწინებით

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅თ,

Აა ა- სამკუთხედის საფუძველი;
სთ სთ თ- მოცემულ ფუძეზე დახატული სამკუთხედის სიმაღლე a.

მაგალითი

იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, თუ ცნობილია მისი ფუძის სიგრძე 10 (სმ) ტოლი და ამ ფუძის სიმაღლე 5 (სმ).

გადაწყვეტილება

A=10 a=10 a =1 0
h=5 სთ=5 თ =5

შეცვალეთ ფართობის ფორმულაში და მიიღეთ:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (იხ. კვ.)

პასუხი: 25 (იხ. კვ.)

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოცემულია ყველა მხარის სიგრძეზე

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c ა, ბ, გ- სამკუთხედის გვერდების სიგრძე;
გვ გვ- სამკუთხედის ყველა გვერდის ჯამის ნახევარი (ანუ სამკუთხედის პერიმეტრის ნახევარი):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (ა +ბ +გ)

ამ ფორმულას ე.წ ჰერონის ფორმულა.

მაგალითი

იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, თუ ცნობილია მისი სამი გვერდის სიგრძე, უდრის 3 (იხ.), 4 (იხ.), 5 (იხ.).

გადაწყვეტილება

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

იპოვეთ პერიმეტრის ნახევარი გვ გვ:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

შემდეგ, ჰერონის ფორმულის მიხედვით, სამკუთხედის ფართობი არის:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (იხ. კვ.)

პასუხი: 6 (იხ. კვ.)

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოცემულია ერთი გვერდი და ორი კუთხე

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\გამა))( \sin(\ბეტა+\გამა))S=2 ა 2 ​ ⋅ sin (β+γ)ცოდვა β ცოდვა γ ​ ,

Აა ა- სამკუთხედის გვერდის სიგრძე;
β , γ \ბეტა, \გამა β , γ - გვერდის მიმდებარე კუთხეები აა ა.

მაგალითი

მოცემულია სამკუთხედის 10-ის ტოლი (იხ.) გვერდი და 30 გრადუსიანი ორი მიმდებარე კუთხე. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი.

გადაწყვეტილება

A=10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \გამა=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

ფორმულის მიხედვით:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(2)\c2t) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\დაახლოებით14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ ცოდვა (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) ცოდვა 3 0 ∘ ცოდვა 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (იხ. კვ.)

პასუხი: 14.4 (იხ. კვ.)

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოცემულია სამი გვერდით და შემოხაზული წრის რადიუსით

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ გ​ ,

A, b, c a, b, c ა, ბ, გ- სამკუთხედის გვერდები
რ რ რარის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი.

მაგალითი

ჩვენ ვიღებთ რიცხვებს ჩვენი მეორე ამოცანიდან და ვუმატებთ რადიუსს რ რ რწრეები. იყოს 10-ის ტოლი (იხ.).

გადაწყვეტილება

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (იხ. კვ.)

პასუხი: 1.5 (სმ.კვ.)

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოცემულია სამი გვერდით და ჩაწერილი წრის რადიუსით

S = p ⋅ r S=p\cdot rს= გვ⋅ რ,

გვგვ- სამკუთხედის პერიმეტრის ნახევარი:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)გვ= 2 ა+ ბ+ გ​ ,

ა, ბ, გ ა, ბ, გა, ბ, გ- სამკუთხედის გვერდები
რ რრარის სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი.

მაგალითი

ჩაწერილი წრის რადიუსი იყოს 2-ის ტოლი (იხ.). გვერდების სიგრძეებს ვიღებთ წინა პრობლემისგან.

გადაწყვეტილება

$ა=3b=4\; b=4ბ=4c=5\; c=5გ=5r=2\; r=2რ=2$

$გვ=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12ს= 6 ⋅ 2 = 1 2 (იხ. კვ.)

პასუხი: 12 (იხ. კვ.)

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა მოცემულია ორი გვერდით და მათ შორის კუთხით

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)ს= 2 1 ​ ⋅ ბ⋅ გ⋅ ცოდვა(α ) ,

ბ, გ ბ, გბ, გ- სამკუთხედის გვერდები

α\ალფაα - კუთხე გვერდებს შორის ბბბდა გ გგ.

მაგალითი

სამკუთხედის გვერდებია 5 (იხ.) და 6 (იხ.), მათ შორის კუთხე 30 გრადუსია. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი.

გადაწყვეტილება

$ბ=5c=6\; c=6გ=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5ს= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ ცოდვა(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (იხ. კვ.)

პასუხი: 7.5 (იხ. კვ.)

სამკუთხედი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი მხარისა და სამი წვერისგან. მისი სიმარტივიდან გამომდინარე, სამკუთხედი უძველესი დროიდან გამოიყენებოდა სხვადასხვა გაზომვისთვის, დღეს კი ფიგურა გამოდგება პრაქტიკული და ყოველდღიური პრობლემების გადასაჭრელად.

სამკუთხედის მახასიათებლები

ფიგურა გამოიყენებოდა გამოთვლებისთვის უძველესი დროიდან, მაგალითად, ამზომველები და ასტრონომები მოქმედებენ სამკუთხედების თვისებებით, რათა გამოთვალონ ფართობი და მანძილი. ამ ფიგურის ფართობის საშუალებით ადვილია ნებისმიერი n-გონის ფართობის გამოხატვა და ეს თვისება გამოიყენეს უძველესი მეცნიერების მიერ მრავალკუთხედების ფართობების ფორმულების გამოსატანად. სამკუთხედებთან მუდმივი მუშაობა, განსაკუთრებით მართკუთხა სამკუთხედთან, საფუძველი გახდა მათემატიკის მთელი მონაკვეთის - ტრიგონომეტრიისთვის.

სამკუთხედის გეომეტრია

გეომეტრიული ფიგურის თვისებები შესწავლილი იყო უძველესი დროიდან: ყველაზე ადრეული ინფორმაცია სამკუთხედის შესახებ 4000 წლის ეგვიპტურ პაპირუსებში იქნა ნაპოვნი. შემდეგ ფიგურა ძველ საბერძნეთში შეისწავლეს და სამკუთხედის გეომეტრიაში უდიდესი წვლილი შეიტანეს ევკლიდეს, პითაგორამ და ჰერონმა. სამკუთხედის შესწავლა არასოდეს შეწყვეტილა და მე-18 საუკუნეში ლეონჰარდ ეილერმა შემოიტანა ფიგურის ორთოცენტრისა და ეილერის წრის კონცეფცია. მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე, როდესაც ჩანდა, რომ აბსოლუტურად ყველაფერი იყო ცნობილი სამკუთხედის შესახებ, ფრენკ მორლიმ ჩამოაყალიბა კუთხის ტრისექტრიქსის თეორემა, ხოლო ვაცლავ სიერპინსკიმ შემოგვთავაზა ფრაქტალის სამკუთხედი.

სასკოლო გეომეტრიის კურსიდან ჩვენთვის ნაცნობი ბრტყელი სამკუთხედების რამდენიმე სახეობაა:

• მახვილკუთხა - ფიგურის ყველა კუთხე მკვეთრია;
• ბლაგვი - ფიგურას აქვს ერთი ბლაგვი კუთხე (90 გრადუსზე მეტი);
• მართკუთხა - ფიგურა შეიცავს ერთ მართკუთხა კუთხეს, რომელიც უდრის 90 გრადუსს;
• ტოლფერდა - სამკუთხედი ორი თანაბარი გვერდით;
• ტოლგვერდა - სამკუთხედი ყველა თანაბარი გვერდით.
• რეალურ ცხოვრებაში, არსებობს ყველა სახის სამკუთხედი და ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება დაგჭირდეთ გეომეტრიული ფიგურის ფართობის გამოთვლა.

სამკუთხედის ფართობი

ფართობი არის შეფასება იმისა, თუ რამდენს ესაზღვრება ფიგურა. სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ექვსი გზით, გვერდების, სიმაღლის, კუთხეების, ჩაწერილი ან შემოხაზული წრის რადიუსის გამოყენებით, აგრეთვე ჰერონის ფორმულის გამოყენებით ან ორმაგი ინტეგრალის გაანგარიშებით იმ ხაზებზე, რომლებიც აკავშირებენ სიბრტყეს. უმარტივესი ფორმულა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად არის:

სადაც a არის სამკუთხედის გვერდი, h არის მისი სიმაღლე.

თუმცა, პრაქტიკაში ჩვენთვის ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი გეომეტრიული ფიგურის სიმაღლის პოვნა. ჩვენი კალკულატორის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფართობი, იცოდეთ:

• სამი მხარე;
• ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის;
• ერთი მხარე და ორი კუთხე.

ფართობის სამი მხარის მიხედვით დასადგენად, ვიყენებთ ჰერონის ფორმულას:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

სადაც p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

ფართობის გაანგარიშება ორ მხარეს და კუთხით ხდება კლასიკური ფორმულის მიხედვით:

S = a × b × sin(alfa),

სადაც ალფა არის კუთხე a და b გვერდებს შორის.

ერთი მხარისა და ორი კუთხის ფართობის დასადგენად ვიყენებთ მიმართებას, რომელიც:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(გამა)

მარტივი პროპორციის გამოყენებით განვსაზღვრავთ მეორე მხარის სიგრძეს, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ ფართობს S = a × b × sin (ალფა) ფორმულით. ეს ალგორითმი სრულად ავტომატიზირებულია და თქვენ მხოლოდ უნდა შეიყვანოთ მოცემული ცვლადები და მიიღოთ შედეგი. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

რეალური ცხოვრების მაგალითები

მოსაპირკეთებელი ფილები

ვთქვათ, გსურთ იატაკის დაგება სამკუთხა ფილებით, ხოლო მასალის საჭირო რაოდენობის დასადგენად, უნდა გაარკვიოთ ერთი კრამიტის ფართობი და იატაკის ფართობი. დაე, საჭირო გახდეს ზედაპირის 6 კვადრატული მეტრის დამუშავება კრამიტის გამოყენებით, რომლის ზომებია a = 20 სმ, b = 21 სმ, c = 29 სმ. ცხადია, კალკულატორი იყენებს ჰერონის ფორმულას სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად და მისცემს შედეგს:

ამრიგად, ერთი კრამიტის ელემენტის ფართობი იქნება 0,021 კვადრატული მეტრი, ხოლო იატაკის გასაუმჯობესებლად დაგჭირდებათ 6 / 0,021 \u003d 285 სამკუთხედი. 20, 21 და 29 რიცხვები ქმნიან პითაგორას სამმაგი რიცხვებს, რომლებიც აკმაყოფილებს . და ეს ასეა, ჩვენმა კალკულატორმა ასევე გამოითვალა სამკუთხედის ყველა კუთხე და გამა კუთხე არის ზუსტად 90 გრადუსი.

სასკოლო დავალება

სკოლის პრობლემაში, თქვენ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი, იმის ცოდნა, რომ გვერდი a \u003d 5 სმ და ჭრილობის ალფა და ბეტა კუთხეები, შესაბამისად, 30 და 50 გრადუსია. ამ პრობლემის ხელით გადასაჭრელად, ჯერ ვიპოვნეთ b გვერდის მნიშვნელობა გვერდებისა და მოპირდაპირე კუთხის სინუსების თანაფარდობის გამოყენებით, შემდეგ კი განვსაზღვრავთ ფართობს მარტივი ფორმულით S = a × b × sin(alfa). დავზოგოთ დრო, შევიყვანოთ მონაცემები კალკულატორის ფორმაში და მივიღოთ მყისიერი პასუხი

კალკულატორის გამოყენებისას მნიშვნელოვანია, სწორად მიუთითოთ კუთხეები და მხარეები, წინააღმდეგ შემთხვევაში შედეგი არასწორი იქნება.

დასკვნა

სამკუთხედი უნიკალური ფიგურაა, რომელიც გვხვდება როგორც რეალურ ცხოვრებაში, ასევე აბსტრაქტულ გამოთვლებში. გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ კალკულატორი, რათა იპოვოთ ნებისმიერი სახის სამკუთხედის ფართობი.

სამკუთხედის ფართობი. ტერიტორიების გამოთვლასთან დაკავშირებული გეომეტრიის ბევრ პრობლემაში გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის ფორმულები. რამდენიმე მათგანია, აქ განვიხილავთ მთავარს.ამ ფორმულების ჩამოთვლა ძალიან მარტივი და უსარგებლო იქნება. ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითადი ფორმულების წარმოშობას, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

სანამ გაეცანით ფორმულების წარმოშობას, დარწმუნდით, რომ გადახედეთ სტატიას.მასალის შესწავლის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად აღადგინოთ ფორმულები მეხსიერებაში (თუ ისინი მოულოდნელად "გაფრინდებიან" თქვენთვის შესაფერის დროს).

პირველი ფორმულა

პარალელოგრამის დიაგონალი ყოფს მას თანაბარი ფართობის ორ სამკუთხედად:

ამრიგად, სამკუთხედის ფართობი ტოლი იქნება პარალელოგრამის ფართობის ნახევარი:

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა

* ანუ, თუ ვიცით სამკუთხედის რომელიმე გვერდი და ამ მხარეს დაშვებული სიმაღლე, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ სამკუთხედის ფართობი.

ფორმულა ორი

როგორც უკვე ითქვა სტატიაში პარალელოგრამის ფართობის შესახებ, ფორმულას აქვს ფორმა:

სამკუთხედის ფართობი არის მისი ფართობის ნახევარი, ასე რომ:

*ანუ თუ ცნობილია სამკუთხედის რომელიმე ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი.

ჰერონის ფორმულა (მესამე)

ეს ფორმულა ძნელი გამოსატანია და არ გჭირდება. შეხედე, რა ლამაზია, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ახსოვთ.

*თუ სამკუთხედის სამი გვერდია მოცემული, მაშინ ამ ფორმულის გამოყენებით ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფართობი.

ფორმულა ოთხი

სადაც რარის შემოხაზული წრის რადიუსი

* თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და მასში ჩაწერილი წრის რადიუსი, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ სამკუთხედის ფართობი.

ფორმულა ხუთი

სადაც რარის შემოხაზული წრის რადიუსი.

* თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და შემოხაზული წრის რადიუსი, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი.

ჩნდება კითხვა: თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი, მაშინ ადვილი არ არის მისი ფართობის პოვნა ჰერონის ფორმულით!

დიახ, ეს უფრო ადვილია, მაგრამ არა ყოველთვის, ზოგჯერ რთული ხდება. ეს დაკავშირებულია ფესვის მოპოვებასთან. გარდა ამისა, ეს ფორმულები ძალიან მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ისეთ პრობლემებში, სადაც მოცემულია სამკუთხედის ფართობი, მოცემულია მისი გვერდები და საჭიროა იპოვონ ჩაწერილი ან შემოხაზული წრის რადიუსი. ასეთი დავალებები შედის გამოცდაში.

მოდით შევხედოთ ფორმულას:

ეს არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა მრავალკუთხედის ფართობისთვის, რომელშიც წრეა ჩაწერილი:

განვიხილოთ ეს პენტაგონის მაგალითზე:

წრის ცენტრს ამ ხუთკუთხედის წვეროებთან ვაკავშირებთ და ცენტრიდან მის გვერდებზე პერპენდიკულარებს ვუშვებთ. ჩვენ ვიღებთ ხუთ სამკუთხედს, ჩამოშვებული პერპენდიკულურით არის ჩაწერილი წრის რადიუსი:

პენტაგონის ფართობია:

ახლა გასაგებია, რომ თუ ჩვენ ვსაუბრობთ სამკუთხედზე, მაშინ ეს ფორმულა იღებს ფორმას:

ფორმულა ექვსი