Kolmio on kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolme janaa, jotka yhdistävät ne. Muuten kolmio on monikulmio, jolla on täsmälleen kolme kulmaa.

Näitä kolmea pistettä kutsutaan kolmion huipuiksi ja segmenttejä kutsutaan kolmion sivuiksi. Kolmion sivut muodostavat kolme kulmaa kolmion kärjessä.

Tasakylkinen kolmio on sellainen, jonka kaksi sivua ovat yhtä suuret. Näitä sivuja kutsutaan sivuiksi, kolmatta puolta kutsutaan pohjaksi. Tasakylkisessä kolmiossa pohjan kulmat ovat yhtä suuret.

Kutsutaan tasasivuista tai suorakulmaista kolmiota, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat myös yhtä suuret ja yhtä suuret kuin 60°.

Mielivaltaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavoilla: tai

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla:

Säännöllisen tai tasasivuisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavoilla: tai tai

Missä a,b,c- kolmion sivut h- kolmion korkeus, y- sivujen välinen kulma, R- rajatun ympyrän säde, r on piirretyn ympyrän säde.

Kolmion pinta-ala - kaavoja ja esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Alla ovat kaavat mielivaltaisen kolmion alueen löytämiseksi jotka sopivat minkä tahansa kolmion alueen löytämiseen sen ominaisuuksista, kulmista tai mitoista riippumatta. Kaavat on esitetty kuvan muodossa, tässä on selityksiä niiden soveltamisesta tai perustelut niiden oikeellisuuteen. Lisäksi erillisessä kuvassa näkyy kaavoissa olevien kirjainsymbolien ja piirustuksen graafisten symbolien vastaavuus.

Huomautus . Jos kolmiolla on erityisiä ominaisuuksia (tasakylkinen, suorakulmainen, tasasivuinen), voit käyttää alla olevia kaavoja sekä lisäksi erikoiskaavoja, jotka pätevät vain kolmioihin, joilla on nämä ominaisuudet:

• "Tasasivuisen kolmion pinta-alan kaavat"

Kolmion pintakaavat

Selitykset kaavoille:
a, b, c- kolmion sivujen pituudet, joiden alueen haluamme löytää
r- kolmioon piirretyn ympyrän säde
R- kolmion ympärillä olevan rajatun ympyrän säde
h- kolmion korkeus, laskettu sivulle
s- kolmion puolikehä, 1/2 sen sivujen summasta (kehä)
α - kolmion vastakkaisen sivun a kulma
β - kolmion b vastakkainen kulma
γ - kolmion vastakkaisen sivun c kulma
h a, h b , h c- kolmion korkeus, laskettu sivulle a, b, c

Huomaa, että annettu merkintä vastaa yllä olevaa kuvaa, jotta todellista geometrian ongelmaa ratkaistaessa sinun olisi helpompi visuaalisesti korvata oikeat arvot kaavan oikeisiin paikkoihin.

• Kolmion pinta-ala on puolet kolmion korkeuden ja sen sivun pituuden tulosta, jolle tämä korkeus on laskettu(Formula 1). Tämän kaavan oikeellisuus voidaan ymmärtää loogisesti. Pohjaan laskettu korkeus jakaa mielivaltaisen kolmion kahdeksi suorakaiteen muotoiseksi. Jos täydennämme niistä jokaisen suorakulmioon, jonka mitat ovat b ja h, niin näiden kolmioiden pinta-ala on ilmeisesti yhtä suuri kuin puolet suorakulmion pinta-alasta (Spr = bh)
• Kolmion pinta-ala on puolet sen kahden sivun tulosta ja niiden välisen kulman sinistä(Kaava 2) (katso esimerkki ongelman ratkaisemisesta tätä kaavaa käyttämällä alla). Huolimatta siitä, että se näyttää erilaiselta kuin edellinen, se voidaan helposti muuttaa sellaiseksi. Jos laskemme korkeutta kulmasta B sivulle b, käy ilmi, että sivun a ja kulman γ sinin tulo suorakulmaisen kolmion sinin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin piirretyn kolmion korkeus. meille, mikä antaa meille edellisen kaavan
• Mielivaltaisen kolmion pinta-ala löytyy kautta tehdä työtä puolet ympyrän säteestä, joka on piirretty siihen kaikkien sen sivujen pituuksien summalla(kaava 3), toisin sanoen, sinun on kerrottava kolmion puolikehä piirretyn ympyrän säteellä (on helpompi muistaa näin)
• Satunnaisen kolmion pinta-ala saadaan jakamalla sen kaikkien sivujen tulo sen ympärille piirretyn ympyrän 4 säteellä (kaava 4)
• Kaava 5 etsii kolmion pinta-alaa sen sivujen pituuksilla ja puolikehän pituudella (puolet sen kaikkien sivujen summasta)
• Heronin kaava(6) on saman kaavan esitys ilman puolikehän käsitettä, vain sivujen pituuksien kautta
• Satunnaisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion sivun neliön ja tämän sivun viereisten kulmien sinien tulo jaettuna tämän sivun vastakkaisen kulman kaksoissinillä (kaava 7)
• Satunnaisen kolmion pinta-ala voidaan löytää kahden sen ympärille piirretyn ympyrän neliön ja sen kunkin kulman sinien tulona. (Formula 8)
• Jos yhden sivun pituus ja kahden viereisen kulman suuruus tunnetaan, niin kolmion pinta-ala löytyy tämän sivun neliönä jaettuna näiden kotangenttien kaksinkertaisella summalla. kulmat (Formula 9)
• Jos tunnetaan vain kolmion kunkin korkeuden pituus (kaava 10), niin tällaisen kolmion pinta-ala on kääntäen verrannollinen näiden korkeuksien pituuteen, kuten Heronin kaavalla
• Kaava 11 antaa sinun laskea kolmion pinta-ala sen kärkipisteiden koordinaattien mukaan, jotka annetaan (x;y)-arvoina kullekin kärjelle. Huomaa, että tuloksena oleva arvo on otettava modulo, koska yksittäisten (tai jopa kaikkien) kärkien koordinaatit voivat olla negatiivisten arvojen alueella

Huomautus. Seuraavassa on esimerkkejä geometrian ongelmien ratkaisemisesta kolmion alueen löytämiseksi. Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota vastaavaa ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Ratkaisuissa sqrt()-funktiota voidaan käyttää "neliöjuuri"-symbolin sijasta, jossa sqrt on neliöjuuren symboli ja radikaalilauseke merkitään suluissa.Joskus symbolia voidaan käyttää yksinkertaisissa radikaalilausekkeissa √

Tehtävä. Etsi kahdelle sivulle annettu alue ja niiden välinen kulma

Kolmion sivut ovat 5 ja 6 cm, ja niiden välinen kulma on 60 astetta. Etsi kolmion pinta-ala.

Päätös.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme oppitunnin teoreettisen osan kaavaa numero kaksi.
Kolmion pinta-ala löytyy kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin kautta ja se on yhtä suuri kuin
S = 1/2 ab sin γ

Koska meillä on kaikki tarvittavat tiedot ratkaisua varten (kaavan mukaan), voimme vain korvata arvot ongelmalausekkeesta kaavaan:
S=1/2*5*6*sin60

Trigonometristen funktioiden arvojen taulukosta löydämme ja korvaamme lausekkeen sinin arvon 60 astetta. Se on yhtä kuin luvun kolme kertaa kaksi juuria.
S = 15 √3/2

Vastaus: 7,5 √3 (opettajan tarpeista riippuen on luultavasti mahdollista jättää 15 √3/2)

Tehtävä. Etsi tasasivuisen kolmion pinta-ala

Etsi tasasivuisen kolmion pinta-ala, jonka sivu on 3 cm.

Päätös.

Kolmion pinta-ala löytyy Heronin kaavalla:

S = 1/4 neliömetriä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Koska a \u003d b \u003d c, tasasivuisen kolmion pinta-alan kaava on muotoa:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastaus: 9 √3 / 4.

Tehtävä. Muuta pinta-alaa, kun vaihdat sivujen pituutta

Kuinka monta kertaa kolmion pinta-ala kasvaa, jos sivut nelinkertaistuvat?

Päätös.

Koska kolmion sivujen mitat ovat meille tuntemattomia, ongelman ratkaisemiseksi oletetaan, että sivujen pituudet ovat vastaavasti yhtä suuria kuin mielivaltaiset luvut a, b, c. Sitten, jotta voimme vastata ongelman kysymykseen, löydämme tämän kolmion alueen ja sitten löydämme kolmion alueen, jonka sivut ovat neljä kertaa suuremmat. Näiden kolmioiden pinta-alojen suhde antaa meille vastauksen ongelmaan.

Seuraavaksi annamme tekstin selityksen ongelman ratkaisusta vaiheittain. Kuitenkin aivan lopussa sama ratkaisu esitetään graafisessa muodossa, joka on helpompi havaita. Halukkaat voivat pudottaa ratkaisun heti alas.

Ratkaisussa käytämme Heron-kaavaa (katso yllä oppitunnin teoreettisessa osassa). Se näyttää tältä:

S = 1/4 neliömetriä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(katso alla olevan kuvan ensimmäinen rivi)

Satunnaisen kolmion sivujen pituudet saadaan muuttujilla a, b, c.
Jos sivuja kasvatetaan 4 kertaa, uuden kolmion c pinta-ala on:

S 2 = 1/4 neliömetriä((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(katso alla olevan kuvan toinen rivi)

Kuten näet, 4 on yleinen tekijä, joka voidaan sulkea kaikista neljästä lausekkeesta matematiikan yleisten sääntöjen mukaisesti.
Sitten

S 2 = 1/4 neliötä(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - kuvan kolmannella rivillä
S 2 = 1/4 neliömetriä(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - neljäs rivi

Numerosta 256 neliöjuuri erottuu täydellisesti, joten otamme sen pois juuren alta
S 2 = 16 * 1/4 neliötä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 neliömetriä((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(katso alla olevan kuvan viides rivi)

Tehtävässä esitettyyn kysymykseen vastaamiseksi riittää, että jaamme tuloksena olevan kolmion alueen alkuperäisen kolmion pinta-alalla.
Määritämme pinta-alasuhteet jakamalla lausekkeet toisiinsa ja vähentämällä tuloksena olevaa murto-osaa.

Kolmion määritelmä

Kolmio- Tämä on geometrinen kuvio, joka muodostuu kolmen segmentin risteyksen seurauksena, joiden päät eivät ole yhdellä suoralla. Jokaisella kolmiolla on kolme sivua, kolme kärkeä ja kolme kulmaa.

Online-laskin

Kolmiot ovat monenlaisia. Esimerkiksi on olemassa tasasivuinen kolmio (jossa kaikki sivut ovat yhtä suuret), tasakylkinen (kaksi sivua ovat yhtä suuret) ja suorakulmainen (jossa yksi kulmista on suora, eli yhtä suuri kuin 90 astetta ).

Kolmion pinta-ala voidaan löytää monin eri tavoin riippuen siitä, mitkä kuvion elementit tunnetaan tehtävän ehdon perusteella, olipa kyseessä kulmia, pituuksia tai yleensä ympyrän säteitä, jotka liittyvät ongelmaan. kolmio. Harkitse jokaista menetelmää erikseen esimerkkien kanssa.

Kolmion pinta-alan kaava sen pohjan ja korkeuden perusteella

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- kolmion kanta;
HH h- annettuun kantaan piirretyn kolmion korkeus a.

Esimerkki

Etsi kolmion pinta-ala, jos sen kannan pituus on 10 (cm) ja tähän kantaan piirretty korkeus on 5 (cm).

Päätös

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Korvaa kaavassa alue ja saat:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (katso neliö)

Vastaus: 25 (katso neliö)

Kolmion pinta-alan kaava kaikkien sivujen pituudella

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- kolmion sivujen pituus;
s s- puolet kolmion kaikkien sivujen summasta (eli puolet kolmion kehästä):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (+b +c)

Tätä kaavaa kutsutaan Heronin kaava.

Esimerkki

Etsi kolmion pinta-ala, jos sen kolmen sivun pituudet tunnetaan, yhtä suuri kuin 3 (katso), 4 (katso), 5 (katso).

Päätös

A=3 a=3 a =3
b = 4 b = 4 b=4
c=5 c=5 c=5

Etsi puolet kehästä s s:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Sitten Heronin kaavan mukaan kolmion pinta-ala on:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (katso neliö)

Vastaus: 6 (katso neliö)

Kaava kolmion pinta-alalle, kun on annettu yksi sivu ja kaksi kulmaa

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 a 2 ​ ⋅ synti (β+γ)synti β synti γ ​ ,

A a a- kolmion sivun pituus;
β , γ \beta, \gamma β , γ - sivun vieressä olevat kulmat a a a.

Esimerkki

Annettu kolmion sivu, joka on yhtä suuri kuin 10 (katso) ja kaksi vierekkäistä 30 asteen kulmaa. Etsi kolmion pinta-ala.

Päätös

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Kaavan mukaan:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S = \ frac (10 ^ c) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\noin 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ synti (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) synti 3 0 ∘ synti 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (katso neliö)

Vastaus: 14,4 (katso neliö)

Kolmion pinta-alan kaava, jossa on kolme sivua ja rajatun ympyrän säde

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- kolmion sivut
R R R on kolmion ympärillä olevan rajatun ympyrän säde.

Esimerkki

Otamme luvut toisesta tehtävästämme ja lisäämme niihin säteen R R R ympyrät. Olkoon se yhtä suuri kuin 10 (katso).

Päätös

A=3 a=3 a =3
b = 4 b = 4 b=4
c=5 c=5 c=5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (katso neliö)

Vastaus: 1,5 (cm.sq.)

Kolmion pinta-alan kaava, jossa on kolme sivua ja piirretyn ympyrän säde

S = p ⋅ r S = p\cdot rS= s⋅ r,

ss- puolet kolmion kehästä:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)s= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- kolmion sivut
r rr on kolmioon piirretyn ympyrän säde.

Esimerkki

Olkoon piirretyn ympyrän säde yhtä suuri kuin 2 (katso). Otamme sivujen pituudet edellisestä tehtävästä.

Päätös

$a=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4b=4c=5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r\; =\; 2r=2$

$s=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S = 6\cdot 2 = 12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (katso neliö)

Vastaus: 12 (katso neliö)

Kaava kolmion pinta-alalle, jolle on annettu kaksi sivua ja niiden välinen kulma

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ synti(α ) ,

b, c b, cb, c- kolmion sivut

α\alphaα - sivujen välinen kulma bbb ja c cc.

Esimerkki

Kolmion sivut ovat 5 (katso) ja 6 (katso), niiden välinen kulma on 30 astetta. Etsi kolmion pinta-ala.

Päätös

$b=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ synti(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (katso neliö)

Vastaus: 7,5 (katso neliö)

Kolmio on yksinkertaisin geometrinen kuvio, joka koostuu kolmesta sivusta ja kolmesta kärjestä. Yksinkertaisuuden vuoksi kolmiota on käytetty muinaisista ajoista lähtien erilaisiin mittauksiin, ja nykyään kuviosta voi olla hyötyä käytännön ja arjen ongelmien ratkaisemisessa.

Kolmion ominaisuudet

Kuvaa on käytetty laskennassa muinaisista ajoista lähtien, esimerkiksi maanmittaajat ja tähtitieteilijät laskevat pinta-aloja ja etäisyyksiä kolmion ominaisuuksilla. Tämän kuvion alueen kautta on helppo ilmaista minkä tahansa n-kulman pinta-ala, ja muinaiset tiedemiehet käyttivät tätä ominaisuutta johtaessaan kaavoja monikulmioiden alueille. Jatkuvasta työstä kolmioiden, erityisesti suorakulmaisen kolmion kanssa, on tullut perusta koko matematiikan - trigonometrialle.

kolmion geometria

Geometrisen hahmon ominaisuuksia on tutkittu muinaisista ajoista lähtien: varhaisimmat tiedot kolmiosta löytyivät 4000 vuotta vanhoista egyptiläisistä papyruksista. Sitten hahmoa tutkittiin muinaisessa Kreikassa, ja suurimman panoksen kolmion geometriaan antoivat Euclid, Pythagoras ja Heron. Kolmion tutkiminen ei koskaan pysähtynyt, ja Leonhard Euler esitteli 1700-luvulla käsitteen hahmon ortosentti ja Eulerin ympyrä. 1800- ja 1900-luvun vaihteessa, kun näytti siltä, ​​että kolmiosta tiedettiin ehdottomasti kaikki, Frank Morley muotoili kulman trisektriksilauseen ja Vaclav Sierpinski ehdotti fraktaalikolmiota.

Meille koulun geometriakurssilta tuttuja litteitä kolmioita on useita:

• teräväkulmainen - hahmon kaikki kulmat ovat teräviä;
• tylppä - hahmolla on yksi tylppä kulma (yli 90 astetta);
• suorakaiteen muotoinen - kuva sisältää yhden suoran kulman, joka on 90 astetta;
• tasakylkinen - kolmio, jossa on kaksi yhtäläistä sivua;
• tasasivuinen - kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.
• Tosielämässä on kaikenlaisia ​​kolmioita, ja joissakin tapauksissa meidän on ehkä laskettava geometrisen hahmon pinta-ala.

Kolmion pinta-ala

Pinta-ala on arvio siitä, kuinka suuren osan tasosta kuva rajoittaa. Kolmion pinta-ala voidaan löytää kuudella tavalla, käyttämällä sivuja, korkeutta, kulmia, piirretyn tai rajatun ympyrän sädettä sekä käyttämällä Heronin kaavaa tai laskemalla kaksoisintegraali tasoa rajoittavien viivojen yli. Yksinkertaisin kaava kolmion pinta-alan laskemiseksi on:

missä a on kolmion sivu, h on sen korkeus.

Käytännössä ei kuitenkaan aina ole kätevää löytää geometrisen hahmon korkeutta. Laskimemme algoritmin avulla voit laskea alueen tietäen:

• kolme puolta;
• kaksi sivua ja niiden välinen kulma;
• yksi puoli ja kaksi kulmaa.

Määrittääksemme alueen kolmen sivun suhteen, käytämme Heronin kaavaa:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

missä p on kolmion puolikehä.

Pinta-alan ja kulman laskeminen kahdelta sivulta tehdään klassisen kaavan mukaan:

S = a × b × sin(alfa),

jossa alfa on sivujen a ja b välinen kulma.

Yhden sivun ja kahden kulman läpi kulkevan alueen määrittämiseksi käytämme suhdetta, joka:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Yksinkertaisella suhteella määritetään toisen sivun pituus, jonka jälkeen lasketaan pinta-ala kaavalla S = a × b × sin(alfa). Tämä algoritmi on täysin automatisoitu ja sinun tarvitsee vain syöttää annetut muuttujat ja saada tulos. Katsotaanpa pari esimerkkiä.

Esimerkkejä tosielämästä

päällystyslaatat

Oletetaan, että haluat päällystää lattian kolmiomaisilla laatoilla, ja tarvittavan materiaalin määrän määrittämiseksi sinun tulee selvittää yhden laatan pinta-ala ja lattiapinta-ala. Olkoon tarpeen käsitellä 6 neliömetriä pintaa laatalla, jonka mitat ovat a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. On selvää, että laskin käyttää Heronin kaavaa kolmion pinta-alan laskemiseen ja antaa tuloksen:

Siten yhden laattaelementin pinta-ala on 0,021 neliömetriä, ja tarvitset 6 / 0,021 \u003d 285 kolmiota lattian parantamiseen. Numerot 20, 21 ja 29 muodostavat Pythagoraan kolmoisluvut, jotka täyttävät . Ja se on oikein, laskimemme laski myös kaikki kolmion kulmat, ja gammakulma on täsmälleen 90 astetta.

koulutehtävä

Koulutehtävässä sinun on löydettävä kolmion pinta-ala tietäen, että sivu a \u003d 5 cm ja haavan kulmat alfa ja beeta ovat 30 ja 50 astetta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi manuaalisesti etsisimme ensin sivun b arvon käyttämällä vastakkaisten kulmien sivujen ja sinien suhdetta ja määrittäisimme sitten alueen yksinkertaisella kaavalla S = a × b × sin(alfa). Säästetään aikaa, syötetään tiedot laskurilomakkeeseen ja saadaan välitön vastaus

Laskinta käytettäessä on tärkeää määrittää kulmat ja sivut oikein, muuten tulos on virheellinen.

Johtopäätös

Kolmio on ainutlaatuinen hahmo, joka esiintyy sekä tosielämässä että abstrakteissa laskelmissa. Käytä online-laskuriamme löytääksesi kaikenlaisten kolmioiden pinta-alan.

Kolmion pinta-ala. Monissa pinta-alojen laskemiseen liittyvissä geometriaongelmissa käytetään kolmion pinta-alan kaavoja. Niitä on useita, tässä tarkastelemme tärkeimpiä.Näiden kaavojen luetteleminen olisi liian yksinkertaista ja hyödytöntä. Analysoimme tärkeimpien kaavojen alkuperää, niitä, joita käytetään useimmin.

Ennen kuin tutustut kaavojen johtamiseen, muista katsoa artikkeli aiheesta.Tutkittuasi materiaalia voit helposti palauttaa kaavat muistiin (jos ne yhtäkkiä "lentää pois" tarvitsemallasi hetkellä).

Ensimmäinen kaava

Suunnikkaan diagonaali jakaa sen kahteen kolmioon, joiden pinta-ala on yhtä suuri:

Siksi kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet suunnikkaan pinta-alasta:

Kolmion pinta-alan kaava

* Eli jos tiedämme minkä tahansa kolmion sivun ja tälle puolelle lasketun korkeuden, voimme aina laskea tämän kolmion alueen.

Formula kaksi

Kuten jo todettiin suuntaviivan aluetta käsittelevässä artikkelissa, kaava on muotoa:

Kolmion pinta-ala on puolet sen pinta-alasta, joten:

*Toisin sanoen, jos kolmion mitkä tahansa kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnetaan, voimme aina laskea tällaisen kolmion alueen.

Heronin kaava (kolmas)

Tätä kaavaa on vaikea johtaa, etkä tarvitse sitä. Katso kuinka kaunis hän on, voimme sanoa, että hänet muistetaan.

*Jos kolmion kolme sivua on annettu, niin tämän kaavan avulla voimme aina laskea sen pinta-alan.

Formula neljä

missä ron piirretyn ympyrän säde

*Jos kolmion kolme sivua ja siihen piirretyn ympyrän säde tunnetaan, voimme aina löytää tämän kolmion pinta-alan.

Formula viisi

missä Ron rajatun ympyrän säde.

*Jos tunnetaan kolmion kolme sivua ja rajatun ympyrän säde, niin voimme aina löytää sellaisen kolmion pinta-alan.

Herää kysymys: jos kolmion kolme sivua tunnetaan, niin eikö ole helpompi löytää sen pinta-ala Heronin kaavalla!

Kyllä, se on helpompaa, mutta ei aina, joskus siitä tulee vaikeaa. Se liittyy juurien poistamiseen. Lisäksi näitä kaavoja on erittäin kätevä käyttää tehtävissä, joissa kolmion pinta-ala on annettu, sen sivut on annettu ja vaaditaan piirretyn tai rajatun ympyrän säde. Tällaiset tehtävät sisältyvät tenttiin.

Katsotaanpa kaavaa:

Se on monikulmion alueen kaavan erikoistapaus, johon ympyrä on merkitty:

Harkitse sitä viisikulmion esimerkissä:

Yhdistämme ympyrän keskipisteen tämän viisikulmion kärkipisteisiin ja pudotamme kohtisuorat keskustasta sen sivuille. Saamme viisi kolmiota, joissa pudotetut kohtisuorat ovat piirretyn ympyrän säteitä:

Viisikulmion pinta-ala on:

Nyt on selvää, että jos puhumme kolmiosta, tämä kaava saa muodon:

Formula kuusi