জীবনে, আমাদের প্রায়ই গণিত সমস্যার মুখোমুখি হতে হয়: স্কুলে, বিশ্ববিদ্যালয়ে এবং তারপরে আমাদের সন্তানকে বাড়ির কাজে সাহায্য করা। নির্দিষ্ট পেশার লোকেরা প্রতিদিন গণিতের মুখোমুখি হবে। অতএব, গাণিতিক নিয়মগুলি মুখস্ত করা বা স্মরণ করা দরকারী। এই নিবন্ধে, আমরা তাদের মধ্যে একটি বিশ্লেষণ করব: একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজে বের করা।
সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে
প্রথমেই মনে রাখা যাক সমকোণী ত্রিভুজ কী। একটি সমকোণী ত্রিভুজ হল তিনটি অংশের একটি জ্যামিতিক চিত্র যা বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে যেগুলি একই সরলরেখায় থাকে না এবং এই চিত্রের একটি কোণ হল 90 ডিগ্রি। যে বাহুগুলি একটি সমকোণ গঠন করে তাকে পা বলা হয় এবং সমকোণের বিপরীত দিকে অবস্থিত বাহুগুলিকে কর্ণ বলা হয়।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজে বের করা
পায়ের দৈর্ঘ্য বের করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। আমি তাদের আরও বিশদে বিবেচনা করতে চাই।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজে পেতে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য
যদি আমরা কর্ণ এবং পা জানি, তাহলে আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে অজানা পায়ের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পারি। এটি এইরকম শোনাচ্ছে: "কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।" সূত্র: c²=a²+b², যেখানে c হল কর্ণ, a এবং b হল পা। আমরা সূত্র রূপান্তরিত করি এবং পাই: a²=c²-b²।
উদাহরণ। কর্ণ 5 সেমি, এবং পা 3 সেমি। আমরা সূত্রটি রূপান্তর করি: c²=a²+b² → a²=c²-b²। এরপরে, আমরা সিদ্ধান্ত নিই: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (সেমি)।
সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজে বের করতে ত্রিকোণমিতিক সম্পর্ক
সমকোণী ত্রিভুজের অন্য কোনো বাহু এবং কোনো তীব্র কোণ জানা থাকলে একটি অজানা পা খুঁজে পাওয়াও সম্ভব। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করে পা খুঁজে বের করার জন্য চারটি বিকল্প রয়েছে: সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট দ্বারা। সমস্যাগুলি সমাধান করতে, নীচের টেবিলটি আমাদের সাহায্য করবে। আসুন এই বিকল্পগুলি বিবেচনা করা যাক।
সাইন ব্যবহার করে একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজুন
একটি কোণের সাইন (পাপ) হল কর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাত। সূত্র: sin \u003d a / c, যেখানে a হল প্রদত্ত কোণের বিপরীত পা, এবং c হল কর্ণ। এরপর, আমরা সূত্র রূপান্তর করি এবং পাই: a=sin*c।
উদাহরণ। কর্ণ 10 সেমি এবং কোণ A 30 ডিগ্রি। সারণী অনুসারে, আমরা A কোণের সাইন গণনা করি, এটি 1/2 এর সমান। তারপর, রূপান্তরিত সূত্র ব্যবহার করে, আমরা সমাধান করি: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (সেমি)।
কোসাইন ব্যবহার করে একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজুন
একটি কোণের কোসাইন (cos) হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত। সূত্র: cos \u003d b/c, যেখানে b হল প্রদত্ত কোণের সংলগ্ন পা, এবং c হল কর্ণ। আসুন সূত্রটি রূপান্তর করি এবং পাই: b=cos*c।
উদাহরণ। কোণ A 60 ডিগ্রী, কর্ণ 10 সেমি। টেবিল অনুসারে, আমরা কোণ A এর কোসাইন গণনা করি, এটি 1/2 এর সমান। পরবর্তী, আমরা সমাধান: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (সেমি)।
স্পর্শক ব্যবহার করে একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজুন
একটি কোণের স্পর্শক (tg) হল পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত। সূত্র: tg \u003d a / b, যেখানে a কোণার বিপরীত পা, এবং b সংলগ্ন। আসুন সূত্রটি রূপান্তর করি এবং পাই: a=tg*b।
উদাহরণ। কোণ A হল 45 ডিগ্রী, কর্ণ হল 10 সেমি। টেবিল অনুসারে, আমরা A কোণের স্পর্শক গণনা করি, এটি সমাধানের সমান: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (সেমি)।
কোট্যাঞ্জেন্ট ব্যবহার করে একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা খুঁজুন
একটি কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট (ctg) হল বিপরীত পায়ের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত। সূত্র: ctg \u003d b/a, যেখানে b হল কোণার সংলগ্ন পা, এবং বিপরীত। অন্য কথায়, কোট্যাঞ্জেন্ট হল "উল্টানো স্পর্শক"। আমরা পাই: b=ctg*a.
উদাহরণ। কোণ A 30 ডিগ্রী, বিপরীত পা 5 সেমি। সারণী অনুসারে, কোণের A এর স্পর্শক √3। গণনা করুন: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (সেমি)।
সুতরাং, এখন আপনি জানেন কিভাবে একটি সমকোণী ত্রিভুজে পা খুঁজে বের করতে হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি এত কঠিন নয়, মূল জিনিসটি সূত্রগুলি মনে রাখা।
আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে ত্রিকোণমিতির অধ্যয়ন শুরু করি। সাইন এবং কোসাইন কী, সেইসাথে একটি তীব্র কোণের স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট কী তা সংজ্ঞায়িত করা যাক। এগুলো ত্রিকোণমিতির মৌলিক বিষয়।
মনে আছে যে সমকোণএকটি কোণ সমান। অন্য কথায়, অর্ধেক unfolded কোণার.
ধারালো কোণ- ছোট।
স্থূলকোণ- বড়। এই ধরনের একটি কোণ সম্পর্কে, "ভোঁতা" একটি অপমান নয়, কিন্তু একটি গাণিতিক শব্দ :-)
একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি। একটি সমকোণ সাধারণত নির্দেশিত হয়। মনে রাখবেন যে কোণার বিপরীত দিকটি একই অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, শুধুমাত্র ছোট। সুতরাং, কোণের বিপরীত দিকে থাকা দিকটি নির্দেশিত হয়।
একটি কোণ সংশ্লিষ্ট গ্রীক অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
হাইপোটেনাসএকটি সমকোণ ত্রিভুজ হল সমকোণের বিপরীত বাহু।
পাগুলো- তীক্ষ্ণ কোণগুলির বিপরীত দিকগুলি।
কোণার বিপরীত পা বলা হয় বিপরীত(কোণ আপেক্ষিক)। অন্য পা, যা কোণার একপাশে অবস্থিত, বলা হয় সংলগ্ন.
সাইনাসএকটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণ হল কর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাত:
কোসাইনএকটি সমকোণী ত্রিভুজে তীব্র কোণ - কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত:
স্পর্শকএকটি সমকোণী ত্রিভুজে তীব্র কোণ - পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত:
আরেকটি (সমতুল্য) সংজ্ঞা: একটি তীব্র কোণের স্পর্শক হল একটি কোণের সাইনের কোসাইনের অনুপাত:
কোট্যাঞ্জেন্টএকটি সমকোণী ত্রিভুজে তীব্র কোণ - বিপরীতে পার্শ্ববর্তী পায়ের অনুপাত (বা, সমতুল্যভাবে, কোসাইন থেকে সাইনের অনুপাত):
সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্টের মৌলিক অনুপাতগুলিতে মনোযোগ দিন, যা নীচে দেওয়া হয়েছে। সমস্যা সমাধানে তারা আমাদের কাজে লাগবে।
আসুন তাদের কিছু প্রমাণ করি।
1. যেকোনো ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি হল। মানে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি তীব্র কোণের সমষ্টি .
2. একদিকে, কর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাত হিসাবে। অন্যদিকে, যেহেতু কোণের জন্য পাটি সংলগ্ন হবে।
আমরা এটা পেতে. অন্য কথায়, .
3. পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য নিন: . আসুন উভয় অংশকে এভাবে ভাগ করি:
আমরা পেয়েছি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়:
এইভাবে, একটি কোণের সাইন জেনে, আমরা এর কোসাইন খুঁজে পেতে পারি এবং এর বিপরীতে।
4. প্রধান ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের উভয় অংশকে দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:
এর মানে হল যে যদি আমাদের একটি তীব্র কোণের স্পর্শক দেওয়া হয়, তাহলে আমরা অবিলম্বে এর কোসাইন খুঁজে পেতে পারি।
একইভাবে,
ঠিক আছে, আমরা সংজ্ঞা এবং লিখিত সূত্র দিয়েছি। কিন্তু কেন আমাদের সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট দরকার?
আমরা জানি যে যেকোনো ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি.
মধ্যে সম্পর্ক আমরা জানি দলগুলিসঠিক ত্রিভুজ. এটি হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য: .
দেখা যাচ্ছে যে একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ জেনে আপনি তৃতীয়টি খুঁজে পেতে পারেন। একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু জেনে, আপনি তৃতীয়টি খুঁজে পেতে পারেন। সুতরাং, কোণের জন্য - তাদের অনুপাত, পক্ষের জন্য - তাদের নিজস্ব। কিন্তু যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ (একটি সমকোণ ব্যতীত) এবং একটি দিক পরিচিত হয় তবে কী করবেন, তবে আপনাকে অন্য দিকগুলি খুঁজে বের করতে হবে?
অতীতে লোকেরা এটির মুখোমুখি হয়েছিল, এলাকার মানচিত্র এবং তারাযুক্ত আকাশ তৈরি করেছিল। সর্বোপরি, একটি ত্রিভুজের সমস্ত বাহু সরাসরি পরিমাপ করা সবসময় সম্ভব নয়।
সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট - তাদেরও বলা হয় কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন- এর মধ্যে অনুপাত দিন দলগুলিএবং কোণগুলিত্রিভুজ কোণটি জেনে, আপনি বিশেষ টেবিল ব্যবহার করে এর সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন খুঁজে পেতে পারেন। এবং একটি ত্রিভুজের কোণ এবং এর একটি বাহুগুলির সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শকগুলি জেনে আপনি বাকিগুলি খুঁজে পেতে পারেন।
আমরা সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট মানের একটি সারণীও আঁকব যা থেকে "ভাল" কোণের জন্য।
টেবিলে দুটি লাল ড্যাশ লক্ষ্য করুন। কোণগুলির সংশ্লিষ্ট মানের জন্য, স্পর্শক এবং কোট্যানজেন্টের অস্তিত্ব নেই।
ব্যাঙ্ক অফ FIPI টাস্ক থেকে ত্রিকোণমিতির বিভিন্ন সমস্যা বিশ্লেষণ করা যাক।
1. একটি ত্রিভুজে, কোণটি হল , . অনুসন্ধান .
চার সেকেন্ডে সমস্যার সমাধান হয়ে যায়।
যেহেতু, আমাদের আছে:
2. একটি ত্রিভুজে, কোণটি , , . অনুসন্ধান . , সমান কর্ণের অর্ধেক.
কোণ সহ ত্রিভুজ এবং সমদ্বিবাহু। এতে, কর্ণটি পায়ের চেয়ে কয়েকগুণ বড়।
গণিতের একটি শাখা যার সাথে স্কুলের শিক্ষার্থীরা সবচেয়ে বড় অসুবিধাগুলি মোকাবেলা করে তা হল ত্রিকোণমিতি। আশ্চর্যের কিছু নেই: জ্ঞানের এই ক্ষেত্রটি অবাধে আয়ত্ত করার জন্য, আপনার স্থানিক চিন্তাভাবনা, সূত্র ব্যবহার করে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট খুঁজে বের করার ক্ষমতা, অভিব্যক্তি সরল করা এবং গণনায় সংখ্যা পাই ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়া প্রয়োজন। উপরন্তু, উপপাদ্য প্রমাণ করার সময় আপনাকে ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করতে সক্ষম হতে হবে এবং এর জন্য হয় একটি উন্নত গাণিতিক স্মৃতি বা জটিল লজিক্যাল চেইন বের করার ক্ষমতা প্রয়োজন।
ত্রিকোণমিতির উৎপত্তি
এই বিজ্ঞানের সাথে পরিচিতি কোণের সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্টের সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করা উচিত, তবে প্রথমে আপনাকে ত্রিকোণমিতি সাধারণভাবে কী করে তা খুঁজে বের করতে হবে।
ঐতিহাসিকভাবে, সমকোণী ত্রিভুজগুলি গাণিতিক বিজ্ঞানের এই বিভাগে অধ্যয়নের প্রধান বিষয়। 90 ডিগ্রি কোণের উপস্থিতি বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ পরিচালনা করা সম্ভব করে যা একজনকে দুটি দিক এবং একটি কোণ বা দুটি কোণ এবং একটি দিক ব্যবহার করে বিবেচনাধীন চিত্রের সমস্ত পরামিতির মান নির্ধারণ করতে দেয়। অতীতে, লোকেরা এই প্যাটার্নটি লক্ষ্য করেছিল এবং বিল্ডিং, নেভিগেশন, জ্যোতির্বিদ্যা এবং এমনকি শিল্পের নির্মাণে সক্রিয়ভাবে এটি ব্যবহার করতে শুরু করেছিল।
প্রথম পর্যায়ে
প্রাথমিকভাবে, লোকেরা সমকোণী ত্রিভুজের উদাহরণে একচেটিয়াভাবে কোণ এবং বাহুর সম্পর্ক সম্পর্কে কথা বলেছিল। তারপরে বিশেষ সূত্রগুলি আবিষ্কৃত হয়েছিল যা গণিতের এই বিভাগের দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহারের সীমানা প্রসারিত করা সম্ভব করেছিল।
আজ স্কুলে ত্রিকোণমিতির অধ্যয়ন সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে শুরু হয়, তারপরে অর্জিত জ্ঞান শিক্ষার্থীরা পদার্থবিদ্যায় ব্যবহার করে এবং বিমূর্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করে, যার সাথে কাজ শুরু হয় হাই স্কুলে।
গোলাকার ত্রিকোণমিতি
পরে, বিজ্ঞান যখন বিকাশের পরবর্তী স্তরে পৌঁছেছে, তখন গোলাকার জ্যামিতিতে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট সহ সূত্রগুলি ব্যবহার করা শুরু হয়েছে, যেখানে বিভিন্ন নিয়ম প্রযোজ্য, এবং একটি ত্রিভুজের কোণের যোগফল সর্বদা 180 ডিগ্রির বেশি হয়। এই বিভাগটি স্কুলে অধ্যয়ন করা হয় না, তবে এটির অস্তিত্ব সম্পর্কে জানা প্রয়োজন, অন্তত কারণ পৃথিবীর পৃষ্ঠ এবং অন্য কোনও গ্রহের পৃষ্ঠ উত্তল, যার অর্থ হল যে কোনও পৃষ্ঠ চিহ্নিত করা "চাপ-আকৃতির" হবে। ত্রিমাত্রিক স্থান।
গ্লোব এবং থ্রেড নিন. থ্রেডটিকে পৃথিবীর যেকোনো দুটি বিন্দুতে সংযুক্ত করুন যাতে এটি টানটান হয়। মনোযোগ দিন - এটি একটি চাপের আকৃতি অর্জন করেছে। গোলাকার জ্যামিতি, যা জিওডেসি, জ্যোতির্বিদ্যা এবং অন্যান্য তাত্ত্বিক এবং প্রয়োগ ক্ষেত্রগুলিতে ব্যবহৃত হয় এই ধরনের ফর্মগুলির সাথেই।
সঠিক ত্রিভুজ
ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করার উপায়গুলি সম্পর্কে কিছুটা জানার পরে, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট কী, তাদের সাহায্যে কী গণনা করা যেতে পারে এবং কোন সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে তা আরও বোঝার জন্য আসুন মৌলিক ত্রিকোণমিতিতে ফিরে আসি।
প্রথম ধাপ হল সমকোণী ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত ধারণাগুলি বোঝা। প্রথমত, কর্ণ হল 90 ডিগ্রি কোণের বিপরীত দিক। তিনি দীর্ঘতম. আমরা মনে রাখি যে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, এর সংখ্যাগত মান অন্য দুটি বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফলের মূলের সমান।
উদাহরণস্বরূপ, দুটি বাহু যথাক্রমে 3 এবং 4 সেন্টিমিটার হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 5 সেন্টিমিটার। যাইহোক, প্রাচীন মিশরীয়রা এই সম্পর্কে প্রায় সাড়ে চার হাজার বছর আগে জানত।
একটি সমকোণ গঠনকারী অবশিষ্ট দুটি বাহুকে পা বলে। উপরন্তু, আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি হল 180 ডিগ্রি।
সংজ্ঞা
অবশেষে, জ্যামিতিক ভিত্তির একটি দৃঢ় বোঝার সাথে, আমরা একটি কোণের সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শকের সংজ্ঞার দিকে যেতে পারি।
একটি কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত পায়ের (অর্থাৎ, কাঙ্ক্ষিত কোণের বিপরীত দিক) অনুপাত। একটি কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।
মনে রাখবেন সাইন বা কোসাইন কোনটাই একের বেশি হতে পারে না! কেন? কারণ কর্ণটি ডিফল্টভাবে দীর্ঘতম। পা যতই লম্বা হোক না কেন, এটি কর্ণের চেয়ে ছোট হবে, যার মানে তাদের অনুপাত সর্বদা একের চেয়ে কম হবে। এইভাবে, যদি আপনি সমস্যার উত্তরে 1 এর চেয়ে বেশি মান সহ একটি সাইন বা কোসাইন পান, তাহলে গণনা বা যুক্তিতে একটি ত্রুটি সন্ধান করুন। এই উত্তর স্পষ্টভাবে ভুল।
সবশেষে, একটি কোণের স্পর্শক হল সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত। একই ফলাফল কোসাইন দ্বারা সাইনের বিভাজন দেবে। দেখুন: সূত্র অনুসারে, আমরা বাহুর দৈর্ঘ্যকে কর্ণ দিয়ে ভাগ করি, তারপরে আমরা দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করি এবং কর্ণ দিয়ে গুণ করি। সুতরাং, আমরা স্পর্শকের সংজ্ঞা হিসাবে একই অনুপাত পাই।
কোট্যাঞ্জেন্ট, যথাক্রমে, বিপরীত দিকের কোণার সংলগ্ন বাহুর অনুপাত। এককটিকে স্পর্শক দ্বারা ভাগ করে আমরা একই ফলাফল পাই।
সুতরাং, আমরা সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট কী তার সংজ্ঞা বিবেচনা করেছি এবং আমরা সূত্রগুলি মোকাবেলা করতে পারি।
সহজতম সূত্র
ত্রিকোণমিতিতে, কেউ সূত্র ছাড়া করতে পারে না - সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যাঞ্জেন্ট তাদের ছাড়া কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়? এবং সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এটিই প্রয়োজন।
ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন শুরু করার সময় আপনাকে যে প্রথম সূত্রটি জানতে হবে তা বলে যে একটি কোণের সাইন এবং কোসাইনের বর্গের সমষ্টি একের সমান। এই সূত্রটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি প্রত্যক্ষ পরিণতি, তবে আপনি যদি কোণের মান জানতে চান তবে এটি সময় বাঁচায়, পাশ নয়।
অনেক শিক্ষার্থী দ্বিতীয় সূত্রটি মনে রাখতে পারে না, যা স্কুলের সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়ও খুব জনপ্রিয়: একটির যোগফল এবং একটি কোণের স্পর্শকের বর্গটি কোণের কোসাইনটির বর্গ দ্বারা বিভাজিত একটির সমান। আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন: সর্বোপরি, এটি প্রথম সূত্রের মতো একই বিবৃতি, শুধুমাত্র পরিচয়ের উভয় পক্ষই কোসাইনের বর্গ দ্বারা বিভক্ত ছিল। দেখা যাচ্ছে যে একটি সাধারণ গাণিতিক অপারেশন ত্রিকোণমিতিক সূত্রটিকে সম্পূর্ণরূপে অচেনা করে তোলে। মনে রাখবেন: সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট কী, রূপান্তরের নিয়ম এবং কয়েকটি মৌলিক সূত্র জেনে, আপনি যে কোনো সময় কাগজের শীটে প্রয়োজনীয় আরও জটিল সূত্র স্বাধীনভাবে বের করতে পারেন।
দ্বৈত কোণ সূত্র এবং যুক্তি সংযোজন
আরও দুটি সূত্র যা আপনাকে শিখতে হবে সেগুলি কোণের যোগফল এবং পার্থক্যের জন্য সাইন এবং কোসাইনের মানগুলির সাথে সম্পর্কিত৷ সেগুলি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে প্রথম ক্ষেত্রে, সাইন এবং কোসাইন উভয়ই গুণিত হয় এবং দ্বিতীয়টিতে, সাইন এবং কোসাইন এর পেয়ারওয়াইজ গুণফল যোগ করা হয়।
ডবল অ্যাঙ্গেল আর্গুমেন্টের সাথে যুক্ত সূত্রও আছে। এগুলি সম্পূর্ণরূপে পূর্ববর্তীগুলি থেকে উদ্ভূত - একটি অনুশীলন হিসাবে, আলফার কোণটি বিটা কোণের সমান গ্রহণ করে, সেগুলি নিজে নেওয়ার চেষ্টা করুন।
অবশেষে, লক্ষ্য করুন যে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট আলফার ডিগ্রি কমাতে ডাবল অ্যাঙ্গেল সূত্রগুলিকে রূপান্তর করা যেতে পারে।
উপপাদ্য
মৌলিক ত্রিকোণমিতির দুটি প্রধান উপপাদ্য হল সাইন উপপাদ্য এবং কোসাইন উপপাদ্য। এই উপপাদ্যগুলির সাহায্যে, আপনি সহজেই বুঝতে পারবেন কীভাবে সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট এবং সেইজন্য চিত্রের ক্ষেত্রফল এবং প্রতিটি বাহুর আকার ইত্যাদি।
সাইন উপপাদ্য বলে যে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যকে বিপরীত কোণের মান দিয়ে ভাগ করার ফলে আমরা একই সংখ্যা পাই। অধিকন্তু, এই সংখ্যাটি পরিধিকৃত বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধের সমান হবে, অর্থাৎ প্রদত্ত ত্রিভুজের সমস্ত বিন্দু সমন্বিত বৃত্ত।
কোসাইন উপপাদ্যটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে, এটিকে যেকোনো ত্রিভুজের দিকে প্রক্ষেপণ করে। দেখা যাচ্ছে যে দুই বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফল থেকে, তাদের গুণফল বিয়োগ করুন, তাদের সংলগ্ন কোণের দ্বিগুণ কোসাইন দ্বারা গুণিত করুন - ফলাফলের মানটি তৃতীয় বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমান হবে। সুতরাং, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে পরিণত হয়েছে।
অসাবধানতার কারণে ভুল
সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট কী তা জেনেও, অনুপস্থিত-মানসিকতার কারণে বা সহজতম গণনার ত্রুটির কারণে ভুল করা সহজ। এই ধরনের ভুলগুলি এড়াতে, আসুন তাদের মধ্যে সবচেয়ে জনপ্রিয়গুলির সাথে পরিচিত হই।
প্রথমত, চূড়ান্ত ফলাফল না পাওয়া পর্যন্ত আপনার সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করা উচিত নয় - আপনি উত্তরটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে ছেড়ে দিতে পারেন, যদি না শর্তটি অন্যথায় উল্লেখ করে। এই ধরনের রূপান্তরকে একটি ভুল বলা যাবে না, তবে এটি মনে রাখা উচিত যে কাজের প্রতিটি পর্যায়ে, নতুন শিকড় উপস্থিত হতে পারে, যা লেখকের ধারণা অনুযায়ী, হ্রাস করা উচিত। এই ক্ষেত্রে, আপনি অপ্রয়োজনীয় গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলিতে সময় নষ্ট করবেন। এটি বিশেষত তিনটি বা দুটির মূলের মতো মানগুলির জন্য সত্য, কারণ এগুলি প্রতিটি পদক্ষেপে কাজগুলিতে ঘটে। একই "কুৎসিত" সংখ্যা রাউন্ডিং প্রযোজ্য.
আরও, মনে রাখবেন যে কোসাইন উপপাদ্য যেকোন ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, কিন্তু পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য নয়! আপনি যদি ভুলবশত তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা গুণিত বাহুগুলির গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ করতে ভুলে যান, তবে আপনি কেবল একটি সম্পূর্ণ ভুল ফলাফল পাবেন না, তবে বিষয়ের সম্পূর্ণ ভুল বোঝাবুঝিও প্রদর্শন করবেন। এটি একটি অসতর্ক ভুলের চেয়েও খারাপ।
তৃতীয়ত, সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যানজেন্টের জন্য 30 এবং 60 ডিগ্রি কোণের মানগুলিকে বিভ্রান্ত করবেন না। এই মানগুলি মনে রাখবেন, কারণ 30 ডিগ্রীর সাইন 60 এর কোসাইন এর সমান এবং এর বিপরীতে। এগুলি মিশ্রিত করা সহজ, যার ফলস্বরূপ আপনি অনিবার্যভাবে একটি ভুল ফলাফল পাবেন।
আবেদন
অনেক ছাত্র ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন শুরু করার জন্য কোন তাড়াহুড়ো করে না, কারণ তারা এর প্রয়োগিত অর্থ বুঝতে পারে না। একজন প্রকৌশলী বা জ্যোতির্বিজ্ঞানীর জন্য সাইন, কোসাইন, স্পর্শক কী? এই ধারণাগুলি ধন্যবাদ যা আপনি দূরবর্তী নক্ষত্রের দূরত্ব গণনা করতে পারেন, একটি উল্কাপাতের পূর্বাভাস দিতে পারেন, অন্য গ্রহে একটি গবেষণা অনুসন্ধান পাঠাতে পারেন। এগুলি ছাড়া, একটি বিল্ডিং তৈরি করা, একটি গাড়ির নকশা করা, পৃষ্ঠের লোড বা একটি বস্তুর গতিপথ গণনা করা অসম্ভব। এবং এই শুধুমাত্র সবচেয়ে সুস্পষ্ট উদাহরণ! সর্বোপরি, ত্রিকোণমিতি এক বা অন্য আকারে সঙ্গীত থেকে ওষুধ পর্যন্ত সর্বত্র ব্যবহৃত হয়।
অবশেষে
সুতরাং আপনি সাইন, কোসাইন, স্পর্শক। আপনি তাদের গণনায় ব্যবহার করতে পারেন এবং সফলভাবে স্কুলের সমস্যা সমাধান করতে পারেন।
ত্রিকোণমিতির পুরো সারমর্মটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে অজানা পরামিতিগুলিকে ত্রিভুজের পরিচিত প্যারামিটারগুলি থেকে গণনা করতে হবে। মোট ছয়টি পরামিতি রয়েছে: তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তিনটি কোণের মাত্রা। কাজের মধ্যে সম্পূর্ণ পার্থক্য এই সত্য যে বিভিন্ন ইনপুট ডেটা দেওয়া হয়।
পায়ের পরিচিত দৈর্ঘ্য বা কর্ণের উপর ভিত্তি করে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়, আপনি এখন জানেন। যেহেতু এই পদগুলির অর্থ একটি অনুপাত ছাড়া আর কিছুই নয়, এবং একটি অনুপাত একটি ভগ্নাংশ, তাই ত্রিকোণমিতিক সমস্যার মূল লক্ষ্য হল একটি সাধারণ সমীকরণ বা সমীকরণের একটি সিস্টেমের মূল খুঁজে বের করা। এবং এখানে আপনি সাধারণ স্কুল গণিত দ্বারা সাহায্য করা হবে.
অধ্যায় I. সমকোণী ত্রিভুজের সমাধান
§3 (37)। মৌলিক অনুপাত এবং কার্য
ত্রিকোণমিতিতে, সমস্যাগুলি বিবেচনা করা হয় যেখানে একটি ত্রিভুজের নির্দিষ্ট উপাদানগুলিকে তার প্রদত্ত উপাদানগুলির পর্যাপ্ত সংখ্যক সংখ্যাসূচক মানের দ্বারা গণনা করা প্রয়োজন। এই কাজগুলি সাধারণত হিসাবে উল্লেখ করা হয় সিদ্ধান্তত্রিভুজ
ধরা যাক ABC একটি সমকোণ ত্রিভুজ, C একটি সমকোণ, কএবং খ- পা বিপরীত তীব্র কোণ A এবং B, সঙ্গে- কর্ণ (চিত্র 3);
তারপর আমাদের আছে:
একটি তীব্র কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত:
cos A = খ/ গ, কারণ বি = একটি / গ (1)
একটি তীব্র কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত পায়ের অনুপাত:
পাপ A = একটি / গ, sin B = খ/ গ (2)
একটি তীব্র কোণের স্পর্শক হল পার্শ্ববর্তী পায়ের বিপরীত পায়ের অনুপাত:
tan A = একটি / খ, tg B = খ/ ক (3)
একটি তীব্র কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট হল বিপরীত পায়ের সাথে সংলগ্ন পায়ের অনুপাত:
ctgA= খ/ ক, ctg B = একটি / খ (4)
তীব্র কোণের সমষ্টি হল 90°.
সমকোণী ত্রিভুজের জন্য মৌলিক সমস্যা।
টাস্ক আই. কর্ণ এবং তীব্র কোণগুলির একটি দেওয়া, অন্যান্য উপাদানগুলি গণনা করুন।
সিদ্ধান্ত.দেওয়া যাক সঙ্গেএবং A. কোণ B = 90° - Aও পরিচিত; পা সূত্র (1) এবং (2) থেকে পাওয়া যায়।
a = গ sinA, b = গকারণ এ
টাস্ক II . একটি পা এবং একটি তীব্র কোণ দেওয়া, অন্যান্য উপাদান গণনা করুন।
সিদ্ধান্ত.দেওয়া যাক কএবং A. কোণ B = 90° - A পরিচিত; সূত্র (3) এবং (2) থেকে আমরা খুঁজে পাই:
খ = ক tg B (= ক ctg A), সঙ্গে = ক/পাপ এ
টাস্ক III। লেগ এবং কর্ণের দেওয়া, অবশিষ্ট উপাদানগুলি গণনা করুন।
সিদ্ধান্ত.দেওয়া যাক কএবং সঙ্গে(এবং ক< с ) সমতা (2) থেকে আমরা A কোণ খুঁজে পাই:
পাপ A = একটি / গএবং A = arc sin একটি / গ ,
এবং অবশেষে পা খ:
খ = সঙ্গে cos A (= সঙ্গেপাপ খ)।
টাস্ক IV। অন্যান্য উপাদান খুঁজে পেতে পা a এবং b দেওয়া হয়।
সিদ্ধান্ত.সমতা থেকে (3) আমরা একটি তীব্র কোণ খুঁজে পাই, উদাহরণস্বরূপ A:
tg A = একটি / খ, A = arctan একটি / খ ,
কোণ B \u003d 90° - A,
কর্ণ গ = ক/sin A (= খ/sinB; = ক/কারণ খ)
লগারিদমিক টেবিল* ব্যবহার করে একটি সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান করার উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।
* প্রাকৃতিক সারণী অনুসারে সমকোণী ত্রিভুজের উপাদানগুলির গণনা অষ্টম শ্রেণীর জ্যামিতি কোর্স থেকে জানা যায়।
লগারিদমিক টেবিল ব্যবহার করে গণনা করার সময়, একজনকে সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি লিখতে হবে, তাদের প্রোলোগারিদম করতে হবে, সংখ্যাসূচক ডেটা প্রতিস্থাপন করতে হবে, টেবিল থেকে পরিচিত উপাদানগুলির (বা তাদের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন) প্রয়োজনীয় লগারিদমগুলি খুঁজে বের করতে হবে, পছন্দসই উপাদানগুলির লগারিদমগুলি গণনা করতে হবে (বা তাদের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি) ) এবং টেবিল থেকে প্রয়োজনীয় উপাদানগুলি খুঁজুন।
উদাহরণ।দানা পা ক= 166.1 এবং কর্ণ সঙ্গে= 187.3; তীব্র কোণ, অন্যান্য পা এবং এলাকা গণনা করুন।
সিদ্ধান্ত.আমাদের আছে:
পাপ A = একটি / গ; lg sin A = lg ক-এলজি গ; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30"।
আমরা পা গণনা খ:
b = aটিজি বি; এলজি খ= লগ খ+ lg tg B ; 
সূত্র ব্যবহার করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়
S=1/2 ab = 0,5 ক 2 টিজি বি; 
নিয়ন্ত্রণের জন্য, আমরা একটি স্লাইড নিয়মে কোণ A গণনা করি:
একটি \u003d আর্ক সিন একটি / গ= arc sin 166 / 187 ≈ 62°।
বিঃদ্রঃ.পা খবর্গক্ষেত্র এবং বর্গমূলের (টেবিল III এবং IV) ব্যবহার করে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা গণনা করা যেতে পারে:
খ= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
পূর্বে প্রাপ্ত মূল্যের সাথে অমিল b= 86.48 টেবিলের ত্রুটি দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যা ফাংশনগুলির আনুমানিক মান দেয়। 86.54 এর ফলাফল আরও সঠিক।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই বৃত্তটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় নির্মিত। বৃত্তের ব্যাসার্ধ একের সমান, যখন বৃত্তের কেন্দ্র উৎপত্তিস্থলে থাকে, তখন ব্যাসার্ধ ভেক্টরের প্রাথমিক অবস্থানটি অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর স্থির থাকে (আমাদের উদাহরণে, এটি হল ব্যাসার্ধ)।
বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু দুটি সংখ্যার সাথে মিলে যায়: অক্ষ বরাবর স্থানাঙ্ক এবং অক্ষ বরাবর স্থানাঙ্ক। এই স্থানাঙ্ক সংখ্যা কি? এবং সাধারণভাবে, তাদের হাতে বিষয়টির সাথে কী করার আছে? এটি করার জন্য, বিবেচিত সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে মনে রাখবেন। উপরের চিত্রে, আপনি দুটি সম্পূর্ণ সমকোণী ত্রিভুজ দেখতে পাচ্ছেন। একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। এটি আয়তক্ষেত্রাকার কারণ এটি অক্ষের সাথে লম্ব।
একটি ত্রিভুজ থেকে কি সমান? সেটা ঠিক. উপরন্তু, আমরা জানি যে একক বৃত্তের ব্যাসার্ধ, এবং তাই, . আমাদের কোসাইন সূত্রে এই মানটি প্রতিস্থাপন করুন। এখানে যা ঘটে:
এবং একটি ত্রিভুজ থেকে সমান কি? ভালো অবশ্যই, ! এই সূত্রে ব্যাসার্ধের মান প্রতিস্থাপন করুন এবং পান:
সুতরাং, আপনি কি আমাকে বলতে পারেন যে বৃত্তের অন্তর্গত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি কী কী? আচ্ছা, উপায় নেই? এবং যদি আপনি তা বুঝতে পারেন এবং শুধুমাত্র সংখ্যা? কি সমন্বয় এটি সঙ্গতিপূর্ণ? ওয়েল, অবশ্যই, সমন্বয়! কি সমন্বয় এটি সঙ্গতিপূর্ণ? এটা ঠিক, সমন্বয়! সুতরাং, বিন্দু.
এবং তারপর কি সমান এবং? এটা ঠিক, আসুন ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টের উপযুক্ত সংজ্ঞা ব্যবহার করি এবং সেটা পাই, ক।
কোণ বড় হলে কি হবে? এখানে, উদাহরণস্বরূপ, এই ছবির মতো:
এই উদাহরণে কি পরিবর্তন হয়েছে? আসুন এটা বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা আবার একটি সমকোণী ত্রিভুজের দিকে ঘুরি। একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন: একটি কোণ (একটি কোণের সংলগ্ন হিসাবে)। একটি কোণের সাইন, কোসাইন, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মান কত? এটা ঠিক, আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা মেনে চলি:
ঠিক আছে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কোণের সাইনের মান এখনও স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়; কোণের কোসাইনের মান - স্থানাঙ্ক; এবং সংশ্লিষ্ট অনুপাতের স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের মান। সুতরাং, এই সম্পর্কগুলি ব্যাসার্ধ ভেক্টরের যেকোনো ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
এটি ইতিমধ্যেই উল্লেখ করা হয়েছে যে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের প্রাথমিক অবস্থান অক্ষের ধনাত্মক দিক বরাবর। এখন পর্যন্ত আমরা এই ভেক্টরটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরিয়েছি, কিন্তু ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরালে কী হবে? অসাধারণ কিছুই নয়, আপনি একটি নির্দিষ্ট আকারের একটি কোণও পাবেন, তবে শুধুমাত্র এটি নেতিবাচক হবে। এইভাবে, ব্যাসার্ধ ভেক্টর ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানোর সময়, আমরা পাই ইতিবাচক কোণ, এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরার সময় - নেতিবাচক.
সুতরাং, আমরা জানি যে বৃত্তের চারপাশে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের একটি সম্পূর্ণ বিপ্লব বা। এটি দ্বারা বা দ্বারা ব্যাসার্ধ ভেক্টর ঘোরানো সম্ভব? ওয়েল, অবশ্যই আপনি পারেন! প্রথম ক্ষেত্রে, তাই, ব্যাসার্ধ ভেক্টর একটি সম্পূর্ণ বিপ্লব ঘটাবে এবং অবস্থানে থামবে বা।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, অর্থাৎ, ব্যাসার্ধ ভেক্টর তিনটি সম্পূর্ণ আবর্তন করবে এবং অবস্থানে থামবে বা।
সুতরাং, উপরের উদাহরণগুলি থেকে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে কোণগুলি যেগুলি দ্বারা পৃথক বা (কোন পূর্ণসংখ্যা কোথায়) ব্যাসার্ধ ভেক্টরের একই অবস্থানের সাথে মিলে যায়।
নীচের চিত্রটি একটি কোণ দেখায়। একই ইমেজ কোণার অনুরূপ, এবং তাই। এই তালিকা অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত রাখা যেতে পারে. এই সমস্ত কোণগুলি সাধারণ সূত্র দিয়ে লেখা যেতে পারে বা (কোথায় কোন পূর্ণসংখ্যা)
এখন, মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির সংজ্ঞা জেনে এবং একক বৃত্ত ব্যবহার করে, মানগুলি কী সমান তা উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করুন:
আপনাকে সাহায্য করার জন্য এখানে একটি ইউনিট চেনাশোনা রয়েছে:
কোন অসুবিধা? তাহলে এর এটা বের করা যাক। তাই আমরা জানি যে:
এখান থেকে, আমরা কোণের নির্দিষ্ট পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি। ঠিক আছে, আসুন ক্রমানুসারে শুরু করা যাক: কোণারটি স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়, তাই:
এটির অস্তিত্ব নেই;
আরও, একই যুক্তি মেনে চললে, আমরা খুঁজে পাই যে কোণগুলি যথাক্রমে স্থানাঙ্কের সাথে বিন্দুর সাথে মিলে যায়। এটি জেনে, সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান নির্ধারণ করা সহজ। প্রথমে এটি নিজে চেষ্টা করুন, তারপর উত্তরগুলি পরীক্ষা করুন।
উত্তর:
এটির অস্তিত্ব নেই
এটির অস্তিত্ব নেই
এটির অস্তিত্ব নেই
এটির অস্তিত্ব নেই
সুতরাং, আমরা নিম্নলিখিত টেবিল তৈরি করতে পারি:
এই সমস্ত মান মনে রাখার প্রয়োজন নেই। ইউনিট বৃত্তের বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানগুলির মধ্যে চিঠিপত্র মনে রাখা যথেষ্ট:
কিন্তু কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান এবং নিচের সারণীতে দেওয়া আছে, মনে রাখতে হবে:
ভয় পাবেন না, এখন আমরা একটি উদাহরণ দেখাব অনুরূপ মান বরং সহজ মুখস্থ:
এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য, কোণের তিনটি পরিমাপের জন্য সাইনের মানগুলি মনে রাখা অত্যাবশ্যক (), সেইসাথে কোণের স্পর্শকের মান। এই মানগুলি জেনে, পুরো টেবিলটি পুনরুদ্ধার করা বেশ সহজ - কোসাইন মানগুলি তীর অনুসারে স্থানান্তরিত হয়, যা হল:
এটি জেনে, আপনি মানগুলি পুনরুদ্ধার করতে পারেন। লব " " মিলবে এবং হর " " মিলবে৷ কোট্যাঞ্জেন্ট মানগুলি চিত্রে দেখানো তীর অনুসারে স্থানান্তরিত হয়। আপনি যদি এটি বুঝতে পারেন এবং তীর সহ ডায়াগ্রামটি মনে রাখেন তবে টেবিল থেকে পুরো মানটি মনে রাখার জন্য এটি যথেষ্ট হবে।
একটি বৃত্তের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক
একটি বৃত্তে একটি বিন্দু (এর স্থানাঙ্ক) খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব, বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, এর ব্যাসার্ধ এবং ঘূর্ণনের কোণ জানা?
ওয়েল, অবশ্যই আপনি পারেন! বের করা যাক একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খোঁজার জন্য সাধারণ সূত্র.
এখানে, উদাহরণস্বরূপ, আমাদের এমন একটি বৃত্ত রয়েছে:
আমাদের দেওয়া হয়েছে যে বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান। ডিগ্রী দ্বারা বিন্দু ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
চিত্র থেকে দেখা যায়, বিন্দুর স্থানাঙ্কটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সাথে মিলে যায়। সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ এটি সমান। কোসাইনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য প্রকাশ করা যেতে পারে:
তারপর আমরা পয়েন্ট জন্য যে স্থানাঙ্ক আছে.
একই যুক্তি দ্বারা, আমরা বিন্দুর জন্য y স্থানাঙ্কের মান খুঁজে পাই। এইভাবে,
সুতরাং, সাধারণ পদে, বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
বৃত্ত কেন্দ্র স্থানাঙ্ক,
বৃত্ত ব্যাসার্ধ,
ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ঘূর্ণনের কোণ।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমরা যে ইউনিট সার্কেলটি বিবেচনা করছি তার জন্য, এই সূত্রগুলি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেয়েছে, যেহেতু কেন্দ্রের স্থানাঙ্কগুলি শূন্য এবং ব্যাসার্ধ একের সমান:
ওয়েল, আসুন একটি স্বাদ জন্য এই সূত্রগুলি চেষ্টা করা যাক, একটি বৃত্তে পয়েন্ট খোঁজার অনুশীলন?
1. একটি বিন্দু চালু করে প্রাপ্ত একক বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।
2. একটি বিন্দু ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত একক বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।
3. একটি বিন্দু চালু করে প্রাপ্ত একক বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।
4. বিন্দু - বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান। দ্বারা প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ভেক্টর ঘূর্ণন করে প্রাপ্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
5. বিন্দু - বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান। দ্বারা প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ভেক্টর ঘূর্ণন করে প্রাপ্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
একটি বৃত্তের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে সমস্যা হচ্ছে?
এই পাঁচটি উদাহরণ সমাধান করুন (বা সমাধানটি ভালভাবে বুঝুন) এবং আপনি কীভাবে সেগুলি খুঁজে পাবেন তা শিখবেন!
1.
সেটা দেখা যায়। এবং আমরা জানি যে শুরুর বিন্দুর সম্পূর্ণ বাঁকের সাথে কী মিল রয়েছে। সুতরাং, কাঙ্খিত বিন্দুটি একই অবস্থানে থাকবে যেখানে বাঁক নেওয়ার সময়। এটি জেনে, আমরা বিন্দুটির পছন্দসই স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই:
2. বৃত্তটি একটি বিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একক, যার মানে আমরা সরলীকৃত সূত্র ব্যবহার করতে পারি:
সেটা দেখা যায়। আমরা জানি প্রারম্ভিক বিন্দুর দুটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণনের সাথে কী মিল রয়েছে। সুতরাং, কাঙ্ক্ষিত বিন্দুটি একই অবস্থানে থাকবে যেখানে বাঁক নেওয়ার সময়। এটি জেনে, আমরা বিন্দুটির পছন্দসই স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই:
সাইন এবং কোসাইন হল ট্যাবুলার মান। আমরা তাদের মান মনে রাখি এবং পাই:
এইভাবে, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
3. বৃত্তটি একটি বিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একক, যার মানে আমরা সরলীকৃত সূত্র ব্যবহার করতে পারি:
সেটা দেখা যায়। আসুন চিত্রে বিবেচিত উদাহরণটি চিত্রিত করি:
ব্যাসার্ধটি অক্ষের সাথে এবং এর সমান কোণ তৈরি করে। কোসাইন এবং সাইনের ট্যাবুলার মানগুলি সমান, এবং কোসাইন এখানে একটি ঋণাত্মক মান নেয় এবং সাইনটি ধনাত্মক তা নির্ধারণ করে, আমাদের আছে:
বিষয়ের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হ্রাস করার সূত্রগুলি অধ্যয়ন করার সময় অনুরূপ উদাহরণগুলি আরও বিশদে বিশ্লেষণ করা হয়।
এইভাবে, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
4.
ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ঘূর্ণনের কোণ (শর্ত অনুসারে)
সাইন এবং কোসাইনের অনুরূপ চিহ্ন নির্ধারণ করতে, আমরা একটি একক বৃত্ত এবং একটি কোণ তৈরি করি:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মান, অর্থাৎ, ধনাত্মক, এবং মান, অর্থাৎ, ঋণাত্মক। সংশ্লিষ্ট ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির ট্যাবুলার মানগুলি জেনে, আমরা এটি পাই:
আসুন প্রাপ্ত মানগুলিকে আমাদের সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করি:
এইভাবে, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
5. এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা সাধারণ আকারে সূত্র ব্যবহার করি, যেখানে
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (আমাদের উদাহরণে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ (শর্ত অনুসারে)
ব্যাসার্ধ ভেক্টরের ঘূর্ণনের কোণ (শর্ত অনুসারে)।
সূত্রে সমস্ত মান প্রতিস্থাপন করুন এবং পান:
এবং - টেবিল মান। আমরা সেগুলিকে সূত্রে মনে রাখি এবং প্রতিস্থাপন করি:
এইভাবে, পছন্দসই বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র
একটি কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত (দূরের) পায়ের অনুপাত।
একটি কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন (ঘনিষ্ঠ) পায়ের অনুপাত।
একটি কোণের স্পর্শক হল বিপরীত (দূরের) পায়ের সংলগ্ন (বন্ধ) অনুপাত।
একটি কোণের কোট্যাঞ্জেন্ট হল বিপরীত (দূরের) পাশের (ঘনিষ্ঠ) পায়ের অনুপাত।
