Математическая логика и компьютер исследовательская работа. Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах. Методы решения логических задач

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования Оренбургской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
«Орский машиностроительный колледж»

г.Орска Оренбургской области

Исследовательская работа

по математике

«
МАТЕМАТИКА БЕЗ
ФОРМУЛ, УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ
»

Подготовила
:
Тхорик Екатерина
,

студента группы
15ЛП

Руководитель:
Марченко О.В
.,

преподаватель мате
матики

Математика
–

это особый мир, в котором ведущую роль играют формулы,
символы и геометрические объекты. В исследовательской р
аботе мы решили
узнать, что произойдет, если из математики убрать формулы, уравнения и
неравенства?

Актуальность данного исследования состоит в том, что

с каждым годом
теряется интерес к математике. Не любят математику, прежде всего из
-
за формул.
В данной

работе мы хотим не только показать красоту математики, но и
преодолеть в сознании обучающихся возникающие представления о «сухости»,
формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики.

Цель работы: доказать, что математика останется полноц
енной наукой, при
этом интересной и многогранной, если из нее убрать формулы, уравнения и
неравенства.

Задачи работы:
показать, что математик
а

без формул, уравнений и
неравенств
является полноценной наукой
; провести опрос
обу
ча
ю
щихся; изучить
информационны
е источники; познакомится с основными способами решения
логических задач.

Если предположить, что математические формулы
-

лишь удобный язык
для изложения идей и методов математики, то сами эти идеи можно описать,
используя привычные и наглядные образы из о
кружающей жизни.

Объектом нашего исследования стали способы решения математических
задач без формул, уравнений и неравенств.

Студентам нашего колледжа было предложено ответить на вопрос: что
станет с математикой, если из нее убрать формулы, уравнения и не
равенства?
выбрав один ответ из следующих вариантов:

а) останутся числа, цифры, буквы б) останется только теория

в) останутся теоремы и доказательства г) останутся графики

д) математика станет литературой ж) ничего не останется

Результаты этого
опроса показали, что большинство студентов уверены, без
формул, уравнений и неравенств математика станет литературой. Мы решили
опровергнуть это мнение. Без формул, уравнений и неравенств в математике, в
первую очередь, останутся логические задачи, которы
е чаще всего составляют
большую часть заданий на олимпиаде по математике. Разнообразие логических
задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее
распространение получили следующие: метод рассуждения, метод таблиц, метод
графов, круги Эй
лера, метод блок
-
схем.

Способ рассуждений

самый примитивный способ. Этим способом
решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы
проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и
приходим к выводу, который и
будет являться ответом задачи.
Этим способом
обычно решают несложные логические задачи.

Основной прием, который используется при решении текстовых логических
задач, заключается в
построении таблиц
. Таблицы не только позволяют наглядно
представить условие з
адачи или ее ответ, но в значительной степени помогают
делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Метод графов.
Граф
-

это совокупность объектов со связями между ними.
Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются
то
чками), а связи
-

как дуги, или рёбра. Если связь однонаправленная
обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами
двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок.

Метод кругов Эйлера.
Диаграммы Эйлера используются при решении

большой группы логических задач. Условно все эти задачи можно разделить на три
типа. В задачах первого типа необходимо символически выразить мно
жества,
заштрихованные на диаграммах Эйлера, используя зна
ки операций пересечения,
объединения и дополнения.
В задачах второго типа диаграммы Эйлера
применяются для анализа ситуаций, связанных с определением класса. Третий тип
задач, при решении которых используются диаграммы Эйлера,
-

задачи на
логический счет.

Метод блок
-
схем
.
Этот вид решения логических задач
входит в курс
обучения учеников общеобразовательных учреждений по курсу информатики.
Программирование на языке
Pascal
.

Кроме логических задач в математике п
орой для решения простых
математических задач приходится совершать абсурдные вещи, выходящие за
ра
мки нашей логики, нашего мышления.
Абсурд
–

в математике и логике,
обозначает, что какой
-
то элемент не имеет никакого смысла в рамках данной
теории,

системы или

поля, принципиально несовместимый с ними, хотя элемент,
который является абсурдом в данной сист
еме, может иметь смысл в другой.

В математике в отдельную группу выделяют софизмы (мастерство, умение)
-

сложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении
кажется правильным.

Без формул в математике может возникнуть ситуация, ко
торая может
существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Такая ситуация
называется парадоксом. Возникновение парадоксов не является чем
-
то
незакономерным, неожиданным, случайным в истории развития научного
мышления. Их появление сигнализи
рует о необходимости пересмотра прежних
теоретических представлений, выдвижения более адекватных понятий, принципов
и методов исследования.

Мир такой науки, как математика, не исчерпывается только лишь решением
особого вида задач. Помимо всех трудностей, в

ней есть прекрасное и интересное,
порой даже смешное. Математический юмор, также как и математический мир,
утонченный и особый.

Таким образом, без формул, уравнений и неравенств математика останется
полноценной наукой, при этом интересной и многогранной.

Библиографический список.

Агафонова, И. Г. Учимся думать: Занимательные логические задачи,
тесты и упражнения для детей. Учебное пособие [Текс] /
И. Г. Агафонова

СПб.
ИКФ МиМ
–

экспресс,1996.
–

Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задач
и по
математике
[Текс]

/ Э.Н. Балаян.
-

3
-
е изд.
-

Ростов н/Д: Феникс, 2008.
-

Фарков, А. В. Математические олимпиады в школе. 5
-
11 классы.
[Текс]/

А. В. Фарков.
-

8
-
е изд., испр. и доп.
-

М.: Айрис
-
пресс, 2009.
-

http://www.arhimedes.org/

Турнир им. М. В. Ломоносова (г. Москва)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/

Приложенные файлы

Вниманию студентов! Курсовая работа выполняется самостоятельно в строгом соответствии с выбранной темой. Дублирование тем не допускается! О выбранной теме убедительная просьба сообщить преподавателю любым удобным способом либо индивидуально, либо списком с указанием ФИО, номера группы и названия курсовой работы .

Примерные темы курсовых работ по дисциплине
«Математическая логика»

1. Метод резолюций и его применение в алгебре высказываний и алгебре предикатов.

2. Аксиоматические системы.

3. Минимальные и кратчайшие КНФ и ДНФ.

4. Применение методов математической логики в теории формальных языков.

5. Формальные грамматики как логические исчисления.

6. Методы решения текстовых логических задач.

7. Системы логического программирования.

8. Логическая игра.

9. Неразрешимость логики первого порядка.

10. Нестандартные модели арифметики.

11. Метод диагонализации в математической логике.

12. Машины Тьюринга и тезис Чёрча.

13. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.

14. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.

15. Разрешимость арифметики сложения.

16. Логика второго порядка и определимость в арифметике.

17. Метод ультрапроизведений в теории моделей.

18. Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики.

19. Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.

20. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.

21. Простейшие преобразователи информации.

22. Переключательные схемы.

24. Контактные структуры.

25. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.

26. Применение булевых функций в теории распознавания образов.

27. Математическая логика и системы искусственного интеллекта.

Курсовая работа должна состоять из 2 частей: теоретического содержания темы и набора задач по теме (не менее 10) с решениями. Также допускается написание курсовой работы научно-исследовательского типа с заменой второй части (решения задач) на самостоятельную разработку (например, рабочий алгоритм, программу, образец и т. п.), созданную на основе теоретического материала, рассмотренного в первой части работы.

1) Барвайс Дж. (ред.) Справочная книга по математической логике. - М.: Наука, 1982.

2) Братчиков языков программирования. - М.: Наука, 1975.

3) Булос Дж., ычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.

4) Гиндикин логики в задачах. - М., 1972.

5) , Палютин логика. - М.: Наука, 1979.

6) Ершов разрешимости и конструктивные модели. - М.: Наука, 1980.

7) , Тайцлин теории // УМН, 1965, 20, № 4, с. 37-108.

8) Игошин -практикум по математической логике. - М.: Просвещение, 1986.

9) Игошин логика и теория алгоритмов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

10) Ин Ц., спользование Турбо-Пролога. - М.: Мир, 1993.

11) ведение в метаматематику. - М., 1957.

12) атематическая логика. - М.: Мир, 1973.

13) огика в решении проблем. - М.: Наука, 1990.

14) Колмогоров логика: учебное пособие для вузов мат. специальностей / , - М.: Изд-во УРСС, 2004. - 238 с.

15) стория с узелками/ Пер. с англ. - М., 1973.

16) огическая игра/ Пер. с англ. - М., 1991.

17) , Максимова по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - 4-е изд. - М., 2001.

18) , Сукачева логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения: Учебное пособие. 3-е изд., испр. - СПб.

19) Издательство «Лань», 2008. - 288 с.

20) Лыскова в информатике/ , . - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 160 с.

21) Математическая логика / Под общей редакцией и др. - Минск: Высшая школа, 1991.

22) ведение в математическую логику. - М.: Наука, 1984.

23) Мощенский по математической логике. - Минск, 1973.

24) Никольская с математической логикой. - М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. - 128 с.

25) Никольская логика. - М., 1981.

26) Новиков математической логики. - М.: Наука, 1973.

27) Рабин теории. В кн.: Справочная книга по математической логике, ч.3. Теория рекурсии. - М.: Наука, 1982. - с. 77-111.

28) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 1. - М.: Мир, 1990.

29) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 2. - М.: Мир, 1998.

30) Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. - М.: Наука, 1983.

31) ведение в математическую логику. - М.: Мир, 1960.

32) Шабунин логика. Логика высказываний и логика предикатов: учебное пособие / , отв. ред. ; Чуваш гос. ун-т им. . - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. - 56 с.

Введение. 3

1.Математическая логика (бессмысленная логика) и логика «здравого смысла» 4

2. Математические суждения и умозаключения. 6

3.Математическая логика и «Здравый смысл» в XXI веке. 11

4.Неестественная логика в основаниях математики. 12

Заключение. 17

Список литературы… 18

Расширение области логических интересов связано с общими тенденциями развития научного знания. Так, возникновение математической логики в середине XIX века явилось итогом многовековых чаяний математиков и логиков о построении универсального символического языка, свободного от «недостатков» естественного языка (прежде всего его многозначности, т.е. полисемии).

Дальнейшее развитие логики связано с совокупным использованием классической и математической логики в прикладных областях. Неклассические логики (деонтическая, релевантная, логика права, логика принятия решений и др.) часто имеют дело с неопределенностью и нечеткостью исследуемых объектов, с нелинейным характером их развития. Так, при анализе достаточно сложных задач в системах искусственного интеллекта возникает проблема синергизма различных типов рассуждения при решении одной и той же задачи. Перспективы развития логики в русле сближения с информатикой связаны с созданием определенной иерархии возможных моделей рассуждения, включающих рассуждения на естественном языке, правдоподобные рассуждения и формализованные дедуктивные выводы. Это решается средствами классической, математической и неклассической логик. Таким образом, речь идет не о разных «логиках», а о разной степени формализации мышления и «размерности» логических значений (двузначная, многозначная и др. логика).

Выделение основных направлений современной логики:

1. общей, или классической логики;

2. символической, или математической логики;

3. неклассической логики.

Математическая логика понятие достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл… Логично?

Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что «логичность» рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией… Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, «Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня» и «Поспешишь людей насмешишь». Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).

Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна.

Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки.

(Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин «логическая наука» не возьмусь даже приблизительно). Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) об"екта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!

В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики...

Еще лишь упомянем апофеоз - ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ, которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой - разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться… Это для избранных.

Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике – это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть(!) в значительной степени автоматическими...

Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл!

Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА, что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!

Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет. Из за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Особенно психологам и юристам. Ситуация осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают. Это относится прежде всего к так называемым законам ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО и ПРОТИВОРЕЧИЯ.

2. Математические суждения и умозаключения

В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение «всякий ромб является параллелограммом» - истинное суждение; суждение «всякий параллелограмм является ромбом» - ложное суждение.

Таким образом, суждение - это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

Мыслить - значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль, понятие получают свое дальнейшее развитие.

Так как во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений или взаимоотношений между ними, то всякое суждение можно рассматривать как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия в класс другого понятия. Например, суждение «всякий квадрат есть ромб» указывает, что понятие «квадрат» включается в понятие «ромб»; суждение «пересекающиеся прямые не являются параллельными» указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.

Суждение имеет свою языковую оболочку - предложение, однако не всякое предложение является суждением.

Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Например, предложение «треугольник АВС равнобедренный» выражает некоторое суждение; предложение «Будет ли АВС равнобедренным?» не выражает суждения.

Каждая наука по существу представляет собой определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие математические предложения, из одних суждений образуются другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку.

Вообще говоря, суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например «эта фигура -т- круг». Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, «множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность».

В процессе этой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.

Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждения вывода из одного или нескольких данных суждений. Например, диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника (первое суждение).

Сумма внутренних углов треугольника равна 2d (второе суждение).

Сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d (новое суждение-вывод).

Познавательное значение математических умозаключений чрезвычайно велико. Он" расширяют границы наших знаний об объектах и явлениях реального мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнительно небольшого числа основныхo суждений, которые получены, как правило, путем непосредственного опыта и в которых отражены наши наиболее простые и общие знания об его объектах.

Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.

Не всякое сочетание суждений между собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь, отражающая объективную связь, существующую в реальной действительности.

Например, из суждений «сумма внутренних углов треугольника равна 2d» и «2*2=4» нельзя сделать вывод.

Понятно, какое значение в системе наших математических знаний имеет умение правильно строить различные математические предложения или делать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных суждений, а тем более для выявления логической структуры рассуждений. Поэтому естественно, что возникла необходимость усовершенствования языка, используемого в процессе рассуждения. Математический (а точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Возникшая" в XIX в. специальная область науки - математическая логика не только полностью решила проблему создания теории математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.

Формальную логику (возникшую еще в глубокой древности в трудах Аристотеля) не отождествляют с математической логикой (возникшей в XIX в. в работах английского математика Дж. Буля). Предметом формальной логики является изучение законов взаимосвязи суждений и понятий в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов: «Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т. д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полнее абстрагирование от конкретного содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).

Проиллюстрируем сказанное одним примером. Рассмотрим следующее умозаключение: „Если все растения красные и все собаки - растения, то все собаки красные“.

Каждое из используемых здесь суждений и то суждение, которое мы получили в результате сдержанного умозаключения, кажется явной бессмыслицей. Однако с точки зрения математической логики мы имеем здесь дело с верным предложением, так как в математической логике истинность или ложность умозаключения зависит только от истинности или ложности составляющих его посылок, а не от их конкретного содержания. Поэтому если одним из основных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл лишь говорить, истинно оно или ложно. Не следует думать, что для каждого высказывания характерно отсутствие „здравого смысла“ в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то или иное высказывание, в математической логике отходит на второй план, несущественна для логического построения или анализа того или иного вывода. (Хотя, конечно существенна для. понимания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении o данного вопроса.)

Понятно, что в самой математике рассматриваются содержательные высказывания. Устанавливая различные связи и отношения между понятиями, математические суждения утверждают или отрицают какие-либо отношения между объектами и явлениями реальной действительности.

3.Математическая логика и «Здравый смысл» в XXI веке.

Логика - не только сугубо математическая, но также и философская наука. В XX веке эти две взаимосвязанные ипостаси логики оказались разведенными в разные стороны. С одной стороны логика понимается как наука о законах правильного мышления, а с другой - она преподносится как совокупность слабо связанных друг с другом искусственных языков, которые называются формальными логическими системами.

Для многих очевидно, что мышление - это некий сложный процесс, с помощью которого решаются житейские, научные или философские проблемы и рождаются гениальные идеи или роковые заблуждения. Язык же понимается многими просто как средство, с помощью которого результаты мышления можно передать современникам или оставить потомкам. Но, связав в своем сознании мышление с понятием „процесс“, а язык с понятием „средство“, мы по сути перестаем замечать тот непреложный факт, что в данном случае „средство“ не подчинено полностью „процессу“, а в зависимости от нашего целенаправленного или неосознанного выбора тех или словесных штампов оказывает сильнейшее влияние на ход и результат самого „процесса“. Причем известно немало случаев, когда такое „обратное влияние“ оказывается не только тормозом для правильного мышления, но порою даже его разрушителем.

С философской точки зрения задача, поставленная в рамках логического позитивизма, так и не была выполнена. В частности, в своих поздних исследованиях один из основоположников этого направления Людвиг Витгенштейн пришел к выводу, что естественный язык нельзя реформировать в соответствии с разработанной позитивистами программой. Даже язык математики в целом устоял перед мощным напором „логицизма“, хотя многие термины и структуры предлагаемого позитивистами языка вошли в некоторые разделы дискретной математики и существенно дополнили их. Популярность логического позитивизма как философского направления во второй половине XX столетия заметно упала - многие философы пришли к выводу, что отказ от многих „нелогичностей“ естественного языка, попытка втиснуть его в рамки основополагающих принципов логического позитивизма влечет за собой дегуманизацию процесса познания, а вместе с этим и дегуманизацию человеческой культуры в целом.

Многие методы рассуждений, которые используются в естественном языке, часто весьма трудно однозначно отобразить на языке математической логики. В некоторых случаях такое отображение приводит к существенному искажению сути естественного рассуждения. И есть основание полагать, что эти проблемы являются следствием исходной методологической установки аналитической философии и позитивизма о нелогичности естественного языка и о необходимости его коренного реформирования. Сама исходная методологическая установка позитивизма также не выдерживает критики. Обвинять разговорный язык в нелогичности просто абсурдно. На самом деле нелогичность характеризует не сам язык, а многих пользователей этого языка, которые просто не знают или не хотят использовать логику и компенсируют этот изъян психологическими или риторическими приемами воздействия на публику, либо в своих рассуждениях используют в качестве логики систему, которая называется логикой лишь по недоразумению. В то же время имеется немало людей, речь которых отличается ясностью и логичностью, и эти качества не определяются знанием или незнанием основ математической логики.

В рассуждениях тех, кого можно отнести к законодателям или последователям формального языка математической логики, нередко обнаруживается своеобразная „слепота“ по отношению к элементарным логическим ошибкам. На эту слепоту в основополагающих работах Г. Кантора, Д. Гильберта, Б. Рассела, Дж. Пеано и др. еще в начале нашего столетия обратил внимание один из великих математиков Анри Пуанкаре .

Одним из примеров такого нелогичного подхода к рассуждениям является формулировка знаменитого парадокса Рассела, в котором необоснованно смешиваются два сугубо разнородных понятия „элемент“ и „множество“. Во многих современных работах по логике и математике, в которых заметно влияние программы Гильберта, не находят объяснения многие явно нелепые с точки зрения естественной логики утверждения. Соотношение между „элементом“ и „множеством“ является простейшим примером такого рода. Во многих работах этого направления утверждается, что некоторое множество (назовем его A) может быть элементом другого множества (назовем его B).

Например, в широко известном руководстве по математической логике мы встретим такую фразу: „Множества сами могут быть элементами множеств, так, например, множество всех множеств целых чисел имеет своими элементами множества“. Заметим, что это утверждение не просто оговорка. Оно содержится в качестве „скрытой“ аксиомы в формальной теории множеств, которую многие специалисты считают основанием современной математики, а также в формальной системе, которую построил математик К. Гедель при доказательстве своей знаменитой теоремы о неполноте формальных систем . Эта теорема относится к довольно узкому классу формальных систем (в их число входят формальная теория множеств и формальная арифметика), логическая структура которых явно не соответствует логической структуре естественных рассуждений и обоснований.

Однако уже более полувека она является предметом бурного обсуждения среди логиков и философов в контексте общей теории познания. При таком широком обобщении этой теоремы получается, что принципиально непознаваемыми являются многие элементарные понятия. Но при более трезвом подходе оказывается, что теорема Геделя показала лишь несостоятельность программы формального обоснования математики, предложенной Д. Гильбертом и подхваченной многими математиками, логиками и философами. Более широкий методологический аспект теоремы Геделя вряд ли можно считать приемлемым до тех пор, пока не получен ответ на следующий вопрос: является ли программа обоснования математики, предложенная Гильбертом, единственно возможной? Чтобы понять двусмысленность утверждения „множество A есть элемент множества B“, достаточно задать простой вопрос: „Из каких элементов в этом случае сформировано множество B?“. С точки зрения естественной логики возможны лишь два исключающих друг друга варианта объяснения. Объяснение первое. Элементами множества B являются имена некоторых множеств и, в частности, имя или обозначение множества A. Например, множество всех четных чисел содержится как элемент в множестве всех имен (или обозначений) множеств, выделенных по каким-либо признакам из множества всех целых чисел. Можно привести более понятный пример: множество всех жирафов содержится как элемент в множестве всех известных видов животных. В более широком контексте множество B можно также сформировать из концептуальных определений множеств или ссылок на множества. Объяснение второе. Элементами множества B являются элементы некоторых других множеств и, в частности, все элементы множества A. Например, каждое четное число есть элемент множества всех целых чисел или каждый жираф есть элемент множества всех животных. Но тогда получается, что в обоих случаях выражение „множество A является элементом множества B“ не имеет смысла. В первом случае оказывается, что элементом множества B является не само по себе множество A, а его имя (или обозначение, или ссылка на него). В этом случае неявно устанавливается отношение эквивалентности между множеством и его обозначением, что неприемлемо ни с точки зрения обычного здравого смысла, ни с точки зрения несовместимой с чрезмерным формализмом математической интуиции. Во втором случае оказывается, что множество A включено в множество B, т.е. является его подмножеством, но не элементом. Здесь тоже явная подмена понятий, поскольку отношение включения множеств и отношение принадлежности (быть элементом множества) в математике имеют принципиально различный смысл. Знаменитый парадокс Рассела, подорвавший доверие логиков к понятию „множество“, основан на этой нелепости - в основе парадокса лежит двусмысленная предпосылка о том, что множество может быть элементом другого множества.

Возможен еще один вариант объяснения. Пусть множество A задано простым перечислением его элементов, например, A = {a, b}. Множество B в свою очередь задано перечислением некоторых множеств, например, B = {{a, b}, {a, c}}. В данном случае кажется очевидным, что элементом B является не имя множества A, а само множество A. Но даже в этом случае элементы множества A не являются элементами множества B, и множество A здесь рассматривается как неразделимая совокупность, которая вполне может быть заменена его именем. Но если бы мы считали элементами B все элементы содержащихся в нем множеств, то в этом случае множество B было бы равно множеству {a, b, c}, и множество A в этом случае было бы не элементом B, а его подмножеством. Таким образом, получается, что этот вариант объяснения в зависимости от нашего выбора, сводится к ранее перечисленным вариантам. А если никакого варианта выбора не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая часто приводит к „необъяснимым“ парадоксам.

Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности.

Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие „самоприменимость“, которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех „несамоприменимых“ множеств, то окажется, что оно является одновременно „самоприменимым“ и „несамоприменимым.

Математическая логика немало способствовала бурному развитию информационных технологий в XX веке, но из ее поля зрения выпало понятие “суждение», которое появилось в логике еще во времена Аристотеля и на котором, как на фундаменте, держится логическая основа естественного языка. Такое упущение отнюдь не способствовало развитию логической культуры общества и у многих даже породило иллюзию, что компьютеры способны мыслить не хуже самого человека. Многих даже не смущает то обстоятельство, что на фоне всеобщей компьютеризации в преддверии третьего тысячелетия логические нелепости в пределах самой науки (я уж не говорю о политике, законотворческой деятельности и о псевдонауке) встречаются даже чаще, чем в конце XIX века. И для того, чтобы понять суть этих нелепостей, нет необходимости обращаться к сложным математическим структурам с многоместными отношениями и рекурсивными функциями, которые применяются в математической логике. Оказывается, для понимания и анализа этих нелепостей вполне достаточно применить намного более простую математическую структуру суждения, которая не только не противоречит математическим основам современной логики, но в чем-то дополняет и расширяет их.

Список литературы

1. Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды. - М.: Наука. 1989; - стр. 94-123.

2. Кулик Б.А. Основные принципы философии здравого смысла (познавательный аспект) // Новости искусственного интеллекта, 1996, No 3, с. 7-92.

3. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла / Под редакцией Д.А. Поспелова. - СПб, Политехника, 1997. 131 с.

4. Кулик Б.А. Логика здравого смысла. - Здравый смысл, 1997, No 1(5), с. 44 - 48.

5. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967.

6. Соловьев А. Дискретная математика без формул. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение -

средняя общеобразовательная школа № 51

г. Оренбург.

Проект на тему:

учитель математики

Егорчева Виктория Андреевна

2017

Гипотеза : Если теорию графов сблизить с практикой, то можно получить самые благотворные результаты.

Цель: Ознакомится с понятием графы и научиться применять их при решении различных задач.

Задачи:

1)Расширить знания о способах построения графов.

2)Выделить типы задач, решение которых требует применения теории графов.

3) Исследовать использование графов в математике.

« Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй ».

Доминик Араго.

I . Введение. стр.

II . Основная часть.

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах. стр.

2. Свойства графов. стр.

3. Задачи с применением теории графов. стр.

Ш. Заключение.

Значение графов. стр.

IV . Список используемой литературы. стр.

I . ВВЕДЕНИЕ.

Теория графов - наука сравнительно молодая. «Графы» имеют корень греческого слова «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах «график», «биография».

В своей работе я рассматриваю, каким образом используется теория графов в различных областях жизни людей. Каждый учитель математики и практически каждый ученик знает, сколько трудностей доставляет решение геометрических задач, а также текстовых задач по алгебре. Исследовав возможность применения теории графов в школьном курсе математики, я пришла к выводу, что эта теория значительно упрощает понимание и решение задач.

II . ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

1. Понятие графа.

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в публикациях Петербургской Академии Наук и начиналась с рассмотрения задачи о кенигсбергских мостах.

Вы наверное, знаете, что есть такой город Калининград, раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В 17 веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке.

Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых из многих стран. Разрешить проблему удалось известному математику Леонарду Эйлеру. Леонард Эйлер, уроженец города Базеля родился 15 апреля, 1707 года. Научные заслуги Эйлера огромны. Он оказал влияние на развитие почти всех разделов математики и механики как в области фундаментальных исследований, так и в их приложениях. Леонард Эйлер не только решил эту конкретную задачу, но и придумал общий метод решения этих задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображенная на рисунке.

Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом . Точки A , B , C , D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины - ребра графа. На рисунке из вершин B , C , D выходят по 3 ребра, а из вершины A - 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер, - четными.

2.Свойства графа.

Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:

1.Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.

2.Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

3.Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

4.Число нечетных вершин графа всегда четное.

5.Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф будет равно половине числа нечетных вершин этого графа.

Например, если фигура имеет четыре нечетные, то её можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками.

В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.

3.Решение задач с помощью графов.

1. Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

Попытки нарисовать одним росчерком пера каждую из следующих фигур приводят к неодинаковым результатам.

Если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком пера, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и 5.

Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, 3, 6. В фигуре 6, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В.

Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек. Сказанного достаточно, чтобы безошибочно распознавать, какие фигуры нельзя нарисовать одним росчерком и какие можно, а также, с какой точки надо начинать вычерчивание.

Предлагаю начертить одним росчерком следующие фигуры.

2. Решение логических задач.

ЗАДАЧА №1.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина - с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько ещё осталось?

РЕШЕНИЕ:

Построим граф как показано на рисунке.

Сыграно 7 игр.

На этом рисунке граф имеет 8 ребер, следовательно, осталось провести 8 игр.

ЗАДАЧА №2

Во дворе, который окружен высоким забором, находятся три домика: красный, желтый и синий. В заборе есть три калитки: красная, желтая и синяя. От красного домика проведите дорожку к красной калитке, от желтого домика - к желтой калитке, от синего - к синей так, чтобы эти дорожки не пересекались.

РЕШЕНИЕ:

Решение задачи приведено на рисунке.

3. Решение текстовых задач.

Для решения задач методом графов надо знать следующий алгоритм:

1.О каком процессе идет речь в задаче? 2.Какие величины характеризуют этот процесс? 3.Каким соотношением связаны эти величины? 4.Сколько различных процессов описывается в задаче? 5.Есть ли связь между элементами?

Отвечая на эти вопросы, анализируем условие задачи и записываем его схематично.

Например . Автобус шёл 2 ч со скоростью 45 км/ч и 3 ч со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошёл автобус за эти 5 часов?

S
¹=90 км V ¹=45 км/ч t ¹=2ч

S = VT

S ²=180 км V ²=60 км/ч t ²=3 ч

S ¹ + S ² = 90 + 180

Решение:

1)45 x 2 = 90 (км) - прошёл автобус за 2 ч.

2)60 x 3 = 180 (км) - прошёл автобус за 3 ч.

3)90 + 180 = 270 (км) -прошёл автобус за 5 ч.

Ответ: 270 км.

III . ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате работы над проектом я узнала, что Леонард Эйлер был основоположником теории графов, решил задачи с применением теории графов. Для себя сделала вывод, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений. Не приходится сомневаться в полезности ознакомления нас, учащихся, с основными понятиями теории графов. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность. Многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если воспользоваться графами. В особенности это относится к таким областям математики, как математическая логика, комбинаторика.

Таким образом, изучение этой темы имеет большое общеобразовательное, общекультурное и общематематическое значение. В повседневной жизни все большее применение находят графические иллюстрации, геометрические представления и другие приемы и методы наглядности. С этой целью изучения элементов теории графов полезно ввести в начальном и среднем звене школы, хотя бы во внеклассной работе, так как в программу по математике эта тема не включена.

V . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

2008г.

Рецензия.

Проект на тему «Графы вокруг нас» выполнил ученик 7 «А» класса МОУ-сош №3г.Красный Кут Зайцев Никита.

Отличительной особенностью работы Зайцева Никиты является её актуальность, практическая направленность, глубина раскрытия темы, возможность использования её в дальнейшем.

Работа является творческой, в виде информационного проекта. Ученик выбрал эту тему, чтобы показать взаимосвязь теории графов с практикой на примере маршрута школьного автобуса, показать, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений, в особенности это относится к экономике, математической логике, комбинаторике. Он показал, что решение задач значительно упрощается, если удается использовать графы, представление данных в виде графа придает им наглядность, многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность.

В работе рассматриваются такие вопросы как:

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах.

2. Свойства графов.

3. Задачи с применением теории графов.

4. Значение графов.

5. Вариант маршрута школьного автобуса.

При выполнении своей работы Зайцев Н. использовал:

1. Альхова З.Н., Макеева А.В. «Внеклассная работа по математике».

2. Журнал «Математика в школе». Приложение «Первое сентября» № 13

2008г.

3. Я.И.Перельман «Занимательные задачи и опыты».- Москва: Просвещение, 2000 г.

Работа выполнена грамотно, материал соответствует требованиям данной темы, соответствующие рисунки прилагаются.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Тема дипломной работы

«Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах»

математический логика начальный

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Понятие логической структуры математических понятий и предложений

1.2 Изучение логики как раздела математики

1.3 Логические рассуждения

Выводы по 1 главе

Глава 2. Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

2.1 Использование элементов логики в начальном курсе математике

2.2 Психолого-педагогические основы использования элементов математической логики по УМК «Перспективная начальная школа»

2.3 Система заданий, нацеленная на формирование понятия «элементы математической логики» у учащихся по окончанию начальной школы

Выводы по 2 главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

В настоящее время в стране ведутся интенсивные поиски путей усовершенствования математического образования. На основании Федерального Государственного образовательного Стандарта Нового Общего Образования учащиеся начальной школы должны придерживаться требований к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования по предмету математика:

1) использовать начальные математические знания для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;

2) овладеть основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

3) уметь выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные .

На сегодняшний день, математическое образование является частью системы среднего образования и в то же время своеобразной самостоятельной ступенью обучения. Новое содержание математического образования ориентировано главным образом на формирование культуры и самостоятельности мышления младших школьников, элементов учебной деятельности средствами и методами математики. В ходе обучения дети должны научиться общим способам действия, осуществляя пошаговый контроль и самооценку выполненной деятельности, чтобы установить соответствие своих действий намеченному плану.

Именно поэтому, не случайно в программах по математике особое внимание уделяется формированию алгоритмической, логической и комбинаторной линии, которые получают свое развитие в процессе изучения арифметических, алгебраических и геометрических разделов программы .

В работах математиков А.Н. Колмогорова , А.И. Маркушевича А.С. Столяра , A.M. Пышкало , П.М. Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы совершенствования школьного математического образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики.

В последнее десятилетие, когда школа вступила в процесс модернизации, в практику внедряются новые стандарты, технологии, методики, разные учебные пособия, вопрос о преемственности в обучении между начальной и основной ступенями становится наиболее важным. Наличие комплекта учебников - важная составляющая преемственности между этими ступенями. По словам А.А. Столяра «необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы» .

Исследования психологов и педагогов В.В. Выготского, Л.В.Занкова , В.В. Давыдова , Н.М.Скаткина и др. показывают, что при определенных условиях можно достичь не только высокого уровня знаний, умений и навыков, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения .

На наш взгляд, в психолого-методической литературе проблема формирования элементов математической логики у учащихся рассмотрена частично, применительно к обучению математике в старших классах.

Таким образом, числовое множество, начиная с первых же классов общеобразовательной школы, представляет ту лабораторию, где можно более отчетливо формировать у учащихся навыки рассуждений, являющихся основой выяснения истинности или ложности того или иного подхода, той или иной постановки задачи. Возникает вопрос: "Является ли такая задача главной целью процесса обучения математике в школе и какая доля этой проблемы приходится на начальную школу"? Ответ на этот вопрос может быть получен только после тщательного анализа программы и учебников по математике для I - IV классов .

Актуальность проблемы является совершенствование содержания обучения математике в начальных классах с целью формирования элементов математической логики у младших школьников.

Целью исследования рассмотреть изучение элементов математической логики в рамках курса математики при обучении математики в 1-4 классах и разработать учебно-методические средства для ее реализации.

Объект исследования - процесс изучения элементов математической логики при обучении на уроках математики в начальной школе.

Предмет - методы и средства формирования у учащихся 1-4 классов элементов математической логики.

Гипотеза исследования заключается в том, что существует возможность организации процесса обучения математике, которые наряду с подготовкой математических знаний и умений сознательно и систематически мы будем развивать логические навыки.

Для достижения поставленной цели и реализации гипотезы были определены следующие задачи исследования :

1. Дать понятие логической структуры математических понятий и предложений;

2. Изучить логику как науку и раздел математики;

3. Выяснить что такое логические рассуждения и дать их определения;

4. Проанализировать стандарты образования, учебные программы и действующие школьные учебники по математике с точки зрения логического развития учащихся;

5. Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах;

6. Провести экспериментальное исследование по проверке эффективности разработанных методик в условиях начальной школы.

Теоретико-методологическую основу исследования составили: основные положения диалектико-материалистической философии и разработанное на их основе учение о личностно-деятельном подходе в обучении (А.С.Выготский , А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн и др.); исходные положения теории развивающего обучения (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.А.Менчинская, Д.Б.Эльконин , Н.В.Якиманская и др.); основополагающие идеи методистов-математиков (А.М. Пышкало, П.М.Эрдниев).

Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Понятие логической структуры математических понятий и предложений

Изучая математику в школе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно понять каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства.

Такие знания нужны учителю начальных классов потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в дальнейшем.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и т.д. Во ворую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и т.п. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и др. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением .

Чтобы изучать такое обилие самых разных понятий, необходимо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Чтобы сделать мысль о предмете означает иметь возможность отличить его от других аналогичных объектов. Математические понятия имеют ряд особенностей. Главным является то, что математические объекты, в отношении которых формируются концепции, на самом деле не существует. Все математические объекты создаются умом человека. Идеально подходит объектов, что отражает реальные предметы или явления.

Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

Изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введённых понятий.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина или замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но формулируя определения, придерживаются ряда правил:

· Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы, определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы;

· В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него. Так как в математике рассматривают не просто отдельные понятия. А их систему, то данное правило запрещает порочный круг и в системе определений;

· Определение должно быть ясным. Это не первый взгляд очевидное правило, но оно означает многое. Прежде всего, требуется, чтобы значение терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия. К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используют редко. Понятий в начальном курсе математики очень много.

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации. Описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения.

Остенсивные определения - определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Например, таким путем можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства.

Изучение реальных процессов, математические описания, использут как естественный вербальный язык и символическое значение. Описания построены с помощью предложений. Но, что математическое знание будет точное, адекватное отражение реальности, которая нас окружает, эти предложения должны быть правдой. Каждый математический тезис характеризуется содержанием и логической форме (структуре) и содержание неразрывно связано с формой, и невозможно понять первое, не понимать второго.

1) Число 12 - четное;

Мы видим, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. О предложениях 1,4,5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а о предложении 2 - ложную. Относительно предложения х +5 = 8 вообще нельзя сказать истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции - истинно или ложь привел к понятию высказывания.

1.2 Изучение логики как раздела математики

Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Как указывает Ивин А.А. , отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в индии, в конце II тысячелетия до н.э. однако если говорить о возникновении логики как науки, то есть о более или менее систематизированной совокупности знаний, то справедливым будет считать родиной логики великую цивилизацию Древней Греции. Именно здесь в V - IV веках до н.э. в период бурного развития демократии и связанного с ним небывалого оживления общественно-политической жизни трудами Демокрита, Платона и Сократа были заложены основы этой науки. Родоначальником же, «отцом» логики, по праву считается величайший мыслитель древности. Ученик Платона - Аристотель (384-322 гг. до н.э.). именно он в своих трудах, объединенных общим названием «Органон» (орудие познания), впервые обстоятельно проанализировал и описал основные логические формы и правила рассуждений, а именно: формы выводов из так называемых категорических суждений - категорический силлогизм («Первая аналитика»), сформулировал основные принципы научных доказательств («Вторая аналитика»), дал анализ смысла некоторых видов высказываний («Об истолковании»), наметил основные подходы к разработке учения о понятии («Категории»). Серьезное внимание Аристотель уделял также разоблачению различного рода логических ошибок и софистических приемов в спорах («О софистических опровержениях»).

Логика имеет долгую и богатую историю, неразрывно связанную с историей развития общества в целом.

Возникновению логики как теории предшествовала уходящая в глубь тысячелетий практика мышления. С развитием трудовой, материально-производственной деятельности людей шло постепенное совершенствование и развитие их мыслительных способностей, прежде всего способности к абстракции и умозаключению. А это рано или поздно, но неизбежно должно было привести к тому, что объектом исследования стало само мышление с его формами и законами.

Как указывает Ивин А.А. , история свидетельствует, что отдельные логические проблемы возникают перед мыслительным взором человека уже свыше2,5 тыс. лет назад - сначала в Древней Индии и древнем Китае. Затем они получают более полную разработку в Древней Греции и Риме. Лишь постепенно складывается более или менее стройная система логических знаний, оформляется самостоятельная наука.

Каковы причины возникновения логики? Ивин А.А. считает, что основными являются две. Одна из них - зарождение и первоначальное развитие наук, прежде всего математики. Этот процесс относится к VI в. До н.э. и получает наиболее полное развитие в Древней Греции. Рождаясь в борьбе с мифологией и религией, наука основывалась на теоретическом мышлении, предполагающем умозаключения и доказательства. Отсюда - необходимость исследования природы самого мышления как средства познания.

По мнению Курбатова В.И. , логика и возникла, прежде всего, как попытка выявить и обосновать те требования, которым должно удовлетворять научное мышление, чтобы его результаты соответствовали - действительности.

Другая, пожалуй, еще более важная причина - это развитие ораторского искусства, в том числе судебного, которое расцвело в условиях древнегреческой демократии. Величайший римский оратор и ученый Цицерон (106-43 гг. до н.э.), говоря о могуществе оратора, обладателя «божественного дара» - красноречия, подчеркивал: «Он может безопасно пребывать даже среди вооруженных врагов, огражденный не столько своим жезлом, сколько своим званием оратора; он может своим словом вызвать негодование сограждан и низвергнуть кару на виноватого в преступлении и обмане, а невинного силою своего дарования спасти от суда и наказания; он способен побудить робкий и нерешительный народ к подвигу, способен вывести его из заблуждения, способен воспламенить против негодяев и унять ропот против достойных мужей; он умеет, наконец, одним своим словом и взволновать и успокоить любые людские страсти, когда это требует обстоятельства дела» .

По словам Ивина А.А., основателем логики - или, как иногда говорят «отцом логики» - принято считать крупнейшего древнегреческого философа и ученого-энциклопедиста Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Следует, однако, учитывать, что первое довольно развернутое и систематическое изложение логических проблем фактически дал более ранний древнегреческий философ и естествоиспытатель Демокрит (460- примерно 370 г. До н.э.). Среди его многочисленных трудов был и обширный трактат в трех книгах «О логическом, или О канонах». Здесь не только были раскрыты сущность познания, его основные формы и критерии истины, но и показана огромная роль логических рассуждений в познании, дана классификация суждений. Подвергнуты решительной критике некоторые виды выводного знания и предпринята попытка разработать индуктивную логику - логику опытного знания. К сожалению, этот трактат Демокрита, как и все остальные, до нас не дошел.

Новый, более высокий этап в развитии логики начинается с XVII в. Этот этап органически связан с созданием в ее рамках наряду с дедуктивной логикой логики индуктивной. В ней нашли отражение многообразные процессы получения общих знаний на основе все более накапливавшегося эмпирического материала. Потребность в получении таких знаний наиболее полно осознал и выразил в своих трудах выдающийся английский философ и естествоиспытатель Ф.Бэкон (1561-1626). Он и стал родоначальником индуктивной логики. «…логика, которая теперь имеется, бесполезна для открытия знаний», - вынес он свой суровый приговор . Поэтому как бы в противовес старому «Органону» Аристотеля Бэкон написал «Новый Органон…», где изложил индуктивную логику. Главное внимание в ней он обратил на разработку индуктивных методов определения причинной зависимости явлений. В этом огромная заслуга Бэкона. Однако созданное им учение об индукции по иронии судьбы оказалось не отрицанием предшествующей логики. А ее дальнейшим обогащением и развитие. Оно способствовало созданию обобщенной теории умозаключений. И это естественно, ибо, как будет показано ниже, индукция и дедукция не исключает, а предполагают друг друга и находятся в органическом единстве.

Известный вклад в развитие традиционной формальной логики внесли русские ученые. Так, уже в первых трактатах по логике начиная приблизительно с X в. предпринимались попытки самостоятельного комментирования трудов Аристотеля и других ученых. Оригинальные логические концепции в России разрабатывались в XVIII в. и связаны прежде всего с именами М.Ломоносова (1711-1765) и А.Радищева (1749-1802). Расцвет логических исследований в нашей стране относится к концу XIXв.

Грандиозную попытку выработать целостную систему новой, диалектической логики предпринял немецкий философ - Г.Гегель (1770-1831). В своем основополагающем труде «Наука логики» он, прежде всего, раскрыл фундаментальное противоречие между наличными логическими теориями и действительной практикой мышления, которое к тому времени достигло значительных высот.

Как указывает Курбатов В.И., Гегель заново подверг исследованию природу мышления, его законы и формы. В этой связи он пришел к выводу, что «диалектика составляет природу самого мышления, что в, качестве рассудка оно должно впадать в отрицание самого себя, в противоречие». Свою задачу мыслитель видел в том, чтобы найти способ разрешения этих противоречий. Гегель подверг жесточайшей критике прежнюю, обычную логику за ее связь с метафизическим методом познания. Но в этой своей критике зашел так далеко, что отверг ее принципы, основанные на законе тождества и законе противоречия.

Ивин А.А. говорит, что проблемы диалектической логики, ее соотношения с формальной нашли дальнейшую конкретизацию и развитие в трудах философов и ученых Германии К.Маркса)1818-1883) и Ф.Энгельса (1820-1895). Используя богатейший мыслительный материал, накопленный философией, естественными и общественными науками, они создали качественную новую, диалектико-материалистическую систему, которая нашла воплощение в таких произведениях, как «Капитал» К.Маркса, «Анти-Дюринг» и «Диалектика природы» Ф.Энгельса. с этих общефилософских позиций Маркс и Энгельс и оценивали специальное «учение о мышлении и его законах» - логику и диалектику. Они не отрицали значение формальной логики, не считали ее «бессмыслицей», но подчеркивали ее исторический характер. Так, Энгельс отмечал, что теоретическое мышление каждой эпохи - это исторический продукт, принимающий в различные времена очень различные формы и вместе с тем очень различное содержание. «Следовательно, наука о мышлении, как и всякая другая наука, есть историческая наука, наука об историческом развитии человеческого мышления» .

В последние десятилетия в нашей стране предпринято не мало плодотворных попыток систематического изложения диалектической логики. Разработки идут в двух магистральных направлениях. С одной стороны, это раскрытие закономерностей отражения в человеческом мышлении развивающейся действительности, ее объективных противоречий, а с другой - раскрытие закономерностей развития самого мышления, его собственной диалектики.

В условиях научно-технической революции, когда науки переходят на новые, более глубокие уровни познания и когда возрастает роль диалектического мышления, потребность в диалектической логике все более усиливается. Она получает новые стимулы для своего дальнейшего развития.

Подлинную революцию в логических исследованиях вызвало создание во второй половине 19 века математической логики, которая получила еще название символической и обозначила новый, современный этап в развитии логики.

Зачатки этой логики прослеживаются уже у Аристотеля, а так же у его последователей, стоиков в виде элементов логики предикатов и теории модальных выводов, а также логики высказываний. Однако систематическая разработка ее проблем относится к гораздо более позднему времени.

Как указывает Ивин А.А., растущие успехи в развитии математики и проникновение математических методов в другие науки уже во второй половине 17 века настоятельно выдвигали две фундаментальные проблемы. С одной стороны, это применение логики для разработки теоретических оснований математики, а с другой - математизация самой логики как науки. Наиболее глубокую и плодотворную попытку решить вставшие проблемы предпринял крупнейший немецкий философ и математик Г.Лейбниц (1646-1416). Тем самым он стал, по существу, зачинателем математической логики. Лейбниц мечтал о том времени, когда ученые будут заниматься не эмпирическими исследованиями, а исчислениями с карандашом в руках. Он стремился изобрести для этого универсальный символический язык, посредством которого можно было бы рационализировать любую эмпирическую науку. Новое знание, по его мнению, будет результатом логической калькуляции - исчисления.

По мнению Курбатова В.И., идеи Лейбница получили некоторое развитие в 18 веке и первой половине 19 века. Однако наиболее благоприятные условия для мощного развития символической логики сложились лишь со второй половины 19 века. К этому времени математизация наук достигла особенно значительного прогресса, а в самой математике возникли новые фундаментальные проблемы ее обоснования. Английский ученый, математик и логик Жд. Буль (1815-1864) в своих работах, прежде всего, применял математику к логике. Он дал математический анализ теории умозаключений, выработал логическое исчисление («Булева алгебра»). Немецкий логик и математик Г.Фреге (1848-1925) применил логику для исследования математики. Посредством расширенного исчисления предикатов он построил формализованную систему арифметики.

Так открылся новый, современный этап в развитии логических исследований. Пожалуй, наиболее важная отличительная особенность этого этапа состоит в разработке и использовании новых методов решения традиционных логических проблем. Это разработка и применение искусственного, так называемого формализованного языка - языка символов, т.е. буквенных и других знаков (отсюда и наиболее общее наименование современной логики - «символическая»).

Как указывает Ивин А.А. , различают два вида логических исчислений: исчисление высказываний и исчисление предикатов. При первом допускается отвлечение от внутренней, понятийной структуры суждений, а при втором эта структура учитывается и соответственно символический язык обогащается, дополняется новыми знаками.

Значение символических языков в логике трудно переоценить. Г.Фреге сравнивал его со значением телескопа и микроскопа. А немецкий философ Г.Клаус (1912-1974) считал, что создание формализованного языка имело для техники логического вывода такое же значение, какое в сфере производства имел переход от ручного труда к машинному. Возникая на основе традиционной формальной логики, символическая логика, с одной стороны, уточняет, углубляет и обобщает прежние представления о логических законах и формах, особенно в теории выводов, а с другой - все более значительно расширяет и обогащает логическую проблематику. Современная логика - сложнейшая и высокоразвитая система знаний. Она включает в себя множество направлений, отдельных, относительно самостоятельных «логик», все более полно выражающих запросы практики и в конечном счете отражающих многообразие сложность окружающего мира, единство и многообразие самого мышления об этом мире.

Символическая логика находит все более широкое применение в других науках - не только в математике, но и в физике, биологии, кибернетике, экономике, лингвистике. Она приводит к возникновению новых отраслей знаний (математика). Особенно впечатляюща и наглядна роль логики в сфере производства. Открывая возможность как бы автоматизировать процесс рассуждений, она позволяет передать некоторые функции мышления техническим устройствам. Ее результаты находят все более широкое применение в технике: при создании релейно-контактных схем, вычислительных машин, информационно-логических систем и т.д. По образному выражению одного из ученых, современная логика - это не только «инструмент» точной мысли, но и «мысль» точного инструмента, электронного автомата. Достижения современной логики используется и в правовой сфере. Так, в криминалистике на разных этапах исследования производится логико-математическая обработка собранной информации.

Растущие потребности научно-технического прогресса обуславливают дальнейшее интенсивное развитие современной логики.

Остается сказать, что в разработку систем символической логики внесли важный вклад русские ученые. Среди них особенно выделяется П.Порецкий (1846-1907). Он первым в России начал чтение лекций по математической логике. Математическая логика продолжается развиваться и сейчас.

По мнению Курбатова В.И., изучение математической логики дисциплинирует ум. Вспоминая известное изречение М.В.Ломоносова о математике, можно сказать, что математическая логика более чем какая-либо другая математическая наука «ум в порядок приводит».

Язык любой алгебры состоит из множества знаков, называемого алфавитом этого языка.

Знаки алфавита по аналогии со знаками алфавита естественного языка называют буквами.

Естественно возникает вопрос: какие буквы должны содержаться в алфавите языка числовой алгебры?

Прежде всего, очевидно, мы должны иметь буквы для обозначения элементов множества -- носителя алгебры, в данном случае для обозначения чисел, и переменные для элементов этого множества.

Применяя для обозначения чисел десятичную систему счисления, мы должны включить в алфавит числовой алгебры десять букв, называемых цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых по определенным правилам конструируются названия любых чисел.

В качестве числовых переменных (переменных для чисел любого из множеств N, N0, Z, Q или R) применяются буквы латинского алфавита а, Ъ, с, х, у, z или одна какая-нибудь из этих букв с индексом, например Х1, X2, Xn.

Иногда буквы латинского алфавита применяются и в качестве числовых постоянных, т. е. в качестве названий чисел (когда речь идет об определенном, но не важно, каком именно, конкретном числе). В таком случае начальные буквы латинского алфавита а, b, с обычно применяются в качестве постоянных, а последние буквы х, у, z -- в качестве переменных.

Нам нужны также буквы для обозначения операций. Для сложения и умножения применяются известные знаки (буквы) + и * соответственно.

Кроме того, роль знаков препинания в языке алгебры играют скобки (левая и правая).

Таким образом, алфавит языка, на котором описывается какая-нибудь числовая алгебра, должен включать множество, состоящее из четырех классов букв: I -- цифры, из которых конструируются названия чисел; II -- буквы латинского алфавита -- числовые переменные или постоянные; III -- знаки операций; IV -- скобки.

Знаки вычитания (--) и деления (:) могут быть введены определениями соответствующих операций.

Постепенно алфавит числовой алгебры дополняется и другими «буквами», в частности, вводятся знаки бинарных отношений «равно», «меньше», «больше».

Все перечисленные знаки входят в алфавит математического языка, языка искусственного, возникшего в связи с необходимостью в точных, сжатых и однозначно понимаемых формулировках математических законов, правил, доказательств.

Исторически символика математики создавалась веками при участии многих выдающихся ученых. Так, считают, что обозначение неизвестных величин буквами использовал еще Диофант (III в.), широкое применение прописных букв латинского алфавита в алгебре началось с Виета (XVI в.). строчные буквы этого алфавита ввел для обозначения Р.Декарт (XVII в.). знак равенства (=) впервые появился в работах английского ученого Р.Рекорда (XVI в.), но стал он общеупотребительным только в XVIII веке. Знаки неравенства (< , >) появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки «=», «>», «<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Высказывание в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например. В начальном курсе математики можно встретить такие предложения:

1) Число 12 - четное;

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;

6) Некоторые числа делятся на 3.

Мы видим, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. О предложениях 1,4,5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а о предложении 2 - ложную. Относительно предложения х +5 = 8 вообще нельзя сказать истинное оно или ложное.

Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если … , то …», «либо … , либо …», «в том и только в том случае, если», а так же частицу «не». Пусть, например, А означает высказывание «Сейчас солнечно», а В - высказывание «Сейчас ветрено». Тогда высказывание «А и В» означает: «Сейчас солнечно и ветрено», высказывание «Если не А, то и не В» - «Если сейчас не солнечно, то и не ветрено».

Такие высказывания называются составными, а входящие в них высказывания А и В - элементарными высказываниями. Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны и одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут: А=В.

Уже с первого урока математики учащиеся начальных классов встречаются с высказываниями, в основном, с истинными. Они знакомятся с такими высказываниями: 2 > 1, 1 < 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Если А - некоторое высказывание, то, утверждая, что оно ложно, мы получаем новое высказывание, которое называют отрицанием высказывания А и обозначают символом В.

Таким образом, если некоторое высказывание истинно, то его отрицание ложно, и наоборот. Этот вывод можно записать при помощи таблицы, в которой «И» означает истинное высказывание, а «Л» - ложное. Таблицы подобного вида называют таблицами истинности (см. прил.2 рис.1) .

Пусть А и В - два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и», получим новое высказывание, которое называется конъюнкцией данных высказываний и обозначается А? В. Запись А? В читают: «А и В».

По определению, конъюнкция двух высказываний истина в том и только в том случае, когда истины оба высказывания. Если же хотя бы одно из них ложно, то и конъюнкция ложна (см. прил.2 рис.2) .

Рассмотрим высказывание «7 - 4 = 3 и 4 - четное число». Оно является конъюнкцией двух высказываний: «7 - 4 = 3» и «4 - четное число». Так как оба высказывания истинны, то и их конъюнкция является истинной.

Если в конъюнкции А? В поменять местами высказывания А и В, то получим конъюнкцию вида В? А. Из таблицы истинности видно, что формулы А? В и В? А при различных значениях высказываний А и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Следовательно, они равносильны, и для любых высказываний А и В имеем: А? В = В? А

Эта запись выражает коммутативное свойство конъюнкции, позволяющее менять местами члены конъюнкции.

Составив таблицы истинности для (А? В) ? С и А? (В? С), получим, что при любых значениях истинности высказываний А, В, С значения истинности высказываний (А? В) ? С и А? (В? С) совпадают.

Таким образом, (А? В) ? С = А? (В? С).

Это равенство выражает свойство ассоциативности конъюнкции. Такая конъюнкция истина тогда и только тогда, когда все входящие в нее высказывания истины.

Соединив два элементарных высказывания А и В союзом «или», получим новое высказывание, называемое дизъюнкцией данных высказываний . Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают А?В и читают «А или В». Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба высказывания, из которых она образована, ложны; во всех остальных случаях дизъюнкция истинна. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид (см. прил.2 рис.3) .

Для дизъюнкции, так же как и для конъюнкции, можно указать ряд равносильностей. Для любых А,В, и С имеем:

А? В = В? А (коммутативность дизъюнкции);

(А? В) ? С = А? (В? С) (ассоциативность дизъюнкции).

Свойство ассоциативности дизъюнкции позволяет опускать скобки и писать А? В? С вместо (А? В) ? С.

При помощи таблиц истинности нетрудно установить, что

(А? В) ? С = (А? С) ? (В? С)

(А? В) ? С = (А? С) ? (В?С)

Первое равенство выражает дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции, а второе - дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.

Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими отношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности:

Эти отношения называют формулами де Моргана.

Рассмотрим составное высказывание, которое образовано из двух элементарных при помощи слов «если … , то …».

Пусть, например, даны высказывания А: «Вчера было воскресенье» и В: «Я не был на работе». Тогда составное высказывание «Если вчера было воскресенье, то я не был на работе» имеет формулу «Если А, то В».

Высказывание «Если А, то В» называют импликацией высказываний А, В и при помощи символов записывают так: А => B. Высказывание А, входящее в импликацию А=>В, называют условием импликации, а высказывание В - ее заключением.

Поэтому таблица истинности импликации «Если А, то В» имеет вид (см. прил.2 рис.4) .

Из двух высказываний А и В можно составить новое высказывание, которое читается так: «А в том и только в том случае, если В». Это высказывание называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают: А В. Считают, что высказывание А В истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба высказывания А и В ложны. В остальных случаях (т.е. если одно высказывание истинно, а другое высказывание ложно) эквиваленцию считают ложной. Таким образом, таблица истинности для эквиваленции А и В имеет вид (см. прил.2 рис.5) .

1.3 Логические рассуждения

Любое рассуждение состоит из цепочки высказываний, вытекающих друг из друга по определенным правилам. Умение рассуждать, правильно обосновывать свои выводы необходимо людям любой профессии. Рассуждать человек учится с того момента, когда начинает говорить, но целенаправленное обучение логике рассуждений начинается в школе. Уже начальный курс математики предполагает развитие у учащихся навыков проведения сравнения, классификации объектов, анализа фактов, доказательства простейших утверждений. Логичность рассуждений требуется не только для решения математических задач, но и для грамматического анализа, усвоения начал природоведения и т.д. Поэтому учитель начальных классов должен быть знаком с логикой, т.е. с наукой о законах и формах мышления, об общих схемах рассуждений.

Основные типы суждений и умозаключений рассматриваются в классической логике, созданной древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н.э.) .

В логике рассуждения делятся на:

1. правильные;

2. неправильные.

Правильное рассуждение - это рассуждение, в котором соблюдаются все правила и законы логики. Неправильное соображения - это рассуждение, в котором допускаются логических ошибок вследствие нарушения правил или законов логики.

Логические ошибки бывают двух видов:

1. паралогизмы;

2. софизмы.

Паралогизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения неумышленно (по незнанию).

Софизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения намеренно с целью введения в заблуждение оппонента, обоснование ложного утверждения, какой вздор т.д.

Софизмы известны еще с давних времен. Такими соображениями широко пользовались в своей практике софисты. Именно от них и происходит название «софизм» До нашего времени дошли многочисленные примеры рассуждений, которые применяли софисты в различных спорах. Приведем некоторые из них.

Самый известный античный софизм - это рассуждение, получившее название «Рогатый».

Представьте себе ситуацию: один человек хочет убедить другую в том, что та имеет рога. Для этого приводится такое обоснование: «То, чего ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Итак, у тебя есть рога ».

Это размышления на первый взгляд кажется правильным. Но в нем допущено логическую ошибку, которую человек, не разбирается в логике, вряд ли сможет сразу найти.

Приведем еще один пример. В Протагора (основателя школы софистов) был ученик Еватл. Учитель и ученик заключили соглашение, согласно которому Еватл заплатить за обучение лишь после того, как выиграет свой первый судебный процесс. Но, окончив учебу, Еватл не спешил выступать в суде. Терпение у учителя лопнуло, и он подал на своего ученика в суд «Еватл в любом случае должен будет мне заплатить, - размышлял Протагор. - Он либо выиграет этот процесс, или проигрывает его. Если выиграет - заплатить по договоренности; если проиграет - заплатит по приговору суда ». «Ничего подобного, - возражал Еватл. - Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его.

Если выиграю - решение суда освободит меня от платы, если же проиграю - не буду платить по нашей договоренности *.

В этом примере также допускается логическая ошибка. А какая именно - выясним далее.

Основной задачей логики является анализ правильных соображений. Специалисты из логики стремятся выявить и исследовать схемы таких соображений, определить их различные типы и т.д. Неправильные рассуждения в логике анализируются лишь с точки зрения тех ошибок, которые в них допущено.

Следует отметить, что правильность рассуждения еще не означает истинности его посылок и заключения. Вообще логика не занимается определением истинности или ложности посылок и выводов соображений. Но в логике существует такое правило: если соображения построено правильно (в соответствии с правилами и законами логики) и при этом оно опирается на истинные предпосылки, то вывод такого рассуждения всегда будет безусловно истинным. В других случаях истинность вывода не может быть гарантирована.

Так, если соображения построено неправильно, то, даже, несмотря на то, что его предпосылки - истинные, заключение такого рассуждения может быть в одном случае - истинным, а во втором - ложным.

Рассмотрим для примера такие два соображения, которые построены по одной неправильной схеме:

(1) Логика - наука.

Алхимия - не логика.

Алхимия - не наука.

(2) Логика - наука.

Право - не логика.

Право - не наука.

Очевидно, что в первом рассуждении заключение является истинным, но во втором - он неправильный, хотя предпосылки в обоих случаях - истинные утверждения.

Так же нельзя гарантировать истинности выводу соображения, когда хотя бы один из его посылок будет неверным, даже если это рассуждение - правильное.

Правильное рассуждение - рассуждение, в котором одни мысли (выводы) с необходимостью вытекающих из других мнений (посылок).

Примером правильного рассуждения может быть такое умозаключение: «Каждый гражданин Украины должен признать ее Конституцию. Все народные депутаты Украины - граждане Украины. Итак, каждый из них должен признать Конституцию своего государства», а примером истинной мысли - суждение: «Есть граждане Украины, которые не признают крайней мере некоторых статей Конституции своего государства».

Неправильным надо считать такое рассуждение: «Поскольку экономический кризис в Украине явно дает о себе знать после провозглашения ее самостоятельности, то последнее и является причиной этого кризиса». Логическую ошибку такого типа называют «после этого - вследствие этого». Она заключается в том, что временную последовательность событий в подобных случаях отождествляют с причинно. Примером неистинным мнения может быть любое положение, которое не соответствует действительности, скажем, утверждение, будто украинской нации вообще не существует.

Целью познания является получение истинных знаний. Для того чтобы получить такие знания с помощью рассуждений, нужно, во-первых, иметь истинные предпосылки, а во-вторых, правильно их сочетать, рассуждать по законам логики. При использовании ложных посылок допускают фактических ошибок, а при нарушении законов логики, правил построения соображений делают логические ошибки. Фактических ошибок, конечно, надо избегать, что не всегда удается. Что касается логических, то человек высокой интеллектуальной культуры может избежать этих ошибок, поскольку давно уже сформулированы основные законы логически правильного мышления, правила построения рассуждений и даже осмысленно типичные ошибки в рассуждениях.

Логика учит правильно рассуждать, не допускать логических ошибок, отличать правильные рассуждения от неправильных. Она классифицирует правильные соображения с целью их системного осмысления. В этом контексте может возникнуть вопрос: поскольку соображений множество, то можно, выражаясь словами Козьмы Пруткова, охватить безграничное? Да, можно, поскольку логика учит рассуждать, ориентируясь не на конкретное содержание мыслей, которые входят в состав рассуждения, а на схему, структуру рассуждения, форму сочетания этих мыслей. Скажем, форма рассуждения типа «Каждый х у, а данный г является х; следовательно, данный г у» правильная, и знание ее правильности включает в себя значительно более богатую информацию, чем знание правильности отдельного содержательного рассуждения аналогичной формы. А форма рассуждения по схеме «Каждый х у, а г тоже есть у; следовательно, г является х» относится к неправильным. Как грамматика изучает формы слов и их сочетаний в предложении, абстрагируясь от конкретного содержания языковых выражений, так и логика исследует формы мнений и их сочетаний, отвлекаясь от конкретного содержания этих мыслей.

Чтобы выявить форму мысли или соображения, их необходимо формализовать.

Выводы по 1 главе

Исходя из вышесказанного, можно сделать следующие выводы:

1. Логика возникла как раздел философского знания. Основными причинами возникновения являются развитие наук и ораторского искусства. Так как наука основывается на теоретическом мышлении, предполагающем построение умозаключений и доказательств, то возникает необходимость исследования самого мышления как формы познания.

2. В современной науке значение символической логики очень велико. Она находит приложение в кибернетике, нейрофизиологии, лингвистике. Символическая логика является современным этапом в развитии формальной логики. Она изучает процессы рассуждения и доказательства посредством его отображения в логических системах. Таким образом, по своему предмету эта наука является логикой, а по методу - математикой.

Изучив материалы, мы уточнили свои представления о математических понятиях:

Это понятия об идеальных объектах;

Каждое математическое понятие имеет термин, объем и содержание;

Понятиям дают определения; они могут быть явными и неявными. К неявным относят контекстуальные и остенсивные определения;

Изучения понятий происходит из класса в класс с расширенным изучением темы.

При изучении материала, мы познакомились с понятиями, с помощью которых уточнили смысл употребляемых в математике союзов «и», «или», частицы «не», слов «всякий», «существует», «следовательно» и «равносильно». Это понятия:

Высказывание;

Элементарные высказывания;

Логические связки;

Составные высказывания;

Конъюнкция высказываний;

Дизъюнкция высказываний;

Отрицание высказываний.

Рассмотрели правила:

Определения значения истинности составного высказывания;

Построения отрицания предложений различной структуры.

Глава 2. Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

2.1 Использование элементов логики в начальном курсе математики

Математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя - полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы развития логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идет без знания системы необходимых приемов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Баракина В.Т. выделяет следующие требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся при изучении элементов логики в начальной школе:

1. Элементы теории множеств:

Познакомиться со множествами различной природы на конкретных примерах и способами их записи (перечислением);

Научиться выделять элементы множества;

Познакомиться с основными типами отношений между множествами и способом их изображения с помощью кругов Эйлера-Венна;

Научиться выполнять некоторые операции над множествами (объединение, пересечение).

2. Элементы теории высказываний:

Познакомиться с высказыванием на уровне представлений;

Научиться отличать высказывания от других предложений;

Познакомиться с основными видами высказываний;

Научится выполнять некоторые операции над высказываниями (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция).

3. Элементы комбинаторики:

Познакомиться с данным понятием на уровне представлений;

Учиться различать комбинаторные задачи от других типов текстовых задач, рассматриваемых на уроках математики;

Научиться решать задачи на определение числа размещений изn элементов по m элементов.

Элементы логики в начальной школе рассматриваются на уроках как математики, так и информатики. При этом уровень требований к знаниям, умениям и навыкам учащихся, а также содержание обучения по данному разделу несколько отличается в различных программах. Это связанно, прежде всего с тем, что в настоящее время Федеральный Государственный Образовательный Стандарт Начального Общего Образования не предполагает обязательного рассмотрения данной темы в 1-4 классах .

В настоящее время все курсы математики нацелены на развитие учащихся. Так, например, курс Истоминой Н.Б. своей главной целью имеет развитие приемов умственной деятельности учащихся, мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения.

...

Подобные документы

Изучение курса математической логики. Основа логики – осознание структуры математической науки, ее фундаментальных понятий. Исторический очерк. Равносильность предложений. Отрицание высказываний. Логическое следование.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Внеклассная деятельность как одна из форм работы. Педагогические основы изучения математической логики в средней школе в рамках внеучебной деятельности. Анализ существующих методик по формированию у школьников общелогических и логических умений.

курсовая работа , добавлен 19.11.2012


Основы методики изучения математических понятий. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий. Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Психологические аспекты формирования понятий.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Лингвистические основы изучения имени прилагательного в начальных классах. Психолого-педагогические основы изучения имени прилагательного в начальных классах. Методика работы над именем прилагательным по системе развивающего обучения Л.В. Занкова.

дипломная работа , добавлен 03.04.2007


Теоретические основы подготовки детей к обучению математике в школе. Вопросы подготовки детей к школе в психолого-педагогической и методической литературе. Понятие, сущность, значение математической готовности к обучению в школе. Программа исследования.

курсовая работа , добавлен 23.10.2008


Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.

курсовая работа , добавлен 29.09.2016


Психолого-педагогические основы развития логического мышления младших школьников. Разработка методики решения проблемы формирования логической грамотности учащихся на уроках математики в начальной школе, примеры решения нестандартных арифметических задач.

дипломная работа , добавлен 31.03.2012


Теоретико-методические основы тестовых заданий и его видов. Психолого-педагогические основы. Тесты на уроках математики. Анализ опыта учителей по применению тестовых заданий. Краткая характеристика преимуществ использования тестовой формы контроля.

курсовая работа , добавлен 17.04.2017


Психологические особенности младшего школьника. Приемы и методы использования элементов этимологического анализа на уроках в начальной школе. Особенности обучения грамотному письму младших школьников. Анализ УМК "Русский язык" в начальных классах.

дипломная работа , добавлен 24.03.2015


Развитие речи учащихся на уроках математики. Приемы развития математической речи. Связи между речью, мышлением и языком. Развитие логичности, выразительности, доказательности и точности математической речи. Повышение уровня речевой культуры ученика.