Hayatta, genellikle matematik problemleriyle yüzleşmek zorunda kalırız: okulda, üniversitede ve sonra çocuğumuza ev ödevlerinde yardım etmek. Belirli mesleklerden insanlar günlük olarak matematikle karşılaşacaklar. Bu nedenle matematiksel kuralları ezberlemek veya hatırlamakta fayda var. Bu yazıda bunlardan birini inceleyeceğiz: bir dik üçgenin ayağını bulma.
dik üçgen nedir
Öncelikle dik üçgenin ne olduğunu hatırlayalım. Bir dik üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir şekildir ve bu şeklin açılarından biri 90 derecedir. Dik açı oluşturan kenarlara bacak, dik açının karşısında bulunan kenara ise hipotenüs denir.
Bir dik üçgenin bacağını bulma
Bacağın uzunluğunu bulmanın birkaç yolu vardır. Onları daha ayrıntılı olarak düşünmek istiyorum.
Bir dik üçgenin ayağını bulmak için Pisagor teoremi
Hipotenüsü ve bacağı biliyorsak, o zaman Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen bacağın uzunluğunu bulabiliriz. Kulağa şöyle geliyor: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Formül: c²=a²+b², burada c hipotenüs, a ve b bacaklardır. Formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a²=c²-b².
Örnek. Hipotenüs 5 cm ve bacak 3 cm. Formülü dönüştürüyoruz: c²=a²+b² → a²=c²-b². Sonra karar veriyoruz: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Bir dik üçgenin ayağını bulmak için trigonometrik ilişkiler
Bir dik üçgenin herhangi bir diğer kenarı ve herhangi bir dar açısı biliniyorsa, bilinmeyen bir bacak bulmak da mümkündür. Trigonometrik fonksiyonları kullanarak bacağı bulmak için dört seçenek vardır: sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant. Sorunları çözmek için aşağıdaki tablo bize yardımcı olacaktır. Bu seçenekleri ele alalım.
Sinüs kullanarak bir dik üçgenin bacağını bulun
Bir açının sinüsü (günah), karşı bacağın hipotenüse oranıdır. Formül: sin \u003d a / c, burada a, verilen açının karşısındaki bacak ve c hipotenüstür. Sonra, formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a=sin*c.
Örnek. Hipotenüs 10 cm ve A açısı 30 derecedir. Tabloya göre, A açısının sinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşittir. Daha sonra, dönüştürülmüş formülü kullanarak şunları çözeriz: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Kosinüs kullanarak bir dik üçgenin bacağını bulun
Bir açının kosinüsü (cos), bitişik bacağın hipotenüse oranıdır. Formül: cos=b/c, burada b, bitişik bacaktır bu köşe, ve c hipotenüstür. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: b=cos*c.
Örnek. A açısı 60 derece, hipotenüs 10 cm Tabloya göre A açısının kosinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşit. Sonra çözüyoruz: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Teğeti kullanarak bir dik üçgenin bacağını bulun
Bir açının tanjantı (tg), karşı bacağın bitişik olana oranıdır. Formül: tg \u003d a / b, burada a köşenin karşısındaki bacak ve b bitişik. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: a=tg*b.
Örnek. A açısı 45 derece, hipotenüs 10 cm.Tabloya göre, A açısının tanjantını hesaplıyoruz, Çözüm'e eşit: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Kotanjantı kullanarak bir dik üçgenin ayağını bulun
Bir açının kotanjantı (ctg), bitişik bacağın karşı bacağa oranıdır. Formül: ctg \u003d b / a, burada b köşeye bitişik bacaktır ve zıttır. Başka bir deyişle, kotanjant "ters çevrilmiş tanjanttır". Şunu elde ederiz: b=ctg*a.
Örnek. A açısı 30 derece, karşı bacak 5 cm.Tabloya göre A açısının tanjantı √3'tür. Hesapla: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Artık bir dik üçgende bacağı nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Gördüğünüz gibi, o kadar zor değil, asıl şey formülleri hatırlamak.
Trigonometri çalışmamıza bir dik üçgenle başlıyoruz. Dar açının tanjant ve kotanjantının yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım. Bunlar trigonometrinin temelleri.
Hatırlamak dik açı eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, katlanmamış köşenin yarısı.
Keskin köşe- daha küçük.
Geniş açı- daha büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak, "künt" bir hakaret değil, matematiksel bir terimdir :-)
Bir dik üçgen çizelim. Genellikle bir dik açı gösterilir. Köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle gösterildiğine, yalnızca küçük olduğuna dikkat edin. Böylece açının karşısındaki kenar gösterilir.
Bir açı, karşılık gelen Yunan harfiyle gösterilir.
Hipotenüs Dik üçgen, dik açının karşısındaki kenardır.
bacaklar- keskin köşelerin karşısındaki kenarlar.
Köşenin karşısındaki bacak denir karşısında(açıya göre). Köşenin bir tarafında kalan diğer bacağa denir. bitişik.
Sinüs dik üçgende dar açı, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
Kosinüs dik üçgende dar açı - bitişik bacağın hipotenüse oranı:
Teğet dik üçgende dar açı - karşı bacağın bitişiktekine oranı:
Başka bir (eşdeğer) tanım: dar açının tanjantı, bir açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:
Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik bacağın zıt yönüne oranı (veya eşdeğer olarak kosinüsün sinüse oranı):
Aşağıda verilen sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için temel oranlara dikkat edin. Sorunları çözmede bize faydalı olacaklar.
Bazılarını kanıtlayalım.
1. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı . Anlamına geliyor, bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı .
2. Bir yandan, karşı bacağın hipotenüse oranı olarak. Öte yandan, açı için bacak bitişik olacaktır.
Bunu anladık. Diğer bir deyişle, .
3. Pisagor teoremini alın: . Her iki parçayı da şuna bölelim:
Aldık temel trigonometrik kimlik:
Böylece, bir açının sinüsünü bilerek kosinüsünü bulabiliriz ve bunun tersi de geçerlidir.
4. Ana trigonometrik kimliğin her iki parçasını da 'e bölerek şunu elde ederiz:
Bu, bize bir dar açının tanjantı verilirse, kosinüsünü hemen bulabileceğimiz anlamına gelir.
Aynı şekilde,
Tamam, tanımları ve yazılı formülleri verdik. Ama neden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanta ihtiyacımız var?
Biz biliyoruz ki herhangi bir üçgenin açılarının toplamı.
arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .
Bir üçgende iki açıyı bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Bir dik üçgende iki kenarı bilerek üçüncüyü bulabilirsiniz. Yani, açılar için - oranları, taraflar için - kendilerine ait. Ancak bir dik üçgende bir açı (doğru olan hariç) ve bir taraf biliniyorsa, ancak diğer tarafları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalı?
Bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını çıkaran insanların geçmişte karşılaştığı şey buydu. Sonuçta, bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.
Sinüs, kosinüs ve tanjant - aynı zamanda denir açının trigonometrik fonksiyonları- arasındaki oranı ver partiler ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek, tüm trigonometrik fonksiyonlarını özel tablolar kullanarak bulabilirsiniz. Ve bir üçgenin ve kenarlarından birinin açılarının sinüslerini, kosinüslerini ve tanjantlarını bilerek, gerisini bulabilirsiniz.
Ayrıca "iyi" açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu çizeceğiz.
Tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Açıların karşılık gelen değerleri için tanjant ve kotanjant mevcut değildir.
FIPI Bankası görevlerinden trigonometrideki birkaç sorunu analiz edelim.
1. Bir üçgende açı , . Bulmak .
Sorun dört saniye içinde çözüldü.
beri, biz var: .
2. Bir üçgende açı , , 'dir. Bulmak . , eşittir hipotenüsün yarısı.
Açıları olan üçgen ve ikizkenardır. İçinde hipotenüs bacaktan kat daha büyüktür.
Okul çocuklarının en büyük zorluklarla başa çıktığı matematik dallarından biri de trigonometridir. Hiç şüphe yok ki: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için uzamsal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, tanjantları, formülleri kullanarak kotanjantları bulma, ifadeleri basitleştirme ve pi sayısını hesaplamalarda kullanabilme yeteneğine ihtiyacınız var. Ek olarak, teoremleri ispatlarken trigonometri uygulayabilmeniz gerekir ve bunun için gelişmiş bir matematiksel hafıza veya karmaşık mantıksal zincirleri çıkarabilme yeteneği gerekir.
trigonometrinin kökenleri
Bu bilimle tanışma, açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce trigonometrinin genel olarak ne yaptığını bulmanız gerekir.
Tarihsel olarak, matematik biliminin bu bölümünde ana çalışma konusu dik üçgenler olmuştur. 90 derecelik bir açının varlığı, iki taraf ve bir açı veya iki açı ve bir taraf kullanılarak incelenen şeklin tüm parametrelerinin değerlerini belirlemeye izin veren çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu kalıbı fark ettiler ve bina, navigasyon, astronomi ve hatta sanatın yapımında aktif olarak kullanmaya başladılar.
İlk aşama
Başlangıçta, insanlar yalnızca dik üçgenler örneğinde açıların ve kenarların ilişkisinden bahsetti. Daha sonra, matematiğin bu bölümünün günlük yaşamdaki kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi.
Bugün okulda trigonometri çalışması, dik açılı üçgenlerle başlar, daha sonra edinilen bilgiler öğrenciler tarafından fizikte ve lisede başlayan soyut trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılır.
Küresel trigonometri
Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantlı formüller, diğer kuralların geçerli olduğu küresel geometride kullanılmaya başlandı ve bir üçgendeki açıların toplamı her zaman 180 dereceden fazla. Bu bölüm okulda çalışılmamıştır, ancak en azından dünyanın yüzeyi ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükey olduğu için varlığını bilmek gerekir, bu da herhangi bir yüzey işaretinin "yay şeklinde" olacağı anlamına gelir. üç boyutlu uzay.
Küreyi ve ipliği alın. İpliği, gergin olacak şekilde küre üzerindeki herhangi iki noktaya takın. Dikkat edin - bir yay şeklini almıştır. Jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan küresel geometri işte böyle formlarla ilgilenir.
sağ üçgen
Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra, sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, onların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.
İlk adım, bir dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. İlk olarak, hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. O en uzun. Pisagor teoremine göre sayısal değerinin diğer iki kenarın karelerinin toplamının köküne eşit olduğunu hatırlıyoruz.
Örneğin, iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise, hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.
Dik açı oluşturan kalan iki kenara bacak denir. Ayrıca, dikdörtgen bir koordinat sisteminde bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu unutmamalıyız.
Tanım
Son olarak, geometrik tabanı sağlam bir şekilde anlayarak, bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımına dönebiliriz.
Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani, istenen açının karşısındaki taraf) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Neden? Niye? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğu için, bacak ne kadar uzun olursa olsun, hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, sorunun cevabında 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata arayın. Bu cevap açıkça yanlıştır.
Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın bitişik kenara oranıdır. Aynı sonuç, sinüsün kosinüs tarafından bölünmesini verecektir. Bakın: formüle göre, kenar uzunluğunu hipotenüse böleriz, ardından ikinci kenarın uzunluğuna böleriz ve hipotenüsle çarparız. Böylece, tanjant tanımındaki ile aynı oranı elde ederiz.
Kotanjant, sırasıyla, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birimi teğete bölerek aynı sonucu elde ederiz.
Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunun tanımlarını düşündük ve formüllerle ilgilenebiliriz.
En basit formüller
Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlarsız sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant nasıl bulunur? Ve bu, sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şeydir.
Trigonometri öğrenmeye başlarken bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söyler. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak açının değerini bilmek istiyorsanız, kenar değil, zaman kazandırır.
Birçok öğrenci, okul problemlerini çözerken de çok popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor: bir açının tanjantının karesi ile toplamının, açının kosinüsünün karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: sonuçta, bu ilk formüldekiyle aynı ifadedir, kimliğin yalnızca her iki tarafı kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin trigonometrik formülü tamamen tanınmaz hale getirdiği ortaya çıktı. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaç temel formülü bilerek, istediğiniz zaman bir kağıt üzerinde gerekli daha karmaşık formülleri bağımsız olarak türetebilirsiniz.
Çift açılı formüller ve argümanların eklenmesi
Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleri ile ilgilidir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün iki kez çarpıldığını ve ikinci durumda sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının eklendiğini unutmayın.
Çift açılı argümanlarla ilişkili formüller de vardır. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir uygulama olarak, alfa açısını beta açısına eşit alarak onları kendiniz almaya çalışın.
Son olarak, çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfa derecesini düşürmek için dönüştürülebileceğini unutmayın.
teoremler
Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantın nasıl bulunacağını ve dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. Nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.
Sinüs teoremi, üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşı açının değerine bölmenin bir sonucu olarak aynı sayıyı elde ettiğimizi belirtir. Üstelik bu sayı, çevrelenmiş dairenin, yani verilen üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.
Kosinüs teoremi Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, yanlarındaki açının çift kosinüsü ile çarpılan çarpımlarını çıkarın - elde edilen değer üçüncü tarafın karesine eşit olacaktır. Böylece, Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel bir durumu olarak ortaya çıkıyor.
Dikkatsizlikten kaynaklanan hatalar
Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilsek bile dalgınlıktan veya en basit hesaplardaki bir hatadan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için, en popülerlerini tanıyalım.
İlk olarak, nihai sonuç elde edilene kadar sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - koşul aksini belirtmedikçe, cevabı sıradan bir kesir olarak bırakabilirsiniz. Böyle bir dönüşüm bir hata olarak adlandırılamaz, ancak görevin her aşamasında, yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz matematiksel işlemlerle zaman kaybedersiniz. Bu, özellikle üç veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir, çünkü her adımda görevlerde ortaya çıkarlar. Aynısı "çirkin" sayıların yuvarlanması için de geçerlidir.
Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu, ancak Pisagor teoremi için geçerli olmadığını unutmayın! Kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünü çıkarmayı yanlışlıkla unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmaz, aynı zamanda konuyu tamamen yanlış anladığınızı da gösterirsiniz. Bu, dikkatsiz bir hatadan daha kötü.
Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, tanjantlar, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açı değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri hatırlayın, çünkü 30 derecenin sinüsü, 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Bunları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç alırsınız.
Başvuru
Pek çok öğrenci trigonometri okumaya başlamak için acele etmiyor çünkü uygulamalı anlamını bilmiyorlar. Bir mühendis veya astronom için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar, uzak yıldızlara olan mesafeyi hesaplayabileceğiniz, bir göktaşının düşüşünü tahmin edebileceğiniz, başka bir gezegene bir araştırma sondası gönderebileceğiniz kavramlardır. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir nesnenin yüzeyindeki yükü veya yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Ne de olsa trigonometri, müzikten tıbba kadar her yerde şu veya bu biçimde kullanılmaktadır.
Nihayet
Yani sinüs, kosinüs, tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.
Trigonometrinin tüm özü, bilinmeyen parametrelerin üçgenin bilinen parametrelerinden hesaplanması gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: üç kenarın uzunlukları ve üç açının büyüklükleri. Görevlerdeki tüm fark, farklı girdi verilerinin verilmesi gerçeğinde yatmaktadır.
Bacakların veya hipotenüsün bilinen uzunluklarına göre sinüs, kosinüs, tanjant nasıl bulunur, artık biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, trigonometrik problemin ana amacı sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada sıradan okul matematiği size yardımcı olacaktır.
Bölüm I. Dik Üçgenlerin Çözümü
§3 (37). Temel oranlar ve görevler
Trigonometride, bir üçgenin belirli elemanlarının, verilen elemanlarının yeterli sayıda sayısal değeri ile hesaplanmasının gerekli olduğu problemler göz önünde bulundurulur. Bu görevler genellikle çözümüçgen.
ABC bir dik üçgen, C bir dik açı olsun, a ve b- A ve B dar açılarının karşısındaki bacaklar, İle birlikte- hipotenüs (Şekil 3);
o zaman elimizde:
Dar açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:
çünkü A = b/ c, çünkü B = a / c (1)
Dar açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
günah A = a / c, günah B = b/ c (2)
Dar açının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranıdır:
tan A = a / b, tgB = b/ a (3)
Dar açının kotanjantı, bitişik bacağın karşıdakine oranıdır:
ctgA= b/ a, ctgB = a / b (4)
Dar açıların toplamı 90°.
Dik üçgenler için temel problemler.
Görev I. Hipotenüs ve dar açılardan biri verildiğinde, diğer elemanları hesaplayın.
Çözüm. Verilmiş olsun İle birlikte ve A. B açısı = 90° - A da bilinmektedir; bacaklar formül (1) ve (2)'den bulunur.
bir = c günah b = cçünkü A.
Görev II . Bir bacak ve bir dar açı verildiğinde, diğer elemanları hesaplayın.
Çözüm. Verilmiş olsun a ve A. B açısı = 90° - A biliniyor; (3) ve (2) formüllerinden şunu buluruz:
b = a tg B (= a ctg A), İle birlikte = a/günah A
Görev III. Bacak ve hipotenüs verildiğinde, kalan elemanları hesaplayın.
Çözüm. Verilmiş olsun a ve İle birlikte(ve a< с ). Eşitliklerden (2) A açısını buluruz:
günah A = a / c ve A = ark günahı a / c ,
ve son olarak bacak b:
b = İle birlikteçünkü A (= İle birlikte günah B).
Görev IV. Diğer elementleri bulmak için a ve b ayakları verilmiştir.
Çözüm. Eşitliklerden (3) bir dar açı buluyoruz, örneğin A:
tg A = a / b, A = arktan a / b ,
açı B \u003d 90 ° - A,
hipotenüs: c = a/sin A (= b/sinB; = a/cosB)
Aşağıda, logaritmik tablolar* kullanarak bir dik üçgen çözme örneği verilmiştir.
* Dik üçgenlerin elemanlarının doğal tablolara göre hesaplanması VIII sınıfının geometri dersinden bilinmektedir.
Logaritmik tabloları kullanarak hesaplarken, karşılık gelen formülleri yazmalı, prologaritma yapmalı, sayısal verileri değiştirmeli, tablolardan bilinen elemanların (veya trigonometrik fonksiyonlarının) gerekli logaritmasını bulmalı, istenen elemanların (veya trigonometrik fonksiyonlarının) logaritmasını hesaplamalıdır. ) ve gerekli öğeleri tablolardan bulun.
Örnek. Dana bacağı a= 166.1 ve hipotenüs İle birlikte= 187.3; Dar açıları, diğer bacak ve alanı hesaplar.
Çözüm. Sahibiz:
günah A = a / c; lg günah A = lg a-lg c; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Bacağı hesaplıyoruz b:
b = bir tgB; lg b= günlük b+ lg tg B ; 
Bir üçgenin alanı formül kullanılarak hesaplanabilir.
S=1/2 ab = 0,5 a 2 tgB; 
Kontrol için, bir sürgülü hesap cetvelinde A açısını hesaplıyoruz:
Bir \u003d ark günahı a / c= ark günah 166 / 187 ≈ 62°.
Not. bacak b kareler ve karekökler tabloları kullanılarak Pisagor teoremi ile hesaplanabilir (Tablo III ve IV):
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Daha önce elde edilen değerle tutarsızlık b= 86.48, fonksiyonların yaklaşık değerlerini veren tabloların hataları ile açıklanmaktadır. 86.54'ün sonucu daha doğrudur.
Gördüğünüz gibi, bu daire Kartezyen koordinat sisteminde oluşturulmuştur. Dairenin yarıçapı bire eşittir, dairenin merkezi orijindeyken, yarıçap vektörünün ilk konumu eksenin pozitif yönü boyunca sabitlenir (örneğimizde bu yarıçaptır).
Dairenin her noktası iki sayıya karşılık gelir: eksen boyunca koordinat ve eksen boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, eldeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, kabul edilen dik açılı üçgeni hatırlayın. Yukarıdaki şekilde, iki tam dik üçgen görebilirsiniz. Bir üçgen düşünün. Eksene dik olduğu için dikdörtgendir.
Bir üçgenden neye eşittir? Doğru. Ek olarak, bunun birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz ve bu nedenle, . Bu değeri kosinüs formülümüzle değiştirin. İşte olanlar:
Ve bir üçgenden neye eşittir? Eh, tabii ki! Yarıçapın değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
Peki çembere ait bir noktanın koordinatları nedir söyler misiniz? Olmaz mı? Ve eğer bunun farkındaysanız ve sadece rakamlardan ibaretseniz? Hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki, koordinat! Hangi koordinata karşılık gelir? Bu doğru, koordine! Böylece, nokta.
Ve sonra eşit ve nedir? Doğru, tanjant ve kotanjantın uygun tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim, a.
Peki ya açı daha büyükse? Burada, örneğin, bu resimdeki gibi:
Bu örnekte ne değişti? Anlayalım. Bunu yapmak için tekrar dik açılı bir üçgene dönüyoruz. Bir dik üçgen düşünün: bir açı (bir açıya bitişik olarak). Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının değeri nedir? Bu doğru, trigonometrik fonksiyonların karşılık gelen tanımlarına bağlıyız:
Gördüğünüz gibi, açının sinüsünün değeri hala koordinata karşılık geliyor; açının kosinüs değeri - koordinat; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Bu nedenle, bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanabilir.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun eksenin pozitif yönü boyunca olduğu daha önce belirtilmişti. Şimdiye kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük, ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belirli bir boyutta bir açı elde edeceksiniz, ancak sadece negatif olacak. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürürken şunu elde ederiz: pozitif açılar, ve saat yönünde dönerken - olumsuz.
Böylece, yarıçap vektörünün çember etrafındaki tüm dönüşünün veya olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü döndürmek veya döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, bu nedenle, yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve veya konumunda duracaktır.
İkinci durumda, yani yarıçap vektörü üç tam dönüş yapacak ve veya konumunda duracaktır.
Bu nedenle, yukarıdaki örneklerden, veya (herhangi bir tamsayı olduğu yerde) farklılık gösteren açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.
Aşağıdaki şekil bir açıyı göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir vb. Bu liste süresiz olarak devam ettirilebilir. Tüm bu açılar genel formülle yazılabilir veya (nerede tam sayıdır)
Şimdi, temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak, değerlerin neye eşit olduğunu cevaplamaya çalışın:
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Herhangi bir zorluk? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
Buradan açının belirli ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: adresindeki köşe, koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir, bu nedenle:
Bulunmuyor;
Ayrıca, aynı mantığa bağlı kalarak, köşelerin sırasıyla koordinatlı noktalara karşılık geldiğini öğreniriz. Bunu bilerek, karşılık gelen noktalarda trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, ardından cevapları kontrol edin.
Yanıtlar:
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamaya gerek yoktur. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
Ancak aşağıdaki tabloda verilen ve içindeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri, hatırlanmalı:
Korkmayın şimdi örneklerden birini göstereceğiz karşılık gelen değerlerin oldukça basit ezberlenmesi:
Bu yöntemi kullanmak için, açının () üç ölçüsünün tümü için sinüs değerlerini ve ayrıca açının tanjantının değerini hatırlamak hayati önem taşır. Bu değerleri bilerek, tüm tabloyu geri yüklemek oldukça kolaydır - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
Bunu bilerek, değerlerini geri yükleyebilirsiniz. Pay " " eşleşecek ve payda " " eşleşecektir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlarsanız ve diyagramı oklarla hatırlarsanız, tablodan tüm değeri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün mü, dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilmek?
Tabii ki yapabilirsin! dışarı çıkaralım bir noktanın koordinatlarını bulmak için genel formül.
Burada, örneğin, böyle bir dairemiz var:
Bize noktanın dairenin merkezi olduğu verildi. Çemberin yarıçapı eşittir. Noktayı derece derece döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden de anlaşılacağı gibi, noktanın koordinatı parçanın uzunluğuna karşılık gelmektedir. Segmentin uzunluğu, dairenin merkezinin koordinatına karşılık gelir, yani eşittir. Bir segmentin uzunluğu, kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
O zaman koordinat noktası için buna sahibiz.
Aynı mantıkla, nokta için y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,
Bu nedenle, genel anlamda, noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Daire merkez koordinatları,
daire yarıçapı,
Yarıçap vektörünün dönüş açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfır olduğundan ve yarıçap bire eşit olduğundan, bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
Peki, bu formülleri deneyelim, bir daire üzerinde noktaları bulma alıştırması yapalım mı?
1. Bir noktayı çevirerek elde edilen birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulun.
2. Bir noktayı döndürerek elde edilen birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulun.
3. Bir noktayı çevirerek elde edilen birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulun.
4. Nokta - dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı eşittir. İlk yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
5. Nokta - dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı eşittir. İlk yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmakta sorun mu yaşıyorsunuz?
Bu beş örneği çözün (veya çözümü iyi anlayın) ve onları nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz!
1.
Öyle görülebilir. Ve başlangıç noktasının tam dönüşüne neyin karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece istenilen nokta, dönerken olduğu gibi aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek, noktanın istenen koordinatlarını buluruz:
2. Daire, bir noktada merkezi olan birimdir, bu, basitleştirilmiş formüller kullanabileceğimiz anlamına gelir:
Öyle görülebilir. Başlangıç noktasının iki tam dönüşüne neyin karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece istenilen nokta, dönerken olduğu gibi aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek, noktanın istenen koordinatlarını buluruz:
Sinüs ve kosinüs tablo değerleridir. Değerlerini hatırlıyoruz ve şunları elde ediyoruz:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
3. Daire, bir noktada merkezi olan birimdir, bu, basitleştirilmiş formüller kullanabileceğimiz anlamına gelir:
Öyle görülebilir. Şekilde ele alınan örneği gösterelim:
Yarıçap, eksenle ve'ye eşit açılar yapar. Kosinüs ve sinüsün tablo değerlerinin eşit olduğunu bilerek ve burada kosinüsün negatif bir değer aldığını ve sinüsün pozitif olduğunu belirledikten sonra:
Konudaki trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller incelenirken benzer örnekler daha ayrıntılı olarak analiz edilir.
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
4.
Yarıçap vektörünün dönüş açısı (koşullara göre)
Karşılık gelen sinüs ve kosinüs işaretlerini belirlemek için bir birim daire ve bir açı oluşturuyoruz:
Gördüğünüz gibi, değer, yani pozitif ve değer, yani, negatif. Karşılık gelen trigonometrik fonksiyonların tablo değerlerini bilerek şunu elde ederiz:
Elde edilen değerleri formülümüzde yerine koyalım ve koordinatları bulalım:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
5. Bu sorunu çözmek için genel formdaki formülleri kullanıyoruz, burada
Dairenin merkezinin koordinatları (örneğimizde,
Daire yarıçapı (koşullara göre)
Yarıçap vektörünün dönüş açısı (koşulla).
Tüm değerleri formülde değiştirin ve şunu elde edin:
ve - tablo değerleri. Bunları hatırlıyor ve formülde değiştiriyoruz:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
ÖZET VE TEMEL FORMÜL
Bir açının sinüsü, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının kosinüsü, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının tanjantı, karşı (uzak) bacağın bitişik (yakın) olana oranıdır.
Bir açının kotanjantı, bitişik (yakın) bacağın zıt (uzak) olana oranıdır.
