Կյանքում մենք հաճախ ստիպված ենք լինում բախվել մաթեմատիկական խնդիրների հետ՝ դպրոցում, համալսարանում, իսկ հետո օգնել մեր երեխային տնային առաջադրանքների հարցում: Որոշ մասնագիտությունների տեր մարդիկ ամեն օր կհանդիպեն մաթեմատիկայի հետ։ Հետևաբար, օգտակար է անգիր անել կամ հիշել մաթեմատիկական կանոնները: Այս հոդվածում մենք կվերլուծենք դրանցից մեկը՝ գտնել ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը:
Ինչ է ուղղանկյուն եռանկյունը
Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ է ուղղանկյուն եռանկյունը: Ուղղանկյուն եռանկյունը երեք հատվածներից բաղկացած երկրաչափական պատկեր է, որը միացնում է կետերը, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա, և այս նկարի անկյուններից մեկը 90 աստիճան է: Ուղիղ անկյուն կազմող կողմերը կոչվում են ոտքեր, իսկ այն կողմը, որը գտնվում է ուղիղ անկյան դիմաց՝ հիպոթենուս։
Գտնել ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը
Ոտքի երկարությունը պարզելու մի քանի եղանակ կա: Ես կցանկանայի դրանք ավելի մանրամասն դիտարկել:
Պյութագորասի թեորեմ՝ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը գտնելու համար
Եթե մենք գիտենք հիպոթենուսը և ոտքը, ապա մենք կարող ենք գտնել անհայտ ոտքի երկարությունը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը: Հնչում է այսպես. «Հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին»։ Բանաձև՝ c²=a²+b², որտեղ c-ն հիպոթենուսն է, a-ն և b-ը՝ ոտքերը: Մենք փոխակերպում ենք բանաձևը և ստանում՝ a²=c²-b²:
Օրինակ. Հիպոթենուսը 5 սմ է, իսկ ոտքը՝ 3 սմ: Մենք փոխակերպում ենք բանաձևը՝ c²=a²+b² → a²=c²-b²: Հաջորդը, մենք որոշում ենք. a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (սմ):
Եռանկյունաչափական հարաբերություններ՝ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը գտնելու համար
Հնարավոր է նաև գտնել անհայտ ոտք, եթե հայտնի է ուղղանկյուն եռանկյան որևէ այլ կողմ և ցանկացած սուր անկյուն: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով ոտքը գտնելու չորս տարբերակ կա՝ սինուսով, կոսինուսով, շոշափողով, կոտանգենսով: Խնդիրները լուծելու համար մեզ կօգնի ստորև բերված աղյուսակը։ Դիտարկենք այս տարբերակները:
Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը՝ օգտագործելով սինուսը
Անկյունի սինուսը (մեղքը) հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է: Բանաձև՝ sin \u003d a / c, որտեղ a-ն տվյալ անկյան հակառակ ոտքն է, իսկ c-ն հիպոթենուսն է: Այնուհետև մենք փոխակերպում ենք բանաձևը և ստանում՝ a=sin*c:
Օրինակ. Հիպոթենուսը 10 սմ է, իսկ A անկյունը 30 աստիճան է: Աղյուսակի համաձայն հաշվում ենք A անկյան սինուսը, այն հավասար է 1/2-ի։ Այնուհետև, օգտագործելով փոխակերպված բանաձևը, լուծում ենք՝ a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (սմ):
Կոսինուսի օգնությամբ գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը
Անկյունի կոսինուսը (cos) հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է։ Բանաձև՝ cos=b/c, որտեղ b-ը հարող ոտքն է այս անկյունը, իսկ c-ն հիպոթենուսն է: Փոխակերպենք բանաձևը և ստացենք՝ b=cos*c:
Օրինակ. A անկյունը 60 աստիճան է, հիպոթենուսը՝ 10 սմ։Ըստ աղյուսակի՝ հաշվարկում ենք A անկյան կոսինուսը, այն հավասար է 1/2-ի։ Հաջորդը, մենք լուծում ենք՝ b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (սմ):
Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը՝ օգտագործելով շոշափողը
Անկյան շոշափողը (tg) հակառակ ոտքի հարաբերակցությունն է հարևանին: Բանաձև՝ tg \u003d a / b, որտեղ a-ն անկյունին հակառակ ոտքն է, իսկ b-ը հարևան է: Փոխակերպենք բանաձևը և ստացենք՝ a=tg*b:
Օրինակ. A անկյունը 45 աստիճան է, հիպոթենուսը՝ 10 սմ, ըստ աղյուսակի հաշվարկում ենք A անկյան շոշափողը, այն հավասար է Լուծել՝ a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (սմ).
Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը՝ օգտագործելով կոտանգենսը
Անկյունի կոտանգենսը (ctg) հարակից ոտքի և հակառակ ոտքի հարաբերությունն է: Բանաձև՝ ctg \u003d b / a, որտեղ b-ը անկյունին հարող ոտքն է և հակառակն է: Այսինքն՝ կոտանգենսը «շրջված շոշափողն» է։ Ստանում ենք՝ b=ctg*a:
Օրինակ. A անկյունը 30 աստիճան է, հակառակ ոտքը՝ 5 սմ: Ըստ աղյուսակի՝ A անկյան շոշափողը √3 է: Հաշվել՝ b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (սմ):
Այսպիսով, այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես գտնել ոտքը ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ: Ինչպես տեսնում եք, դա այնքան էլ դժվար չէ, գլխավորը բանաձևերը հիշելն է։
Եռանկյունաչափության մեր ուսումնասիրությունը սկսում ենք ուղղանկյուն եռանկյունով: Եկեք սահմանենք, թե ինչ են սինուսը և կոսինուսը, ինչպես նաև սուր անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը: Սրանք եռանկյունաչափության հիմունքներն են։
Հիշեք դա Աջ անկյունըանկյուն է, որը հավասար է. Այսինքն՝ բացված անկյունի կեսը։
Սուր անկյուն- ավելի փոքր:
Բութ անկյուն- ավելի մեծ: Նման անկյան հետ կապված «բութ»-ը վիրավորանք չէ, այլ մաթեմատիկական տերմին :-)
Եկեք գծենք ուղղանկյուն եռանկյուն: Ուղղակի անկյունը սովորաբար նշվում է: Ուշադրություն դարձրեք, որ անկյունին հակառակ կողմը նշվում է նույն տառով, միայն փոքր: Այսպիսով, նշվում է անկյան հակառակ կողմը:
Անկյունը նշվում է համապատասխան հունարեն տառով:
ՀիպոթենուզաՈւղղանկյուն եռանկյունը ճիշտ անկյան հակառակ կողմն է:
Ոտքեր- սուր անկյունների հակառակ կողմերը:
Անկյունին հակառակ ոտքը կոչվում է հակառակը(անկյան համեմատ): Մյուս ոտքը, որը ընկած է անկյունի մի կողմում, կոչվում է կից.
ՍինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է.
Կոսինուսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին.
Շոշափողսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ - հակառակ ոտքի հարաբերակցությունը հարակից.
Մեկ այլ (համարժեք) սահմանում. Սուր անկյան շոշափողը անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունն է.
Կոտանգենսսուր անկյուն ուղղանկյուն եռանկյունում - հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հակառակին (կամ, համարժեքորեն, կոսինուսի և սինուսի հարաբերակցությունը).
Ուշադրություն դարձրեք սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հիմնական գործակիցներին, որոնք տրված են ստորև: Նրանք մեզ օգտակար կլինեն խնդիրների լուծման գործում։
Եկեք ապացուցենք դրանցից մի քանիսը.
1. Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է . Նշանակում է, Ուղղանկյուն եռանկյան երկու սուր անկյունների գումարը հավասար է .
2. Մի կողմից, որպես հակառակ ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին: Մյուս կողմից, քանի որ անկյան համար ոտքը հարակից կլինի:
Մենք դա հասկանում ենք: Այլ կերպ ասած, .
3. Վերցրեք Պյութագորասի թեորեմը. Եկեք երկու մասերը բաժանենք հետևյալով.
Մենք ստացանք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը:
Այսպիսով, իմանալով անկյան սինուսը, մենք կարող ենք գտնել նրա կոսինուսը և հակառակը։
4. Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության երկու մասերը բաժանելով -ի վրա՝ ստանում ենք.
Սա նշանակում է, որ եթե մեզ տրվի սուր անկյան շոշափողը, ապա մենք կարող ենք անմիջապես գտնել դրա կոսինուսը:
Նմանապես,
Լավ, մենք տվել ենք սահմանումներ և բանաձևեր գրել։ Բայց ինչո՞ւ են մեզ անհրաժեշտ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը:
Մենք դա գիտենք Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է.
Մենք գիտենք փոխհարաբերությունները կուսակցություններուղղանկյուն եռանկյուն. Սա Պյութագորասի թեորեմն է.
Պարզվում է, որ իմանալով եռանկյան երկու անկյուն, կարող ես գտնել երրորդը։ Իմանալով ուղղանկյուն եռանկյան երկու կողմերը՝ կարող եք գտնել երրորդը: Այսպիսով, անկյունների համար՝ իրենց հարաբերակցությունը, կողմերի համար՝ իրենցը: Բայց ի՞նչ անել, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հայտնի են մեկ անկյուն (բացառությամբ ուղղանկյունի) և մի կողմ, բայց պետք է գտնել մյուս կողմերը:
Ահա թե ինչի են բախվել մարդիկ անցյալում՝ կազմելով տարածքի և աստղազարդ երկնքի քարտեզները։ Ի վերջո, միշտ չէ, որ հնարավոր է ուղղակիորեն չափել եռանկյան բոլոր կողմերը:
Սինուս, կոսինուս և շոշափող - դրանք նաև կոչվում են անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները- տալ հարաբերակցությունը միջև կուսակցություններև անկյուններըեռանկյուն. Իմանալով անկյունը՝ դուք կարող եք գտնել նրա բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ օգտագործելով հատուկ աղյուսակներ: Իսկ իմանալով եռանկյան և նրա կողմերից մեկի անկյունների սինուսները, կոսինուսները և շոշափողները, կարող եք գտնել մնացածը:
Մենք նաև գծելու ենք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքների աղյուսակը դեպի «լավ» անկյունները:
Ուշադրություն դարձրեք աղյուսակի երկու կարմիր գծիկներին: Անկյունների համապատասխան արժեքների համար շոշափող և կոտանգենս գոյություն չունեն:
Եկեք վերլուծենք եռանկյունաչափության մի քանի խնդիր FIPI-ի բանկի առաջադրանքներից:
1. Եռանկյունում անկյունը , . Գտնել.
Խնդիրը լուծվում է չորս վայրկյանում։
Քանի որ մենք ունենք.
2. Եռանկյունում անկյունը , , . Գտնել. , հավասար է հիպոթենուզի կեսը.
Անկյուններով եռանկյուն, և հավասարաչափ է: Դրանում հիպոթենուսը ոտքից անգամ ավելի մեծ է:
Մաթեմատիկայի այն ճյուղերից մեկը, որով դպրոցականները հաղթահարում են ամենամեծ դժվարությունները, եռանկյունաչափությունն է։ Զարմանալի չէ. այս գիտելիքի ոլորտը ազատորեն տիրապետելու համար անհրաժեշտ է տարածական մտածողություն, սինուսներ, կոսինուսներ, շոշափողներ, կոտանգենսներ գտնելու ունակություն՝ օգտագործելով բանաձևեր, պարզեցնել արտահայտությունները և կարողանալ օգտագործել pi թիվը հաշվարկներում: Բացի այդ, դուք պետք է կարողանաք կիրառել եռանկյունաչափություն թեորեմներն ապացուցելիս, և դրա համար անհրաժեշտ է կա՛մ զարգացած մաթեմատիկական հիշողություն, կա՛մ բարդ տրամաբանական շղթաներ դուրս բերելու կարողություն:
Եռանկյունաչափության ծագումը
Այս գիտության հետ ծանոթությունը պետք է սկսվի անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի սահմանումից, բայց նախ պետք է պարզել, թե ընդհանրապես ինչ է անում եռանկյունաչափությունը:
Պատմականորեն ուղղանկյուն եռանկյունները եղել են մաթեմատիկական գիտության այս բաժնում ուսումնասիրության հիմնական առարկան: 90 աստիճանի անկյան առկայությունը հնարավորություն է տալիս իրականացնել տարբեր գործողություններ, որոնք թույլ են տալիս որոշել դիտարկվող գործչի բոլոր պարամետրերի արժեքները՝ օգտագործելով երկու կողմ և մեկ անկյուն կամ երկու անկյուն և մեկ կողմ: Նախկինում մարդիկ նկատեցին այս օրինաչափությունը և սկսեցին ակտիվորեն օգտագործել այն շենքերի կառուցման, նավիգացիայի, աստղագիտության և նույնիսկ արվեստի մեջ:
Առաջին փուլ
Սկզբում մարդիկ խոսում էին անկյունների և կողմերի հարաբերությունների մասին բացառապես ուղղանկյուն եռանկյունների օրինակով։ Այնուհետեւ հայտնաբերվեցին հատուկ բանաձեւեր, որոնք հնարավորություն տվեցին ընդլայնել մաթեմատիկայի այս բաժնի առօրյա կյանքում օգտագործման սահմանները։
Դպրոցում եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունն այսօր սկսվում է ուղղանկյուն եռանկյուններով, որից հետո ստացած գիտելիքները սովորողները օգտագործում են ֆիզիկայում և աբստրակտ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, որոնց հետ աշխատանքը սկսվում է ավագ դպրոցից։
Գնդաձև եռանկյունաչափություն
Հետագայում, երբ գիտությունը հասավ զարգացման հաջորդ մակարդակին, գնդային երկրաչափության մեջ սկսեցին կիրառվել սինուսով, կոսինուսով, շոշափողով, կոտանգենսով բանաձևերը, որտեղ գործում են այլ կանոններ, և եռանկյան անկյունների գումարը միշտ ավելի քան 180 աստիճան է։ Այս բաժինը դպրոցում չի ուսումնասիրվում, սակայն անհրաժեշտ է իմանալ դրա գոյության մասին, թեկուզ այն պատճառով, որ երկրի մակերեսը և ցանկացած այլ մոլորակի մակերեսը ուռուցիկ է, ինչը նշանակում է, որ ցանկացած մակերևույթի գծանշում կլինի «աղեղաձև»: եռաչափ տարածություն.
Վերցրեք գլոբուսը և թելը: Կցեք թելը գլոբուսի ցանկացած երկու կետի վրա, որպեսզի այն ձգվի: Ուշադրություն դարձրեք՝ այն ձեռք է բերել աղեղի ձև։ Հենց նման ձևերի հետ է առնչվում գնդաձև երկրաչափությունը, որն օգտագործվում է գեոդեզիայի, աստղագիտության և այլ տեսական ու կիրառական ոլորտներում։
Ուղղանկյուն եռանկյուն
Մի փոքր սովորելով եռանկյունաչափության օգտագործման եղանակներին՝ վերադառնանք հիմնական եռանկյունաչափությանը, որպեսզի հետագայում հասկանանք, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, ինչ հաշվարկներ կարելի է կատարել դրանց օգնությամբ և ինչ բանաձևեր օգտագործել։
Առաջին քայլը ուղղանկյուն եռանկյունու հետ կապված հասկացությունները հասկանալն է: Նախ, հիպոթենուսը 90 աստիճանի անկյան հակառակ կողմն է: Նա ամենաերկարն է: Հիշում ենք, որ Պյութագորասի թեորեմի համաձայն, նրա թվային արժեքը հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարի արմատին։
Օրինակ, եթե երկու կողմերը համապատասխանաբար 3 և 4 սանտիմետր են, հիպոթենուսի երկարությունը կլինի 5 սանտիմետր: Ի դեպ, այս մասին հին եգիպտացիները գիտեին մոտ չորսուկես հազար տարի առաջ։
Մնացած երկու կողմերը, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն, կոչվում են ոտքեր: Բացի այդ, պետք է հիշել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճան է:
Սահմանում
Ի վերջո, երկրաչափական հիմքի լավ ըմբռնմամբ մենք կարող ենք դիմել անկյան սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի սահմանմանը:
Անկյունի սինուսը հակառակ ոտքի (այսինքն՝ ցանկալի անկյան հակառակ կողմի) հարաբերությունն է հիպոթենուսին: Անկյունի կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է:
Հիշեք, որ ոչ սինուսը, ոչ կոսինուսը չեն կարող մեկից մեծ լինել: Ինչո՞ւ։ Որովհետև հիպոթենուսը լռելյայն ամենաերկարն է: Անկախ նրանից, թե որքան երկար է ոտքը, այն ավելի կարճ կլինի, քան հիպոթենուզը, ինչը նշանակում է, որ դրանց հարաբերակցությունը միշտ կլինի մեկից պակաս: Այսպիսով, եթե խնդրի պատասխանում ստանում եք 1-ից մեծ արժեք ունեցող սինուս կամ կոսինուս, ապա փնտրեք սխալ հաշվարկներում կամ հիմնավորումներում: Այս պատասխանն ակնհայտորեն սխալ է։
Ի վերջո, անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է: Նույն արդյունքը կտա սինուսի բաժանումը կոսինուսով։ Նայեք՝ ըստ բանաձևի՝ կողմի երկարությունը բաժանում ենք հիպոթենուսի վրա, որից հետո բաժանում ենք երկրորդ կողմի երկարության վրա և բազմապատկում հիպոթենուսով։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն հարաբերակցությունը, ինչ շոշափողի սահմանման մեջ:
Կոտանգենսը, համապատասխանաբար, անկյունին հարող կողմի և հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է: Նույն արդյունքը ստանում ենք՝ բաժանելով միավորը շոշափողի վրա։
Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք այն սահմանումները, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, և կարող ենք գործ ունենալ բանաձևերի հետ:
Ամենապարզ բանաձևերը
Եռանկյունաչափության մեջ չի կարելի անել առանց բանաձևերի՝ ինչպե՞ս գտնել սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս առանց դրանց: Եվ հենց դա է պահանջվում խնդիրներ լուծելիս։
Առաջին բանաձևը, որը դուք պետք է իմանաք, երբ սկսեք ուսումնասիրել եռանկյունաչափությունը, ասում է, որ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի: Այս բանաձևը Պյութագորասի թեորեմի ուղղակի հետևանքն է, բայց այն ժամանակ է խնայում, եթե ուզում եք իմանալ անկյան արժեքը, ոչ թե կողմը:
Շատ սովորողներ չեն կարողանում հիշել երկրորդ բանաձևը, որը նույնպես շատ տարածված է դպրոցական խնդիրներ լուծելիս՝ մեկի գումարը և անկյան տանգենսի քառակուսին հավասար է մեկի՝ բաժանված անկյան կոսինուսի քառակուսու վրա։ Ուշադիր նայեք. ի վերջո, սա նույն պնդումն է, ինչ առաջին բանաձևում, միայն ինքնության երկու կողմերն են բաժանվել կոսինուսի քառակուսու վրա: Պարզվում է, որ պարզ մաթեմատիկական գործողությունը եռանկյունաչափական բանաձեւը լիովին անճանաչելի է դարձնում։ Հիշեք. իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, փոխակերպման կանոնները և մի քանի հիմնական բանաձևերը, դուք կարող եք ցանկացած պահի ինքնուրույն դուրս բերել պահանջվող ավելի բարդ բանաձևերը թղթի վրա:
Կրկնակի անկյունային բանաձևեր և արգումենտների ավելացում
Եվս երկու բանաձև, որոնք դուք պետք է սովորեք, կապված են սինուսի և կոսինուսի արժեքների հետ անկյունների գումարի և տարբերության համար: Դրանք ներկայացված են ստորև բերված նկարում: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ առաջին դեպքում սինուսը և կոսինուսը բազմապատկվում են երկու անգամ, իսկ երկրորդում գումարվում է սինուսի և կոսինուսի զույգ արտադրյալը:
Կան նաև բանաձևեր, որոնք կապված են կրկնակի անկյան փաստարկների հետ: Դրանք ամբողջությամբ բխում են նախորդներից. որպես պրակտիկա, փորձեք դրանք ստանալ ինքներդ՝ հաշվի առնելով ալֆայի անկյունը, որը հավասար է բետա անկյան:
Ի վերջո, նշեք, որ կրկնակի անկյան բանաձևերը կարող են փոխակերպվել սինուսի, կոսինուսի, շոշափող ալֆայի աստիճանի իջեցման համար:
Թեորեմներ
Հիմնական եռանկյունաչափության երկու հիմնական թեորեմներն են սինուսի թեորեմը և կոսինուսի թեորեմը։ Այս թեորեմների օգնությամբ դուք հեշտությամբ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես կարելի է գտնել սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, և, հետևաբար, գործչի տարածքը և յուրաքանչյուր կողմի չափը և այլն:
Սինուսների թեորեմն ասում է, որ եռանկյան կողմերից յուրաքանչյուրի երկարությունը հակառակ անկյան արժեքի վրա բաժանելու արդյունքում ստանում ենք նույն թիվը։ Ընդ որում, այս թիվը հավասար կլինի շրջագծված շրջանագծի երկու շառավղին, այսինքն՝ տվյալ եռանկյան բոլոր կետերը պարունակող շրջանագծին։
Կոսինուսի թեորեմն ընդհանրացնում է Պյութագորասի թեորեմը՝ այն նախագծելով ցանկացած եռանկյունու վրա։ Ստացվում է, որ երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանեք դրանց արտադրյալը` բազմապատկած նրանց հարակից անկյան կրկնակի կոսինուսով - ստացված արժեքը հավասար կլինի երրորդ կողմի քառակուսուն: Այսպիսով, պարզվում է, որ Պյութագորասի թեորեմը կոսինուսի թեորեմի հատուկ դեպք է։
Սխալներ անուշադրության պատճառով
Նույնիսկ իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, հեշտ է սխալվել անտարբերության կամ ամենապարզ հաշվարկների սխալի պատճառով: Նման սխալներից խուսափելու համար եկեք ծանոթանանք դրանցից ամենահայտնիներին։
Նախ, չպետք է սովորական կոտորակները վերածել տասնորդականների, քանի դեռ վերջնական արդյունքը չի ստացվել. պատասխանը կարող եք թողնել որպես սովորական կոտորակ, եթե պայմանը այլ բան չի ասում: Նման վերափոխումը չի կարելի սխալ անվանել, բայց պետք է հիշել, որ խնդրի յուրաքանչյուր փուլում կարող են հայտնվել նոր արմատներ, որոնք, հեղինակի մտահղացմամբ, պետք է կրճատվեն։ Այս դեպքում դուք ժամանակ կկորցնեք անհարկի մաթեմատիկական գործողությունների վրա։ Սա հատկապես ճիշտ է այնպիսի արժեքների համար, ինչպիսիք են երեք կամ երկուսի արմատը, քանի որ դրանք առաջանում են առաջադրանքների մեջ ամեն քայլափոխի: Նույնը վերաբերում է «տգեղ» թվերի կլորացմանը։
Ավելին, նշեք, որ կոսինուսի թեորեմը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունու, բայց ոչ Պյութագորասի թեորեմին: Եթե սխալմամբ մոռանաք երկու անգամ պակասեցնել կողմերի արտադրյալը, որը բազմապատկվել է նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսով, դուք ոչ միայն լիովին սխալ արդյունք կստանաք, այլև կցուցադրեք թեմայի ամբողջական թյուրիմացություն: Սա ավելի վատ է, քան անզգույշ սխալը:
Երրորդ, մի շփոթեք սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների, կոտանգենսների համար 30 և 60 աստիճանի անկյունների արժեքները: Հիշեք այս արժեքները, քանի որ 30 աստիճանի սինուսը հավասար է 60-ի կոսինուսին և հակառակը։ Հեշտ է դրանք խառնել, ինչի արդյունքում անխուսափելիորեն սխալ արդյունք կստանաք։
Դիմում
Շատ ուսանողներ չեն շտապում սկսել եռանկյունաչափություն ուսումնասիրել, քանի որ չեն հասկանում դրա կիրառական նշանակությունը։ Ի՞նչ է սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ինժեների կամ աստղագետի համար: Սրանք հասկացություններ են, որոնց շնորհիվ կարելի է հաշվարկել հեռավոր աստղերը, կանխատեսել երկնաքարի անկումը, հետազոտական զոնդ ուղարկել այլ մոլորակ։ Առանց դրանց անհնար է շենք կառուցել, մեքենա նախագծել, հաշվարկել մակերեսի ծանրաբեռնվածությունը կամ առարկայի հետագիծը։ Եվ սրանք ընդամենը ամենաակնառու օրինակներն են։ Ի վերջո, եռանկյունաչափությունն այս կամ այն ձևով կիրառվում է ամենուր՝ երաժշտությունից մինչև բժշկություն:
Վերջապես
Այսպիսով, դուք սինուս եք, կոսինուս, շոշափող: Դուք կարող եք դրանք օգտագործել հաշվարկներում և հաջողությամբ լուծել դպրոցական խնդիրները:
Եռանկյունաչափության ողջ էությունը հանգում է նրան, որ անհայտ պարամետրերը պետք է հաշվարկվեն եռանկյունու հայտնի պարամետրերից։ Ընդհանուր առմամբ կան վեց պարամետրեր՝ երեք կողմերի երկարություններ և երեք անկյունների մեծություններ։ Առաջադրանքների ամբողջ տարբերությունը կայանում է նրանում, որ տարբեր մուտքային տվյալներ են տրվում:
Ինչպես գտնել սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ոտքերի հայտնի երկարությունների կամ հիպոթենուսի հիման վրա, այժմ դուք գիտեք: Քանի որ այս տերմինները ոչ այլ ինչ են նշանակում, քան հարաբերակցություն, իսկ հարաբերակցությունը կոտորակ է, եռանկյունաչափական խնդրի հիմնական նպատակն է գտնել սովորական հավասարման կամ հավասարումների համակարգի արմատները: Իսկ այստեղ ձեզ կօգնի սովորական դպրոցական մաթեմատիկան։
Գլուխ I. Ուղղանկյուն եռանկյունների լուծում
§3 (37). Հիմնական գործակիցներ և առաջադրանքներ
Եռանկյունաչափության մեջ դիտարկվում են այնպիսի խնդիրներ, որոնցում պահանջվում է եռանկյան որոշ տարրեր հաշվարկել նրա տվյալ տարրերի թվային արժեքների բավարար քանակով: Այս առաջադրանքները սովորաբար կոչվում են լուծումեռանկյուն.
Թող ABC-ն լինի ուղղանկյուն եռանկյուն, C՝ ուղղանկյուն, աև բ- ոտքերը հակառակ սուր անկյունների A և B, Հետ- հիպոթենուզա (նկ. 3);
ապա մենք ունենք.
Սուր անկյան կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է.
cos A = բ/ գ, cos B = ա / գ (1)
Սուր անկյան սինուսը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է.
մեղք Ա = ա / գ, մեղք B = բ/ գ (2)
Սուր անկյան շոշափողը հակառակ ոտքի հարաբերակցությունն է հարևանին.
tan A = ա / բ, tg B = բ/ ա (3)
Սուր անկյան կոտանգենսը հարակից ոտքի և հակառակ ոտքի հարաբերակցությունն է.
ctgA= բ/ ա, ctg B = ա / բ (4)
Սուր անկյունների գումարը կազմում է 90°.
Ուղղանկյուն եռանկյունների հիմնական խնդիրները.
Առաջադրանք I. Հաշվի առնելով հիպոթենուսը և սուր անկյուններից մեկը՝ հաշվարկեք մյուս տարրերը:
Լուծում.Թող տրվի Հետև A. Անկյուն B = 90° - A-ն նույնպես հայտնի է; ոտքերը հայտնաբերվում են (1) և (2) բանաձևերից:
ա = գ sinA, b = cքանի որ Ա.
Առաջադրանք II . Հաշվի առնելով ոտքը և սուր անկյուններից մեկը, հաշվարկեք մյուս տարրերը:
Լուծում.Թող տրվի աև A. Անկյուն B = 90° - A-ն հայտնի է; (3) և (2) բանաձևերից մենք գտնում ենք.
բ = ա tg B (= ա ctg A), Հետ = ա/մեղ. Ա
Առաջադրանք III. Հաշվի առնելով ոտքը և հիպոթենուսը, հաշվարկեք մնացած տարրերը:
Լուծում.Թող տրվի աև Հետ(և ա< с ): Հավասարություններից (2) գտնում ենք A անկյունը.
մեղք Ա = ա / գեւ A = աղեղ մեղք ա / գ ,
և վերջապես ոտքը բ:
բ = Հետ cos A (= Հետմեղք Բ).
Առաջադրանք IV. a և b ոտքերը տրվում են այլ տարրեր գտնելու համար:
Լուծում.Հավասարություններից (3) մենք գտնում ենք սուր անկյուն, օրինակ Ա.
tg A = ա / բ, Ա = արկտան ա / բ ,
անկյուն B \u003d 90 ° - A,
հիպոթենուզա: գ = ա/ մեղք Ա (= բ/ sinB; = ա/cos B)
Ստորև բերված է լոգարիթմական աղյուսակների միջոցով ուղղանկյուն եռանկյունի լուծելու օրինակ*:
* Ուղղանկյուն եռանկյունների տարրերի հաշվարկն ըստ բնական աղյուսակների հայտնի է VIII դասի երկրաչափության դասընթացից։
Լոգարիթմական աղյուսակների միջոցով հաշվարկելիս պետք է գրել համապատասխան բանաձևերը, նախաբանել դրանք, փոխարինել թվային տվյալները, աղյուսակներից գտնել հայտնի տարրերի (կամ դրանց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները) պահանջվող լոգարիթմները, հաշվարկել ցանկալի տարրերի լոգարիթմները (կամ դրանց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները): ) և աղյուսակներից գտե՛ք անհրաժեշտ տարրերը:
Օրինակ.Դանա ոտքը ա= 166.1 և հիպոթենուզա Հետ= 187,3; հաշվարկել սուր անկյունները, մյուս ոտքը և տարածքը:
Լուծում.Մենք ունենք:
մեղք Ա = ա / գ; lg sin A = lg ա-lg գ; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30":
Մենք հաշվարկում ենք ոտքը բ:
բ = ա tg B; lg բ= մատյան բ+ lg tg B; 
Եռանկյան մակերեսը կարելի է հաշվարկել բանաձևով
S=1/2 աբ = 0,5 ա 2 tg B; 
Վերահսկելու համար մենք հաշվարկում ենք A անկյունը սլայդի կանոնի վրա.
A \u003d աղեղ մեղք ա / գ= աղեղ մեղք 166 / 187 ≈ 62°:
Նշում.ոտքը բկարելի է հաշվարկել Պյութագորասի թեորեմով՝ օգտագործելով քառակուսիների և քառակուսի արմատների աղյուսակները (Աղյուսակներ III և IV).
բ= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Անհամապատասխանություն նախկինում ձեռք բերված արժեքի հետ b= 86.48-ը բացատրվում է աղյուսակների սխալներով, որոնք տալիս են ֆունկցիաների մոտավոր արժեքները: Առավել ճշգրիտ է 86,54 արդյունքը։
Ինչպես տեսնում եք, այս շրջանակը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Շրջանակի շառավիղը հավասար է մեկի, մինչդեռ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է սկզբնամասում, շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը ամրագրված է առանցքի դրական ուղղության երկայնքով (մեր օրինակում սա շառավիղն է):
Շրջանակի յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է երկու թվի՝ առանցքի երկայնքով կոորդինատը և առանցքի երկայնքով կոորդինատը: Որո՞նք են այս կոորդինատային թվերը: Իսկ ընդհանրապես ի՞նչ կապ ունեն քննարկվող թեմայի հետ։ Դա անելու համար հիշեք դիտարկված ուղղանկյուն եռանկյունու մասին: Վերևի նկարում կարող եք տեսնել երկու ամբողջական ուղղանկյուն եռանկյունիներ: Դիտարկենք եռանկյուն: Այն ուղղանկյուն է, քանի որ այն ուղղահայաց է առանցքին:
Ինչի՞ է հավասար եռանկյունից: Ճիշտ է. Բացի այդ, մենք գիտենք, որ դա միավորի շրջանագծի շառավիղն է, և, հետևաբար, . Փոխարինեք այս արժեքը մեր կոսինուսի բանաձևով: Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.
Իսկ ինչի՞ն է հավասար եռանկյունից։ Դե, իհարկե,! Փոխարինեք շառավիղի արժեքը այս բանաձևով և ստացեք.
Այսպիսով, կարո՞ղ եք ինձ ասել, թե որոնք են շրջանագծին պատկանող կետի կոորդինատները: Դե, ոչ մի կերպ: Իսկ եթե դուք դա գիտակցում եք և պարզապես թվեր եք: Ո՞ր կոորդինատին է այն համապատասխանում: Դե, իհարկե, կոորդինատը: Ո՞ր կոորդինատին է այն համապատասխանում: Ճիշտ է, կոորդինացե՛ք։ Այսպիսով, կետը.
Իսկ ի՞նչն է այդ դեպքում հավասար և. Ճիշտ է, օգտագործենք շոշափողի և կոտանգենսի համապատասխան սահմանումները և ստանանք, որ ա.
Իսկ եթե անկյունն ավելի մեծ է: Ահա, օրինակ, ինչպես այս նկարում.
Ի՞նչ է փոխվել այս օրինակում: Եկեք պարզենք այն: Դա անելու համար մենք կրկին դիմում ենք ուղղանկյուն եռանկյունի: Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը՝ անկյուն (անկյունին կից): Որքա՞ն է անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքը: Ճիշտ է, մենք հավատարիմ ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համապատասխան սահմանումներին.
Դե, ինչպես տեսնում եք, անկյան սինուսի արժեքը դեռևս համապատասխանում է կոորդինատին. անկյան կոսինուսի արժեքը՝ կոորդինատը; և համապատասխան հարաբերակցություններին շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները: Այսպիսով, այս հարաբերությունները կիրառելի են շառավիղի վեկտորի ցանկացած պտույտի համար:
Արդեն նշվեց, որ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը առանցքի դրական ուղղության երկայնքով է։ Մինչ այժմ մենք պտտել ենք այս վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն պտտենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Ոչ մի արտառոց բան, դուք նույնպես որոշակի չափի անկյուն կստանաք, բայց միայն այն կլինի բացասական։ Այսպիսով, շառավիղի վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելիս ստանում ենք դրական անկյուններև ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվելիս՝ բացասական.
Այսպիսով, մենք գիտենք, որ շրջանագծի շուրջ շառավղային վեկտորի մի ամբողջ պտույտ է կամ. Հնարավո՞ր է շառավիղի վեկտորը պտտել ըստ կամ ըստ: Դե, իհարկե, կարող ես: Այսպիսով, առաջին դեպքում շառավիղի վեկտորը կկատարի մեկ ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի դիրքում կամ.
Երկրորդ դեպքում, այսինքն, շառավիղի վեկտորը կկատարի երեք ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի դիրքում կամ.
Այսպիսով, վերը նշված օրինակներից կարող ենք եզրակացնել, որ անկյունները, որոնք տարբերվում են կամ (որտեղ կա որևէ ամբողջ թիվ) համապատասխանում են շառավիղի վեկտորի նույն դիրքին։
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս անկյունը: Նույն պատկերը համապատասխանում է անկյունին և այլն։ Այս ցանկը կարելի է անվերջ շարունակել։ Այս բոլոր անկյունները կարելի է գրել ընդհանուր բանաձևով կամ (որտեղ կա որևէ ամբողջ թիվ)
Այժմ, իմանալով հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները և օգտագործելով միավորի շրջանակը, փորձեք պատասխանել, թե ինչ արժեքներ են հավասար.
Ահա միավորի շրջանակը, որը կօգնի ձեզ.
Դժվարություններ կա՞ն: Հետո եկեք պարզենք: Այսպիսով, մենք գիտենք, որ.
Այստեղից որոշում ենք անկյան որոշակի չափումների համապատասխան կետերի կոորդինատները։ Դե, եկեք սկսենք հերթականությամբ. ժամը անկյունը համապատասխանում է կոորդինատներով կետի, հետևաբար.
Գոյություն չունի;
Այնուհետև, հավատարիմ մնալով նույն տրամաբանությանը, պարզում ենք, որ անկյունները համապատասխանաբար համապատասխանում են կոորդինատներով կետերին։ Իմանալով դա՝ հեշտ է որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները համապատասխան կետերում: Փորձեք նախ ինքներդ, ապա ստուգեք պատասխանները:
Պատասխանները:
Գոյություն չունի
Գոյություն չունի
Գոյություն չունի
Գոյություն չունի
Այսպիսով, մենք կարող ենք կազմել հետևյալ աղյուսակը.
Այս բոլոր արժեքները հիշելու կարիք չկա։ Բավական է հիշել միավորի շրջանագծի կետերի կոորդինատների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների համապատասխանությունը.
Բայց ստորև բերված աղյուսակում տրված անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները, պետք է հիշել:
Մի վախեցեք, հիմա մենք ցույց կտանք օրինակներից մեկը համապատասխան արժեքների բավականին պարզ անգիր:
Այս մեթոդն օգտագործելու համար կարևոր է հիշել սինուսի արժեքները անկյան բոլոր երեք չափումների համար (), ինչպես նաև անկյան շոշափողի արժեքը: Իմանալով այս արժեքները, բավականին հեշտ է վերականգնել ամբողջ աղյուսակը. կոսինուսի արժեքները փոխանցվում են սլաքների համաձայն, այսինքն.
Իմանալով դա, դուք կարող եք վերականգնել արժեքները: « » համարիչը կհամընկնի, իսկ հայտարարը կհամապատասխանի: Կոտանգենտի արժեքները փոխանցվում են նկարում ներկայացված սլաքների համաձայն: Եթե դուք հասկանում եք սա և հիշում եք սլաքներով գծապատկերը, ապա բավական կլինի հիշել ամբողջ արժեքը աղյուսակից:
Շրջանակի վրա գտնվող կետի կոորդինատները
Հնարավո՞ր է շրջանի վրա գտնել կետ (դրա կոորդինատները), իմանալով շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները, նրա շառավիղը և պտտման անկյունը?
Դե, իհարկե, կարող ես: Եկեք դուրս բերենք կետի կոորդինատները գտնելու ընդհանուր բանաձև.
Ահա, օրինակ, մենք ունենք այսպիսի շրջանակ.
Մեզ տրվում է, որ կետը շրջանագծի կենտրոնն է։ Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել կետի կոորդինատները, որոնք ստացվում են կետը աստիճաններով պտտելով։
Ինչպես երևում է նկարից, կետի կոորդինատը համապատասխանում է հատվածի երկարությանը։ Հատվածի երկարությունը համապատասխանում է շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատին, այսինքն՝ այն հավասար է. Հատվածի երկարությունը կարելի է արտահայտել՝ օգտագործելով կոսինուսի սահմանումը.
Այնուհետև մենք ունենք այն կետի կոորդինատը:
Նույն տրամաբանությամբ մենք գտնում ենք կետի համար y կոորդինատի արժեքը։ Այս կերպ,
Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, կետերի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.
Շրջանակի կենտրոնի կոորդինատները,
շրջանագծի շառավիղը,
Շառավիղի վեկտորի պտտման անկյուն:
Ինչպես տեսնում եք, միավորի շրջանակի համար, որը մենք դիտարկում ենք, այս բանաձևերը զգալիորեն կրճատվել են, քանի որ կենտրոնի կոորդինատները զրո են, իսկ շառավիղը հավասար է մեկի.
Դե, եկեք փորձենք այս բանաձեւերը համտեսելու համար՝ պարապելով շրջանագծի վրա միավորներ գտնելու՞ն:
1. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվում է կետը միացնելով:
2. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվում է կետը պտտելով:
3. Գտե՛ք կետի կոորդինատները միավոր շրջանագծի վրա, որը ստացվել է կետը միացնելով:
4. Կետ - շրջանագծի կենտրոն: Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել սկզբնական շառավիղի վեկտորը պտտելով ստացված կետի կոորդինատները:
5. Կետ - շրջանագծի կենտրոն: Շրջանակի շառավիղը հավասար է։ Անհրաժեշտ է գտնել սկզբնական շառավիղի վեկտորը պտտելով ստացված կետի կոորդինատները:
Ունե՞ք դժվարություն շրջանագծի վրա գտնվող կետի կոորդինատները գտնելու հարցում:
Լուծեք այս հինգ օրինակները (կամ լավ հասկացեք լուծումը) և կսովորեք, թե ինչպես գտնել դրանք:
1.
Երևում է, որ. Եվ մենք գիտենք, թե ինչ է համապատասխանում ելակետի ամբողջական շրջադարձին։ Այսպիսով, ցանկալի կետը կլինի նույն դիրքում, ինչ շրջվելիս: Իմանալով դա՝ մենք գտնում ենք կետի ցանկալի կոորդինատները.
2. Շրջանակը միավոր է կենտրոնով մի կետում, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք օգտագործել պարզեցված բանաձևեր.
Երևում է, որ. Մենք գիտենք, թե ինչն է համապատասխանում ելակետի երկու ամբողջական պտույտին։ Այսպիսով, ցանկալի կետը կլինի նույն դիրքում, ինչ շրջվելիս: Իմանալով դա՝ մենք գտնում ենք կետի ցանկալի կոորդինատները.
Սինուսը և կոսինուսը աղյուսակային արժեքներ են: Մենք հիշում ենք դրանց արժեքները և ստանում.
Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:
3. Շրջանակը միավոր է կենտրոնով մի կետում, ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք օգտագործել պարզեցված բանաձևեր.
Երևում է, որ. Դիտարկված օրինակը պատկերենք նկարում.
Շառավիղը կազմում է անկյուններ, որոնց առանցքը հավասար է և. Իմանալով, որ կոսինուսի և սինուսի աղյուսակային արժեքները հավասար են, և որոշելով, որ այստեղ կոսինուսը բացասական արժեք է ընդունում, իսկ սինուսը դրական է, մենք ունենք.
Նմանատիպ օրինակներն ավելի մանրամասն վերլուծվում են թեմայում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կրճատման բանաձեւերն ուսումնասիրելիս։
Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:
4.
Շառավիղի վեկտորի պտտման անկյուն (ըստ պայմանի)
Սինուսի և կոսինուսի համապատասխան նշանները որոշելու համար մենք կառուցում ենք միավոր շրջան և անկյուն.
Ինչպես տեսնում եք, արժեքը, այսինքն՝ դրական է, իսկ արժեքը, այսինքն՝ բացասական։ Իմանալով համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակային արժեքները՝ մենք ստանում ենք, որ.
Եկեք ստացված արժեքները փոխարինենք մեր բանաձևով և գտնենք կոորդինատները.
Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:
5. Այս խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք ընդհանուր ձևով բանաձևեր, որտեղ
Շրջանակի կենտրոնի կոորդինատները (մեր օրինակում.
Շրջանակի շառավիղը (ըստ պայմանի)
Շառավիղի վեկտորի պտտման անկյուն (ըստ պայմանի).
Փոխարինեք բոլոր արժեքները բանաձևի մեջ և ստացեք.
և - աղյուսակի արժեքները: Մենք հիշում և փոխարինում ենք դրանք բանաձևով.
Այսպիսով, ցանկալի կետն ունի կոորդինատներ:
ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ
Անկյունի սինուսը հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:
Անկյունի կոսինուսը հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:
Անկյան շոշափողը հակառակ (հեռավոր) ոտքի հարաբերակցությունն է հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունը:
Անկյունի կոտանգենսը հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ (հեռու):
