Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou prodloužením stran druhého.
Obrázek ukazuje rohy 1 a 3 , stejně jako úhly 2 a 4 - vertikální. Injekce 2 sousedí s oběma úhly 1 a s úhlem 3. Podle vlastnosti sousedních úhlů 1 +2 = 180 0 a 3 +2 =1800. Odtud dostáváme: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Tedy míry míry úhlů 1 a 3 jsou si rovni. Z toho vyplývá, že samotné úhly jsou stejné. Vertikální úhly jsou tedy stejné.
2. Značky rovnosti trojúhelníků.
Jestliže se dvě strany a úhel mezi nimi jednoho trojúhelníku rovnají dvěma stranám a úhlu mezi nimi jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
Pokud se strana a dva sousední úhly jednoho trojúhelníku rovnají jedné straně a dvěma sousedním úhlům jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
3. Pokud se tři strany jednoho trojúhelníku rovnají třem stranám jiného trojúhelníku, pak jsou tyto trojúhelníky stejné.
1 znak rovnosti trojúhelníků:
Zvažte trojúhelníky ABC a A 1 B 1 C 1, ve kterých jsou AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, úhly A a A 1 stejné. Dokažme, že ABC=A 1 B 1 C 1 .
Protože (y) A \u003d (y) A 1, pak lze trojúhelník ABC položit na trojúhelník A 1 B 1 C 1 tak, že vrchol A je zarovnán s vrcholem A1 a strany AB a AC jsou superponovány, respektive na paprscích A1B1 a A1C1. Protože AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, pak strana AB bude kombinována se stranou A 1 B 1 a strana AC - se stranou A 1 C 1; zejména body B a B1, C a C1 se budou shodovat. Proto budou strany BC a B 1 C 1 zarovnány. Trojúhelníky ABC a A 1 B 1 C 1 jsou tedy zcela kompatibilní, což znamená, že jsou si rovny. CTD
3. Věta o ose rovnoramenného trojúhelníku.
V rovnoramenném trojúhelníku je osa vedená k základně středem a výškou.
Vraťme se k obrázku, ve kterém ABC je rovnoramenný trojúhelník se základnou BC, AD je jeho osa.
Z rovnosti trojúhelníků ABD a ACD (podle 2. kritéria pro rovnost trojúhelníků: AD je společný; úhly 1 a 2 jsou si rovny, protože osa AD; AB=AC, protože trojúhelník je rovnoramenný) vyplývá, že BD = DC a 3 = 4. Rovnost BD = DC znamená, že bod D je středem strany BC a tedy AD je středem trojúhelníku ABC. Protože úhly 3 a 4 sousedí a jsou si navzájem rovné, jsou to pravé úhly. Úsečka AO je tedy také výškou trojúhelníku ABC. CHTD.
4. Pokud jsou čáry rovnoběžné -> úhel…. (volitelný)
5. Pokud jsou úhly ... ..-> čáry rovnoběžné (volitelné)
Pokud jsou v průsečíku dvou přímek sečny odpovídající úhly stejné, pak jsou přímky rovnoběžné.
Nechť jsou v průsečíku přímek a a b sečny s příslušnými úhly stejné, například 1=2.
Protože úhly 2 a 3 jsou svislé, pak 2=3. Z těchto dvou rovností vyplývá, že 1=3. Ale úhly 1 a 3 jsou příčné, takže přímky a a b jsou rovnoběžné. CHTD.
6. Věta o součtu úhlů trojúhelníku.
Součet úhlů trojúhelníku je 1800.
Uvažujme libovolný trojúhelník ABC a dokažte, že A+B+C=180 0 .
Vedeme přímku a vrcholem B rovnoběžnou se stranou AC. Úhly 1 a 4 jsou příčně ležící úhly v průsečíku rovnoběžek a a AC sečnou AB a úhly 3 a 5 jsou příčně ležící úhly v průsečíku stejných rovnoběžek sečnou BC. Proto (1)4=1; 5=3.
Je zřejmé, že součet úhlů 4, 2 a 5 je roven přímému úhlu s vrcholem B, tzn. 4+2+5=1800. Vezmeme-li tedy v úvahu rovnosti (1), dostaneme: 1+2+3=180 0 nebo A+B+C=180 0 .
7. Znaménko rovnosti pravoúhlých trojúhelníků.
1. První známka paralelismu.
Pokud jsou v průsečíku dvou přímek s třetí vnitřní úhly ležící napříč stejné, pak jsou tyto přímky rovnoběžné.
Nechť přímky AB a CD protne přímka EF a ∠1 = ∠2. Vezměme si bod O - střed segmentu KL sečny EF (obr.).
Spustíme kolmici OM z bodu O na přímku AB a pokračujeme v ní, dokud se neprotne s úsečkou CD, AB ⊥ MN. Dokažme, že i CD ⊥ MN.
Chcete-li to provést, zvažte dva trojúhelníky: MOE a NOK. Tyto trojúhelníky jsou si navzájem rovny. Skutečně: ∠1 = ∠2 podle hypotézy věty; OK = OL - podle konstrukce;
∠MOL = ∠NOK jako vertikální úhly. Strana a dva k ní přilehlé úhly jednoho trojúhelníku jsou tedy rovny straně a dvěma úhlům přilehlým k ní jiného trojúhelníku; proto ΔMOL = ΔNOK, a tedy ∠LMO = ∠KNO,
ale ∠LMO je přímé, tedy ∠KNO je také přímé. Přímky AB a CD jsou tedy kolmé na stejnou přímku MN, jsou tedy rovnoběžné, což bylo třeba dokázat.
Poznámka. Průsečík přímek MO a CD lze stanovit otočením trojúhelníku MOL kolem bodu O o 180°.
2. Druhý znak rovnoběžnosti.
Podívejme se, zda jsou úsečky AB a CD rovnoběžné, pokud jsou v průsečíku jejich třetí úsečky EF stejné úhly.
Nechť jsou některé odpovídající úhly stejné, například ∠ 3 = ∠2 (obr.);
∠3 = ∠1 jako vertikální úhly; takže ∠2 se bude rovnat ∠1. Ale úhly 2 a 1 jsou vnitřní příčné úhly a už víme, že pokud jsou v průsečíku dvou přímek třetinou vnitřní příčně ležící úhly stejné, pak jsou tyto přímky rovnoběžné. Proto AB || CD.
Pokud jsou v průsečíku dvou přímek třetí odpovídající úhly stejné, pak jsou tyto dvě přímky rovnoběžné.
Z této vlastnosti vychází konstrukce rovnoběžných čar pomocí pravítka a rýsovacího trojúhelníku. To se provádí následovně.
Připevněme k pravítku trojúhelník, jak je znázorněno na obr. Posuneme trojúhelník tak, aby jedna jeho strana klouzala po pravítku, a nakreslíme několik rovných čar podél jakékoli druhé strany trojúhelníku. Tyto čáry budou rovnoběžné.
3. Třetí znak rovnoběžnosti.
Řekněme, že na průsečíku dvou přímek AB a CD třetí přímkou je součet případných vnitřních jednostranných úhlů roven 2 d(nebo 180°). Budou přímky AB a CD v tomto případě rovnoběžné (obr.).
Nechť ∠1 a ∠2 jsou jednostranné vnitřní úhly a sečteme 2 d.
Ale ∠3 + ∠2 = 2 d jako sousední úhly. Proto ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Proto ∠1 = ∠3 a tyto vnitřní úhly jsou příčné. Proto AB || CD.
Je-li v průsečíku dvou přímek třetí, je součet vnitřních jednostranných úhlů roven 2 d (nebo 180°), pak jsou dvě čáry rovnoběžné.
Známky rovnoběžných čar:
1. Jsou-li v průsečíku dvou přímek třetí úhly vnitřního kříže stejné, pak jsou tyto přímky rovnoběžné.2. Pokud jsou v průsečíku dvou přímek třetí odpovídající úhly stejné, pak jsou tyto dvě přímky rovnoběžné.
3. Pokud je v průsečíku dvou přímek třetí součet vnitřních jednostranných úhlů 180°, pak jsou tyto dvě přímky rovnoběžné.
4. Jsou-li dvě přímky rovnoběžné se třetí přímkou, pak jsou navzájem rovnoběžné.
5. Jsou-li dvě přímky kolmé ke třetí přímce, pak jsou vzájemně rovnoběžné.
Euklidův axiom rovnoběžnosti
Úkol. Bodem M mimo přímku AB nakreslete přímku rovnoběžnou s přímkou AB.
Pomocí osvědčených vět o znacích rovnoběžnosti přímek lze tento problém vyřešit různými způsoby,
Rozhodnutí. 1. s o s o b (obr. 199).
Nakreslíme MN⊥AB a bodem M nakreslíme CD⊥MN;
získáme CD⊥MN a AB⊥MN.
Na základě věty („Pokud jsou dvě přímky kolmé na stejnou přímku, pak jsou rovnoběžné.“) docházíme k závěru, že СD || AB.
2. s p o s o b (obr. 200).
Narýsujeme MK protínající AB pod libovolným úhlem α a bodem M vedeme přímku EF, která svírá s přímkou MK úhel EMK, rovný úhlu α. Na základě věty () docházíme k závěru, že EF || AB.
Po vyřešení tohoto problému můžeme považovat za prokázané, že kterýmkoli bodem M, vedeným mimo přímku AB, lze nakreslit přímku s ním rovnoběžnou. Nabízí se otázka, kolik přímek rovnoběžných s danou přímkou a procházejících daným bodem může existovat?
Praxe konstrukcí nám umožňuje předpokládat, že existuje pouze jedna taková čára, protože při pečlivě provedené kresbě se čáry nakreslené různými způsoby stejným bodem rovnoběžným s toutéž čárou splývají.
Teoreticky dává odpověď na tuto otázku tzv. axiom Euklidova paralelismu; je to formulováno takto:
Prostřednictvím bodu vně dané přímky lze nakreslit pouze jednu přímku rovnoběžnou s touto přímkou.
Na výkresu 201 je bodem O vedena přímka SK rovnoběžná s přímkou AB.
Jakákoli další přímka procházející bodem O již nebude rovnoběžná s přímkou AB, ale bude ji protínat.
Axiom přijatý Eukleidem ve svých Prvcích, který říká, že v rovině procházející bodem vně dané přímky lze nakreslit pouze jednu přímku rovnoběžnou s touto přímkou, se nazývá Euklidův axiom rovnoběžnosti.
Více než dva tisíce let po Euklidovi se mnoho matematiků snažilo dokázat tento matematický předpoklad, ale jejich pokusy byly vždy neúspěšné. Teprve v roce 1826 velký ruský vědec, profesor Kazaňské univerzity Nikolaj Ivanovič Lobačevskij dokázal, že pomocí všech ostatních Euklidových axiomů nelze tento matematický výrok dokázat, že by měl být skutečně brán jako axiom. N. I. Lobačevskij vytvořil novou geometrii, která se na rozdíl od geometrie Euklidova nazývala geometrií Lobačevského.
AB a SD překročena třetí čárou MN, pak úhly vytvořené v tomto případě obdrží následující názvy ve dvojicích:odpovídající úhly: 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7;
vnitřní příčně ležící rohy: 3 a 5, 4 a 6;
vnější příčně ležící rohy: 1 a 7, 2 a 8;
vnitřní jednostranné rohy: 3 a 6, 4 a 5;
vnější jednostranné rohy: 1 a 8, 2 a 7.
Takže ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 8 = ∠ 6, ale podle dokázaného ∠ 4 = ∠ 6.
Proto ∠ 2 = ∠ 8.
3. Příslušné úhly 2 a 6 jsou stejné, protože ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 4 = ∠ 6. Také se ujistíme, že ostatní odpovídající úhly jsou stejné.
4. Součet vnitřní jednostranné rohy 3 a 6 bude 2d, protože součet sousední rohy 3 a 4 se rovná 2d = 180 0 a ∠ 4 lze nahradit stejným ∠ 6. Ujistěte se také, že součet úhlů 4 a 5 se rovná 2d.
5. Součet vnější jednostranné rohy bude 2d, protože tyto úhly jsou stejné vnitřní jednostranné rohy jako rohy vertikální.
Z výše dokázaného odůvodnění dostáváme inverzní věty.
Když na průsečíku dvou přímek libovolné třetí přímky dostaneme, že:
1. Vnitřní příčné úhly ležící jsou stejné;
nebo 2. Vnější úhly příčného ležení jsou stejné;
nebo 3. Odpovídající úhly jsou stejné;
nebo 4. Součet vnitřních jednostranných úhlů je roven 2d = 180 0 ;
nebo 5. Součet vnější jednostranné je 2d = 180 0 ,
pak jsou první dvě čáry rovnoběžné.
Znaky rovnoběžnosti dvou přímek
Věta 1. Je-li na průsečíku dvou přímek sečny:
diagonálně ležící úhly jsou stejné, popř
odpovídající úhly jsou stejné, popř
součet jednostranných úhlů je tedy 180°
čáry jsou rovnoběžné(Obr. 1).
Důkaz. Omezujeme se na důkaz případu 1.
Předpokládejme, že v průsečíku přímek a a b sečnou AB přes ležící úhly jsou stejné. Například ∠ 4 = ∠ 6. Dokažme, že || b.
Předpokládejme, že přímky aab nejsou rovnoběžné. Pak se protnou v nějakém bodě M a následně jeden z úhlů 4 nebo 6 bude vnějším úhlem trojúhelníku ABM. Nechť, pro jednoznačnost, ∠ 4 je vnější roh trojúhelníku ABM a ∠ 6 je vnitřní roh. Z věty o vnějším úhlu trojúhelníku vyplývá, že ∠ 4 je větší než ∠ 6, což je v rozporu s podmínkou, že přímky a a 6 se nemohou protínat, jsou tedy rovnoběžné.
Důsledek 1. Dvě odlišné čáry v rovině kolmé ke stejné přímce jsou rovnoběžné(obr. 2).
Komentář. Způsob, jakým jsme právě dokázali případ 1 věty 1, se nazývá metoda důkazu kontradikcí nebo redukce do absurdity. Tato metoda dostala své křestní jméno, protože na začátku úvahy je vysloven předpoklad, který je opačný (opačný) k tomu, co se požaduje dokázat. Nazývá se redukcí k absurditě kvůli tomu, že argumentací na základě vysloveného předpokladu dojdeme k absurdnímu závěru (absurditě). Přijetí takového závěru nás nutí odmítnout předpoklad vyslovený na začátku a přijmout ten, který bylo požadováno dokázat.
Úkol 1. Sestrojte přímku procházející daným bodem M a rovnoběžnou s danou přímkou a, neprocházející bodem M.
Rozhodnutí. Bodem M kolmo k přímce a vedeme přímku p (obr. 3).
Potom bodem M kolmým k přímce p vedeme přímku b. Přímka b je rovnoběžná s přímkou a podle důsledků věty 1.
Z uvažovaného problému vyplývá důležitý závěr:
Prostřednictvím bodu, který není na dané přímce, lze vždy nakreslit přímku rovnoběžnou s danou přímkou..
Hlavní vlastnost rovnoběžných čar je následující.
Axiom rovnoběžných čar. Přes daný bod, který není na dané přímce, vede pouze jedna přímka rovnoběžná s danou přímkou.
Zvažte některé vlastnosti rovnoběžných čar, které z tohoto axiomu vyplývají.
1) Pokud přímka protíná jednu ze dvou rovnoběžných přímek, pak protíná druhou (obr. 4).
2) Jsou-li dvě různé přímky rovnoběžné se třetí přímkou, pak jsou rovnoběžné (obr. 5).
Následující věta je také pravdivá.
Věta 2. Jestliže dvě rovnoběžné přímky protíná sečna, pak:
úhly ležení jsou stejné;
odpovídající úhly jsou stejné;
součet jednostranných úhlů je 180°.
Důsledek 2. Pokud je úsečka kolmá k jedné ze dvou rovnoběžných úseček, je také kolmá k druhé.(viz obr.2).
Komentář. Věta 2 se nazývá inverzní věty 1. Závěr věty 1 je podmínkou věty 2. A podmínka věty 1 je závěr věty 2. Ne každá věta má inverzní, tj. pokud je daná věta pravdivá, pak může být inverzní věta nepravdivá.
Vysvětleme si to na příkladu věty o svislých úhlech. Tato věta může být formulována následovně: jsou-li dva úhly svislé, pak jsou stejné. Inverzní věta by byla tato: pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou vertikální. A to samozřejmě není pravda. Dva stejné úhly nemusí být vůbec svislé.
Příklad 1 Dvě rovnoběžné čáry jsou překříženy třetí. Je známo, že rozdíl mezi dvěma vnitřními jednostrannými úhly je 30°. Najděte ty úhly.
Rozhodnutí. Nechte obrázek 6 splnit podmínku.
