Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия.
Фигурата показва ъглите 1 и 3 , както и ъгли 2 и 4 - вертикално. Ъгъл 2 е съседен на двата ъгъла 1 , и с ъгъла 3. Според свойството на съседни ъгли 1 +2 =180 0 и 3 +2 =1800. От тук получаваме: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. По този начин, градусните мерки на ъглите 1 и 3 са равни. От това следва, че самите ъгли са равни. Така че вертикалните ъгли са равни.
2. Признаци за равенство на триъгълници.
Ако двете страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
Ако една страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
3. Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, то такива триъгълници са равни.
1 знак за равенство на триъгълници:
Помислете за триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, в които AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, ъглите A и A 1 са равни. Нека докажем, че ABC=A 1 B 1 C 1 .
Тъй като (y) A = (y) A 1, тогава триъгълникът ABC може да бъде насложен върху триъгълника A 1 B 1 C 1, така че върхът A да е подравнен с върха A1, а страните AB и AC са насложени, съответно на лъчите A 1 B 1 и A 1 C 1 . Тъй като AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, тогава страната AB ще бъде комбинирана със страна A 1 B 1, а страна AC - със страна A 1 C 1; по-специално точки B и B 1 , C и C 1 ще съвпадат. Следователно страните BC и B 1 C 1 ще бъдат подравнени. И така, триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са напълно съвместими, което означава, че са равни. CTD
3. Теорема за ъглополовящата на равнобедрен триъгълник.
В равнобедрен триъгълник ъглополовящата, изтеглена към основата, е медиана и височина.
Нека се обърнем към фигурата, на която ABC е равнобедрен триъгълник с основа BC, AD е неговата ъглополовяща.
От равенството на триъгълниците ABD и ACD (според 2-ри критерий за равенство на триъгълниците: AD е общ; ъгли 1 и 2 са равни, тъй като AD-полонаполняваща; AB=AC, тъй като триъгълникът е равнобедрен) следва, че BD = DC и 3 = 4. Равенството BD = DC означава, че точката D е средата на страната BC и следователно AD е медиана на триъгълника ABC. Тъй като ъглите 3 и 4 са съседни и равни един на друг, те са прави ъгли. Следователно отсечката AO е и височината на триъгълник ABC. CHTD.
4. Ако линиите са успоредни -> ъгъл.... (по избор)
5. Ако ъгълът ... ..-> линиите са успоредни (по избор)
Ако в пресечната точка на две прави от секуща съответните ъгли са равни, тогава правите са успоредни.
Нека в пресечната точка на правите a и b на секасата със съответните ъгли да са равни, например 1=2.
Тъй като ъглите 2 и 3 са вертикални, тогава 2=3. От тези две равенства следва, че 1=3. Но ъгли 1 и 3 са напречни, така че линиите a и b са успоредни. CHTD.
6. Теорема за сбора от ъглите на триъгълник.
Сборът от ъглите на триъгълника е 180 0.
Разгледайте произволен триъгълник ABC и докажете, че A+B+C=180 0 .
Нека начертаем права линия a през върха B, успоредна на страната AC. Ъгли 1 и 4 са напречно лежащи ъгли при пресичането на успоредни прави a и AC от секущата AB, а ъгли 3 и 5 са напречно лежащи ъгли при пресичането на същите успоредни прави от секущата BC. Следователно (1)4=1; 5=3.
Очевидно сумата от ъгли 4, 2 и 5 е равна на правия ъгъл с връх B, т.е. 4+2+5=1800 . Следователно, като вземем предвид равенства (1), получаваме: 1+2+3=180 0 или A+B+C=180 0 .
7. Знак за равенство на правоъгълни триъгълници.
1. Първият признак на паралелизъм.
Ако при пресичането на две прави с трета вътрешните ъгли, разположени напречно, са равни, тогава тези прави са успоредни.
Нека правите AB и CD се пресичат с права EF и ∠1 = ∠2. Да вземем точката O - средата на отсечката KL на секущата EF (фиг.).
Нека пуснем перпендикуляра OM от точка O на правата AB и да продължим, докато се пресече с правата CD, AB ⊥ MN. Нека докажем и CD ⊥ MN.
За да направите това, разгледайте два триъгълника: MOE и NOK. Тези триъгълници са равни един на друг. Наистина: ∠1 = ∠2 според хипотезата на теоремата; ОК = OL - по конструкция;
∠MOL = ∠NOK като вертикални ъгли. По този начин страната и двата ъгъла, съседни на нея на един триъгълник, са съответно равни на страната и два ъгъла, съседни на нея на друг триъгълник; следователно ΔMOL = ΔNOK и следователно ∠LMO = ∠KNO,
но ∠LMO е директен, следователно ∠KNO също е пряк. По този начин правите AB и CD са перпендикулярни на една и съща права MN, следователно те са успоредни, което трябваше да се докаже.
Забележка. Пресечната точка на правите MO и CD може да се установи чрез завъртане на триъгълника MOL около точка O на 180°.
2. Вторият признак на паралелизъм.
Нека видим дали правите AB и CD са успоредни, ако в пресечната точка на третата им права EF съответните ъгли са равни.
Нека някои съответни ъгли са равни, например ∠ 3 = ∠2 (фиг.);
∠3 = ∠1 като вертикални ъгли; така че ∠2 ще бъде равно на ∠1. Но ъгли 2 и 1 са вътрешни напречни ъгли и вече знаем, че ако при пресичането на две прави с една трета вътрешните напречно разположени ъгли са равни, тогава тези прави са успоредни. Следователно, AB || CD.
Ако в пресечната точка на две прави от третата съответните ъгли са равни, тогава тези две прави са успоредни.
Построяването на успоредни линии с помощта на линийка и чертожен триъгълник се основава на това свойство. Това се прави по следния начин.
Нека прикрепим триъгълник към линийката, както е показано на фиг. Ще преместим триъгълника, така че едната му страна да се плъзга по линийката и ще начертаем няколко прави линии по всяка друга страна на триъгълника. Тези линии ще бъдат успоредни.
3. Третият признак на паралелизъм.
Нека знаем, че при пресичането на две прави AB и CD с третата права, сумата от всички вътрешни едностранни ъгли е равна на 2 д(или 180°). Дали в този случай правите AB и CD ще бъдат успоредни (фиг.).
Нека ∠1 и ∠2 са едностранни вътрешни ъгли и сумата е 2 д.
Но ∠3 + ∠2 = 2 дкато съседни ъгли. Следователно ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Следователно ∠1 = ∠3 и тези вътрешни ъгли са напречни. Следователно, AB || CD.
Ако в пресечната точка на две прави с една трета, сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2 d (или 180°), тогава двете прави са успоредни.
Признаци на успоредни линии:
1. Ако при пресичането на две прави с една трета вътрешните напречни ъгли са равни, тогава тези линии са успоредни.2. Ако в пресечната точка на две прави от третата, съответните ъгли са равни, то тези две прави са успоредни.
3. Ако в пресечната точка на две прави от третата сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °, тогава тези две прави са успоредни.
4. Ако две прави са успоредни на третата права, тогава те са успоредни една на друга.
5. Ако две прави са перпендикулярни на третата права, тогава те са успоредни една на друга.
Аксиома на Евклид за паралелизъм
Задача. През точка M, взета извън правата AB, начертайте права, успоредна на правата AB.
Използвайки доказаните теореми за признаците на успоредност на правите, този проблем може да бъде решен по различни начини,
Решение. 1-ви s o s o b (фиг. 199).
Начертаваме MN⊥AB и през точката M прокарваме CD⊥MN;
получаваме CD⊥MN и AB⊥MN.
Въз основа на теоремата („Ако две прави са перпендикулярни на една и съща права, значи са успоредни.“) заключаваме, че СD || АБ.
2-ри s p o s o b (фиг. 200).
Начертаваме MK, пресичаща AB под произволен ъгъл α, и през точката M провеждаме права линия EF, образуваща ъгъл EMK с права линия MK, равна на ъгъла α. Въз основа на теоремата () заключаваме, че EF || АБ.
След като решихме тази задача, можем да считаме за доказано, че през всяка точка M, извадена извън правата AB, е възможно да се проведе права, успоредна на нея. Възниква въпросът колко прави, успоредни на дадена права и минаващи през дадена точка, могат да съществуват?
Практиката на конструиране ни позволява да приемем, че има само една такава линия, тъй като при внимателно изпълнен чертеж линиите, начертани по различни начини през една и съща точка, успоредна на същата линия, се сливат.
На теория отговорът на този въпрос дава така наречената аксиома на паралелизма на Евклид; то е формулирано така:
През точка, взета извън дадена права, може да бъде проведена само една права, успоредна на тази права.
На чертежа 201, права линия SK е начертана през точка О, успоредна на правата АВ.
Всяка друга права, минаваща през точка O, вече няма да бъде успоредна на правата AB, а ще я пресича.
Аксиомата, възприета от Евклид в неговите Елементи, която гласи, че на равнина през точка извън дадена права, само една права може да бъде начертана успоредна на тази права, се нарича Аксиома на Евклид за паралелизъм.
Повече от две хиляди години след Евклид много математици се опитват да докажат това математическо твърдение, но опитите им винаги са били неуспешни. Едва през 1826 г. великият руски учен, професор от Казанския университет Николай Иванович Лобачевски доказва, че използвайки всички други аксиоми на Евклид, това математическо твърдение не може да бъде доказано, че наистина трябва да се приема като аксиома. Н. И. Лобачевски създава нова геометрия, която, за разлика от геометрията на Евклид, се нарича геометрия на Лобачевски.
АБи ОТдпресечена от третата линия MN, тогава образуваните в този случай ъгли получават следните имена по двойки:съответни ъгли: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
вътрешни кръстосани ъгли: 3 и 5, 4 и 6;
външни кръстосани ъгли: 1 и 7, 2 и 8;
вътрешни едностранни ъгли: 3 и 6, 4 и 5;
външни едностранни ъгли: 1 и 8, 2 и 7.
И така, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но според доказаното ∠ 4 = ∠ 6.
Следователно ∠ 2 = ∠ 8.
3. Съответни ъгли 2 и 6 са еднакви, тъй като ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 4 = ∠ 6. Уверяваме се също, че другите съответни ъгли са равни.
4. Сума вътрешни едностранни ъгли 3 и 6 ще бъдат 2d, тъй като сборът съседни ъгли 3 и 4 е равно на 2d = 180 0 и ∠ 4 може да бъде заменено с идентичното ∠ 6. Също така се уверете, че сума от ъгли 4 и 5 е равно на 2d.
5. Сума външни едностранни ъглище бъде 2d, защото тези ъгли са съответно равни вътрешни едностранни ъгликато ъгли вертикална.
От доказаната по-горе обосновка получаваме обратни теореми.
Когато в пресечната точка на две линии от произволен трети ред, получаваме, че:
1. Вътрешните напречни ъгли са еднакви;
или 2.Външните напречно разположени ъгли са еднакви;
или 3.Съответните ъгли са еднакви;
или 4.Сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2d = 180 0 ;
или 5.Сумата от външната едностранна е 2d = 180 0 ,
тогава първите две линии са успоредни.
Признаци на успоредност на две прави
Теорема 1. Ако в пресечната точка на две прави от секуща:
диагонално разположените ъгли са равни, или
съответните ъгли са равни, или
тогава сумата от едностранните ъгли е 180°
линиите са успоредни(Фиг. 1).
Доказателство. Ние се ограничаваме до доказателството на случай 1.
Да предположим, че в пресечната точка на прави a и b със секуща AB през лежащите ъгли са равни. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || б.
Да приемем, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълника ABM. Нека за определеност ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 е вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълника следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6 и това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.
Следствие 1. Две различни прави в равнина, които са перпендикулярни на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).
Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказване чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на разсъжденията се прави предположение, което е противоположно (противоположно) на това, което се изисква да се докаже. Нарича се свеждане до абсурд поради факта, че аргументирайки въз основа на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (абсурд). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим направеното в началото предположение и да приемем това, което се изискваше да бъде доказано.
Задача 1.Построете права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.
Решение. Провеждаме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).
След това прокарваме права b през точката M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a според следствието от теорема 1.
От разглеждания проблем следва важен извод:
През точка, която не е на дадена права, винаги може да се начертае права, успоредна на дадената права..
Основното свойство на успоредните прави е както следва.
Аксиома на успоредните прави. През дадена точка, която не е на дадена права, има само една права, успоредна на дадената права.
Помислете за някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.
1) Ако правата пресича едната от двете успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).
2) Ако две различни прави са успоредни на третата права, значи те са успоредни (фиг. 5).
Следната теорема също е вярна.
Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от секуща, тогава:
ъглите на лежане са равни;
съответните ъгли са равни;
сумата от едностранните ъгли е 180°.
Последствие 2. Ако една права е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.(виж Фиг.2).
Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключение на теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярна, тогава обратната теорема може да е невярна.
Нека обясним това с примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да бъде формулирана по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни. Обратната теорема би била следната: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. Два равни ъгъла изобщо не трябва да са вертикални.
Пример 1Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.
Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.
