Методы решения логических задач
Трошева Наталья, 7 класс
1 . Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог. Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Без логики – это слепая работа.
В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т.п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место в математике занимают задачи, решение которых развивает логическое мышление, что способствует успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.
2. Моя учебно- исследовательская работа носит теоретический характер.
Целью работы является знакомство с разными видами логических задач, алгоритмом и методами их решения.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
1.изученить литературу с целью ознакомления с разными видами логических задач и методами их решения,
2. применить данные методы к решению разного вида логических задач, 3.подобрать логические задачи, решаемые определенным методом.
Объект исследования – логические задачи в программе по математике в образовательной школе.
Предмет исследования – разнообразие методов решения логических задач.
Методы исследования:
анализ и синтез, сравнение.
3. Решение многих логических задач связано с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым числом элементов, между которыми требуется установить соответствие. При решении таких задач удобно использовать алгоритм решения
При решении логических задач мы используем следующий алгоритм:
1)Определение содержания текста (выбор объектов или субъектов).
2)Составление полной информации о происшедшем событии.
3)Формирование задачи с помощью исключения части информации или её искажения.
4)Произвольное формулирование задачи. В случае необходимости (недостаток информации, искажение и т.д.) вводится дополнительное логическое условие.
5)Проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено, верно. Если нет, то необходимо обратиться к дополнительному п.6.
6)В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся информация противоречиво искажена. Изменяем или дополняем условие задачи, после чего необходимо обратиться к п.5.
4. Для развития памяти, обобщения полученных знаний интересны логические тесты. Для решения математических тестов кроме знаний из школьной математики необходимо умение наблюдать, сравнивать, обобщать, проводить аналогии, делать выводы и обосновывать их. В основном, тесты представляют собой задания творческого характера, способствующие развитию логического мышления.
Логические тесты подразделяются на три основные группы:
словесные
символико-графические
комбинированные
Мир символико-графических логических тестов очень разнообразен и богат. Задания представляют собой эффективный способ взаимосвязи алгебраического материала с изображением математических фигур.
Вставьте необходимую фигуру:
? 100
Пример. Вставьте пропущенное слово
математика 3≤x≤6 тема
дециметр 5≤x≤8 ?
Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т.е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания. Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.
5. Текстовые логические задачи можно условно разделить на следующие виды:
все высказывания истинны;
не все высказывания истинны;
задачи о правдолюбцах и лжецах.
Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.
6. Рассмотрим основные методы решения задач и применение некоторых методов к конкретным задачам.
Метод рассуждений
В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Пример.
Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто прибежал раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Решение.
Составим схему:
Лена __________
Оля __________ __ __
Таня __________ __
Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.
Метод описания предметов и их форм
По описанию можно представить себе предмет, место или событие, которое вам никогда не доводилось видеть. По приметам (признакам) преступника составляют его предполагаемый портрет – фоторобот.
По признакам (симптомам) болезни врач ставит диагноз, т.е. распознаёт болезнь.
Разгадывание многих загадок, шарад, решение кроссвордов основано на узнавании объекта по описанию.
Метод поиска родственных задач
Если задача трудна, то необходимо попытаться найти и решить более простую «родственную» задачу. Это даёт ключ к решению исходной задачи.
Метод «прочёсывания задач» (или «можно считать, что…»)
Можно решать задачу, как придётся, а можно предварительно преобразовать её к удобному для решения виду: переформулировать условие на более удобном языке (например, на языке чертежа), отбросить простые случаи, свести общий случай к частному.
Метод «чётно-нечётно»
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.
Примеры.
Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
Метод «»Обратного хода»
Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.
Метод таблиц
Данный метод заключается в составлении таблицы и внесение в неё данных по условию задачи
Метод граф
Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма.
Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.
Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.
Метод кругов Эйлера
Этот метод дает еще более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.
Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились эти круги. Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.
Пример.
1. Часть жителей города умеет говорить только по-русски, часть – только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?
Решение. Составим схему –
В кружке под буквой «У» обозначим жителей, говорящих по-узбекски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «У» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).
Комбинированный метод
Метод, при котором задачу можно решить несколькими способами.
Предложенный материал «Методы решения логических задач » можно использовать как на уроках математики, так и на внеклассных занятиях учащимся 5-9-х классов, учителям с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных заданий, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».
Познакомившись с разными видами логических задач и методами их решения, считаю, что полученные знания смогу применить в своей учебной деятельности, самостоятельно выбрать тот или иной метод решения к определенной задаче, применить изученные методы к решению проблемы в реальной ситуации.
В данном разделе нашего сайта представлены темы исследовательских работ на логику
в виде логических задач, софизмов и парадоков в математике, интересных игр на логику и логическое мышление. Непосредственно направлять и помогать в исследованиях школьнику должен руководитель работы.
Представленные ниже темы исследовательских и проектных работ на логику подойдут детям, любящим логически мыслить, решать нестандартные задачи и примеры, исследовать парадоксы и математические проблемы, играть в нестандартные логические игры.
В списке ниже можно выбрать тему проекта на логику для любого класса общеобразовательной школы, начиная с начальной школы и заканчивая старшей. В помощь для грамотного оформления проекта по математике на логику и логическое мышление можно воспользоваться разработанными требованиями к оформлению работы.
Приведенные ниже темы исследовательских проектов на логику не являются окончательными, и могут видоизменяться в связи с требованиями, поставленными перед выполнением проекта.
Темы исследовательских работ на логику:
Примерные темы исследовательских работ на логику для учащихся:
Занимательная логика в математике.
Логика алгебры
Логика и мы
Логика. Законы логики
Логическая шкатулка. Сборник занимательных логических задач.
Логические задания с числами.
Логические задачи
Логические задачи "Забавная арифметика"
Логические задачи в математике.
Логические задачи для определения количества геометрических фигур.
Логические задачи на развитие мышления
Логические задачи на уроках математики.
Логические игры
Логические парадоксы
Математическая логика.
Методы решения логических задач и способы их составления.
Моделирование логических задач
Обучающая презентация "Основы логики".
Основные виды логических задач и методы их решения.
По следам Шерлока Холмса, или Методы решения логических задач.
Применение теории графов при решении логических задач.
Проблемы четырех красок.
Решение логических задач
Решение логических задач методом графа.
Решение логических задач разными способами.
Решение логических задач с помощью графов
Решение логических задач с помощью схем и таблиц.
Решение логических задач.
Силлогизмы. Логические парадоксы.
Темы проектов на логику
Примерные темы проектов на логику для учащихся:
Софизмы
Софизмы вокруг нас
Софизмы и парадоксы
Способы составления и методы решения логических задач.
Учимся решать логические задачи
Алгебра логики и логические основы компьютера.
Виды задач на логическое мышление.
Два способа решения логических задач.
Логика и математика.
Логика как наука
Логические загадки.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
"Многопрофильный лицей" городского поселения "Рабочий поселок Чегдомын" Верхнебуреинского муниципального
района Хабаровского края.
Реферативно-исследовательская работа по математике:
Тема: "Метод математической индукции"
Выполнила: Антонова Светлана
ученица 11"Б" класса
Руководитель: Терентьева О. А.
учитель математики
пгт Чегдомын
1.Введение 3
2.История возникновения
метода математической индукции 4-5
3.Основные результаты исследования 6-14
4.Предпологаемые задания на ЕГЭ 15-18
5.Заключение 19 6.Список литературы 20
Введение:
В начале 10 класса мы приступили к изучению метода математической индукции, еще тогда меня очень заинтересовала эта тема, но только для изучения. Когда же мы начали интенсивную подготовку к сдаче ЕГЭ по математике, задания по этой теме мне довались очень легко и меня заинтересовали возможности данного методы при решении более сложных заданий. Вместе с преподавателем мы решили более подробно и тщательно изучить данный метод и его возможности при работе над проектом по этой теме.
Цель моей работы:
Познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить данный метод при решении математических задач и доказательстве теорем.
Задачи работы:
1. Актуализация практической значимости математических знаний.
2.Развитие нравственных представлений о природе математике, сущности и происхождении математической абстракции.
3. Освоение разных методов и методик работы.
4.Обобщение и систематизация знаний по данной теме.
5. Применение полученных знаний при решении заданий ЕГЭ.
Проблема:
Показать практическую значимость метода математической индукции.
Из истории возникновения метода математической индукции:
Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в XIX веке усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», т.е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических примеров, употребляемых при этих доказательствах.
Только к концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, остающейся и до настоящего времени господствующими в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий.
Современная математическая логика дала на этот вопрос, определенный ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел.
Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.
В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.
Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.
Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.
В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство
Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за…» тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.
Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.
В математике уже издавна используется индуктивный метод, основанный на том, что то или иное общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев. История, например, сохранила следующее высказывание Э й л е р а: « У меня нет для доказательства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов… И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих».
Веря в непогрешимость индукции, ученые иногда допускали грубые ошибки.
К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала сильно ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623 - 1662) и Декарту, а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654-1705).
Основные результаты исследовательского этапа.
В процессе работы я выяснила, что все утверждения можно разделить на общие и частные. Примером общего утверждения является, например, утверждение:«В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны». Частным является, например, утверждение: «Число 136 делится на 2».
Переход от общих утверждений кчастным называется дедук цией. В математике дедуктивный метод мы применяем, например, в рассуждениях такого типа: данная фигура - прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны.
Но наряду с этим в математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим, т.е. использовать метод, противоположный дедуктивному, который называется индукцией .
Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения, данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Результат, полученный индукцией, вообще говоря, не является логически обоснованным, доказанным. Известно много случаев, когда утверждения, полученные индукцией, были неверными. Т. е. индукция может привести как к верным, так и к неверным выводам.
Рассмотрим пример . Подставляя в квадратный трехчлен P (х)= х 2 + х+ 41 вместо х натуральные числа 1,2,3,4,5, найдем: Р(1)= 43; Р(2)=47; Р(3)= 53; Р(4)= 61; Р(5)= 71. Все значения данного трехчлена являются простыми числами. Подставляя вместо х числа 0, -1, -2, -3, -4, получим: Р(0)=41; Р(-1)=41; Р(-2)=43; Р(-3)=47; Р(-4) =53. Значения данного трехчлена при указанных значениях переменной х также являются простыми числами. Возникает гипотеза , что значение трехчлена Р(х) является простым числом при любом целом значении х . Но высказанная гипотеза ошибочна , так как, например, Р(41)= 41 2 +41+41=41∙43.
Так как при этом методе вывод делается после разбора нескольких примеров, не охватывающих всех возможных случаев, то этот метод называется неполной или несовершенной индукцией.
Метод неполной индукции, как мы видим, не приводит к вполне надежным выводам, но он полезен тем, что позволяет сформулировать гипотезу , которую потом можно доказать точным математическим рассуждением или опровергнуть. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным эвристическим методом открытия новых истин .
Если же вывод делается на основании разбора всех случаев, то такой метод рассуждений называют полной индукцией.
Вот пример подобного рассуждения. Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число п в пределах 10п этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7 . Эти шесть равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.
Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких частных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев или совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции .В основе данного метода лежит принцип математической индукции .
Если предположение, зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n = k (где k -любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k +1, то предположение истинно для любого натурального числа n .
Метод математической индукции - есть эффективный метод доказательства гипотез (утверждений), основанный на использовании принципа математической индукции, поэтому он приводит только к верным выводам.
Методом математической индукции можно решать не все задачи , а только задачи, параметризованные некоторой переменной. Эта переменная называется переменной индукции.
Метод математической индукции имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел.
Пример 1
. Найти сумму S
п =
Сначала найдем суммы одного, двух и трех слагаемых. Имеем:
S
1
=
; S
2
=
;
S
3
= 
.
В каждом из этих случаев получается дробь, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе - число, на единицу большее числа слагаемых. Это позволяет высказывать гипотезу ( предположение), что при любом натуральном п Sп = .
Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом математической индукции.
1) При п = 1 гипотеза верна, так как S 1 = .
2) Предположим, что гипотеза верна при п = k, то есть
S k = 
.
Докажем, что тогда гипотеза должна бытьверной и при п = k + 1, то есть
S k +1 = .
Действительно, S k +1 = S k
S k +1 =
Таким образом, исходя из предположения, что гипотезаS п =
верна при п = k , мы доказали, что она верна и при п = k + 1.
Поэтому формула
S
п
=
верна при любом натуральном п
.
Пример 2. Доказать, что для любого натурального числа п и любого действительного числа а -1 имеет место неравенство, называемое неравенством Бернулли (названо в честь швейцарского математика XVII в. Якова Бернулли): (1+ a ) п ≥ 1 + ап.
1) Если п=1 , то очевидно, что неравенство верно: (1+а) 1 ≥ 1+а.
2) Предположим, что неравенство верно при n = k : (1+ a ) k ≥ 1 + ak .
Умножим обе части последнего неравенства на положительное число 1+ а, в результате чего получим (1+ a ) k +1 ≥ 1+ ak + a + a 2 k .
Отбрасывая последнее слагаемое в правой части неравенства, мы уменьшаем правую часть этого неравенства, а поэтому (1+ a ) k +1 ≥ a (k +1).
Полученный результат показывает, что неравенство верно и при n = k +1.
Обе части доказательства методом математической индукции проведены, и, следовательно, неравенство справедливо при любом натуральном п.
Заметим, что всё решение было разбито на четыре этапа :
1.база (показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (п = 1);
2.предположение (предполагаем, что утверждение доказано для первых к случаев; 3 .шаг (в этом предположении доказываем утверждение для случая п = к + 1 ); 4.вывод (у тверждение верно для всех случаев, то есть для всех п) .
Второй вариант метода математической индукции.
Некоторые утверждения справедливы не для всех натуральных п, а лишь для натуральных п, начиная с некоторого числа р. Такие утверждения иногда удается доказать методом, несколько отличным от того, который описан выше, но вполне аналогичным ему. Состоит он в следующем.
Утверждение верно при всех натуральных значениях п ≥ р, если: 1)оно верно при п =р (а не при п = 1, как было сказано выше);
2)из справедливости этого утверждения при п = k , где k ≥ р (а не k ≥ 1, как сказано выше), вытекает, что оно верно и при п = k + 1.
Пример 1 . Докажите, что для любого справедливо равенство
Обозначим произведение в левой части равенства через , т.е.
мы должны доказать, что .
Для n=1 формула не верна (1- 1) = 1(неверно).
1) Проверим, что эта формула верна для n = 2. , - верно.
2) Пусть формула верна для n = k, т.е. 
3) Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.
По принципу математической индукции равенство справедливо для любого натурального .
Пример 2. Докажите, что 22n + 1 при любом натуральном n3.
1) При n = 3 неравенство верно. 223 + 1.
2) Предположим, что 22k + 1 (k3).
3) Докажем, что 2 2(k + 1) + 1.
В самом деле, 2 = 222(2k + 1) =(2k + 3)(2k - 1) 2k + 3, так как 2k – 10 при любом натуральном значении k. Следовательно, 22n + 1 при всех n3.
Замечание к методу математической индукции.
Доказательство методом математической индукции состоит из двух этапов.
l -й этап. Проверяем, верно ли утверждениепри п = 1 (или прип = р , если речь идет о методе, описанном выше).
2-й э т а п. Допускаем, что утверждение верно прип = k , и,исходя из этого, доказываем, что оно верно и при п = k +1.
Каждый из этих этапов по-своему важен, рассматривая пример P (х)= х 2 + х+41 , мы убедились, что утверждение может быть верным в целом ряде частных случаев, ноневерным вообще. Этот пример убеждает нас в том, насколько важен 2-йэтап доказательства методом математическойиндукции. Опустив его, можно прийти кневерному выводу.
Не следует, однако, думать, что 1-й этап менее важен, чем 2-й. Сейчас я приведу пример, показывающий,к какому нелепому выводу можно прийти, если опустить 1-й этап доказательства.
«Теорем а». При любом натуральном п число 2п +1 четное.
Доказат ел ьств о. Пусть эта теорема верна при п = k , то есть число 2 k + 1 четное. Докажем, что тогда число 2(k +1)+ 1 также четно.
Действительно, 2(k +1)+1 = (2 k +1 )+2.
По предположению число 2 k +1 четно, а поэтому его сумма с четным числом 2 также четна. Теорема «доказана».
Если бы мы не забыли проверить, верна ли наша «теорема» при п = 1, мы не пришли бы к такому «результату».
Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.
Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n1
.
Обозначим левую часть неравенства через .
Следовательно, при n=2 неравенство справедливо.
Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем 
, .
Сравнивая и , имеем 
, т.е. 
.
При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Но , значит, и .
Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.
Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство .
Доказательство.
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , или . Утверждение доказано.
Пример 4:
Доказать неравенство
Где x 1 , x 2 ,…., x 3 – произвольные положительные числа.
Это важное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим n чисел является простым следствием соотношения, доказанного в предыдущем примере. В самом деле, пусть х 1 , х 2 , ..., х n - произвольные положительные числа. Рассмотрим n чисел
Очевидно, что все эти числа положительны и произведение их равно единице. Следовательно, по доказанному в предыдущем примере их сумма больше или равна n, т.е.
≥ n
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x 1 = х 2 = ... = х n .
Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим n чисел часто оказывается полезным при доказательстве других неравенств, при отыскании наименьших и наибольших значений функций.
Применение метода математической индукции к суммированию рядов.
Пример 5. Доказать формулу
, n – натуральное число.
При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.
Предположим, что формула верна при n=k, т.е.
.
Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим
Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.
Пример 6. Доказать, что .
Метод математической индукции в решении задач на делимость.
С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.
Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.
Пример 7 . Если n – натуральное число, то число четное.
При n=1 наше утверждение истинно: - четное число. Предположим, что - четное число. Так как , a 2k – четное число, то и четное. Итак, четность доказана при n=1, из четности выведена четность .Значит, четно при всех натуральных значениях n.
Пример 8. Доказать истинность предложения
A(n)={число 5 кратно 19}, n – натуральное число.
Высказывание А(1)={число кратно 19} истинно.
Предположим, что для некоторого значения n=k
А(k)={число кратно 19} истинно. Тогда, так как
Очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.
Доказательство тождеств
Пример 9 . Доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство
Что и требовалось доказать.
Пример 10 . Докажите тождество
1) Проверим, что это тождество верно при n = 1.
2) Пусть тождество верно и для n = k, т.е.
3)Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.
М – сумма 2) и 3).
Метод математической индукции в решении задач на геометрическую прогрессию
Пример 11. Докажем, что общий член геометрической прогрессии равен
а п = а 1 ∙ q п-1 , методом математической индукции.
п=1:
a 1 = a 1 ∙q 0
a 1 = a 1 ∙1
левая часть = правой части.
п= k :
a k = a 1 ∙q k -1
п = k +1:
a k +1 = a 1 ∙q k
Доказательство:
a k +1 = a k ∙q = a 1 ∙q k -1 ∙ q = a 1 ∙q k ,
что и требовалось доказать.
Оба условия принципа математической индукции выполняются и поэтому формула a n = a 1 ∙ q n -1 верна для любого натурального числа п.
Задачи реальной действительности
Пример 12:
Докажем, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π(n-2).
1. Минимальное число углов - три. Поэтому начнем
доказательство с n = 3. Получаем, что для треугольника
формула дает π (3~2) = π Утверждение для n = 3
справедливо.
2. Допустим, что формула
верна при n=k. Докажем, что
она верна для любого выпуклого
(к +1) -угольника. Разобьем
(к +1) -угольник диагональю
так, что получим k-угольник и треугольник (см. рисунок).
Так как формула верна для треугольника и k-угольника, получаем π (к - 2) + π = π (к -1).
То же мы получим, если в исходную формулу подставить п = к + 1: π (к +1 - 2) = π (к -1).
Предлагаемые задания на ЕГЭ.
Пример 1.
Докажите, что при любом натуральном числе п 9 п+1 - 8п – 9 кратно 16.
1) Проверим, что данное утверждение верно при п=1:
9 2 - 8 – 9 = 81- 8 – 9 = 64, 64 16.
При п=1 утверждение верно.
2) Предположим, что данное утверждение верно, при п = k :
(9 k +1 - 8 k - 9) 16.
3) И, докажем, что данное утверждение верно при п = k +1 :
(9 k +2 – 8 (k +1) - 9) 16.
Доказательство:
9 k +2 - 8(k +1) – 9 =9 k +1 ∙ 9 1 - 8 k – 8 – 9 = 9 k + 1 ∙ 9 - 8 k – 17 =
= 9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64 k + 64 = 9(9 k +1 - 8 k - 9) +64(k +1)=
= 9(9 k +1 – 8 k - 9)+ 64(k +1).
Следовательно: (9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64(k -1)) 16.
Итак, оба условия принципа математической индукции выполняются, и поэтому 9 k +1 - 8п-9 кратно 16 при любом натуральном п.
Пример 2.
п выполняется условие:
1 3 +2 3 +3 3 +… n 3 =.
S n = .
Проверим, что данная формула верна при п=1:
Левая часть = 1 3 =1
Правая часть =
Формула верна при п=1.
n = k :
1 3 +2 3 +3 3 +… k 3 =.
S k =.
п= k +1:
1 3 +2 3 +3 3 +…+(k +1) 3 =.
S k +1 = .
Доказательство:
S k +1 = S k +(k +1) 3
Итак, данная формула верна в двух случаях и доказали, что верна при n = k +1 следовательно она верна при любом натуральном числе п.
Пример 3.
Доказать, что при любом натуральном числе п выполняется условие:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+ п(п+1)(п+2)=.
.
1) Проверим, что данная формула верна при п=1:
Левая часть = 1∙2∙3=6.
Правая часть = .
6 = 6; условие верно при п=1.
2) Предположим, что данная формула верна при n = k :
1∙2∙3+2∙3∙4+…+ k (k +1)(k +2)=.
S k =.
3) И, докажем, что данная формула верна при n = k +1:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k
+1)(k
+2)(k
+3)=
.
S
k
+1
=.
Доказательство:
Итак, данное условие верно в двух случаях и доказали, что верно при n = k +1, следовательно она верно при любом натуральном числе п.
Пример 4.
Доказать, что любом натуральном п справедливо равенство
1) При п=1 мы получаем верное равенство
2) Сделав предположение индукции, рассмотрим сумму, стоящую в левой части равенства, при n = k +1;
3) Для завершения доказательства заметим, что
Следовательно, равенство справедливо.
Пример 5.
В плоскости проведено п прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через точку. Определить, на сколько частей разбивают плоскость эти прямые.
Нарисовав необходимые чертежи, мы можем записать следующее соответствие между числом п прямых, удовлетворяющих условию задачи, и числом а п частей, на которые разбивают плоскость эти прямые:
Судя по первым членам, последовательность, а п такова, что разности а 2 -а 1 , а 3 -а 2 , а 4 -а 3 ,… составляют арифметическую прогрессию. Если воспользоваться уже разобранным примером, то можно высказать гипотезу, что п прямых, удовлетворяющих условию задачи, разбивают плоскость на
частей. Эта формула легко проверяется для нескольких первых значений п , однако, конечно, из этого не следует еще, что она дает ответ на предложенную задачу. Это утверждение требует дополнительного доказательства методом математической индукции.
Отвлекаясь от проведенного только что «подбора», докажем, что п прямых (из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку) разбивают плоскость на а п частей, где а п вычисляется по формуле.
Очевидно, что при п=1 формула справедлива. Сделав предположение индукции, рассмотрим k +1 прямых, удовлетворяющих условию задачи. Выделив из них произвольным образом k прямых, мы можем сказать, что они делят плоскость на
частей. Присоединим теперь (k +1) -ю прямую. Так как она не параллельна ни одной из предыдущих прямых, то она пересечет все k прямых. Так как она не пройдет ни через одну из точек пересечения предыдущих прямых, то она пройдет по k +1 куску, на которые плоскость уже была разбита, и каждый из этих кусков разделит на две части, т.е. добавится еще k +1 кусков. Следовательно, общее число кусков, на которые плоскость разбивается k +1 прямыми, есть
Доказательство этим завершается.
Заключение
Итак, индукция (от лат. inductio - наведение, побуждение) - одна из форм умозаключения, приём исследования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям. Индукция бывает полная и неполная. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки истинности частных формулировок для отдельных, но не всех значений n. Применяя полную индукцию, мы лишь тогда считаем себя вправе объявить об истинности универсальной формулировки, когда убедились в её истинности для каждого без исключения значения n. Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на принципе математической индукции. Он позволяет в поисках общего закона испытывать гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.
Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.
Знакомясь с методом математической индукции, я изучала специальную литературу, консультировалась с педагогом, анализировала данные и решения задач, пользовалась ресурсами Интернета, выполняла необходимые вычисления.
Вывод:
В ходе работы я узнала, чтобы решать задачи методом математической индукции нужно знать и понимать основной принцип математической индукции.
Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи. Недостатком неполной индукции является то, что порой она приводит к ошибочным выводам.
Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, я убедилась в необходимости знаний по теме «метод математической индукции». Кроме того эти знания повышают интерес к математике, как к науке.
Так же в ходе работы приобрела навыки решения задач по использованию метода математической индукции. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем.
Список литературы.
1.Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс.-М.: Просвещение, 1979г.
2.Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. Москва: Просвещение, 1996г.
3.Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации, дидактические материалы.
4.Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницин Ю.П., Шварцбурд С.И. М.: Просвещение, 1990г.
5.Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. для учителя М.: Просвещение, 1987г.
6.Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач учебное пособие для 10 класса средней школы – М.: Просвещение,1989г.
Вниманию студентов! Курсовая работа выполняется самостоятельно в строгом соответствии с выбранной темой. Дублирование тем не допускается! О выбранной теме убедительная просьба сообщить преподавателю любым удобным способом либо индивидуально, либо списком с указанием ФИО, номера группы и названия курсовой работы .
Примерные темы курсовых работ по дисциплине
«Математическая логика»
1. Метод резолюций и его применение в алгебре высказываний и алгебре предикатов.
2. Аксиоматические системы.
3. Минимальные и кратчайшие КНФ и ДНФ.
4. Применение методов математической логики в теории формальных языков.
5. Формальные грамматики как логические исчисления.
6. Методы решения текстовых логических задач.
7. Системы логического программирования.
8. Логическая игра.
9. Неразрешимость логики первого порядка.
10. Нестандартные модели арифметики.
11. Метод диагонализации в математической логике.
12. Машины Тьюринга и тезис Чёрча.
13. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.
14. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.
15. Разрешимость арифметики сложения.
16. Логика второго порядка и определимость в арифметике.
17. Метод ультрапроизведений в теории моделей.
18. Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики.
19. Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.
20. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.
21. Простейшие преобразователи информации.
22. Переключательные схемы.
24. Контактные структуры.
25. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.
26. Применение булевых функций в теории распознавания образов.
27. Математическая логика и системы искусственного интеллекта.
Курсовая работа должна состоять из 2 частей: теоретического содержания темы и набора задач по теме (не менее 10) с решениями. Также допускается написание курсовой работы научно-исследовательского типа с заменой второй части (решения задач) на самостоятельную разработку (например, рабочий алгоритм, программу, образец и т. п.), созданную на основе теоретического материала, рассмотренного в первой части работы.
1) Барвайс Дж. (ред.) Справочная книга по математической логике. - М.: Наука, 1982.
2) Братчиков языков программирования. - М.: Наука, 1975.
3) Булос Дж., ычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
4) Гиндикин логики в задачах. - М., 1972.
5) , Палютин логика. - М.: Наука, 1979.
6) Ершов разрешимости и конструктивные модели. - М.: Наука, 1980.
7) , Тайцлин теории // УМН, 1965, 20, № 4, с. 37-108.
8) Игошин -практикум по математической логике. - М.: Просвещение, 1986.
9) Игошин логика и теория алгоритмов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.
10) Ин Ц., спользование Турбо-Пролога. - М.: Мир, 1993.
11) ведение в метаматематику. - М., 1957.
12) атематическая логика. - М.: Мир, 1973.
13) огика в решении проблем. - М.: Наука, 1990.
14) Колмогоров логика: учебное пособие для вузов мат. специальностей / , - М.: Изд-во УРСС, 2004. - 238 с.
15) стория с узелками/ Пер. с англ. - М., 1973.
16) огическая игра/ Пер. с англ. - М., 1991.
17) , Максимова по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - 4-е изд. - М., 2001.
18) , Сукачева логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения: Учебное пособие. 3-е изд., испр. - СПб.
19) Издательство «Лань», 2008. - 288 с.
20) Лыскова в информатике/ , . - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 160 с.
21) Математическая логика / Под общей редакцией и др. - Минск: Высшая школа, 1991.
22) ведение в математическую логику. - М.: Наука, 1984.
23) Мощенский по математической логике. - Минск, 1973.
24) Никольская с математической логикой. - М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. - 128 с.
25) Никольская логика. - М., 1981.
26) Новиков математической логики. - М.: Наука, 1973.
27) Рабин теории. В кн.: Справочная книга по математической логике, ч.3. Теория рекурсии. - М.: Наука, 1982. - с. 77-111.
28) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 1. - М.: Мир, 1990.
29) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 2. - М.: Мир, 1998.
30) Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. - М.: Наука, 1983.
31) ведение в математическую логику. - М.: Мир, 1960.
32) Шабунин логика. Логика высказываний и логика предикатов: учебное пособие / , отв. ред. ; Чуваш гос. ун-т им. . - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. - 56 с.
Б В
