Hayotda biz tez-tez matematik muammolarga duch kelishimiz kerak: maktabda, universitetda, keyin esa bolamizga uy vazifasini bajarishda yordam berish. Muayyan kasb egalari har kuni matematikaga duch kelishadi. Shuning uchun matematik qoidalarni yodlash yoki eslash foydalidir. Ushbu maqolada biz ulardan birini tahlil qilamiz: to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ini topish.
To'g'ri burchakli uchburchak nima
Birinchidan, to'g'ri burchakli uchburchak nima ekanligini eslaylik. To'g'ri burchakli uchburchak - bu bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqtalarni bog'laydigan uchta segmentdan iborat geometrik figura va bu raqamning burchaklaridan biri 90 gradusdir. To'g'ri burchak hosil qiluvchi tomonlar oyoqlar, to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotqizilgan tomonlar esa gipotenuza deb ataladi.
To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ini topish
Oyoqning uzunligini aniqlashning bir necha yo'li mavjud. Men ularni batafsilroq ko'rib chiqmoqchiman.
To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ini topish uchun Pifagor teoremasi
Agar biz gipotenuzani va oyoqni bilsak, u holda Pifagor teoremasi yordamida noma'lum oyoqning uzunligini topishimiz mumkin. Bu shunday eshitiladi: "Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng." Formula: c²=a²+b², bu erda c - gipotenuza, a va b - oyoqlar. Formulani o'zgartiramiz va olamiz: a²=c²-b².
Misol. Gipotenuza 5 sm, oyog'i esa 3 sm.Formulani o'zgartiramiz: c²=a²+b² → a²=c²-b². Keyin qaror qabul qilamiz: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (sm).
To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ini topish uchun trigonometrik munosabatlar
To'g'ri burchakli uchburchakning boshqa tomoni va har qanday o'tkir burchagi ma'lum bo'lsa, noma'lum oyoqni topish ham mumkin. Trigonometrik funktsiyalar yordamida oyoqni topishning to'rtta varianti mavjud: sinus, kosinus, tangens, kotangent bo'yicha. Muammolarni hal qilish uchun quyidagi jadval bizga yordam beradi. Keling, ushbu variantlarni ko'rib chiqaylik.
Sinus yordamida to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ini toping
Burchakning sinusi (sin) - qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati. Formula: sin \u003d a / c, bu erda a - berilgan burchakka qarama-qarshi oyog'i va c - gipotenuza. Keyinchalik, formulani o'zgartiramiz va olamiz: a=sin*c.
Misol. Gipotenuza 10 sm, burchak A 30 daraja. Jadvalga ko'ra, biz A burchakning sinusini hisoblaymiz, u 1/2 ga teng. Keyin o'zgartirilgan formuladan foydalanib, hal qilamiz: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (sm).
Kosinus yordamida to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ini toping
Burchakning kosinusu (cos) - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati. Formula: cos=b/c, bu erda b - qo'shni oyoq bu burchak, va c - gipotenuza. Formulani o'zgartiramiz va hosil qilamiz: b=cos*c.
Misol. A burchagi 60 gradus, gipotenuzasi 10 sm Jadvalga ko'ra A burchakning kosinusini hisoblaymiz, u 1/2 ga teng. Keyinchalik, biz hal qilamiz: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (sm).
Tangens yordamida to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘ini toping
Burchakning tangensi (tg) - qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati. Formula: tg \u003d a / b, bu erda a - burchakka qarama-qarshi oyoq, b esa ulashgan. Formulani o'zgartiramiz va quyidagini olamiz: a=tg*b.
Misol. A burchak 45 gradus, gipotenuzasi 10 sm.Jadvalga asosan A burchak tangensini hisoblaymiz, u yechishga teng: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (sm).
Kotangens yordamida to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘ini toping
Burchakning kotangensi (ctg) - qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyoqqa nisbati. Formula: ctg \u003d b / a, bu erda b - burchakka ulashgan oyoq va qarama-qarshi. Boshqacha qilib aytganda, kotangens "teskari tangens" dir. Biz olamiz: b=ctg*a.
Misol. A burchak 30 gradus, qarama-qarshi oyoq 5 sm.Jadvalga ko'ra, A burchakning tangensi √3 ga teng. Hisoblang: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (sm).
Shunday qilib, endi siz to'g'ri uchburchakda oyoqni qanday topishni bilasiz. Ko'rib turganingizdek, bu juda qiyin emas, asosiysi formulalarni eslab qolishdir.
Biz trigonometriyani o'rganishni to'g'ri burchakli uchburchakdan boshlaymiz. Keling, sinus va kosinus nima ekanligini, shuningdek, o'tkir burchakning tangensi va kotangensini aniqlaymiz. Bu trigonometriyaning asoslari.
Shuni eslang to'g'ri burchak ga teng burchak hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, ochilgan burchakning yarmi.
O'tkir burchak- kichikroq.
O'tkir burchak- kattaroq. Bunday burchakka nisbatan "to'mtoq" haqorat emas, balki matematik atama :-)
Keling, to'g'ri burchakli uchburchak chizamiz. To'g'ri burchak odatda belgilanadi. E'tibor bering, burchakka qarama-qarshi tomon bir xil harf bilan belgilanadi, faqat kichik. Demak, burchakka qarama-qarshi yotgan tomon belgilanadi.
Burchak tegishli yunoncha harf bilan belgilanadi.
Gipotenuza To'g'ri uchburchak - bu to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon.
Oyoqlar- o'tkir burchaklarga qarama-qarshi tomonlar.
Burchakning qarshisidagi oyoq deyiladi qarama-qarshi(burchakka nisbatan). Burchakning bir tomonida yotgan boshqa oyog'i deyiladi qo'shni.
Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Kosinus To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Tangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qarama-qarshi oyoqning qo'shniga nisbati:
Boshqa (ekvivalent) ta'rif: o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:
Kotangent To'g'ri uchburchakdagi o'tkir burchak - qo'shni oyoqning qarama-qarshi tomonga nisbati (yoki ekvivalenti kosinusning sinusga nisbati):
Quyida keltirilgan sinus, kosinus, tangens va kotangensning asosiy nisbatlariga e'tibor bering. Muammolarni hal qilishda ular bizga foydali bo'ladi.
Keling, ulardan ba'zilarini isbotlaylik.
1. Har qanday uchburchak burchaklarining yig'indisi ga teng. Ma'nosi, to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita o'tkir burchagi yig'indisi .
2. Bir tomondan, qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati sifatida. Boshqa tomondan, chunki burchak uchun oyoq qo'shni bo'ladi.
Biz buni tushunamiz. Boshqa so'zlar bilan aytganda, .
3. Pifagor teoremasini oling: . Keling, ikkala qismni quyidagilarga ajratamiz:
Bizda bor asosiy trigonometrik identifikatsiya:
Shunday qilib, burchakning sinusini bilib, uning kosinusini topishimiz mumkin va aksincha.
4. Asosiy trigonometrik identifikatsiyaning ikkala qismini ga bo‘lib, quyidagilarga erishamiz:
Bu shuni anglatadiki, agar bizga o'tkir burchakning tangensi berilsa, biz darhol uning kosinusini topishimiz mumkin.
Xuddi shunday,
Yaxshi, biz ta'riflar va yozma formulalar berdik. Lekin nima uchun bizga sinus, kosinus, tangens va kotangens kerak?
Biz buni bilamiz har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi.
o'rtasidagi munosabatni bilamiz partiyalar to'g'ri uchburchak. Bu Pifagor teoremasi: .
Ma'lum bo'lishicha, uchburchakdagi ikkita burchakni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. To'g'ri uchburchakda ikki tomonni bilib, uchinchisini topishingiz mumkin. Shunday qilib, burchaklar uchun - ularning nisbati, tomonlar uchun - o'z. Ammo to'g'ri burchakli uchburchakda bitta burchak (to'g'ri burchakdan tashqari) va bir tomoni ma'lum bo'lsa, nima qilish kerak, lekin siz boshqa tomonlarni topishingiz kerak?
O'tmishda odamlar bu hudud va yulduzli osmon xaritalarini tuzgan holda duch kelishgan. Axir, uchburchakning barcha tomonlarini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash har doim ham mumkin emas.
Sinus, kosinus va tangens - ular ham deyiladi burchakning trigonometrik funktsiyalari- orasidagi nisbatni bering partiyalar va burchaklar uchburchak. Burchakni bilib, siz uning barcha trigonometrik funktsiyalarini maxsus jadvallar yordamida topishingiz mumkin. Va uchburchak burchaklarining sinuslari, kosinuslari va tangenslarini va uning tomonlaridan birini bilib, qolgan qismini topishingiz mumkin.
Bundan tashqari, "yaxshi" burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.
Jadvaldagi ikkita qizil chiziqqa e'tibor bering. Burchaklarning mos keladigan qiymatlari uchun tangens va kotangens mavjud emas.
Keling, FIPI Banki topshiriqlaridan trigonometriyadagi bir nechta muammolarni tahlil qilaylik.
1. Uchburchakda burchak , ga teng. Toping.
Muammo to'rt soniya ichida hal qilinadi.
dan boshlab, bizda: .
2. Uchburchakda burchak , , ga teng. Toping. , ga teng gipotenuzaning yarmi.
Burchakli uchburchak , va teng yon tomonli. Unda gipotenuza oyoqdan bir necha marta kattaroqdir.
Maktab o'quvchilari eng katta qiyinchiliklarga duch keladigan matematikaning sohalaridan biri trigonometriyadir. Buning ajablanarli joyi yo'q: ushbu bilim sohasini erkin egallash uchun sizga fazoviy fikrlash, formulalar yordamida sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlarni topish, ifodalarni soddalashtirish va hisob-kitoblarda pi sonidan foydalanish qobiliyati kerak. Bundan tashqari, siz teoremalarni isbotlashda trigonometriyani qo'llay bilishingiz kerak va bu rivojlangan matematik xotira yoki murakkab mantiqiy zanjirlarni chiqarish qobiliyatini talab qiladi.
Trigonometriyaning kelib chiqishi
Ushbu fan bilan tanishish burchakning sinus, kosinus va tangensini aniqlashdan boshlanishi kerak, lekin birinchi navbatda trigonometriya umuman nima qilishini aniqlab olishingiz kerak.
Tarixan to‘g‘ri burchakli uchburchaklar matematika fanining ushbu bo‘limida asosiy tadqiqot ob’ekti bo‘lib kelgan. 90 graduslik burchakning mavjudligi ko'rib chiqilayotgan raqamning barcha parametrlarining qiymatlarini ikki tomon va bitta burchak yoki ikkita burchak va bir tomondan aniqlashga imkon beradigan turli xil operatsiyalarni bajarishga imkon beradi. Ilgari odamlar bu naqshni payqashdi va uni binolarni qurish, navigatsiya, astronomiya va hatto san'atda faol qo'llashni boshladilar.
Birinchi bosqich
Dastlab, odamlar burchaklar va tomonlarning munosabatlari haqida faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar misolida gaplashdilar. Keyin matematikaning ushbu bo'limidan kundalik hayotda foydalanish chegaralarini kengaytirishga imkon beradigan maxsus formulalar topildi.
Bugungi kunda maktabda trigonometriyani o'rganish to'g'ri burchakli uchburchaklardan boshlanadi, shundan so'ng olingan bilimlar talabalar tomonidan fizika va mavhum trigonometrik tenglamalarni echishda qo'llaniladi, ular bilan ishlash o'rta maktabda boshlanadi.
Sferik trigonometriya
Keyinchalik fan rivojlanishning keyingi bosqichiga ko'tarilgach, sferik geometriyada sinus, kosinus, tangens, kotangensli formulalar qo'llanila boshlandi, bu erda boshqa qoidalar qo'llaniladi va uchburchakdagi burchaklar yig'indisi har doim 180 darajadan yuqori bo'ladi. Ushbu bo'lim maktabda o'rganilmaydi, lekin uning mavjudligi haqida bilish kerak, hech bo'lmaganda er yuzasi va boshqa har qanday sayyoraning yuzasi qavariq, ya'ni har qanday sirt belgisi "yoy shaklida" bo'ladi. uch o'lchovli fazo.
Globus va ipni oling. Ipni globusning istalgan ikkita nuqtasiga mahkamlang, shunda u tarang bo'ladi. E'tibor bering - u kamon shaklini oldi. Geodeziya, astronomiya va boshqa nazariy va amaliy sohalarda qo'llaniladigan sferik geometriya ana shunday shakllar bilan shug'ullanadi.
To'g'ri uchburchak
Trigonometriyadan foydalanish usullari haqida bir oz ma'lumotga ega bo'lgandan so'ng, sinus, kosinus, tangens nima ekanligini, ularning yordami bilan qanday hisob-kitoblarni bajarish mumkinligini va qanday formulalardan foydalanishni tushunish uchun asosiy trigonometriyaga qaytaylik.
Birinchi qadam to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq tushunchalarni tushunishdir. Birinchidan, gipotenuza 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomondir. U eng uzuni. Pifagor teoremasiga ko'ra, uning son qiymati qolgan ikki tomon kvadratlari yig'indisining ildiziga teng ekanligini eslaymiz.
Misol uchun, agar ikki tomon mos ravishda 3 va 4 santimetr bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 5 santimetrga teng bo'ladi. Aytgancha, qadimgi misrliklar bu haqda to'rt yarim ming yil oldin bilishgan.
To'g'ri burchakni tashkil etuvchi qolgan ikkita tomon oyoqlar deb ataladi. Bundan tashqari, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi uchburchakdagi burchaklarning yig'indisi 180 daraja ekanligini unutmasligimiz kerak.
Ta'rif
Nihoyat, geometrik asosni yaxshi tushungan holda, biz burchakning sinus, kosinus va tangensini aniqlashga murojaat qilishimiz mumkin.
Burchakning sinusi - qarama-qarshi oyoqning (ya'ni, kerakli burchakka qarama-qarshi tomoni) gipotenuzaga nisbati. Burchakning kosinusi - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Yodingizda bo'lsin, na sinus, na kosinus birdan katta bo'lishi mumkin emas! Nega? Chunki gipotenuza sukut bo'yicha eng uzun bo'ladi.Oyoq qancha uzun bo'lmasin, u gipotenuzadan qisqa bo'ladi, ya'ni ularning nisbati har doim birdan kichik bo'ladi. Shunday qilib, agar siz muammoning javobida 1 dan katta qiymatga ega bo'lgan sinus yoki kosinusni olsangiz, hisob-kitoblarda yoki fikrlashda xatolikni qidiring. Bu javob aniq noto'g'ri.
Nihoyat, burchakning tangensi - bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Xuddi shu natija sinusning kosinusga bo'linishini beradi. Qarang: formula bo'yicha biz tomonning uzunligini gipotenuzaga ajratamiz, shundan so'ng biz ikkinchi tomonning uzunligiga bo'linib, gipotenuzaga ko'paytiramiz. Shunday qilib, biz tangens ta'rifidagi kabi nisbatni olamiz.
Kotangent, o'z navbatida, burchakka ulashgan tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati. Birlikni tangensga bo'lish orqali biz bir xil natijaga erishamiz.
Shunday qilib, biz sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini ko'rib chiqdik va formulalar bilan shug'ullanishimiz mumkin.
Eng oddiy formulalar
Trigonometriyada formulalarsiz qilolmaysiz - ularsiz sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday topish mumkin? Va muammolarni hal qilishda aynan shu narsa talab qilinadi.
Trigonometriyani o'rganishni boshlaganingizda bilishingiz kerak bo'lgan birinchi formulada aytilishicha, burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi birga teng. Bu formula Pifagor teoremasining to'g'ridan-to'g'ri natijasidir, lekin agar siz tomonni emas, balki burchakning qiymatini bilmoqchi bo'lsangiz, vaqtni tejaydi.
Ko'pgina talabalar ikkinchi formulani eslay olmaydilar, bu maktab muammolarini hal qilishda ham juda mashhur: birning yig'indisi va burchakning tangensining kvadrati burchak kosinusining kvadratiga bo'lingan birga teng. Yaxshilab ko'ring: axir, bu birinchi formulada bo'lgani kabi bir xil bayonot, faqat identifikatsiyaning ikkala tomoni kosinus kvadratiga bo'lingan. Ma’lum bo‘lishicha, oddiy matematik amal trigonometrik formulani butunlay tanib bo‘lmaydigan qilib qo‘yadi. Esingizda bo'lsin: sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini, konversiya qoidalari va bir nechta asosiy formulalarni bilib, istalgan vaqtda mustaqil ravishda qog'oz varag'ida kerakli murakkabroq formulalarni olishingiz mumkin.
Ikki burchakli formulalar va argumentlar qo'shish
Siz o'rganishingiz kerak bo'lgan yana ikkita formulalar burchaklar yig'indisi va farqi uchun sinus va kosinusning qiymatlari bilan bog'liq. Ular quyidagi rasmda ko'rsatilgan. E'tibor bering, birinchi holatda sinus va kosinus ikkala marta ko'paytiriladi, ikkinchi holatda esa sinus va kosinusning juft ko'paytmasi qo'shiladi.
Ikki burchakli argumentlar bilan bog'liq formulalar ham mavjud. Ular butunlay oldingilaridan olingan - amaliyot sifatida, beta burchagiga teng alfa burchagini olib, ularni o'zingiz olishga harakat qiling.
Nihoyat, ikki burchakli formulalar sinus, kosinus, tangens alfa darajasini pasaytirish uchun aylantirilishi mumkinligini unutmang.
Teoremalar
Asosiy trigonometriyada ikkita asosiy teorema sinus teoremasi va kosinus teoremasidir. Ushbu teoremalar yordamida siz sinus, kosinus va tangensni, shuning uchun rasmning maydonini va har bir tomonning o'lchamini va hokazolarni qanday topishni osongina tushunishingiz mumkin.
Sinus teoremasida aytilishicha, uchburchakning har bir tomonining uzunligini qarama-qarshi burchak qiymatiga bo'lish natijasida biz bir xil sonni olamiz. Bundan tashqari, bu raqam chegaralangan doiraning ikkita radiusiga, ya'ni berilgan uchburchakning barcha nuqtalarini o'z ichiga olgan doiraga teng bo'ladi.
Kosinus teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtiradi, uni har qanday uchburchaklarga proyeksiya qiladi. Ma'lum bo'lishicha, ikki tomonning kvadratlari yig'indisidan ularning mahsulotini ularga qo'shni burchakning ikki baravar kosinusiga ko'paytiring - natijada olingan qiymat uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining maxsus holati bo'lib chiqadi.
E'tiborsizlik tufayli xatolar
Sinus, kosinus va tangens nima ekanligini bilgan holda ham, beparvolik yoki eng oddiy hisob-kitoblardagi xatolik tufayli xato qilish oson. Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun keling, ularning eng mashhurlari bilan tanishaylik.
Birinchidan, yakuniy natija olinmaguncha oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirmasligingiz kerak - agar shart boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, javobni oddiy kasr sifatida qoldirishingiz mumkin. Bunday o'zgartirishni xato deb atash mumkin emas, lekin esda tutish kerakki, vazifaning har bir bosqichida yangi ildizlar paydo bo'lishi mumkin, muallifning fikriga ko'ra, ularni kamaytirish kerak. Bunday holda, siz keraksiz matematik operatsiyalarga vaqt sarflaysiz. Bu, ayniqsa, uchta yoki ikkitaning ildizi kabi qiymatlar uchun to'g'ri keladi, chunki ular har bir qadamda vazifalarda uchraydi. Xuddi shu narsa "xunuk" raqamlarni yaxlitlash uchun ham amal qiladi.
Bundan tashqari, kosinus teoremasi har qanday uchburchak uchun amal qiladi, lekin Pifagor teoremasi emas! Agar siz tomonlarning ikki barobar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirishni noto'g'ri unutib qo'ysangiz, siz nafaqat butunlay noto'g'ri natijaga erishasiz, balki mavzuni to'liq noto'g'ri tushunishni ham ko'rsatasiz. Bu ehtiyotsizlikdan ko'ra yomonroqdir.
Uchinchidan, sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlar uchun 30 va 60 graduslik burchaklar qiymatlarini chalkashtirmang. Ushbu qiymatlarni eslang, chunki 30 graduslik sinus 60 kosinusga teng va aksincha. Ularni aralashtirish oson, buning natijasida siz muqarrar ravishda noto'g'ri natijaga erishasiz.
Ilova
Ko'pgina talabalar trigonometriyani o'rganishni boshlashga shoshilmayaptilar, chunki ular uning amaliy ma'nosini tushunmaydilar. Muhandis yoki astronom uchun sinus, kosinus, tangens nima? Bu tushunchalar bo'lib, ular yordamida siz uzoq yulduzlargacha bo'lgan masofani hisoblashingiz, meteoritning tushishini bashorat qilishingiz, boshqa sayyoraga tadqiqot zondi yuborishingiz mumkin. Ularsiz bino qurish, avtomobilni loyihalash, ob'ekt yuzasidagi yukni yoki traektoriyani hisoblash mumkin emas. Va bu eng aniq misollar! Axir, trigonometriya u yoki bu shaklda hamma joyda, musiqadan tibbiyotgacha qo'llaniladi.
Nihoyat
Demak, siz sinus, kosinus, tangenssiz. Siz ularni hisob-kitoblarda ishlatishingiz va maktab muammolarini muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin.
Trigonometriyaning butun mohiyati shundan iboratki, noma'lum parametrlarni uchburchakning ma'lum parametrlaridan hisoblash kerak. Hammasi bo'lib oltita parametr mavjud: uchta tomonning uzunligi va uchta burchakning kattaligi. Vazifalarning butun farqi turli xil kirish ma'lumotlari berilganligidadir.
Oyoqlarning ma'lum uzunliklari yoki gipotenuza asosida sinus, kosinus, tangensni qanday topish mumkin, endi siz bilasiz. Bu atamalar nisbatdan boshqa narsani anglatmaydi, nisbat esa kasrdir, trigonometrik masalaning asosiy maqsadi oddiy tenglama yoki tenglamalar sistemasining ildizlarini topishdan iborat. Va bu erda sizga oddiy maktab matematikasi yordam beradi.
I bob. To'g'ri burchakli uchburchaklar yechimi
§3 (37). Asosiy nisbatlar va vazifalar
Trigonometriyada uchburchakning ma'lum elementlarini berilgan elementlarning etarli miqdordagi raqamli qiymatlari bo'yicha hisoblash kerak bo'lgan muammolar ko'rib chiqiladi. Bu vazifalar odatda deb ataladi yechim uchburchak.
ABC to'g'ri burchakli uchburchak, C to'g'ri burchak bo'lsin, a va b- A va B o'tkir burchaklariga qarama-qarshi oyoqlar; Bilan- gipotenuza (3-rasm);
keyin bizda:
O'tkir burchakning kosinusi qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
cos A = b/ c, cos B = a / c (1)
O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
gunoh A = a / c, sin B = b/ c (2)
O'tkir burchakning tangensi - bu qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:
tan A = a / b, tg B = b/ a (3)
O'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshisiga nisbati:
ctgA= b/ a, ctg B = a / b (4)
O'tkir burchaklar yig'indisi 90°.
To'g'ri burchakli uchburchaklar uchun asosiy masalalar.
Vazifa I. Gipotenuzani va o'tkir burchaklardan birini hisobga olgan holda, boshqa elementlarni hisoblang.
Yechim. Bersin Bilan va A. Burchak B = 90 ° - A ham ma'lum; oyoqlar (1) va (2) formulalardan topilgan.
a = c sinA, b = c chunki A.
II vazifa . Oyoq va o'tkir burchaklardan biri berilgan, boshqa elementlarni hisoblang.
Yechim. Bersin a va A. B burchagi = 90 ° - A ma'lum; (3) va (2) formulalardan topamiz:
b = a tg B (= a ctg A), Bilan = a/sin A
III vazifa. Oyoq va gipotenuzani hisobga olgan holda, qolgan elementlarni hisoblang.
Yechim. Bersin a va Bilan(va a< с ). Tengliklardan (2) biz A burchakni topamiz:
gunoh A = a / c va A = yoy gunoh a / c ,
va nihoyat oyoq b:
b = Bilan cos A (= Bilan gunoh B).
IV vazifa. Boshqa elementlarni topish uchun a va b oyoqlari berilgan.
Yechim. Tengliklardan (3) biz o'tkir burchakni topamiz, masalan, A:
tg A = a / b, A = arktan a / b ,
B burchagi \u003d 90 ° - A,
gipotenuza: c = a/sin A (= b/sinB; = a/cos B)
Quyida to'g'ri burchakli uchburchakni logarifmik jadvallar yordamida yechish misoli keltirilgan*.
* To'g'ri burchakli uchburchaklar elementlarini tabiiy jadvallar bo'yicha hisoblash VIII sinf geometriya kursidan ma'lum.
Logarifmik jadvallar yordamida hisoblashda tegishli formulalarni yozish, ularni prologarifm qilish, raqamli ma'lumotlarni almashtirish, jadvallardan ma'lum elementlarning (yoki ularning trigonometrik funktsiyalarining) kerakli logarifmalarini topish, kerakli elementlarning (yoki ularning trigonometrik funktsiyalarining) logarifmlarini hisoblash kerak. ) va jadvallardan kerakli elementlarni toping.
Misol. Dana oyog'i a= 166.1 va gipotenuza Bilan= 187,3; o'tkir burchaklarni, boshqa oyoq va maydonni hisoblash.
Yechim. Bizda ... bor:
gunoh A = a / c; lg sin A = lg a-lg c; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Biz oyoqni hisoblaymiz b:
b = a tg B; lg b= jurnal b+ lg tg B ; 
Uchburchakning maydonini formuladan foydalanib hisoblash mumkin
S=1/2 ab = 0,5 a 2 tg B; 
Tekshirish uchun biz slayd qoidasi bo'yicha A burchagini hisoblaymiz:
A \u003d bosh gunoh a / c= arc sin 166 / 187 ≈ 62°.
Eslatma. oyoq b kvadratlar va kvadrat ildizlar jadvallari yordamida Pifagor teoremasi bo'yicha hisoblash mumkin (III va IV jadvallar):
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Oldindan olingan qiymat bilan nomuvofiqlik b= 86.48 funksiyalarning taxminiy qiymatlarini beruvchi jadvallarning xatolari bilan izohlanadi. 86,54 natijasi aniqroq.
Ko'rib turganingizdek, bu doira Dekart koordinata tizimida qurilgan. Doira radiusi birga teng, aylananing markazi esa boshlang'ich nuqtasida yotadi, radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning musbat yo'nalishi bo'ylab o'rnatiladi (bizning misolimizda bu radius).
Doiraning har bir nuqtasi ikkita raqamga to'g'ri keladi: o'q bo'ylab koordinata va eksa bo'ylab koordinata. Bu koordinata raqamlari nima? Va umuman olganda, ularning mavzuga qanday aloqasi bor? Buning uchun ko'rib chiqilgan to'g'ri burchakli uchburchak haqida unutmang. Yuqoridagi rasmda siz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rishingiz mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing. U to'rtburchaklar, chunki u o'qga perpendikulyar.
Uchburchakdan nimaga teng? Hammasi to'g'ri. Bundan tashqari, biz bilamizki, bu birlik doirasining radiusi va shuning uchun . Ushbu qiymatni kosinus formulamizga almashtiring. Mana nima sodir bo'ladi:
Va uchburchakdan nimaga teng? Xo'sh, albatta,! Ushbu formulaga radius qiymatini almashtiring va quyidagilarni oling:
Shunday qilib, aylanaga tegishli nuqtaning koordinatalari nima ekanligini ayta olasizmi? Xo'sh, yo'qmi? Va agar siz buni tushunsangiz va shunchaki raqamlar bo'lsa? U qaysi koordinataga mos keladi? Albatta, koordinata! U qaysi koordinataga mos keladi? To'g'ri, muvofiqlashtiring! Shunday qilib, nuqta.
Va keyin nima teng va? To'g'ri, keling, tangens va kotangensning tegishli ta'riflaridan foydalanamiz va buni olamiz, a.
Agar burchak kattaroq bo'lsa-chi? Bu erda, masalan, ushbu rasmda bo'lgani kabi:
Ushbu misolda nima o'zgardi? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun biz yana to'g'ri burchakli uchburchakka o'tamiz. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing: burchak (burchakka qo'shni sifatida). Burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi qanday qiymatga ega? To'g'ri, biz trigonometrik funktsiyalarning tegishli ta'riflariga amal qilamiz:
Ko'rib turganingizdek, burchak sinusining qiymati hali ham koordinataga mos keladi; burchak kosinusining qiymati - koordinata; va mos keladigan nisbatlarga tangens va kotangens qiymatlari. Shunday qilib, bu munosabatlar radius vektorining har qanday aylanishlariga taalluqlidir.
Radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi o'qning musbat yo'nalishi bo'ylab joylashganligi allaqachon aytib o'tilgan. Hozirgacha biz bu vektorni soat sohasi farqli ravishda aylantirdik, lekin agar biz uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsak nima bo'ladi? Hech qanday g'ayrioddiy narsa yo'q, siz ham ma'lum bir o'lchamdagi burchakka ega bo'lasiz, lekin faqat salbiy bo'ladi. Shunday qilib, radius vektorini soat sohasi farqli ravishda aylantirganda, biz olamiz ijobiy burchaklar, va soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda - salbiy.
Demak, biz bilamizki, radius vektorining aylana atrofida butun aylanishi yoki. Radius vektorini aylana yoki burish mumkinmi? Xo'sh, albatta qila olasiz! Birinchi holda, shuning uchun radius vektori bitta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki pozitsiyasida to'xtaydi.
Ikkinchi holda, ya'ni radius vektori uchta to'liq aylanishni amalga oshiradi va yoki pozitsiyasida to'xtaydi.
Shunday qilib, yuqoridagi misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, bir-biridan farq qiladigan burchaklar yoki (bu erda har qanday butun son) radius vektorining bir xil holatiga mos keladi.
Quyidagi rasmda burchak ko'rsatilgan. Xuddi shu rasm burchakka mos keladi va hokazo. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu burchaklarning barchasi umumiy formula yoki (bu erda har qanday butun son) bilan yozilishi mumkin.
Endi, asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilib, birlik doirasidan foydalanib, qiymatlar nimaga teng ekanligiga javob berishga harakat qiling:
Mana sizga yordam beradigan birlik doirasi:
Har qanday qiyinchiliklar bormi? Keyin buni aniqlaylik. Shunday qilib, biz buni bilamiz:
Bu yerdan burchakning ma'lum o'lchovlariga mos keladigan nuqtalarning koordinatalarini aniqlaymiz. Keling, tartibda boshlaylik: burchak koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi, shuning uchun:
Mavjud emas;
Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa rioya qilgan holda, biz burchaklar mos ravishda koordinatali nuqtalarga mos kelishini aniqlaymiz. Buni bilib, tegishli nuqtalarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini aniqlash oson. Avval o'zingiz sinab ko'ring, keyin javoblarni tekshiring.
Javoblar:
Mavjud emas
Mavjud emas
Mavjud emas
Mavjud emas
Shunday qilib, biz quyidagi jadvalni tuzishimiz mumkin:
Bu barcha qadriyatlarni eslab qolishning hojati yo'q. Birlik aylanasidagi nuqtalar koordinatalari va trigonometrik funktsiyalar qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni eslash kifoya:
Ammo burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari va quyidagi jadvalda keltirilgan, eslash kerak:
Qo'rqmang, endi biz misollardan birini ko'rsatamiz mos keladigan qiymatlarni oddiy yodlash:
Ushbu usuldan foydalanish uchun burchakning barcha uchta o'lchovi uchun sinus qiymatlarini (), shuningdek burchakning tangensi qiymatini eslab qolish juda muhimdir. Ushbu qiymatlarni bilib, butun jadvalni tiklash juda oson - kosinus qiymatlari strelkalar bo'yicha uzatiladi, ya'ni:
Buni bilib, siz uchun qiymatlarni tiklashingiz mumkin. Numerator " " mos keladi va "" maxraji mos keladi. Kotangent qiymatlari rasmda ko'rsatilgan o'qlarga muvofiq o'tkaziladi. Agar siz buni tushunsangiz va diagrammani o'qlar bilan eslab qolsangiz, jadvaldagi barcha qiymatni eslab qolish kifoya qiladi.
Aylanadagi nuqtaning koordinatalari
Aylanada nuqtani (uning koordinatalarini) topish mumkinmi? aylana markazining koordinatalarini, uning radiusini va burilish burchagini bilish?
Xo'sh, albatta qila olasiz! Keling, chiqaraylik nuqta koordinatalarini topishning umumiy formulasi.
Bu erda, masalan, bizda shunday doira bor:
Bizga nuqta aylananing markazi ekanligi berilgan. Doira radiusi teng. Nuqtani gradusga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, nuqta koordinatasi segment uzunligiga to'g'ri keladi. Segmentning uzunligi aylana markazining koordinatasiga mos keladi, ya'ni unga teng. Segment uzunligini kosinus ta'rifi yordamida ifodalash mumkin:
Keyin biz koordinatani nuqta uchun olamiz.
Xuddi shu mantiq bilan nuqta uchun y koordinata qiymatini topamiz. Shunday qilib,
Shunday qilib, umumiy ma'noda, nuqtalarning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi:
Doira markazi koordinatalari,
aylana radiusi,
Radius vektorining aylanish burchagi.
Ko'rib turganingizdek, biz ko'rib chiqayotgan birlik doirasi uchun bu formulalar sezilarli darajada kamayadi, chunki markazning koordinatalari nolga, radius esa birga teng:
Xo'sh, keling, ushbu formulalarni tatib ko'rish uchun, aylana bo'ylab nuqtalarni topishni mashq qilaylikmi?
1. Nuqtani yoqish natijasida olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
2. Nuqtani aylantirib olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
3. Nuqtani yoqish natijasida olingan birlik doiradagi nuqtaning koordinatalarini toping.
4. Nuqta - aylananing markazi. Doira radiusi teng. Dastlabki radius vektorini ga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
5. Nuqta - aylananing markazi. Doira radiusi teng. Dastlabki radius vektorini ga aylantirish orqali olingan nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Aylanadagi nuqtaning koordinatalarini topishda muammo bormi?
Ushbu beshta misolni yeching (yoki yechimni yaxshi tushuning) va siz ularni qanday topishni o'rganasiz!
1.
Buni ko'rish mumkin. Va biz boshlang'ich nuqtaning to'liq burilishiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:
2. Doira nuqtada markazga ega birlikdir, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:
Buni ko'rish mumkin. Biz boshlang'ich nuqtaning ikkita to'liq aylanishiga nima mos kelishini bilamiz. Shunday qilib, kerakli nuqta burilish paytida bo'lgani kabi bir xil holatda bo'ladi. Buni bilib, biz nuqtaning kerakli koordinatalarini topamiz:
Sinus va kosinus jadval qiymatlari. Biz ularning qadriyatlarini eslaymiz va olamiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
3. Doira nuqtada markazga ega birlikdir, ya'ni biz soddalashtirilgan formulalardan foydalanishimiz mumkin:
Buni ko'rish mumkin. Keling, ko'rib chiqilgan misolni rasmda tasvirlaymiz:
Radius o'qi bilan burchaklarni va ga teng qiladi. Kosinus va sinusning jadval qiymatlari teng ekanligini bilib, bu erda kosinus manfiy qiymatga ega ekanligini va sinus ijobiy ekanligini aniqlab, biz:
Mavzuda trigonometrik funktsiyalarni qisqartirish formulalarini o'rganishda shunga o'xshash misollar batafsilroq tahlil qilinadi.
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
4.
Radius vektorining aylanish burchagi (shart bo'yicha)
Sinus va kosinusning tegishli belgilarini aniqlash uchun biz birlik doira va burchakni quramiz:
Ko'rib turganingizdek, qiymat, ya'ni ijobiy, qiymat esa, ya'ni salbiy. Tegishli trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlarini bilib, biz quyidagilarni olamiz:
Olingan qiymatlarni formulamizga almashtiramiz va koordinatalarni topamiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
5. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz umumiy shakldagi formulalardan foydalanamiz, bu erda
Doira markazining koordinatalari (bizning misolimizda,
Doira radiusi (shart bo'yicha)
Radius vektorining aylanish burchagi (shart bo'yicha).
Barcha qiymatlarni formulaga almashtiring va quyidagini oling:
va - jadval qiymatlari. Biz ularni eslaymiz va formulaga almashtiramiz:
Shunday qilib, kerakli nuqta koordinatalarga ega.
XULOSA VA ASOSIY FORMULA
Burchakning sinusi - bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning kosinusi - qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning tangensi - qarama-qarshi (uzoq) oyoqning qo'shni (yaqin) nisbati.
Burchakning kotangensi - qo'shni (yaqin) oyoqning qarama-qarshi (uzoq) nisbati.
