Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյան կողմերը մյուսի կողմերի երկարացումն են:
Նկարը ցույց է տալիս անկյունները 1 և 3 , ինչպես նաև անկյունները 2 և 4 - ուղղահայաց: Անկյուն 2 հարում է երկու անկյուններին 1 , և անկյան հետ 3. Ըստ հարակից անկյունների հատկության 1 +2 =180 0 և 3 +2 =1800. Այստեղից մենք ստանում ենք. 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Այսպիսով, անկյունների աստիճանի չափումները 1 և 3 հավասար են. Դրանից բխում է, որ անկյուններն իրենք հավասար են։ Այսպիսով, ուղղահայաց անկյունները հավասար են:
2. Եռանկյունների հավասարության նշաններ.
Եթե մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են երկու կողմերին և նրանց միջև գտնվող մեկ այլ եռանկյան անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:
Եթե մեկ եռանկյան կողմը և երկու հարակից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և երկու հարևան անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են:
3. Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
Եռանկյունների հավասարության 1 նշան.
Դիտարկենք ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները, որոնցում AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, A և A 1 անկյունները հավասար են: Փաստենք, որ ABC=A 1 B 1 C 1:
Քանի որ (y) A \u003d (y) A 1, ապա ABC եռանկյունը կարող է դրվել A 1 B 1 C 1 եռանկյունու վրա այնպես, որ A գագաթը հավասարեցվի A1 գագաթին, իսկ AB և AC կողմերը վերադրվեն, համապատասխանաբար A 1 B 1 և A 1 C 1 ճառագայթների վրա: Քանի որ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, ապա AB կողմը կմիավորվի A 1 B 1 կողմի հետ, իսկ AC կողմը ՝ A 1 C 1 կողմի հետ; մասնավորապես B և B 1, C և C 1 կետերը կհամընկնեն: Հետևաբար, BC և B 1 C 1 կողմերը կհավասարեցվեն: Այսպիսով, ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները լիովին համատեղելի են, ինչը նշանակում է, որ դրանք հավասար են: CTD
3. Հավասարսուռ եռանկյան կիսաչափի թեորեմը.
Հավասարսուռ եռանկյունում դեպի հիմքը գծված կիսանդրին միջինն է և բարձրությունը:
Անդրադառնանք նկարին, որում ABC-ն հավասարաչափ եռանկյուն է BC հիմքով, AD-ն նրա կիսորդն է:
ABD և ACD եռանկյունների հավասարությունից (ըստ եռանկյունների հավասարության 2-րդ չափանիշի՝ AD ընդհանուր է, 1-ին և 2-րդ անկյունները հավասար են, քանի որ AD-բիսեկտորը, AB=AC, քանի որ եռանկյունը հավասարաչափ է) հետևում է, որ BD. = DC և 3 = 4: BD = DC հավասարությունը նշանակում է, որ D կետը BC կողմի միջնակետն է, և հետևաբար AD-ը ABC եռանկյան միջինն է: Քանի որ 3-րդ և 4-րդ անկյունները միմյանց կից և հավասար են, դրանք ուղիղ անկյուններ են: Հետևաբար, AO հատվածը նաև ABC եռանկյան բարձրությունն է: CHTD.
4. Եթե ուղիղները զուգահեռ են -> անկյուն…. (ըստ ցանկության)
5. Եթե անկյունը ... ..-> ուղիղները զուգահեռ են (ըստ ցանկության)
Եթե հատվածի երկու ուղիղների հատման կետում համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են։
Թող հատվածի a և b ուղիղների հատման կետում համապատասխան անկյունները հավասար լինեն, օրինակ 1=2։
Քանի որ 2 և 3 անկյունները ուղղահայաց են, ուրեմն 2=3: Այս երկու հավասարություններից հետևում է, որ 1=3։ Բայց 1 և 3 անկյունները խաչաձև են, ուստի a և b ուղիղները զուգահեռ են: CHTD.
6. Թեորեմ եռանկյան անկյունների գումարի մասին.
Եռանկյան անկյունների գումարը 180 0 է.
Դիտարկենք կամայական ABC եռանկյունը և ապացուցեք, որ A+B+C=180 0:
B գագաթի միջով անցնենք a ուղիղ գիծ՝ AC կողմին զուգահեռ: 1-ին և 4-րդ անկյունները խաչաձև ընկած անկյուններ են AB հատվածով a և AC զուգահեռ ուղիղների հատման վայրում, իսկ 3 և 5 անկյունները՝ BC հատվածով նույն զուգահեռ գծերի հատման խաչմերուկ ընկած անկյունները: Հետևաբար (1)4=1; 5=3.
Ակնհայտ է, որ 4, 2 և 5 անկյունների գումարը հավասար է B գագաթով ուղիղ անկյան, այսինքն. 4+2+5=1800 . Այսպիսով, հաշվի առնելով հավասարումները (1), ստանում ենք՝ 1+2+3=180 0 կամ A+B+C=180 0:
7. Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշան.
1. Զուգահեռության առաջին նշանը.
Եթե երկու ուղիղների մեկ երրորդով հատման պահին ներքին անկյունները հավասար են, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են:
Թող AB և CD տողերը հատվեն EF տողով և ∠1 = ∠2: Վերցնենք O կետը՝ EF հատվածի KL հատվածի կեսը (նկ.):
Եկեք ուղղահայաց OM-ը գցենք O կետից դեպի AB ուղիղ և շարունակենք այն մինչև այն հատվի CD, AB ⊥ MN ուղիղի հետ: Այդ CD ⊥ MN-ն էլ ապացուցենք։
Դա անելու համար հաշվի առեք երկու եռանկյունիներ՝ MOE և NOK: Այս եռանկյունները հավասար են միմյանց: Իրոք. ∠1 = ∠2 թեորեմի վարկածով; OK = OL - ըստ շինարարության;
∠MOL = ∠NOK որպես ուղղահայաց անկյուններ: Այսպիսով, մեկ եռանկյան կողմը և նրան հարող երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և դրան հարող երկու անկյուններին. հետևաբար, ΔMOL = ΔNOK, և հետևաբար ∠LMO = ∠KNO,
բայց ∠LMO-ն ուղղակի է, հետևաբար ∠KNO-ն նույնպես ուղիղ է: Այսպիսով, AB և CD ուղիղները ուղղահայաց են նույն MN ուղիղին, հետևաբար, դրանք զուգահեռ են, ինչը պետք է ապացուցվեր։
Նշում. MO և CD գծերի հատումը կարելի է հաստատել՝ MOL եռանկյունը O կետի շուրջը 180°-ով պտտելով։
2. Զուգահեռության երկրորդ նշանը.
Տեսնենք, թե արդյոք AB և CD ուղիղները զուգահեռ են, եթե իրենց EF երրորդ ուղիղի հատման կետում համապատասխան անկյունները հավասար են։
Թող որոշ համապատասխան անկյուններ հավասար լինեն, օրինակ ∠ 3 = ∠2 (նկ.);
∠3 = ∠1 որպես ուղղահայաց անկյուններ; ուրեմն ∠2-ը հավասար կլինի ∠1-ի: Բայց 2-րդ և 1-ին անկյունները ներքին խաչաձև անկյուններ են, և մենք արդեն գիտենք, որ եթե երկու ուղիղների մեկ երրորդով խաչմերուկում ներքին խաչաձև ընկած անկյունները հավասար են, ապա այս ուղիղները զուգահեռ են: Ուստի ԱԲ || CD.
Եթե երրորդի երկու ուղիղների հատման կետում համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա այս երկու ուղիղները զուգահեռ են։
Այս հատկության վրա է հիմնված քանոնի և գծագրման եռանկյունու օգնությամբ զուգահեռ գծերի կառուցումը։ Դա արվում է հետևյալ կերպ.
Եկեք մի եռանկյուն կցենք քանոնին, ինչպես ցույց է տրված Նկ. Մենք կտեղափոխենք եռանկյունին այնպես, որ նրա մի կողմը սահի քանոնի երկայնքով, և մի քանի ուղիղ գծեր գծենք եռանկյունու ցանկացած մյուս կողմի երկայնքով: Այս տողերը կլինեն զուգահեռ:
3. Զուգահեռության երրորդ նշանը.
Տեղեկացնենք, որ AB և CD երկու ուղիղների երրորդ տողով հատման դեպքում ցանկացած ներքին միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 2-ի։ դ(կամ 180 °): Արդյո՞ք AB և CD ուղիղներն այս դեպքում զուգահեռ կլինեն (նկ.):
Թող ∠1 և ∠2 լինեն միակողմանի ներքին անկյուններ և գումարենք մինչև 2 դ.
Բայց ∠3 + ∠2 = 2 դորպես հարակից անկյուններ: Հետևաբար, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2:
Այսպիսով, ∠1 = ∠3, և այս ներքին անկյունները խաչաձև են: Ուստի ԱԲ || CD.
Եթե երկու ուղիղները երրորդով հատվում են, ապա ներքին միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է. 2 d (կամ 180°), ապա երկու ուղիղները զուգահեռ են։
Զուգահեռ գծերի նշաններ.
1. Եթե երկու ուղիղ գծերի մեկ երրորդով հատման ժամանակ ներքին խաչաձև ընկած անկյունները հավասար են, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են:2. Եթե երրորդի երկու ուղիղների հատման կետում համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա այս երկու ուղիղները զուգահեռ են։
3. Եթե երրորդի երկու ուղիղների հատման կետում ներքին միակողմանի անկյունների գումարը 180 ° է, ապա այս երկու ուղիղները զուգահեռ են։
4. Եթե երրորդ ուղղին զուգահեռ են երկու ուղիղ, ապա դրանք զուգահեռ են միմյանց։
5. Եթե երկու ուղիղ ուղղահայաց են երրորդ ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են միմյանց:
Էվկլիդեսի զուգահեռության աքսիոմը
Առաջադրանք. M կետի միջով, որը վերցված է AB ուղիղից դուրս, գծեք AB ուղղին զուգահեռ ուղիղ:
Օգտագործելով ապացուցված թեորեմները ուղիղների զուգահեռության նշանների վերաբերյալ՝ այս խնդիրը կարելի է լուծել տարբեր ձևերով.
Լուծում. 1-ին s o s o b (նկ. 199):
Նկարում ենք MN⊥AB և M կետով գծում ենք CD⊥MN;
մենք ստանում ենք CD⊥MN և AB⊥MN:
Ելնելով թեորեմից («Եթե երկու ուղիղները ուղղահայաց են նույն ուղիղին, ապա դրանք զուգահեռ են») եզրակացնում ենք, որ СD || ԱԲ.
2-րդ s p o s o b (նկ. 200):
Ցանկացած α անկյան տակ AB հատող MK գծում ենք, իսկ M կետով ուղիղ EF գծում ենք՝ MK ուղիղ գծով EMK անկյուն կազմելով, որը հավասար է α անկյան: Ելնելով թեորեմից () եզրակացնում ենք, որ EF || ԱԲ.
Այս խնդիրը լուծելով՝ մենք կարող ենք ապացուցված համարել, որ AB ուղիղից դուրս վերցված M ցանկացած կետի միջով հնարավոր է դրան զուգահեռ ուղիղ գծել։ Հարց է առաջանում՝ տվյալ ուղիղին զուգահեռ և տվյալ կետով անցնող քանի՞ ուղիղ կարող է լինել։
Շինարարության պրակտիկան մեզ թույլ է տալիս ենթադրել, որ կա միայն մեկ այդպիսի գիծ, քանի որ ուշադիր կատարված գծագրով տարբեր ձևերով գծված գծերը միաձուլվում են նույն գծին զուգահեռ նույն կետով:
Տեսականորեն այս հարցի պատասխանը տրվում է Էվկլիդեսի զուգահեռականության այսպես կոչված աքսիոմով. այն ձևակերպված է այսպես.
Տրված գծից դուրս վերցված կետի միջով այս ուղիղին զուգահեռ կարելի է անցկացնել միայն մեկ ուղիղ:
201 գծագրում O կետի միջով AB ուղիղ գծին զուգահեռ անցկացվում է SK ուղիղ:
O կետով անցնող ցանկացած այլ ուղիղ այլեւս զուգահեռ չի լինի AB ուղղին, այլ կհատի այն:
Էվկլիդեսի կողմից ընդունված աքսիոմն իր «Էլեմենտներ»-ում, որն ասում է, որ հարթության վրա, որը անցնում է տվյալ ուղիղից դուրս գտնվող կետով, այս ուղիղին զուգահեռ կարող է գծվել միայն մեկ ուղիղ, կոչվում է. Էվկլիդեսի զուգահեռության աքսիոմը.
Էվկլիդեսից հետո ավելի քան երկու հազար տարի շատ մաթեմատիկոսներ փորձում էին ապացուցել այս մաթեմատիկական դրույթը, սակայն նրանց փորձերը միշտ անհաջող էին։ Միայն 1826 թվականին ռուս մեծ գիտնական, Կազանի համալսարանի պրոֆեսոր Նիկոլայ Իվանովիչ Լոբաչևսկին ապացուցեց, որ օգտագործելով Էվկլիդեսի մյուս բոլոր աքսիոմները, այս մաթեմատիկական դրույթը հնարավոր չէ ապացուցել, որ այն իսկապես պետք է ընկալվի որպես աքսիոմա: Ն.Ի.Լոբաչևսկին ստեղծեց նոր երկրաչափություն, որը, ի տարբերություն Էվկլիդեսի երկրաչափության, կոչվում էր Լոբաչևսկու երկրաչափություն։
ԱԲև ԻՑԴհատեց երրորդ գիծը MN, ապա այս դեպքում ձևավորված անկյունները զույգերով ստանում են հետևյալ անվանումները.համապատասխան անկյունները 1 և 5, 4 և 8, 2 և 6, 3 և 7;
ներքին խաչաձեւ պառկած անկյունները 3 և 5, 4 և 6;
արտաքին խաչաձև պառկած անկյուններ 1 և 7, 2 և 8;
ներքին միակողմանի անկյուններ 3 և 6, 4 և 5;
արտաքին միակողմանի անկյուններ 1 և 8, 2 և 7:
Այսպիսով, ∠ 2 = ∠ 4 և ∠ 8 = ∠ 6, բայց ապացուցված ∠ 4 = ∠ 6:
Հետևաբար, ∠ 2 = ∠ 8:
3. Համապատասխան անկյուններ 2-ը և 6-ը նույնն են, քանի որ ∠ 2 = ∠ 4 և ∠ 4 = ∠ 6: Մենք նաև համոզվում ենք, որ մյուս համապատասխան անկյունները հավասար են:
4. Գումար ներքին միակողմանի անկյուններ 3-ը և 6-ը կլինեն 2d, քանի որ գումարը հարակից անկյունները 3-ը և 4-ը հավասար է 2d = 180 0-ի, իսկ ∠ 4-ը կարող է փոխարինվել նույնական ∠ 6-ով: Նաև համոզվեք, որ անկյունների գումարը 4-ը և 5-ը հավասար է 2d-ի:
5. Գումար արտաքին միակողմանի անկյուններկլինի 2d, քանի որ այս անկյունները համապատասխանաբար հավասար են ներքին միակողմանի անկյուններինչպես անկյունները ուղղահայաց.
Վերևում ապացուցված հիմնավորումից մենք ստանում ենք հակադարձ թեորեմներ.
Երբ կամայական երրորդ գծի երկու տողերի խաչմերուկում մենք ստանում ենք, որ.
1. Ներքին խաչաձև պառկած անկյունները նույնն են.
կամ 2.Արտաքին խաչի պառկած անկյունները նույնն են.
կամ 3.Համապատասխան անկյունները նույնն են.
կամ 4.Ներքին միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 2d = 180 0;
կամ 5.Արտաքին միակողմանի գումարը 2d = 180 0 է ,
ապա առաջին երկու ուղիղները զուգահեռ են։
Երկու ուղիղների զուգահեռության նշաններ
Թեորեմ 1. Եթե սեկանտի երկու ուղիղների հատման կետում.
անկյունագծով ընկած անկյունները հավասար են, կամ
համապատասխան անկյունները հավասար են, կամ
միակողմանի անկյունների գումարը 180° է, ապա
գծերը զուգահեռ են(նկ. 1):
Ապացույց. Մենք սահմանափակվում ենք գործի 1-ին ապացույցով։
Ենթադրենք, որ a և b ուղիղների հատման կետում AB հատվող անկյունները հավասար են: Օրինակ՝ ∠ 4 = ∠ 6. Ապացուցենք, որ a || բ.
Ենթադրենք, որ a և b ուղիղները զուգահեռ չեն: Այնուհետև դրանք հատվում են M կետում և, հետևաբար, 4 կամ 6 անկյուններից մեկը կլինի ABM եռանկյան արտաքին անկյունը։ Հստակության համար թող ∠ 4-ը լինի ABM եռանկյան արտաքին անկյունը, իսկ ∠ 6-ը՝ ներքինը: Եռանկյան արտաքին անկյան թեորեմից հետևում է, որ ∠ 4-ը մեծ է ∠ 6-ից, և դա հակասում է պայմանին, ինչը նշանակում է, որ a և 6 ուղիղները չեն կարող հատվել, հետևաբար դրանք զուգահեռ են։
Եզրակացություն 1. Նույն ուղիղին ուղղահայաց հարթության երկու տարբեր ուղիղներ զուգահեռ են(նկ. 2):
Մեկնաբանություն. Այն ձևը, որով մենք հենց նոր ապացուցեցինք 1-ին թեորեմի 1-ին դեպքը, կոչվում է հակասության միջոցով ապացուցման մեթոդ կամ աբսուրդի վերածում: Այս մեթոդը ստացել է իր առաջին անվանումը, քանի որ պատճառաբանության սկզբում արվում է ենթադրություն, որը հակառակ է (հակառակ) այն, ինչ պահանջվում է ապացուցել: Դա կոչվում է աբսուրդի իջեցում այն պատճառով, որ, վիճելով արված ենթադրության հիման վրա, գալիս ենք անհեթեթ եզրակացության (աբսուրդի)։ Նման եզրակացություն ստանալը մեզ ստիպում է մերժել սկզբում արված ենթադրությունը և ընդունել այն, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։
Առաջադրանք 1.Կառուցեք տրված M կետով անցնող և տրված a ուղիղին զուգահեռ ուղիղ՝ չանցնելով M կետով:
Լուծում. Ա ուղղին ուղղահայաց M կետով p ուղիղ ենք գծում (նկ. 3):
Այնուհետև p ուղղին ուղղահայաց M կետով b ուղիղ ենք գծում: b ուղիղը զուգահեռ է a ուղիղին ըստ 1-ին թեորեմի եզրակացության։
Դիտարկված խնդրից բխում է կարևոր եզրակացություն.
Տրված գծի վրա չգտնվող կետի միջով միշտ կարելի է տվյալ գծին զուգահեռ ուղիղ գծել։.
Զուգահեռ ուղիղների հիմնական հատկությունը հետևյալն է.
Զուգահեռ ուղիղների աքսիոմա. Տրված կետով ոչ տրված ուղիղի միջով, տրված ուղիղին զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ է:
Դիտարկենք այս աքսիոմից բխող զուգահեռ ուղիղների որոշ հատկություններ:
1) Եթե ուղիղը հատում է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը, ապա այն հատում է մյուսը (նկ. 4):
2) Եթե երկու տարբեր ուղիղներ զուգահեռ են երրորդ ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են (նկ. 5):
Ճիշտ է նաև հետևյալ թեորեմը.
Թեորեմ 2. Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են սեկանտով, ապա.
պառկած անկյունները հավասար են;
համապատասխան անկյունները հավասար են;
միակողմանի անկյունների գումարը 180° է։
Հետևանք 2. Եթե ուղիղը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին:(տես նկ.2):
Մեկնաբանություն. Թեորեմ 2-ը կոչվում է 1-ին թեորեմի հակադարձ: Թեորեմ 1-ի եզրակացությունը 2-րդ թեորեմի պայմանն է: Իսկ թեորեմ 1-ի պայմանը թեորեմ 2-ի եզրակացությունն է: Ամեն թեորեմ չէ, որ ունի հակադարձ, այսինքն, եթե տրված թեորեմը ճշմարիտ է, ապա հակադարձ թեորեմը կարող է կեղծ լինել:
Սա բացատրենք ուղղահայաց անկյունների թեորեմի օրինակով։ Այս թեորեմը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ՝ եթե երկու անկյունները ուղղահայաց են, ապա դրանք հավասար են։ Հակադարձ թեորեմը հետևյալն է. եթե երկու անկյունները հավասար են, ապա դրանք ուղղահայաց են: Եվ սա, իհարկե, ճիշտ չէ։ Երկու հավասար անկյունները բոլորովին պարտադիր չէ, որ ուղղահայաց լինեն:
Օրինակ 1Երկու զուգահեռ գծերը հատվում են երրորդով: Հայտնի է, որ երկու ներքին միակողմանի անկյունների տարբերությունը 30° է։ Գտեք այդ անկյունները:
Լուծում. Թող 6-րդ նկարը համապատասխանի պայմանին:
