Молекулярная кинетика. Школьная энциклопедия. Параметры и функции состояния. Уравнение состояния идеального газа

Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) - теория, возникшая в XIX веке и рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

все тела состоят из частиц: атомов , молекул и ионов ;

частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);

частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений .

МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена целым рядом опытных фактов. Основными доказательствами положений МКТ стали:

Диффузия

Броуновское движение

Изменение агрегатных состояний вещества

На основе МКТ развит целый ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика . В этих разделах физики изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.

Идеальный газ - математическая модель газа , в которой предполагается, что: 1) потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией ; 2) суммарный объем молекул газа пренебрежимо мал. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги , а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. В расширенной модели идеального газа частицы, из которого он состоит, имеют также форму в виде упругих сфер или эллипсоидов , что позволяет учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц и др.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми - Дирака или Бозе - Эйнштейна )

Классический идеальный газ

Объём идеального газа линейно зависит от температуры при постоянном давлении

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, переданному при столкновении частиц со стенкой в единицу времени, внутренняя энергия - сумме энергий частиц газа.

По эквивалентной формулировке идеальный газ - такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля - Мариотта и Гей-Люссака , то есть:

где - давление, - абсолютная температура. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева - Клапейрона

,

где - , - масса, - молярная масса .

где - концентрация частиц , - постоянная Больцмана .

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера :

где - универсальная газовая постоянная , - молярная теплоемкость при постоянном давлении, - молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Статистический расчет распределения скоростей молекул был выполнен Максвеллом.

Рассмотрим результат, полученный Максвеллом в виде графика.

Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.

Нельзя ставить вопрос: сколько молекул обладает определенной скоростью. Дело в том, что, хоть число молекул очень велико в любом даже малом объеме, но количество значений скорости сколь угодно велико (как чисел в последовательном ряде), и может случиться, что ни одна молекула не обладает заданной скоростью.

Рис. 3.3

Задачу о распределении молекул по скоростям следует сформулировать следующим образом. Пусть в единице объема n молекул. Какая доля молекул имеет скорости от v 1 до v 1 + Δv ? Это статистическая задача.

Основываясь на опыте Штерна, можно ожидать, что наибольшее число молекул будут иметь какую-то среднюю скорость, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика. Необходимые измерения показали, что доля молекул , отнесенная к интервалу скорости Δv , т.е. , имеет вид, показанный на рис. 3.3. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла.

Выведем функцию распределения молекул идеального газа по скоростям

- интервал скоростей вблизи скорости .

- число молекул, скорости которых лежат в интервале
.

- число молекул в рассматриваемом объеме.

- угол молекул, скорости которых принадлежат интервалу
.

- доля молекул в единичном интервале скоростей вблизи скорости .

- формула Максвелла.

Используя статистические методы Максвелла получим следующую формулу:

.

- масса одной молекулы,
- постоянная Больцмана.

Наивероятнейшая скорость определяется из условия
.

Решая получаем
;
.

Обозначим ч/з
.

Тогда
.

Рассчитаем долю молекул в заданном интервале скоростей вблизи заданной скорости в заданном направлении.

.

.

- доля молекул, которые имеют скорости в интервале
,
,
.

Развивая идеи Максвелла Больцман рассчитал распределение молекул по скоростям в силовом поле. В отличие от распределения Максвелла в распределении Больцмана вместо кинетической энергии молекул фигурирует сумма кинетической и потенциальной энергии.

В распределении Максвелла:
.

В распределении Больцмана:
.

В гравитационном поле

.

Для концентрации молекул идеального газа имеет место формула:

и соответственно.

- распределение Больцмана.

- концентрация молекул у поверхности Земли.

- концентрация молекул на высоте .

Теплоемкость.

Теплоемкостью тела называется физическая величина, равная отношению

,
.

Теплоемкость одного моля – молярная теплоемкость

.

Т.к.
- функция процесса
, то
.

Учитывая

;

;



.

- формула Майера.

Т.о. задача вычисления теплоемкости сводится к нахождению .

.

Для одного моля:

, отсюда
.

Двухатомный газ (О 2 , N 2 , Cl 2 , СО и т.д.).

(модель жесткой гантели).

Полное число степеней свободы:

.

Тогда
, то

;
.

Это значит, что теплоемкость должна быть постоянной. Вместе с тем опыт говорит, что теплоемкость зависит от температуры.

При понижении температуры "замараживаются" сначала колебательные степени свободы, а затем и вращательные степени свободы.

Согласно законам квантовой механики энергия гармонического осциллятора с классической частотой может принимать только дискретный набор значений

Многоатомные газы (H 2 O, CH 4 , C 4 H 10 O и т.д.).

;
;
;

Сравним теоретические данные с опытными.

Видно, что 2-х атомных газов равняется , но изменяется при низких температурах вопреки теории теплоемкости.

Такой ход кривой от свидетельствует о «замораживании» степеней свободы. Наоборот при больших температурах подключаются дополнительные степени свободы  эти данные ставят под сомнение теорему о равномерном распределении. Современная физика позволяет объяснить зависимость от используя квантовые представления.

Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности двухатомных газов) от температуры. Согласно положениям квантовой механики, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы практически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно поведению одноатомного. Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между соседними колебательными уровнями (), то с ростом температуры сначала возбуждаются вращательные степени свободы. В результате этого возрастает теплоемкость. При дальнейшем увеличении температуры возбуждаются и колебательные степени свободы, и происходит дальнейший рост теплоемкости. А. Эйнштейн, приближенно считал, что колебания атомов кристаллической решетки независимы. Используя модель кристалла как совокупность независимо колеблющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов, он создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристаллической решетки. Эта теория впоследствии была развита Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Рассмотрев непрерывный спектр частот осцилляторов, Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания на низких частотах, соответствующих упругим волнам. Тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулярно–волновому дуализму свойств вещества, упругие волны в кристалле сопоставляют сквазичастицами–фононами , обладающими энергией . Фонон – квант энергии упругой волны, являющийся элементарным возбуждением, ведущим себя подобно микрочастице. Как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, так квантование упругих волн (как результата теплового колебания молекул твердых тел) привело к представлению о фононах. Энергия кристаллической решетки складывается из энергии фононного газа. Квазичастицы (в частности фононы) сильно отличаются от обычных микрочастиц (электронов, протонов, нейтронов и т.д.), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы.

Фононы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле.

Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при столкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке – импульс при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Фононы имеют спин, равный нулю, и являются бозонами, а потому фононный газ подчиняется статистике Бозе–Эйнштейна.

Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным.

Применение статистики Бозе–Эйнштейна к фононному газу (газу из независимых бозе–частиц) привело Дебая к следующему количественному выводу. При высоких температурах, которые много больше характеристической температуры Дебая (классическая область), теплоемкость твердых тел описывается законом Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и не зависит от температуры. При низких температурах, когда (квантовая область), теплоемкость пропорциональна третьей степени термодинамической температуры: Характеристическая температура Дебая равна: , где – предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.

Центральное понятие этой темы - понятие молекулы; слож­ность его усвоения школьниками связана с тем, что молекула - объект, непосредственно ненаблюдаемый. Поэтому учитель дол­жен убедить десятиклассников в реальности микромира, в возмож­ности его познания. В связи с этим большое внимание уделяют рассмотрению экспериментов, доказывающих существование и движение молекул и позволяющих вычислить их основные ха­рактеристики (классические опыты Перрена, Рэлея и Штерна). Кроме этого, целесообразно ознакомить учащихся с расчетными методами определения характеристик молекул. При рассмотрении доказательства существования и движения молекул рассказывают учащимся о наблюдениях Броуном беспо­рядочного движения мелких взвешенных частиц, которое не прекращалось в течение всего времени наблюдения. В то время не было дано правильного объяснения причины этого движения, и лишь спустя почти 80 лет А. Эйнштейн и М. Смолуховский построили, а Ж. Перрен экспериментально подтвердил теорию броу­новского движения. Из рассмотрения опытов Броуна необходимо сделать следую­щие выводы: а) движение броуновских частиц вызывается уда­рами молекул вещества, в котором эти частицы взвешены; б) броуновское движение непрерывно и беспорядочно, оно зави­сит от свойств вещества, в котором частицы взвешены; в) движе­ние броуновских частиц позволяет судить о движении молекул среды, в которой эти частицы находятся; г) броуновское движение доказывает существование молекул, их движение и непрерывный и хаотический характер этого движения. Подтверждение такого характера движения молекул было по­лучено в опыте французского физика Дюнуайе (1911 г.), который показал, что молекулы газа движутся в различных направлениях и в отсутствие соударений их движение прямолинейно. В настоя­щее время факт существования молекул ни у кого не вызывает сомнения. Развитие техники позволило непосредственно наблю­дать крупные молекулы. Рассказ о броуновском движении целесообразно сопровождать демонстрацией модели броуновского движения в вертикальной проекции с помощью проекционного фонаря или кодоскопа, а так­же показом кинофрагмента «Броуновское движение» из кинофиль­ма «Молекулы и молекулярное движение». Кроме того, полезно провести наблюдение броуновского движе­ния в жидкостях с помощью микроскопа. Препарат изготавлива­ют из смеси равных частей двух растворов: 1%-ного раствора серной кислоты и 2%-ного водного раствора гипосульфита. В ре­зультате реакции образуются частицы серы, которые находятся в растворе во взвешенном состоянии. Две капли этой смеси поме­щают на предметное стекло и наблюдают за поведением частиц серы. Препарат можно изготовить из сильно разбавленного рас­твора молока в воде или из раствора акварельной краски в воде. При обсуждении вопроса о размерах молекул рассматривают сущность опыта Р. Рэлея, который заключается в следующем: на поверхность воды, налитой в большой сосуд, помещают каплю оливкового масла. Капля растекается по поверхности воды и об­разует круглую пленку. Рэлей предположил, что, когда капля пере­стает растекаться, ее толщина становится равной диаметру одной молекулы. Опыты показывают, что молекулы различных веществ имеют разные размеры, но для оценки размеров молекул прини­мают величину, равную 10 -10 м. В классе можно проделать ана­логичный опыт. Для демонстрации расчетного метода определения размеров молекул приводят пример вычисления диаметров молекул различ­ных веществ по их плотностям и постоянной Авогадро. Представить малые размеры молекул школьникам трудно, по этому полезно привести ряд примеров сравнительного характера. Например, если увеличить все размеры во столько раз, чтобы молекула была видна (т. е. до 0,1 мм), то песчинка превратилась бы в стометровую скалу, муравей увеличился бы до размеров океанского корабля, человек обладал бы ростом 1700 км. Число молекул в количестве вещества 1 моль можно опреде­лить по результатам опыта с мономолекулярным слоем. Зная диа­метр молекулы, можно найти ее объем и объем количества ве­щества 1 моль, который равен где р - плотность жидкости. Отсюда определяют постоянную Аво­гадро. Расчетный метод заключается в определении числа молекул в количестве вещества 1 моль по известным значениям молярной массы и массы одной молекулы вещества. Значение постоянной Авогадро, по современным данным, 6,022169*10 23 моль -1 . С рас­четным методом определения постоянной Авогадро можно ознако­мить учащихся, предложив ее вычислить по значениям молярных масс разных веществ. Следует ознакомить школьников с числом Лошмидта, которое показывает, какое число молекул содержится в единице объема газа при нормальных условиях (оно равно 2,68799*10 -25 м -3). Де­сятиклассники могут самостоятельно определить число Лошмидта для нескольких газов и показать, что оно во всех случаях одно и то же. Приводя примеры, можно создать у ребят представление о том, насколько большим является число молекул в единице объе­ма. Если в резиновом воздушном шаре сделать прокол настолько тонкий, что через него каждую секунду будет выходить по 1 000 000 молекул, то понадобится примерно 30 млрд. лет, чтобы все молекулы вышли. Один из методов определения массы молекул основан на опыте Перрена, который исходил из того, что капли смолы в воде ведут себя так же, как молекулы в атмосфере. Перрен подсчитывал число капелек в разных слоях эмульсии, выделив с помощью мик­роскопа слои толщиной 0,0001 см. Высота, на которой таких капе­лек в два раза меньше, чем у дна, была равна h = 3*10 -5 м. Мас­са одной капли смолы оказалась равной М = 8,5*10 -18 кг. Если бы наша атмосфера состояла только из молекул кислорода, то на высоте Н=5 км плотность кислорода была бы в два раза меньше, чем у поверхности Земли. Записывают пропорцию m/M=h/H, откуда находят массу молекулы кислорода m=5,1*10 -26 кг. Предлагают учащимся самостоятельно рассчитать массу молекулы водорода, плотность которого в два раза мень­ше, чем у поверхности Земли, на высоте H=80 км. В настоящее время значения масс молекул уточнены. Напри­мер, для кислорода установлено значение 5,31*10 -26 кг, а для во­дорода - 0,33*10 -26 кг. При обсуждении вопроса о скоростях движения молекул уча­щихся знакомят с классическим опытом Штерна. При объяснении опыта целесообразно создать его модель с помощью прибора «Вращающийся диск с принадлежностями». На краю диска в вер­тикальном положении укрепляют несколько спичек, в центре диска - трубку с желобом. Когда диск неподвижен, шарик, опу­щенный в трубку, скатываясь по желобу, сбивает одну из спичек. Затем диск приводят во вращение с определенной скоростью, за­фиксированной по тахометру. Вновь пущенный шарик отклонится от первоначального направления движения (относительно диска) и собьет спичку, находящуюся на некотором расстоянии от первой. Зная это расстояние, радиус диска и скорость шарика на ободе диска, можно определить скорость движения шарика по радиусу. После этого целесообразно рассмотреть сущность опыта Штерна и конструкцию его установки, используя для иллюстрации кино­фрагмент «Опыт Штерна». Обсуждая результаты опыта Штерна, обращают внимание на то, что существует определенное распределение молекул по ско­ростям, о чем свидетельствует наличие у полоски напыленных атомов определенной ширины, причем толщина этой, полоски различна. Кроме того, важно отметить, что молекулы, движу­щиеся с большой скоростью, оседают ближе к месту напротив щели. Наибольшее число молекул имеет наиболее вероятную скорость. Необходимо сообщить учащимся, что теоретически закон рас­пределения молекул по скоростям был открыт Дж. К. Максвел­лом. Распределение молекул по скоростям может быть промодели­ровано на доске Гальтона. Вопрос о взаимодействии молекул школьники уже изучали в VII классе, в X классе знания по этому вопросу углубляют и рас­ширяют. Необходимо подчеркнуть следующие моменты: а) меж­молекулярное взаимодействие имеет электромагнитную природу; б) межмолекулярное взаимодействие характеризуется силами при­тяжения и отталкивания; в) силы межмолекулярного взаимодейст­вия действуют на расстояниях, не больших 2-3 диаметров моле­кул, причем на этом расстоянии заметна лишь сила притяжения, силы отталкивания практически равны нулю; г) по мере умень­шения расстояния между молекулами силы взаимодействия уве­личиваются, причем сила отталкивания растет быстрее (пропорционально г -9), чем сила притяжения (пропорционально r -7 ). Поэтому при уменьшении расстояния между молекулами сначала преобладает сила притяжения, затем при некотором расстоянии r о сила притяжения равна силе отталкивания и при дальнейшем сближении преобладает сила отталкивания. Все вышесказанное целесообразно проиллюстрировать графи­ком зависимости от расстояния сначала силы притяжения, силы отталкивания, а затем равнодействующей силы. Полезно постро­ить график потенциальной энергии взаимодействия, который в дальнейшем можно использовать при рассмотрении агрегатных состояний вещества. Внимание десятиклассников обращают на то, что состоянию устойчивого равновесия взаимодействующих частиц соответствует равенство нулю равнодействующей сил взаимодействия и наи­меньшее значение их взаимной потенциальной энергии. В твердом теле энергия взаимодействия частиц (энергия свя­зи) много больше кинетической энергии их теплового движения, поэтому движение частиц твердого тела представляет собой коле­бания относительно узлов кристаллической решетки. Если кинети­ческая энергия теплового движения молекул много больше потен­циальной энергии их взаимодействия, то движение молекул полно­стью беспорядочное и вещество существует в газообразном состоянии. Если кинетическая энергия теплового движения частиц сравнима с потенциальной энергией их взаимодействия, то веще­ство находится в жидком состоянии.

Вещество состоит из частиц.

Молекула - это самая маленькая частица вещества, которая обладает его основными химическими свойствами.

Молекула состоит из атомов. Атом - наименьшая частица вещества, которая не делится при химических реакциях.

Многие молекулы состоят из двух или больше атомов, удерживаемых вместе химическими связями. Некоторые молекулы состоят из сотен тысяч атомов.

Второе положение молекулярно-кинетической теории

Молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении. Это движение не зависит от внешних воздействий. Движение происходит в непредсказуемом направлении из-за столкновения молекул. Доказательством является броуновское движение частиц (открыто Р.Броуном 1827г). Частицы помещают в жидкость или газ и наблюдают их непредсказуемое движение из-за соударений с молекулами вещества.

Броуновское движение

Доказательством хаотического движения является диффузия - проникновение молекул одного вещества в промежутки между молекулами другого вещества. Например, запах освежителя воздуха мы ощущаем не только в том месте, где его распылили, но он постепенно перемешивается с молекулами воздуха во всей комнате.

Агрегатное состояние вещества

В газах среднее расстояние между молекулами в сотни раз превышает их размеры. В основном молекулы движутся поступательно и равномерно . После столкновений начинают вращаться.

В жидкостях расстояние между молекулами значительно меньше. Молекулы совершают колебательное и поступательное движения. Молекулы через малые промежутки времени скачкообразно переходят в новые положения равновесия (мы наблюдаем текучесть жидкости).

В твердых телах молекулы колеблются и очень редко перемещаются (только при увеличении температуры).

Третье положение молекулярно-кинетической теории

Между молекулами существуют силы взаимодействия, которые имеют электромагнитную природу . Эти силы позволяют объяснить возникновение сил упругости . Когда вещество сжимают, молекулы сближаются, между ними возникает сила отталкивания, когда внешние силы отдаляют молекулы друг от друга (растягивают вещество), между ними возникает сила притяжения.

Плотность вещества

Это скалярная величина, которая определяется по формуле

Плотность веществ - известные табличные значения

Химические характеристики вещества

Постоянная Авогадро N A - число атомов, содержащихся в 12г изотопа углерода

 § 2. Молекулярная физика. Термодинамика

 Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ) заключаются в следующем.
 1. Вещества состоят из атомов и молекул.
 2. Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.
 3. Атомы и молекулы взаимодействуют между собой с силами притяжения и отталкивания
 Характер движения и взаимодействия молекул может быть разным, в связи с этим принято различать 3 агрегатных состояния вещества: твёрдое, жидкое и газообразное . Наиболее сильно взаимодействие между молекулами в твёрдых телах. В них молекулы расположены в так называемых узлах кристаллической решётки, т.е. в положениях, при которых равны силы притяжения и отталкивания между молекулами. Движение молекул в твёрдых телах сводится к колебательному около этих положений равновесия. В жидкостях ситуация отличается тем, что, поколебавшись около каких-то положений равновесия, молекулы часто их меняют. В газах молекулы далеки друг от друга, поэтому силы взаимодействия между ними очень малы и молекулы движутся поступательно, изредка сталкиваясь между собой и со стенками сосуда, в котором они находятся.
 Относительной молекулярной массой M r называют отношение массы m o молекулы к 1/12 массы атома углерода m oc:

Количество вещества в молекулярной физике принято измерять в молях.
 Молем ν называется количество вещества, в котором содержится столько же атомов или молекул (структурных единиц), сколько их содержится в 12 г углерода. Это число атомов в 12 г углерода называется числом Авогадро :

 Молярная масса M = M r · 10 −3 кг/моль - это масса одного моля вещества. Количество молей в веществе можно рассчитать по формуле

 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:

где m 0 - масса молекулы; n - концентрация молекул; Ṽ - средняя квадратичная скорость движения молекул.

 2.1. Газовые законы

 Уравнение состояния идеального газа - уравнение Менделеева-Клапейрона:

 Изотермический процесс (закон Бойля-Мариотта):
Для данной массы газа при неизменной температуре произведение давления на его объём есть величина постоянная:

В координатах p − V изотерма - гипербола, а в координатах V − T и p − T - прямые (см. рис. 4)

 Изохорный процесс (закон Шарля):
Для данной массы газа при неизменном объёме отношение давления к температуре в градусах Кельвина есть величина постоянная (см. рис. 5).

 Изобарный процесс (закон Гей-Люссака):
Для данной массы газа при неизменном давлении отношение объёма газа к температуре в градусах Кельвина есть величина постоянная (см. рис. 6).

 Закон Дальтона :
Если в сосуде находится смесь нескольких газов, то давление смеси равно сумме парциальных давлений, т.е. тех давлений, которые каждый газ создавал бы в отсутствии остальных.

 2.2. Элементы термодинамики

 Внутренняя энергия тела равна сумме кинетических энергий беспорядочного движения всех молекул относительно центра масс тела и потенциальных энергий взаимодействия всех молекул друг с другом.
 Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму кинетических энергий беспорядочного движения его молекул; так как молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, то их потенциальная энергия обращается в нуль.
 Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия

 Количеством теплоты Q называют количественную меру изменения внутренней энергии при теплообмене без совершения работы.
 Удельная теплоёмкость - это количество теплоты, которое получает или отдаёт 1 кг вещества при изменении его температуры на 1 К

 Работа в термодинамике:
работа при изобарном расширении газа равна произведению давления газа на изменение его объёма:

 Закон сохранения энергии в тепловых процессах (первый закон термодинамики):
изменение внутренней энергии системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе:

Применение первого закона термодинамики к изопроцессам:
 а) изотермический процесс T = const ⇒ ∆T = 0.
В этом случае изменение внутренней энергии идеального газа

Следовательно: Q = A.
Всё переданное газу тепло расходуется на совершение им работы против внешних сил;

 б) изохорный процесс V = const ⇒ ∆V = 0.
В этом случае работа газа

Следовательно, ∆U = Q.
Всё переданное газу тепло расходуется на увеличение его внутренней энергии;

 в) изобарный процесс p = const ⇒ ∆p = 0.
В этом случае:

 Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой:

В этом случае A = −∆U , т.е. изменение внутренней энергии газа происходит за счёт совершения работы газа над внешними телами.
 При расширении газ совершает положительную работу. Работа A, совершаемая внешними телами над газом, отличается от работы газа только знаком:

 Количество теплоты, необходимое для нагревания тела в твёрдом или жидком состоянии в пределах одного агрегатного состояния, рассчитывается по формуле

где c - удельная теплоёмкость тела, m - масса тела, t 1 - начальная температура, t 2 - конечная температура.
 Количество теплоты, необходимое для плавления тела при температуре плавления, рассчитывается по формуле

где λ - удельная теплота плавления, m - масса тела.
 Количество теплоты, необходимое для испарения , рассчитывается по формуле

где r - удельная теплота парообразования, m - масса тела.

Для того чтобы превратить часть этой энергии в механическую, чаще всего пользуются тепловыми двигателями. Коэффициентом полезного действия теплового двигателя называют отношение работы A, совершаемой двигателем, к количеству теплоты, полученному от нагревателя:

Французский инженер С. Карно придумал идеальную тепловую машину с идеальным газом в качестве рабочего тела. КПД такой машины

 В воздухе, представляющем из себя смесь газов, наряду с другими газами находятся водяные пары. Их содержание принято характеризовать термином «влажность». Различают абсолютную и относительную влажность.
 Абсолютной влажностью называют плотность водяных паров в воздухе - ρ ([ρ] = г/м 3). Можно характеризовать абсолютную влажность парциальным давлением водяных паров - p ([p] = мм. рт. столба; Па).
 Относительная влажность (ϕ) - отношение плотности водяного пара, имеющегося в воздухе, к плотности того водяного пара, который должен был бы содержаться в воздухе при этой температуре, чтобы пар был насыщенным. Можно измерять относительную влажность как отношение парциального давления водяного пара (p) к тому парциальному давлению (p 0), которое имеет насыщенный пар при этой температуре:

Молекулярно-кинетическая теория описывает поведение и свойства особого идеального объекта, называемого идеальным газом . В основе данной физической модели лежит молекулярное строение вещества. Создание молекулярной теории связано с работами Р. Клаузиуса, Дж. Максвелла, Д. Джоуля и Л. Больцмана.

Идеальный газ . Молекулярно-кинетическая теория идеального газа строится на следующих посылках:

атомы и молекулы можно рассматривать как материальные точки, находящиеся в непрерывном движении;

собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

все атомы и молекулы являются различимыми, то есть существует принципиальная возможность следить за движением каждой частицы;

до столкновения молекул газа между ними отсутствуют силы взаимодействия, а соударения молекул между собой и со стенками сосуда предполагаются абсолютно упругими;

движение каждого атома или молекулы газа описывается законами классической механики.

Законы, полученные для идеального газа можно использовать при изучении реальных газов. Для этого создают экспериментальные модели идеального газа, в которых свойства реального газа близки характеристикам идеального газа (например, при низких давлениях и высоких температурах).

Законы идеального газа

Закон Бойля-Мариотта :

для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная: рV = const , (1.1)

при T = const , m = const .

Кривая, изображающая зависимость между величинами р и V , характеризует свойства вещества при постоянной температуре, и называется изотермой  это гипербола (рис.1.1.), а процесс, протекающий при постоянной температуре, называется изотермическим.

Законы Гей-Люссака :

Объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейнос температурой

V = V 0 (1 +   t ) при Р = const , m = const . (1.2)

p = p 0 (1 +  t ) при V = const , m = const . (1.3)

В уравнениях (1.2) и (1.3) температура выражена по шкале Цельсия, давление и объем – при 0 С, при этом
.

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным , его можно представить в виде линейной функции (рис. 1.2.).

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным (рис. 1.3.).

Из уравнений (1.2) и (1.3) следует, что изобары и изохоры пересекают ось температур в точке t = 1/ =  273,15 С. Если перенести начало отсчета в эту точку, то перейдем к шкале Кельвина.

Вводя в формулы (1.2) и (1.3) термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более удобный вид:

V = V 0 (1+t ) = = V 0 = =V 0 T ;

p = p 0 (1+t ) = p 0 = p 0 T ;

при p = const, m = const ; (1.4)

при V = const, m = const , (1.5)

где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной изобаре или изохоре.

Закон Авогадро :

моли любых газов при одних и тех же температурах и давлениях занимают одинаковые объемы.

При нормальных условиях этот объем равен V  ,0 = 22,4110 -3 м 3 /моль. По определению, в одном моле различных веществ содержится одно и то же число молекул, равное постоянной Авогадро : N A = 6,02210 23 моль -1 .

Закон Дальтона :

давление смеси разных идеальных газов равно сумме парциальных давлений р 1 , р 2 , р 3 … р n , входящих в нее газов:

р = р 1 + р 2 + р 3 + …+ р n .

Парциальное давление – это давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

Уравнение состояния идеального газа

(уравнение Клапейрона-Менделеева)

Между температурой, объемом и давлением существует определенная связь. Эта связь может быть представлена функциональной зависимостью:

f (p, V, T) = 0.

В свою очередь каждая из переменных (р, V, T ) является функцией двух других переменных. Вид функциональной зависимости для каждого фазового состояния вещества (твердого, жидкого, газообразного) отыскивается экспериментально. Это весьма трудоемкий процесс и уравнение состояния установлено лишь для газов, которые находятся в разреженном состоянии, и в приближенной форме – для некоторых сжатых газов. Для веществ, находящихся не в газообразном состоянии, эта задача до сих пор не решена.

Французский физик Б. Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа , объединив законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля:

. (1.6)

Выражение (1.6) и есть уравнение Клапейрона, где В – газовая постоянная. Она различна для разных газов.

Д.И. Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (1.6) к одному молю и использовав молярный объем V  . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V  . . Поэтому постоянная В будет одинаковой для всех идеальных газов. Данная постоянная обычно обозначается R и равна R = 8,31
.

Уравнение Клапейрона-Менделеева имеет следующий вид:

p V  . = R T .

От уравнения (1.7) для одного моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона-Менделеева для произвольной массы газа :

, (1.7)

где  – молярная масса (масса одного моля вещества, кг/ моль); m  масса газа;  количество вещества.

Чаще пользуются другой формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана :
.

Тогда уравнение (1.7) выглядит так:

, (1.8)

где
– концентрация молекул (число молекул в единице объема). Из этого выражения следует, что давление идеального газа прямо пропорционально концентрации его молекул или плотности газа. При одних и тех же температурах и давлениях все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 при нормальных условиях, называется числом Лошмидта :

N L = 2,68 10 25 м -3 .

Основное уравнение молекулярно-кинетической

теории идеальных газов

Важнейшей задачей кинетической теории газовявляется теоретический расчет давления идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов выводится с использованием статистических методов .

Предполагается, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, и эти соударения абсолютно упругие. На стенке сосуда выделяют некоторую элементарную площадку S и вычисляют давление, которое будут оказывать молекулы газа на эту площадку.

Необходимо учитывать то, что реально молекулы могут двигаться к площадке под разными углами и могут иметь различные скорости, которые к тому же при каждом соударении могут меняться. В теоретических расчетах хаотические движения молекул идеализируется, их заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если рассмотреть сосуд в виде куба, в котором беспорядочно движется N молекул газа в шести направлениях, то несложно заметить, что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 количества всех молекул, причем половина из них (то есть. 1/6 количества всех молекул) движется в одну сторону, а вторая половина (тоже 1/6)  в противоположную. При каждом соударении отдельная молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, отражаясь, передает ей импульс, при этом ее количество движения (импульс) меняется на величину

Р 1 =m 0 v – (– m 0 v ) = 2 m 0 v .

Число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку будет равно: N = 1/6 n S v t . При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

P = N P 1 =2 m 0 v n S v t= m 0 v 2 n S t ,

где n – концентрация молекул. Тогда давление, которое газ оказываетна стенку сосуда, будет равно:

р =
= n m 0 v 2 . (1.9)

Однако молекулы газа движутся с различными скоростями: v 1 , v 2 , …,v n , поэтому скорости необходимо усреднить. Сумма квадратов скоростей движения молекул газа, делённая на их количество, определяет среднеквадратичную скорость:

.

Уравнение (1.9) примет вид:

(1.10)

выражение (1.10) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Учитывая, что
, получим:

р V = N
=Е , (1.11)

где Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. Следовательно, давление газа прямо пропорционально кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

Для одного моля газа m = , и уравнение Клапейрона-Менделеева имеет следующий вид:

p V  . = R T ,

и так как из (1.11) следует, что p V  . =   v кв  2 , получим:

RT =  v кв  2 .

Отсюда средняя квадратичная скорость молекул газа равна

 v кв  =
=
=,

где k = R / N A = 1,3810 -23 Дж/К – постоянная Больцмана. Отсюда можно найти среднюю квадратичную скорость молекул кислорода при комнатной температуре – 480 м/с, водорода – 1900 м/с.

Молекулярно-кинетический смысл температуры

Температура является количественной мерой «нагретости» тела. Для выяснения физического смысла абсолютной термодинамической температуры Т сопоставим основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов (1.14) с уравнением Клапейрона-Менделеева p V =  R T.

Приравняв правые части этих уравнений, найдем среднее значение кинетической энергии  0 одной молекулы ( = N /N A , k = R /N A ):

.

Из этого уравнения следует важнейший вывод молекулярно-кинетической теории: средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа зависит только от температуры, при этом она прямо пропорциональна термодинамической температуре . Таким образом, термодинамическая шкала температур приобретает непосредственный физический смысл: при Т = 0 кинетическая энергия молекул идеального газа равна нулю. Следовательно, исходя из этой теории, поступательное движение молекул газа прекратится и его давление станет равным нулю.

Теория равновесных свойств идеального газа

Число степеней свободы молекул . Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов приводит к весьма важному следствию: молекулы газа совершают беспорядочное движение, причем средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы определяется исключительно температурой.

Кинетическая энергия движения молекул не исчерпывается кинетической энергией поступательного движения : она также складывается из кинетических энергий вращения и колебания молекул. Для того, чтобы подсчитать энергию, идущую на все виды движения молекул, необходимо дать определение числу степеней свободы .

Под числом степеней свободы (i ) тела подразумевается число независимых координат, которые необходимо ввести для определения положения тела в пространстве.

Например, материальная точка обладает тремя степенями свободы, так как ее положение в пространстве определяется тремя координатами:х, у и z . Следовательно, одноатомная молекула обладает тремя степенями свободы поступательного движения.

Двухатомная молекула имеет 5 степеней свободы (рис. 1.4): 3 степени свободы поступательного движения и 2 степени свободы вращательного движения.

Молекулы из трех и более атомов имеют 6 степеней свободы: 3 степени свободы поступательного движения и 3 степени свободы вращательного движения (рис. 1.5).

Каждая молекула газа обладает определенным числом степеней свободы, три из которых соответствуют ее поступательному движению.

Положение о равнораспределении энергии

по степеням свободы

Основной предпосылкой молекулярно-кинетической теории газов является предположение о полной беспорядочности движения молекул. Это относится и к колебательному, и к вращательному движениям, а не только поступательному. Считается, что все направления движения молекул в газе равновероятны. Поэтому можно предположить, что на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одно и то же количество энергии – это есть положение о равнораспределении энергии по степеням свободы. Энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы, равна:

. (1.12)

Если молекула обладает i степенями свободы, то на каждую степень свободы приходится в среднем:

. (1.13)

Внутренняя энергия идеального газа

Если отнести полный запас внутренней энергии газа к одному молю, то получим ее значение, умножив  на число Авогадро:

. (1.14)

Отсюда следует, что внутренняя энергия одного моля идеального газа зависит только от температуры и числа степеней свободы молекул газа.

распределения Максвелла и Больцмана

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения (распределение Максвелла). При постоянной температуре газа все направления движения молекул предполагаются равновероятными. В этом случае средняя квадратичная скорость каждой молекулы остаётся постоянной и равна

.

Это объясняется тем, что в идеальном газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. это распределение подчиняется определенному статистическому закону, который теоретически вывел Дж. Максвелл. Закон Максвелла описывается функцией

,

то есть функция f (v ) определяет относительное число молекул
, скорости которых лежат в интервале отv до v + d v . Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

. (1.15)

Функция распределения в графическом виде представлена на рис. 1.6. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция f (v ) удовлетворяет условию нормировки:

.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям f (v ) максимальна, называется наиболее вероятной скоростью v B .

Значения v = 0 и v =  соответствуют минимумам выражения (1.15). Наиболее вероятную скорость можно найти, продифференцировав выражение (1.23) и приравняв его к нулю:

=
= 1,41

При увеличении температуры максимум функции сместится вправо (рис.1.6), то есть при увеличении температуры увеличивается и наиболее вероятная скорость, однако, ограниченная кривой площадь остаётся неизменной. Следует заметить, что в газах и при небольших температурах всегда присутствует небольшое количество молекул, которые движутся с большими скоростями. Наличие таких «горячих» молекул имеет большое значение при протекании многих процессов.

Средняя арифметическая скорость молекулы определяется по формуле

.

Средняя квадратичная скорость

= 1,73
.

Отношение этих скоростей не зависит ни от температуры, ни от вида газа.

Функция распределения молекул по энергиям теплового движения . Эту функцию можно получить, подставив в уравнение распределения молекул (1.15) вместо скорости значение кинетической энергии:

.

Проинтегрировав выражение по значениям энергии от
до
, получимсреднюю кинетическую энергию молекулы идеального газа:

.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана. При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и распределения Максвелла молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы идеального газа не действуют внешние силы, поэтому молекулы равномерно распределены по всему объему. Однако молекулы любого газа находятся в поле тяготения Земли. При выводе закона зависимости давления от высоты, предполагается, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова:

. (1.16)

Выражение (1.16) называется барометрической формулой . Оно позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, можно найти высоту. Так как h 1 – это высота над уровнем моря, где давление считается нормальным, то выражение можно модифицировать:

.

Барометрическую формулу можно преобразовать, если воспользоваться выражением р = nkT :

,

гдеn – концентрация молекул на высоте h , m 0 gh = П – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения. При постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия молекулы. Графически закон убывания числа частиц в единице объема с высотой выглядит, как показано на рис. 1.7.

Для произвольного внешнего потенциального поля запишем следующее общее выражение

,