1. Импульс момента силы, Mdt, действующий на вращательное тело, равен изменению его
момента импульса dL:
Mdt = d(J
ω) или Mdt = dL
Где:
Mdt – импульс момента
силы
(произведение момента силы М на промежуток времени dt)
Jdω = d(Jω) – изменение момента импульса тела,
Jω = L - момент импульса тела есть произведение момента
инерции J
на угловую скоростьω ω, а d(Jω) есть dL.
2.
Кинематические характеристики
Вращение твердого тела, как целого характеризуется
углом
φ, измеряющегося в угловых
градусах или радианах, угловой скоростью
ω = dφ/dt
(измеряется в рад/с)
и угловым ускорением
ε =
d²φ/dt² (измеряется в рад/с²).
При равномерном вращении (T оборотов в секунду),
Частота вращения - число оборотов тела в единицу
времени:
f = 1/T =
ω/2
Период вращения - время одного полного оборота.
Период вращения T и его частота f связаны соотношением
T = 1/f
Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения
Угловая скорость вращения тела
ω = f/Dt = 2/T
Динамические характеристики
Свойства твердого тела при его
вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта
характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений
Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергии вращения можно записать
в виде:
E=
В этой формуле момент инерции
играет роль массы, а угловая скорость роль обычной скорости. Момент инерции
выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из
формулы:
Момент инерции механической
системы относительно неподвижной оси a («осевой момент
инерции») - физическая величина Ja, равная сумме произведений масс
всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до
оси:
=
∑
Где: mi - масса i-й точки, ri - расстояние от i-й точки до оси. Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
3. Маятник представляет собой замкнутую систему.
Если маятник находится в крайней точке, его потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю.
Как только маятник начинает двигаться, егопотенциальная энергия уменьшается, а кинетическая - увеличивается.
В нижней точке кинетическая энергия максимальна, а потенциальная - минимальна. После этого начинается обратный процесс. Накопленная кинетическая энергия двигает маятник вверх и увеличивает, тем самым потенциальную энергию маятника. Кинетическая энергия уменьшается, пока маятник снова не остановится уже в другой крайней точке.
Можно сказать, что в процессе движения маятника происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.
Сумма кинетической и потенциальной
энергии тел, составляющих замкнутую систему и
взаимодействующих между собой силами тяготения
и силами упругости, остается постоянной.
Или так: Полная механическая энергия
замкнутой системы тел, взаимодействующих силами
тяготения и силами упругости, остается
неизменной.
(Сумма кинетической и потенциальной
энергии тел называется полной механической
энергией)
В инерциальной системе отсчёта угловое ускорение , приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту всех внешних сил , действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:
Можно дать и более простую формулировку основному закону динамики вращательного движения (его ещё называют вторым законом Ньютона для вращательного движения ) : вращающий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение :
Моментом импульса (моментом количества движения , угловым моментом ) тела называется произведение его момента инерции на угловую скорость :
Момент импульса – векторная величина. Его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости.
Изменение момента импульса определяется следующим образом:
. (I.112)
Изменение момента импульса (при неизменном моменте инерции тела) может произойти, только вследствие изменения угловой скорости и всегда обусловлено действием момента силы .
Согласно формуле , а также формулам (I.110) и (I.112) изменение момента импульса можно представить в виде:
. (I.113)
Произведение в формуле (I.113) называется импульсом момента силы или движущим моментом . Он равен изменению момента импульса.
Формула (I.113) справедлива при условии, что момент силы не меняется с течением времени . Если же момент силы зависит от времени, т.е. , то
. (I.114)
Формула (I.114) показывает, что: изменение момента импульса равно интегралу по времени от момента силы . Кроме того, если эту формулу представить в виде: , то из неё будет следовать определение момента силы : мгновенный момент силы представляет собой первую производную момента импульса по времени ,
Выражение (I.115) является ещё одной формой основного уравнения (закона ) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси .
Вопрос 15
Момент инерции
Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:
J= 
Суммирование производится по всем элементарным массам m(i), на которые разбивается тело
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.
В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним г + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра d,/ = r^2 dm (так как dr≤r то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πr hrdr . Если р - плотность материала, то dm = 2πhpr^3dr . Тогда момент инерции сплошного цилиндра
но так как πR^3h - объем цилиндра, то его масса m= πR^2hp , а момент инерции
Теорема Штейнера
Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:
J= + ma^2
1. Момент инерции однородного прямого тонкого цилиндрического стержня длины и массы относительно оси проходящей через его середину и перпендикулярной к его длине:
2. Момент инерции однородного сплошного цилиндра (или диска ) радиуса и массы относительно оси симметрии перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр:
3. Момент инерции цилиндра радиуса , массы и высоты относительно оси, перпендикулярной к его высоте и проходящей через её середину:
4. Момент инерции шара (тонкостенной сферы ) радиуса и массы относительно его диаметра (или оси проходящей через центр сферы):
5. Момент инерции стержня длины и массы , относительно оси проходящей через один из его концов и перпендикулярной к его длине:
6. Момент инерции полого тонкостенного цилиндра радиуса и массы , относительно оси цилиндра:
7. Момент инерции цилиндра с отверстием (колесо, муфта):
,
где и - радиусы цилиндра и отверстия в нём. Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.
Гироскоп (пример:юла) – симметричное тело, вращающиеся вокруг своей оси с большой скоростью.
Момент количества движения гироскопа совпадает с его осью вращения.
Электрический заряд – это мера участия тел в электромагнитных взаимодействиях.
Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.
Закон Кулона:
.
Электрическое поле – это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами.
Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора напряжённости совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.
Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Приборы и принадлежности: установка ""маятник Обербека"", набор грузов с указанной массой, штангенциркуль.
Цель работы: экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси и вычисление момента инерции системы тел.
Краткая теория
При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Рассмотрим случай, когда ось неподвижна. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела гласит, что момент силы М , действующий на тело, равен произведению момента инерции тела I на его угловое ускорение https://pandia.ru/text/78/003/images/image002_147.gif" width="61" height="19">. (3.1)
Из закона следует, что если момент инерции I
будет постоянным, то https://pandia.ru/text/78/003/images/image004_96.gif" width="67" height="21 src="> представляет собой прямую линию. Наоборот, если зафиксировать постоянный момент силы М
, то 
и уравнение будет представлять собой гиперболу.
Закономерности, связывающие между собой величины e , М , I , можно выявить на установке, которая называется маятником Обербека (рис. 3.1). Груз, прикрепленный к нити, намотанной на большой или малый шкив, приводит систему во вращение. Меняя шкивы и изменяя массу груза m , изменяют вращающий момент М , а передвигая грузы m 1 вдоль крестовины и фиксируя их в различных положениях, изменяют момент инерции системы I .
Груз m , опускаясь на нити, движется с постоянным ускорением
Из связи линейного и углового ускорений любой точки, лежащей на ободе шкива, следует, что угловое ускорение системы
По второму закону Ньютона m g – Т = m а , откуда сила натяжения нити, приводящая блок во вращение, равна
T = m (g - a ). (3.4)
Система приводится во вращение моментом М = R Т . Следовательно,
или 
. (3.5)
По формулам (3.3) и (3.5) можно вычислить e и М , экспериментально проверить зависимость e = f (М ), и из (3.1) рассчитать момент инерции I .
Так как момент инерции системы относительно неподвижной оси равен сумме моментов инерции элементов системы относительно той же оси, то полный момент инерции маятника Обербека равен
(3.6)
где I – момент инерции (маятника); I 0 – постоянная часть момента инерции, состоящая из суммы моментов инерции оси, малого и большого шкивов и крестовины; 4m 1l2 - переменная часть момента инерции системы, равная сумме моментов инерции четырех грузов, которые можно перемещать на крестовине.
Определив из (3.1) полный момент инерции I , можно вычислить постоянную составляющую часть момента инерции системы
I 0 = I - 4m 1l 2 . (3.7)
Изменяя момент инерции маятника при постоянном моменте сил, можно экспериментально проверить зависимость e = f (I ).
Описание лабораторной установки
Установка состоит из основания 1, на котором установлена вертикальная стойка (колонка) 4. На вертикальной стойке располагаются верхний 6, средний 3 и нижний 2 кронштейны.
На верхнем кронштейне 6 размещается узел подшипников 7 с малоинерционным шкивом 8. Через последний перекинута капроновая нить 9, которая закрепляется на шкиве 12 одним концом, а ко второму крепится наборный груз 15.
"СТОП"" – в течение времени, когда нажата эта кнопка, система расторможена и можно вращать крестовину;
кнопка ""СТАРТ"" – при нажатии на кнопку обнуляется и сразу же включается секундомер, система растормаживается на время до пересечения наборным грузом 15 луча фотоэлектрического датчика 14.
На задней панели блока электронного расположен выключатель ""Сеть"" (""01"") – при включении выключателя срабатывает электромагнит и затормаживает систему, на секундомере высвечиваются нули.
ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ!!! Запрещается быстро раскручивать крестовину 11, так как любой из грузов 10 (m 1) при этом может сорваться, летящий же с большой скоростью стальной груз представляет опасность. Чтобы не сломать электромагнитный тормоз, вращать крестовину 11 с грузами 10 (m 1) разрешается только при нажатой кнопке ""СТОП"" или при выключенном питании установки (выключатель ""Сеть"" (""01"") на задней панели блока электронного).
Упражнение №1 . Определение зависимости e (M )
углового ускорения e от вращающего момента М
при постоянном моменте инерции I =const
1. На концах крестовины 11 на одинаковом расстоянии от ее оси вращения установите и закрепите грузы 10 (m 1).
2. Замерьте штангенциркулем диаметры шкивов d 1 и d 2 и запишите их в табл. 3.1.
3. По шкале на вертикальной стойке 4 определите высоту h опускания наборного груза 15 (m ), равную расстоянию между риской фотоэлектрического датчика 14 и верхним краем визира 5 (риска фотоэлектрического датчика находится на одной высоте с верхним краем нижнего кронштейна 2, окрашенным в красный свет).
4. Установите минимальную массу наборного груза 15 (m ) и запишите ее в табл. 3.1 (массы грузов указаны на них).
5. Включите выключатель ""Сеть"" (""01""), расположенный на задней панели блока электронного. При этом должны загореться табло секундомера и включиться электромагнит. Вращать крестовину сейчас нельзя! Если один из элементов не сработал, сообщите об этом лаборанту.
6. Нажмите и удерживайте кнопку ""СТОП"", растормозив систему. При нажатой кнопке ""СТОП"" укрепите нить в прорезях на малом шкиве и затем, вращая крестовину, намотайте нить на малый шкив, поднимая при этом наборный груз 15. Когда нижний обрез груза будет находиться строго против верхнего края визира 5, отожмите кнопку ""СТОП"" – система затормозится.
7. Нажмите на кнопку ""СТАРТ"". Система растормозится, груз начнет ускоренно опускаться, а секундомер отсчитывать время. Когда груз пересечет световой луч фотодатчика, секундомер автоматически выключится и система затормозится. Запишите в табл. 3.1 измеренное время t 1.
Таблица 3.1
d 1= | d 2= |
|||||
t ср |
8. Замеры времени выполните по 3 раза для трех значений массы наборного груза 15 (m ). Повторите измерения на большом шкиве. Результаты замеров занесите в табл. 3.1. Выключите установку из сети.
9. Для любой массы m рассчитайте tср и выполните оценочный расчет момента инерции I , используя формулы (3.2), (3.3), (3.5), (3.1). Заполните полностью соответствующую строку в табл. 3.2 и подойдите к преподавателю на проверку.
Таблица 3.2
t ср , | ||||||||
10. При оформлении отчета для всех значений tср рассчитайте a , e , M , I . Результаты измерений и расчетов занесите в табл. 3.2.
11. Рассчитайте среднее значение момента инерции Iср , вычислите методом Стьюдента абсолютную погрешность результата измерений (при расчетах принять t a ,n =2,57 для n= 6 и a = 0,95).
12. Постройте график зависимости e = f (М ), взяв значения e и M из табл. 3.2. Напишите выводы.
Упражнение №2 . Определение зависимости e (I )
углового ускорения e от момента инерции I
при постоянном вращающем моменте M =const
1. Укрепите грузы 10 (m 1) на концах крестовины на равном расстоянии от ее оси вращения. Замерьте расстояние l от центра масс груза m 1 до оси вращения крестовины и запишите в табл. 3.3. Запишите в табл. 3.4 массу груза m 1, выбитую на нем.
2. Выберите и запишите в табл. 3.4 радиус R шкива 12 и массу m наборного груза 15 (нежелательно брать одновременно большой шкив и большую массу). В упр. 2 выбранные R и m не изменяйте.
3. Для выбранных R и m три раза определите время t 1 опускания наборного груза 15 (m ). Результаты занесите в табл. 3.3.
Таблица 3.3
t ср |
4. Выключите установку из сети. Сдвиньте все грузы 10 (m 1) на 1-2 см к оси вращения крестовины. Замерьте новое расстояние l и занесите его в табл. 3.3. Включите установку в сеть и измерьте трижды время t 2 опускания наборного груза 15 (m ). Замеры выполните для 6 различных значений l . Результаты занесите в табл. 3.3. Отключите установку от сети.
5. По формуле (3.7) выполните оценочный расчет I 0, взяв значение I и l из упр. 1.
6. Для любого l из табл. 3.3 рассчитайте tср и по формулам (3.2), (3.3) и (3.6) рассчитайте a , e и I . Заполните полностью соответствующую строку в табл. 3.4 и подойдите к преподавателю на проверку.
7. При оформлении отчета по формуле (3.7) вычислите среднее значение I 0, используя Iср и l из упр. 1. Используя полученное значение I 0, по формуле (3.6) вычислите I i для всех l из табл. 3.3. Результаты занесите в три последних столбца табл. 3.4.
Таблица 3.4
4m 1l2 , | ||||||||||
8. Используя формулы (3.2) и (3.3), рассчитайте Лабораторные работы" href="/text/category/laboratornie_raboti/" rel="bookmark">лабораторной работы соблюдайте общие требования техники безопасности в лаборатории механики в соответствии с инструкцией. Подключение установки к блоку электронному производится строго в соответствии с паспортом установки.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
2. Какая физическая величина является мерой инертности при поступательном движении? При вращательном движении? В каких единицах они измеряются?
3. Чему равен момент инерции материальной точки? Твердого тела?
4. При каких условиях момент инерции твердого тела минимален?
5. Чему равен момент инерции тела относительно произвольной оси вращения?
6. Как будет изменяться угловое ускорение системы, если при неизменяемых радиусе шкива R и массе груза m грузы на концах крестовины удалять от оси вращения?
7. Как изменится угловое ускорение системы, если при неизменном грузе m и неизменном положении грузов на крестовине увеличить радиус шкива?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 1998, с. 34-38.
2. , Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 2000, с. 47-58.
Момент силы
Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение
Радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.2.12). Единица измерения момента силы 
.
Рисунок 2.12
Величина момента силы
,
или можно записать
где - плечо силы (кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).
Направление вектора определяется по правилу векторного произведения или по правилу «правого винта» (векторы и параллельным переносом совмещаем в точке О, направление вектора определяется так, чтобы из его конца поворот от вектора к был виден против часовой стрелки – на рис 2.12 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа «от нас» (аналогично по правилу буравчика – поступательное движение соответствует направлению вектора , вращательное соответствует повороту от к )).
Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.
Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис. 2.13), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.
Рисунок 2.13
Момент импульса
Моментомимпульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение
,
Радиус-вектор материальной точки (рис. 2.14), 
- ее импульс.
Рисунок 2.14
Величина момента импульса материальной точки
,
где -кратчайшее расстояние от линии вектора 
до точки .
Направление момента импульса определяется аналогично направлению момента силы.
Если выражение для L 0 умножить и разделить на l получим:
Где 
- момент инерции материальной точки - аналог массы во вращательном движении.
- угловая скорость.
Момент инерции твердого тела
Видно, что получающиеся формулы очень похожи на выражения для импульса и для второго закона Ньютона соответственно, только вместо линейной скорости и ускорения используются угловые скорость и ускорение, а вместо массы – величина I=mR 2 , именуемая моментом инерции материальной точки .
Если тело нельзя считать материальной точкой, но можно считать абсолютно твердым, то его момент инерции можно считать суммой моментов инерции бесконечно малых его частей, поскольку угловые скорости вращения этих частей одинаковы (рис. 2.16). Сумма бесконечно малых – интеграл:
Для любого тела существуют оси, проходящие через его центр инерции, обладающие таким свойством: при вращении тела вокруг таких осей в отсутствии внешних воздействий оси вращения не меняют своего положения. Такие оси называются свободными осями тела . Можно доказать, что для тела любой формы и с любым распределением плотности существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, именуемые главными осями инерции тела. Моменты инерции тела относительно главных осей именуются главными (собственными) моментами инерции тела.
Главные моменты инерции некоторых тел приведены в табл.:
Теорема Гюйгенса-Штейнера.
.
Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .
Основное уравнение динамики вращательного движения
Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела
Где F – сила, приложенная к телу массой m ; а – линейное ускорение тела.
Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 2.15) приложить силу F , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение ε и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F 1 …F n . Для каждой материальной точки можно записать:
Где 
поэтому
Где m i – масса i- й точки; ε – угловое ускорение; r i – ее расстояние до оси вращения.
Умножая левую и правую части уравнения на r i , получаем
Где 
– момент силы – это произведение силы на ее плечо.
1.8.
Момент импульса тела относительно оси.
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
Выражение основного закона динамики вращательного движения через изменение момента импульса тела.
Рассмотрим произвольную систему тел. Моментом импульса системы назовем величину L, равную векторной сумме моментов импульсов отдельных ее частей Li, взятых относительно одной и той же точки выбранной системы отсчета.
Найдем скорость изменения момента импульса системы. Проведя рассуждения, аналогичные описанию вращательного движения твердого тела, получим, что
скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил M, действующих на части этой системы.
Причем вектора L и M задаются относительно одной и той же точки O в выбранной СО. Уравнение (21) представляет собой закон изменения момента импульса системы.
Причиной изменения момента импульса является действующий на систему результирующий момент внешних сил. Изменение момента импульса за конечный промежуток времени можно найти, воспользовавшись выражением
Закон сохранения момента импульса. Примеры.
Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса)
:
.
Очень нагляден закон сохранения момента импульса в опытах с уравновешенным гироскопом – быстро вращающимся телом, имеющим три степени свободы (рис. 6.9).
Именно закон сохранения момента импульса используется танцорами на льду для изменения скорости вращения. Или еще известный пример – скамья Жуковского (рис. 6.11).
Работа силы.
Работа силы - мера действия силы при превращении механического движения в другую форму движения.
Примеры формул работы сил.
Работа силы тяжести; работа силы тяжести наклонной пов-ти
Работа силы упругости
Работа силы трения
Консервативные и неконсервативные силы.
Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положением её начальной и конечной точек.
К классу консервативных относятся, например, гравитационные силы, упругие, силы электростатического взаимодействия.
Существуют силы, работа которых зависит от формы пути, т. е. работа по замкнутой траектории не равна нулю (например силы трения). Такие силы называют неконсервативными
.
В этом случае работа не идёт на увеличение потенциальной энергии (dA dEn), а идёт на нагревание тел, т. е. на увеличение кинетической энергии молекул тела.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-03-31
