სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი: განმარტებები ტრიგონომეტრიაში, მაგალითები, ფორმულები. ტრიგონომეტრია საპირისპირო ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან ეწოდება

ცხოვრებაში ხშირად გვიწევს მათემატიკური პრობლემების წინაშე: სკოლაში, უნივერსიტეტში, შემდეგ კი შვილს საშინაო დავალების შესრულებაში დახმარება. გარკვეული პროფესიის ადამიანები მათემატიკას ყოველდღიურად ხვდებიან. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა მათემატიკური წესების დამახსოვრება ან გახსენება. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ერთ-ერთ მათგანს: მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის პოვნა.

რა არის მართკუთხა სამკუთხედი

ჯერ გავიხსენოთ რა არის მართკუთხა სამკუთხედი. მართკუთხა სამკუთხედი არის სამი სეგმენტის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკავშირებს წერტილებს, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე და ამ ფიგურის ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია. გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები, ხოლო მხარეს, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ, ეწოდება ჰიპოტენუზა.

მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის პოვნა

ფეხის სიგრძის გასარკვევად რამდენიმე გზა არსებობს. მსურს უფრო დეტალურად განვიხილო ისინი.

პითაგორას თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის მოსაძებნად

თუ ვიცით ჰიპოტენუზა და ფეხი, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ უცნობი ფეხის სიგრძე პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ასე ჟღერს: „ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. ფორმულა: c²=a²+b², სადაც c არის ჰიპოტენუზა, a და b არის ფეხები. ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას და ვიღებთ: a²=c²-b².

მაგალითი. ჰიპოტენუზა არის 5 სმ, ფეხი კი 3 სმ. ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას: c²=a²+b² → a²=c²-b². შემდეგი, ჩვენ ვწყვეტთ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (სმ).

ტრიგონომეტრიული მიმართებები მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის საპოვნელად

ასევე შესაძლებელია უცნობი ფეხის პოვნა, თუ ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი სხვა გვერდი და ნებისმიერი მახვილი კუთხე. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით ფეხის პოვნის ოთხი ვარიანტი არსებობს: სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის მიხედვით. პრობლემების გადაჭრაში დაგვეხმარება ქვემოთ მოცემული ცხრილი. განვიხილოთ ეს ვარიანტები.

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი სინუსის გამოყენებით

კუთხის სინუსი (ცოდვა) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ფორმულა: sin \u003d a / c, სადაც a არის ფეხი მოცემული კუთხის საპირისპირო და c არის ჰიპოტენუზა. შემდეგი, ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას და ვიღებთ: a=sin*c.

მაგალითი. ჰიპოტენუზა არის 10 სმ და კუთხე A 30 გრადუსია. ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის სინუსს, ის უდრის 1/2-ს. შემდეგ ტრანსფორმირებული ფორმულის გამოყენებით ვხსნით: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი კოსინუსის გამოყენებით

კუთხის კოსინუსი (cos) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ფორმულა: cos=b/c, სადაც b არის მიმდებარე ფეხი ეს კუთხედა c არის ჰიპოტენუზა. გადავცვალოთ ფორმულა და მივიღოთ: b=cos*c.

მაგალითი. A კუთხე არის 60 გრადუსი, ჰიპოტენუზა 10 სმ ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის კოსინუსს, ის უდრის 1/2-ს. შემდეგ ვხსნით: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი ტანგენტის გამოყენებით

კუთხის ტანგენსი (tg) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან. ფორმულა: tg \u003d a / b, სადაც a არის კუთხის მოპირდაპირე ფეხი, ხოლო b არის მიმდებარე. გადავცვალოთ ფორმულა და მივიღოთ: a=tg*b.

მაგალითი. A კუთხე არის 45 გრადუსი, ჰიპოტენუზა 10 სმ ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის ტანგენტს, ის უდრის ამოხსნას: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი კოტანგენტის გამოყენებით

კუთხის კოტანგენსი (ctg) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ. ფორმულა: ctg \u003d b / a, სადაც b არის კუთხის მიმდებარე ფეხი და საპირისპიროა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოტანგენსი არის "შებრუნებული ტანგენსი". ვიღებთ: b=ctg*a.

მაგალითი. კუთხე A არის 30 გრადუსი, მოპირდაპირე ფეხი 5 სმ ცხრილის მიხედვით A კუთხის ტანგენსი არის √3. გამოთვალეთ: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (სმ).

ასე რომ, ახლა თქვენ იცით, როგორ იპოვოთ ფეხი მართკუთხა სამკუთხედში. როგორც ხედავთ არც ისე რთულია, მთავარია ფორმულების დამახსოვრება.

ჩვენ ვიწყებთ ტრიგონომეტრიის შესწავლას მართკუთხა სამკუთხედით. მოდით განვსაზღვროთ რა არის სინუსი და კოსინუსი, ასევე მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს არის ტრიგონომეტრიის საფუძვლები.

გავიხსენოთ რომ სწორი კუთხეარის კუთხე ტოლი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაშლილი კუთხის ნახევარი.

მკვეთრი კუთხე- უფრო პატარა.

ბუნდოვანი კუთხე- უფრო დიდი. ასეთ კუთხესთან მიმართებაში „ბლატი“ შეურაცხყოფა კი არა, მათემატიკური ტერმინია :-)

დავხატოთ მართკუთხა სამკუთხედი. მართი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება. გაითვალისწინეთ, რომ კუთხის მოპირდაპირე მხარე აღინიშნება იგივე ასოთი, მხოლოდ მცირე. ასე რომ, აღინიშნება კუთხის მოპირდაპირე მხარე.

კუთხე აღინიშნება შესაბამისი ბერძნული ასოთი.

ჰიპოტენუზამართკუთხა სამკუთხედი არის მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარე.

ფეხები- მხარეები მკვეთრი კუთხეების მოპირდაპირე მხარეს.

კუთხის მოპირდაპირე ფეხი ე.წ საწინააღმდეგო(კუთხის მიმართ). მეორე ფეხი, რომელიც კუთხის ერთ მხარეს დევს, ე.წ მიმდებარე.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

კოსინუსიმწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

ტანგენტიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კიდევ ერთი (ექვივალენტური) განმარტება: მწვავე კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

კოტანგენსიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროსთან (ან, ექვივალენტურად, კოსინუსისა და სინუსების თანაფარდობა):

ყურადღება მიაქციეთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ძირითად თანაფარდობებს, რომლებიც მოცემულია ქვემოთ. ისინი გამოგვადგება პრობლემების გადაჭრაში.

მოდით დავამტკიცოთ ზოგიერთი მათგანი.

1. ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის . ნიშნავს, მართკუთხა სამკუთხედის ორი მახვილი კუთხის ჯამი არის .

2. ერთის მხრივ, როგორც მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. მეორეს მხრივ, რადგან კუთხისთვის ფეხი მიმდებარე იქნება.

ჩვენ ამას ვიღებთ. Სხვა სიტყვებით, .

3. ავიღოთ პითაგორას თეორემა: . მოდით გავყოთ ორივე ნაწილი:

Მივიღეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა:

ამრიგად, კუთხის სინუსის ცოდნით, შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი კოსინუსი და პირიქით.

4. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის ორივე ნაწილის გაყოფით, მივიღებთ:

ეს ნიშნავს, რომ თუ ჩვენ მოგვცეს მახვილი კუთხის ტანგენსი, მაშინვე შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი კოსინუსი.

ანალოგიურად,

კარგი, ჩვენ მივეცით განმარტებები და დაწერილი ფორმულები. მაგრამ რატომ გვჭირდება სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

ჩვენ ეს ვიცით ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის.

ჩვენ ვიცით შორის ურთიერთობა პარტიებიმართკუთხა სამკუთხედი. ეს არის პითაგორას თეორემა: .

გამოდის, რომ სამკუთხედში ორი კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. იცოდეთ ორი გვერდი მართკუთხა სამკუთხედში, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. ასე რომ, კუთხეებისთვის - მათი თანაფარდობა, გვერდებისთვის - საკუთარი. მაგრამ რა უნდა გააკეთოს, თუ მართკუთხა სამკუთხედში ცნობილია ერთი კუთხე (გარდა მართკუთხა) და ერთი გვერდი, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ სხვა გვერდები?

ეს არის ის, რასაც ადამიანები წარსულში აწყდებოდნენ, ამზადებდნენ ტერიტორიისა და ვარსკვლავური ცის რუქებს. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა გვერდის პირდაპირ გაზომვა.

სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - მათ ასევე უწოდებენ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები- მიეცით თანაფარდობა შორის პარტიებიდა კუთხეებისამკუთხედი. კუთხის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია სპეციალური ცხრილების გამოყენებით. და იცოდეთ სამკუთხედის და მისი ერთ-ერთი კუთხის კუთხის სინუსები, კოსინუსები და ტანგენტები, შეგიძლიათ იპოვოთ დანარჩენი.

ჩვენ ასევე დავხატავთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების ცხრილს "კარგი" კუთხეებისთვის.

ყურადღება მიაქციეთ ცხრილში ორ წითელ ტირეს. კუთხეების შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის ტანგენსი და კოტანგენსი არ არსებობს.

მოდით გავაანალიზოთ ტრიგონომეტრიის რამდენიმე პრობლემა FIPI-ის ბანკის ამოცანებიდან.

1. სამკუთხედში კუთხე არის , . იპოვე .

პრობლემა მოგვარებულია ოთხ წამში.

მას შემდეგ, ჩვენ გვაქვს: .

2. სამკუთხედში კუთხე არის , , . იპოვე . , უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარი.

სამკუთხედი კუთხეებით და არის ტოლფერდა. მასში ჰიპოტენუზა ჯერ უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.

მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები უდიდეს სირთულეებს უმკლავდებიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, ფორმულების გამოყენებით კოტანგენტების პოვნის უნარი, გამოთვლების გამარტივება და გამოთვლებში რიცხვის pi გამოყენება. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკური მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოტანის უნარს.

ტრიგონომეტრიის წარმოშობა

ამ მეცნიერების გაცნობა უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განსაზღვრით, მაგრამ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.

ისტორიულად, მართკუთხა სამკუთხედები იყო მათემატიკური მეცნიერების ამ განყოფილების შესწავლის მთავარი ობიექტი. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას იძლევა განისაზღვროს განხილული ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობები ორი მხარის და ერთი კუთხის ან ორი კუთხის და ერთი მხარის გამოყენებით. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.

პირველი ეტაპი

თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეების და გვერდების ურთიერთობაზე ექსკლუზიურად მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითზე. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკის ამ მონაკვეთის ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოყენების საზღვრების გაფართოება.

ტრიგონომეტრიის შესწავლა დღეს სკოლაში იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მიღებულ ცოდნას იყენებენ მოსწავლეები ფიზიკაში და აბსტრაქტული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში, რომელთანაც მუშაობა იწყება საშუალო სკოლაში.

სფერული ტრიგონომეტრია

მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ დონეს, ფორმულები სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის გამოყენებით დაიწყეს სფერულ გეომეტრიაში, სადაც სხვა წესები მოქმედებს და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსზე მეტია. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ზედაპირის მარკირება იქნება "რკალის ფორმის" სამგანზომილებიანი სივრცე.

აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი დედამიწის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ ის დაჭიმული იყოს. მიაქციეთ ყურადღება - მან რკალის ფორმა შეიძინა. სწორედ ასეთ ფორმებს ეხება სფერული გეომეტრია, რომელიც გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.

მართკუთხა სამკუთხედი

ცოტა რამ რომ ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა გავიგოთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება შესრულდეს მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.

პირველი ნაბიჯი არის მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებების გაგება. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.

მაგალითად, თუ ორი გვერდი 3 და 4 სანტიმეტრია შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.

დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.

განმარტება

და ბოლოს, გეომეტრიული ფუძის მყარი გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებას.

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ე.ი. სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ? რადგან ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად ყველაზე გრძელია, რაც არ უნდა გრძელი იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის ერთზე ნაკლები იქნება. ამრიგად, თუ ამოცანის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.

და ბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან. იგივე შედეგი იქნება სინუსის გაყოფა კოსინუსზე. ნახეთ: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, რის შემდეგაც ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე თანაფარდობას, როგორც ტანგენტის განმარტებაში.

კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთეულის ტანგენსზე გაყოფით.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ განმარტებები იმის შესახებ, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გაუმკლავდეთ ფორმულებს.

უმარტივესი ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში არ შეიძლება ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? და ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.

პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლის დაწყებისას ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ გსურთ იცოდეთ კუთხის მნიშვნელობა და არა გვერდი.

ბევრ მოსწავლეს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, რომელიც ასევე ძალიან პოპულარულია სასკოლო ამოცანების ამოხსნისას: ერთისა და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ბოლოს და ბოლოს, ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. გახსოვდეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, კონვერტაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს დამოუკიდებლად გამოიტანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები ფურცელზე.

ორმაგი კუთხის ფორმულები და არგუმენტების დამატება

კიდევ ორი ​​ფორმულა, რომელიც უნდა ისწავლოთ, დაკავშირებულია კუთხეების ჯამისა და სხვაობის სინუსსა და კოსინუს მნიშვნელობებთან. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გაითვალისწინეთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორეში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.

ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად მომდინარეობს წინადან - როგორც პრაქტიკა, შეეცადეთ მიიღოთ ისინი თავად, აიღეთ ალფას კუთხე ბეტას კუთხის ტოლი.

და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას ხარისხის შესამცირებლად.

თეორემები

ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემაა სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და თითოეული მხარის ზომა და ა.შ.

სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის მოპირდაპირე კუთხის სიდიდეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ ერთსა და იმავე რიცხვს. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.

კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამიდან გამოვაკლოთ მათი ნამრავლი, გამრავლებული მათ მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.

შეცდომები უყურადღებობის გამო

იმის ცოდნაც კი, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავეცნოთ მათგან ყველაზე პოპულარულს.

პირველი, თქვენ არ უნდა გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად, სანამ საბოლოო შედეგი არ მიიღება - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი ჩვეულებრივ წილადად, თუ პირობა სხვაგვარად არ არის მითითებული. ასეთ ტრანსფორმაციას შეცდომად არ შეიძლება ეწოდოს, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ამოცანის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება გაჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის იდეით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამი ან ორი ფესვი, რადგან ისინი ჩნდება ამოცანებში ყოველ ნაბიჯზე. იგივე ეხება „მახინჯი“ რიცხვების დამრგვალებას.

გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ვრცელდება ნებისმიერ სამკუთხედზე, მაგრამ არა პითაგორას თეორემაზე! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ აჩვენებთ საგნის სრულ გაუგებრობას. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.

მესამე, ნუ აურიეთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი ტოლია 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი შერევა მარტივია, რის შედეგადაც აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.

განაცხადი

ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან მათ არ ესმით მისი გამოყენებითი მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი შორეულ ვარსკვლავებამდე, იწინასწარმეტყველოთ მეტეორიტის დაცემა, გაგზავნოთ კვლევითი ზონდი სხვა პლანეტაზე. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე აშკარა მაგალითებია! ყოველივე ამის შემდეგ, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.

ბოლოს და ბოლოს

ასე რომ, თქვენ ხართ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.

ტრიგონომეტრიის მთელი არსი ემყარება იმ ფაქტს, რომ უცნობი პარამეტრები უნდა გამოითვალოს სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრებიდან. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი გვერდის სიგრძე და სამი კუთხის სიდიდეები. ამოცანების მთელი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.

როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ცნობილი სიგრძის ან ჰიპოტენუზის საფუძველზე, თქვენ ახლა იცით. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობა, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიული ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. აქ კი ჩვეულებრივი სასკოლო მათემატიკა დაგეხმარება.

თავი I. მართკუთხა სამკუთხედების ამოხსნა

§3 (37). ძირითადი კოეფიციენტები და ამოცანები

ტრიგონომეტრიაში განიხილება პრობლემები, რომლებშიც საჭიროა სამკუთხედის გარკვეული ელემენტების გამოთვლა მისი მოცემული ელემენტების რიცხვითი მნიშვნელობების საკმარისი რაოდენობით. ამ ამოცანებს ჩვეულებრივ უწოდებენ გამოსავალისამკუთხედი.

მოდით ABC იყოს მართკუთხა სამკუთხედი, C მართი კუთხე, ადა ბ- ფეხები A და B მწვავე კუთხეების საპირისპიროდ, თან- ჰიპოტენუზა (ნახ. 3);

მაშინ გვაქვს:

მწვავე კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

cos A = ბ/ გ, cos B = ა / გ (1)

მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

ცოდვა A = ა / გ, ცოდვა B = ბ/ გ (2)

მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან:

tan A = ა / ბ, tg B = ბ/ ა (3)

მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ:

ctgA= ბ/ ა, ctg B = ა / ბ (4)

მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90°.

მართკუთხა სამკუთხედების ძირითადი ამოცანები.

ამოცანა I. ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი მწვავე კუთხის გათვალისწინებით, გამოთვალეთ სხვა ელემენტები.

გამოსავალი.მიეცით თანდა A. კუთხე B = 90° - A ასევე ცნობილია; ფეხები ნაპოვნია ფორმულებიდან (1) და (2).

a = c sinA, b = c cos A.

დავალება II . ფეხის და ერთ-ერთი მწვავე კუთხის გათვალისწინებით, გამოთვალეთ სხვა ელემენტები.

გამოსავალი.მიეცით ადა A. კუთხე B = 90° - ცნობილია A; (3) და (2) ფორმულებიდან ვხვდებით:

ბ = ა tg B (= ა ctg A), თან = ა/ცოდვა ა

დავალება III. ფეხისა და ჰიპოტენუზის გათვალისწინებით, გამოთვალეთ დარჩენილი ელემენტები.

გამოსავალი.მიეცით ადა თან(და ა< с ). ტოლობებიდან (2) ვპოულობთ A კუთხეს:

ცოდვა A = ა / გდა A = arc sin ა / გ ,

და ბოლოს ფეხი ბ:

ბ = თან cos A (= თანცოდვა B).

დავალება IV. ფეხები a და b მოცემულია სხვა ელემენტების საპოვნელად.

გამოსავალი.ტოლობებიდან (3) ვპოულობთ მახვილ კუთხეს, მაგალითად A:

tg A = ა / ბ, A = არქტანი ა / ბ ,

კუთხე B \u003d 90 ° - A,

ჰიპოტენუზა: გ = ა/ცოდვა A (= ბ/sinB; = ა/cos B)

ქვემოთ მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის მაგალითი ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით*.

* მართკუთხა სამკუთხედების ელემენტების გამოთვლა ბუნებრივი ცხრილების მიხედვით ცნობილია VIII კლასის გეომეტრიის კურსიდან.

ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით გამოთვლისას უნდა დაწეროთ შესაბამისი ფორმულები, პროლოგარითმი, ჩაანაცვლოთ რიცხვითი მონაცემები, იპოვოთ ცხრილებიდან ცნობილი ელემენტების (ან მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების) საჭირო ლოგარითმები, გამოთვალოთ სასურველი ელემენტების ლოგარითმები (ან მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები). ) და იპოვნეთ საჭირო ელემენტები ცხრილებიდან.

მაგალითი.დანას ფეხი ა= 166.1 და ჰიპოტენუზა თან= 187,3; გამოთვალეთ მწვავე კუთხეები, სხვა ფეხი და ფართობი.

გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს:

ცოდვა A = ა / გ; lg sin A = lg ა-ლგ გ;

A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფეხს ბ:

b = a tg B; ლგ ბ= ჟურნალი ბ+ lg tg B;

სამკუთხედის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

S=1/2 აბ = 0,5 ა 2 ტგ B;

კონტროლისთვის, ჩვენ ვიანგარიშებთ A კუთხეს სლაიდის წესზე:

\u003d რკალის ცოდვა ა / გ= arc sin 166 / 187 ≈ 62°.

Შენიშვნა.ფეხი ბშეიძლება გამოითვალოს პითაგორას თეორემით, კვადრატების და კვადრატული ფესვების ცხრილების გამოყენებით (ცხრილები III და IV):

ბ= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

შეუსაბამობა ადრე მიღებულ მნიშვნელობასთან b= 86.48 აიხსნება ცხრილების შეცდომებით, რომლებიც იძლევა ფუნქციების სავარაუდო მნიშვნელობებს. 86.54 შედეგი უფრო ზუსტია.

როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. წრის რადიუსი უდრის ერთს, ხოლო წრის ცენტრი დევს საწყისზე, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი).

წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: კოორდინატი ღერძის გასწვრივ და კოორდინატი ღერძის გასწვრივ. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის გახსოვდეთ განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი. ის მართკუთხაა, რადგან ღერძის პერპენდიკულარულია.

რის ტოლია სამკუთხედიდან? Სწორია. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ არის ერთეული წრის რადიუსი და, შესაბამისად, . ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს კოსინუს ფორმულაში. აი რა ხდება:

და რას უდრის სამკუთხედიდან? Რა თქმა უნდა, ! ჩაანაცვლეთ რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:

ასე რომ, შეგიძლიათ მითხრათ რა არის წერტილის კოორდინატები, რომელიც მიეკუთვნება წრეს? ისე, არანაირად? და თუ ხვდები, რომ და მხოლოდ ციფრებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება? რა თქმა უნდა, კოორდინატი! რომელ კოორდინატს შეესაბამება? მართალია, კოორდინაცია! ამრიგად, წერტილი.

და რა არის მაშინ თანაბარი და? ასეა, გამოვიყენოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ, ა.

რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? აი, მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:

რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდით გავარკვიოთ. ამისათვის ჩვენ კვლავ მივმართავთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი: კუთხე (კუთხის მიმდებარედ). რა მნიშვნელობა აქვს კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:

ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები გამოიყენება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.

უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის ღერძის დადებითი მიმართულების გასწვრივ. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენც მიიღებთ გარკვეული ზომის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ვიღებთ დადებითი კუთხეებიდა საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.

ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის ან. შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! ამრიგად, პირველ შემთხვევაში, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

მეორე შემთხვევაში, ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდებიან ან (სად არის რომელიმე მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის ერთსა და იმავე პოზიციას.

ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს კუთხეს. იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით ან (სად არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)

ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ, თუ რას უდრის მნიშვნელობები:

აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:

რაიმე სირთულე? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:

აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. მოდით, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხე ზე შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით, ამიტომ:

Არ არსებობს;

გარდა ამისა, იგივე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით, შესაბამისად. ამის გაგებით, ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.

პასუხები:

Არ არსებობს

Არ არსებობს

Არ არსებობს

Არ არსებობს

ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:

არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია დაიმახსოვროთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:

მაგრამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და, ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, უნდა ახსოვდეს:

ნუ გეშინია, ახლა ჩვენ გაჩვენებთ ერთ-ერთ მაგალითს შესაბამისი მნიშვნელობების საკმაოდ მარტივი დამახსოვრება:

ამ მეთოდის გამოსაყენებლად მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსის მნიშვნელობები კუთხის სამივე საზომისთვის (), ისევე როგორც კუთხის ტანგენსის მნიშვნელობა. ამ მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსების მნიშვნელობები გადაიცემა ისრების შესაბამისად, ანუ:

ამის გაცნობიერებით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მნიშვნელობები. მრიცხველი " " ემთხვევა და მნიშვნელი " " ემთხვევა. კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ნახატზე ნაჩვენები ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ დიაგრამა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან მთელი მნიშვნელობის დამახსოვრება.

წერტილის კოორდინატები წრეზე

შესაძლებელია თუ არა წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა წრეზე, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა?

კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! გამოვიტანოთ წერტილის კოორდინატების პოვნის ზოგადი ფორმულა.

აი, მაგალითად, გვაქვს ასეთი წრე:

გვეძლევა, რომ წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. საჭიროა წერტილის გრადუსით ბრუნვით მიღებული წერტილის კოორდინატების პოვნა.

როგორც ნახატიდან ჩანს, წერტილის კოორდინატი შეესაბამება სეგმენტის სიგრძეს. სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს, ანუ ის ტოლია. სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:

შემდეგ ჩვენ გვაქვს, რომ წერტილისთვის არის კოორდინატი.

ამავე ლოგიკით, ჩვენ ვპოულობთ y კოორდინატის მნიშვნელობას წერტილისთვის. Ამგვარად,

ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

წრის ცენტრის კოორდინატები,

წრის რადიუსი,

რადიუსის ვექტორის ბრუნვის კუთხე.

როგორც ხედავთ, ჩვენ განხილული ერთეული წრისთვის ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, რადგან ცენტრის კოორდინატები ნულია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთი:

აბა, მოდით ვცადოთ ეს ფორმულები გემოვნებისთვის, ვივარჯიშოთ წრეზე ქულების პოვნაში?

1. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიიღება წერტილის ჩართვის შედეგად.

2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიიღება წერტილის ბრუნვით.

3. წერტილის ჩართვით მიღებულ ერთეულ წრეზე იპოვეთ წერტილის კოორდინატები.

4. წერტილი - წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ საწყისი რადიუსის ვექტორის როტაციით მიღებული წერტილის კოორდინატები.

5. წერტილი - წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ საწყისი რადიუსის ვექტორის როტაციით მიღებული წერტილის კოორდინატები.

გიჭირთ წრეზე წერტილის კოორდინატების პოვნა?

ამოხსენით ეს ხუთი მაგალითი (ან კარგად გაიგეთ გამოსავალი) და ისწავლით როგორ იპოვოთ ისინი!

1.

ჩანს რომ. და ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის სრულ შემობრუნებას. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის სასურველ კოორდინატებს:

2. წრე არის ერთეული ცენტრით წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:

ჩანს რომ. ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის ორ სრულ ბრუნს. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის სასურველ კოორდინატებს:

სინუსი და კოსინუსი არის ტაბულური მნიშვნელობები. ჩვენ ვიხსენებთ მათ ღირებულებებს და ვიღებთ:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

3. წრე არის ერთეული ცენტრით წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:

ჩანს რომ. მოდით გამოვსახოთ განხილული მაგალითი ფიგურაში:

რადიუსი ქმნის კუთხეებს ღერძის ტოლი და. იმის ცოდნა, რომ კოსინუსისა და სინუსის ცხრილის მნიშვნელობები ტოლია და დავადგინეთ, რომ აქ კოსინუსი უარყოფით მნიშვნელობას იღებს, ხოლო სინუსი დადებითია, გვაქვს:

მსგავსი მაგალითები უფრო დეტალურად არის გაანალიზებული თემაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულების შესწავლისას.

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

4.

რადიუსის ვექტორის ბრუნვის კუთხე (პირობით)

სინუსის და კოსინუსის შესაბამისი ნიშნების დასადგენად ვაშენებთ ერთეულ წრეს და კუთხეს:

როგორც ხედავთ, მნიშვნელობა, ანუ დადებითია, ხოლო მნიშვნელობა, ანუ უარყოფითი. შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილის მნიშვნელობების ცოდნა მივიღებთ, რომ:

მოდით, მიღებული მნიშვნელობები ჩავანაცვლოთ ჩვენს ფორმულაში და ვიპოვოთ კოორდინატები:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

5. ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულებს ზოგადი ფორმით, სადაც

წრის ცენტრის კოორდინატები (ჩვენს მაგალითში,

წრის რადიუსი (მდგომარეობით)

რადიუსის ვექტორის ბრუნვის კუთხე (პირობით).

ჩაანაცვლეთ ყველა მნიშვნელობა ფორმულაში და მიიღეთ:

და - ცხრილის მნიშვნელობები. ჩვენ ვიხსენებთ და ვცვლით მათ ფორმულაში:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

კუთხის სინუსი არის საპირისპირო (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის შეფარდება მიმდებარე (ახლოს).

კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის შეფარდება საპირისპირო (შორს).