Deux angles sont dits verticaux si les côtés d'un angle sont le prolongement des côtés de l'autre.
La figure montre les coins 1 et 3 , ainsi que les angles 2 et 4 - vertical. Coin 2 est adjacent aux deux angles 1 , et avec l'angle 3. Selon la propriété des angles adjacents 1 +2 =180 0 et 3 +2 =1800. De là, nous obtenons: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Ainsi, les degrés mesurent les angles 1 et 3 sont égaux. Il s'ensuit que les angles eux-mêmes sont égaux. Donc les angles verticaux sont égaux.
2. Signes d'égalité des triangles.
Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.
Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux à un côté et deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.
3. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux.
1 signe d'égalité des triangles :
Considérons les triangles ABC et A 1 B 1 C 1, dans lesquels AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, les angles A et A 1 sont égaux. Montrons que ABC=A 1 B 1 C 1 .
Puisque (y) A \u003d (y) A 1, alors le triangle ABC peut être superposé au triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A soit aligné avec le sommet A1 et que les côtés AB et AC soient superposés, respectivement, sur les rayons A 1 B 1 et A 1 C 1 . Puisque AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, alors le côté AB sera combiné avec le côté A 1 B 1, et le côté AC - avec le côté A 1 C 1; en particulier, les points B et B 1 , C et C 1 seront confondus. Par conséquent, les côtés BC et B 1 C 1 seront alignés. Ainsi, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont complètement compatibles, ce qui signifie qu'ils sont égaux. CDT
3. Le théorème sur la bissectrice d'un triangle isocèle.
Dans un triangle isocèle, la bissectrice tracée à la base est la médiane et la hauteur.
Passons à la figure, dans laquelle ABC est un triangle isocèle de base BC, AD est sa bissectrice.
De l'égalité des triangles ABD et ACD (selon le 2ème critère d'égalité des triangles : AD est commun ; les angles 1 et 2 sont égaux car la bissectrice AD ; AB=AC, car le triangle est isocèle) il résulte que BD = DC et 3 = 4. L'égalité BD = DC signifie que le point D est le milieu du côté BC et donc AD est la médiane du triangle ABC. Comme les angles 3 et 4 sont adjacents et égaux, ce sont des angles droits. Par conséquent, le segment AO est aussi la hauteur du triangle ABC. CHTD.
4. Si les droites sont parallèles -> angle…. (optionnel)
5. Si l'angle ... ..-> les lignes sont parallèles (optionnel)
Si à l'intersection de deux droites d'une sécante les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Soit à l'intersection des lignes a et b de la sécante avec les angles correspondants égaux, par exemple 1=2.
Puisque les angles 2 et 3 sont verticaux, alors 2=3. De ces deux égalités il résulte que 1=3. Mais les angles 1 et 3 sont transversaux, donc les droites a et b sont parallèles. CHTD.
6. Théorème sur la somme des angles d'un triangle.
La somme des angles d'un triangle est 180 0.
Considérons un triangle quelconque ABC et prouvons que A+B+C=180 0 .
Traçons une droite a passant par le sommet B, parallèle au côté AC. Les angles 1 et 4 sont des angles couchés transversaux à l'intersection des droites parallèles a et AC par la sécante AB, et les angles 3 et 5 sont des angles couchés transversaux à l'intersection des mêmes droites parallèles par la sécante BC. Donc (1)4=1 ; 5=3.
Évidemment, la somme des angles 4, 2 et 5 est égale à l'angle droit avec le sommet B, c'est-à-dire 4+2+5=1800 . Ainsi, en tenant compte des égalités (1), on obtient : 1+2+3=180 0 ou A+B+C=180 0 .
7. Signe d'égalité des triangles rectangles.
1. Le premier signe de parallélisme.
Si, à l'intersection de deux droites avec une troisième, les angles intérieurs qui les traversent sont égaux, alors ces droites sont parallèles.
Soit les droites AB et CD coupées par la droite EF et ∠1 = ∠2. Prenons le point O - le milieu du segment KL de la sécante EF (Fig.).
Laissons tomber la perpendiculaire OM du point O à la droite AB et continuons-la jusqu'à ce qu'elle coupe la droite CD, AB ⊥ MN. Montrons également que CD ⊥ MN.
Pour ce faire, considérons deux triangles : MOE et NOK. Ces triangles sont égaux entre eux. En effet : ∠1 = ∠2 par l'hypothèse du théorème ; OK = OL - par construction ;
∠MOL = ∠NOK comme angles verticaux. Ainsi, le côté et deux angles qui lui sont adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et à deux angles qui lui sont adjacents d'un autre triangle ; donc, ΔMOL = ΔNOK, et donc ∠LMO = ∠KNO,
mais ∠LMO est direct, donc ∠KNO est aussi direct. Ainsi, les droites AB et CD sont perpendiculaires à la même droite MN, donc elles sont parallèles, ce qui était à prouver.
Noter. L'intersection des lignes MO et CD peut être établie en faisant tourner le triangle MOL autour du point O de 180°.
2. Le deuxième signe de parallélisme.
Voyons si les droites AB et CD sont parallèles si, à l'intersection de leur troisième droite EF, les angles correspondants sont égaux.
Soit certains angles correspondants égaux, par exemple ∠ 3 = ∠2 (Fig.);
∠3 = ∠1 comme angles verticaux ; donc ∠2 sera égal à ∠1. Mais les angles 2 et 1 sont des angles internes transversaux, et nous savons déjà que si à l'intersection de deux droites par une troisième, les angles internes transversaux couchés sont égaux, alors ces droites sont parallèles. Par conséquent, AB || CD.
Si à l'intersection de deux droites du troisième les angles correspondants sont égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
La construction de lignes parallèles à l'aide d'une règle et d'un triangle de dessin est basée sur cette propriété. Cela se fait comme suit.
Attachons un triangle à la règle comme indiqué sur la Fig. Nous allons déplacer le triangle de sorte qu'un côté glisse le long de la règle et tracer plusieurs lignes droites le long de n'importe quel autre côté du triangle. Ces lignes seront parallèles.
3. Le troisième signe de parallélisme.
Sachons qu'à l'intersection de deux droites AB et CD par la troisième droite, la somme des angles internes unilatéraux est égale à 2 ré(ou 180°). Les droites AB et CD seront-elles parallèles dans ce cas (Fig.).
Soient ∠1 et ∠2 des angles intérieurs unilatéraux et additionnons jusqu'à 2 ré.
Mais ∠3 + ∠2 = 2 ré comme angles adjacents. Par conséquent, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Donc ∠1 = ∠3, et ces angles intérieurs sont transversaux. Par conséquent, AB || CD.
Si à l'intersection de deux droites par une troisième, la somme des angles intérieurs unilatéraux est égale à 2 d (ou 180°), alors les deux droites sont parallèles.
Signes de lignes parallèles :
1. Si à l'intersection de deux droites par une troisième, les angles internes transversaux sont égaux, alors ces droites sont parallèles.2. Si à l'intersection de deux droites de la troisième, les angles correspondants sont égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
3. Si à l'intersection de deux lignes du troisième, la somme des angles internes unilatéraux est de 180 °, alors ces deux lignes sont parallèles.
4. Si deux droites sont parallèles à la troisième droite, elles sont parallèles l'une à l'autre.
5. Si deux droites sont perpendiculaires à la troisième droite, elles sont parallèles l'une à l'autre.
Axiome de parallélisme d'Euclide
Une tâche. Par un point M pris à l'extérieur de la droite AB, tracez une droite parallèle à la droite AB.
En utilisant les théorèmes éprouvés sur les signes de parallélisme des droites, ce problème peut être résolu de diverses manières,
La solution. 1er s o s o b (Fig. 199).
On trace MN⊥AB et par le point M on trace CD⊥MN ;
on obtient CD⊥MN et AB⊥MN.
Sur la base du théorème ("Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles"), nous concluons que СD || UN B.
2e s p o s o b (Fig. 200).
Nous traçons un MK coupant AB à un angle quelconque α, et par le point M nous traçons une droite EF, formant un angle EMK avec une droite MK, égal à l'angle α. Basé sur le théorème () nous concluons que EF || UN B.
Ayant résolu ce problème, on peut considérer comme prouvé que par tout point M, pris en dehors de la ligne AB, il est possible de lui tracer une parallèle. La question se pose, combien de droites parallèles à une droite donnée et passant par un point donné peuvent exister ?
La pratique de la construction nous permet de supposer qu'il n'y a qu'une seule ligne de ce type, car avec un dessin soigneusement exécuté, des lignes tracées de différentes manières passant par le même point parallèlement à la même ligne se confondent.
En théorie, la réponse à cette question est donnée par le soi-disant axiome du parallélisme d'Euclide ; il est formulé ainsi :
Par un point pris à l'extérieur d'une ligne donnée, une seule ligne peut être tracée parallèlement à cette ligne.
Sur le dessin 201, une droite SK est tracée passant par le point O, parallèle à la droite AB.
Toute autre droite passant par le point O ne sera plus parallèle à la droite AB, mais la coupera.
L'axiome adopté par Euclide dans ses Éléments, qui stipule que sur un plan passant par un point pris à l'extérieur d'une ligne donnée, une seule ligne peut être tracée parallèlement à cette ligne, s'appelle Axiome de parallélisme d'Euclide.
Pendant plus de deux mille ans après Euclide, de nombreux mathématiciens ont essayé de prouver cette proposition mathématique, mais leurs tentatives ont toujours échoué. Ce n'est qu'en 1826 que le grand scientifique russe, professeur à l'Université de Kazan Nikolai Ivanovitch Lobachevsky a prouvé que, en utilisant tous les autres axiomes d'Euclide, cette proposition mathématique ne peut pas être prouvée, qu'elle doit vraiment être considérée comme un axiome. N. I. Lobachevsky a créé une nouvelle géométrie qui, contrairement à la géométrie d'Euclide, s'appelait la géométrie de Lobachevsky.
UN B et DEré franchi par la troisième ligne MN, alors les angles formés dans ce cas reçoivent deux à deux les noms suivants :angles correspondants: 1 et 5, 4 et 8, 2 et 6, 3 et 7 ;
coins intérieurs croisés: 3 et 5, 4 et 6 ;
angles externes croisés: 1 et 7, 2 et 8 ;
coins intérieurs unilatéraux: 3 et 6, 4 et 5 ;
angles extérieurs unilatéraux: 1 et 8, 2 et 7.
Donc, ∠ 2 = ∠ 4 et ∠ 8 = ∠ 6, mais par le prouvé ∠ 4 = ∠ 6.
Par conséquent, ∠ 2 = ∠ 8.
3. Angles respectifs 2 et 6 sont identiques, puisque ∠ 2 = ∠ 4, et ∠ 4 = ∠ 6. Nous nous assurons également que les autres angles correspondants sont égaux.
4. Somme coins intérieurs unilatéraux 3 et 6 seront 2d car la somme coins adjacents 3 et 4 est égal à 2d = 180 0 , et ∠ 4 peut être remplacé par l'identique ∠ 6. Assurez-vous également que somme des angles 4 et 5 est égal à 2d.
5. Somme angles extérieurs unilatéraux sera 2d car ces angles sont respectivement égaux coins intérieurs unilatéraux comme des coins vertical.
De la justification démontrée ci-dessus, on obtient théorèmes inverses.
Lorsque, à l'intersection de deux lignes d'une troisième ligne quelconque, on obtient que :
1. Les angles croisés internes sont les mêmes ;
ou 2. Les angles croisés externes sont les mêmes ;
ou 3. Les angles correspondants sont les mêmes ;
ou 4. La somme des angles internes unilatéraux est égale à 2d = 180 0 ;
ou 5. La somme du unilatéral extérieur est 2d = 180 0 ,
alors les deux premières droites sont parallèles.
Signes de parallélisme de deux lignes
Théorème 1. Si à l'intersection de deux droites d'une sécante :
les angles en diagonale sont égaux, ou
les angles correspondants sont égaux, ou
la somme des angles unilatéraux est de 180°, alors
les lignes sont parallèles(Fig. 1).
Preuve. On se limite à la preuve du cas 1.
Supposons qu'à l'intersection des droites a et b par une sécante AB transversales les angles couchés soient égaux. Par exemple, ∠ 4 = ∠ 6. Montrons que a || b.
Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles. Alors ils se coupent en un point M et, par conséquent, l'un des angles 4 ou 6 sera l'angle extérieur du triangle ABM. Soit, pour la définition, ∠ 4 le coin extérieur du triangle ABM et ∠ 6 le coin intérieur. Il découle du théorème sur l'angle extérieur d'un triangle que ∠ 4 est supérieur à ∠ 6, ce qui contredit la condition, qui signifie que les droites a et 6 ne peuvent pas se couper, donc elles sont parallèles.
Corollaire 1. Deux droites distinctes dans un plan perpendiculaire à la même droite sont parallèles(Fig. 2).
Commentaire. La manière dont nous venons de démontrer le cas 1 du théorème 1 est appelée méthode de preuve par contradiction ou réduction à l'absurde. Cette méthode a reçu son premier nom parce qu'au début du raisonnement, une hypothèse est faite qui est opposée (opposée) à ce qui doit être prouvé. C'est ce qu'on appelle la réduction à l'absurde du fait que, en argumentant sur la base de l'hypothèse faite, nous arrivons à une conclusion absurde (absurdité). Recevoir une telle conclusion nous oblige à rejeter l'hypothèse faite au départ et à accepter celle qui devait être prouvée.
Tache 1. Construire une droite passant par un point M donné et parallèle à une droite a donnée, ne passant pas par le point M.
La solution. Nous traçons une ligne p passant par le point M perpendiculaire à la ligne a (Fig. 3).
Ensuite, nous traçons une ligne b passant par le point M perpendiculaire à la ligne p. La droite b est parallèle à la droite a d'après le corollaire du théorème 1.
Une conclusion importante découle du problème considéré :
Par un point qui n'est pas sur une ligne donnée, on peut toujours tracer une ligne parallèle à la ligne donnée..
La propriété principale des droites parallèles est la suivante.
Axiome des droites parallèles. Par un point donné non sur une ligne donnée, il n'y a qu'une seule ligne parallèle à la ligne donnée.
Considérons quelques propriétés des droites parallèles qui découlent de cet axiome.
1) Si une droite coupe l'une des deux droites parallèles, alors elle coupe l'autre (Fig. 4).
2) Si deux lignes différentes sont parallèles à la troisième ligne, alors elles sont parallèles (Fig. 5).
Le théorème suivant est également vrai.
Théorème 2. Si deux droites parallèles sont traversées par une sécante, alors :
les angles de couchage sont égaux ;
les angles correspondants sont égaux ;
la somme des angles unilatéraux est de 180°.
Conséquence 2. Si une ligne est perpendiculaire à l'une des deux lignes parallèles, alors elle est également perpendiculaire à l'autre.(voir Fig.2).
Commentaire. Le théorème 2 est appelé l'inverse du théorème 1. La conclusion du théorème 1 est la condition du théorème 2. Et la condition du théorème 1 est la conclusion du théorème 2. Tous les théorèmes n'ont pas d'inverse, c'est-à-dire que si un théorème donné est vrai, alors le théorème inverse peut être faux.
Expliquons cela avec l'exemple du théorème sur les angles verticaux. Ce théorème peut être formulé comme suit : si deux angles sont verticaux, alors ils sont égaux. Le théorème inverse serait celui-ci : si deux angles sont égaux, alors ils sont verticaux. Et ceci, bien sûr, n'est pas vrai. Deux angles égaux ne doivent pas du tout être verticaux.
Exemple 1 Deux lignes parallèles sont traversées par une troisième. On sait que la différence entre deux angles intérieurs unilatéraux est de 30°. Trouvez ces angles.
La solution. Soit la figure 6 remplissant la condition.
