Свойства квантовых систем. Характеристики состояния квантовой системы. Статистика фермионов. Распределение Ферми-Дирака

Квантовые системы из одинаковых частиц

Квантовые особенности поведения микрочастиц, отличающие их от свойств макроскопических объектов, проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочастиц . Наиболее отчётливо это видно на примере физических систем, состоящих из одинаковых частиц, – систем электронов, протонов, нейтронов и т.д.

Для системы из N частиц с массами т 01 , т 02 , … т 0 i , … m 0 N , имеющих координаты (x i , y i , z i ) , волновая функция может быть представлена в виде

Ψ (x 1 , y 1 , z 1 , … x i , y i , z i , … x N , y N , z N , t ) .

Для элементарного объёма

dV i = dx i . dy i . dz i

величина

w =

определяет вероятность того, что одна частица находится в объёме dV 1 , другая в объёме dV 2 и т.д.

Таким образом, зная волновую функцию системы частиц, можно найти вероятность любой пространственной конфигурации системы микрочастиц, а также вероятность любой механической величины как у системы в целом, так и у отдельной частицы, а также вычислить среднее значение механической величины.

Волновую функцию системы частиц находят из уравнения Шрёдингера

, где

Оператор функции Гамильтона для системы частиц

+ .

силовая функция для i - ой частицы во внешнем поле, а

Энергия взаимодействия i - ой и j - ой частиц.

Неразличимость тождественных частиц в квантовой

механике

Частицы, обладающие одинаковыми массой, электрическим зарядом, спином и т.д. будут вести себя в одинаковых условиях совершенно одинаковым образом.

Гамильтониан такой системы частиц с одинаковыми массами m oi и одинаковыми силовыми функциями U i можно записать в виде, представленном выше.

Если в системе поменять i - ую и j - ую частицы, то в силу тождественности одинаковых частиц состояние системы не должно изменяться. Неизменной останется полная энергия системы, а также все физические величины, характеризующие её состояние.

Принцип тождественности одинаковых частиц: в системе одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при перестановке частиц местами.

Симметричные и антисимметричные состояния

Введём оператор перестановки частиц в рассматриваемой системе - . Действие этого оператора заключается в том, что он переставляет местами i - ую и j - ую частицы системы.

Принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механике приводит к тому, что все возможные состояния системы, образованной одинаковыми частицами, делятся на два типа:

симметричные , для которых

антисимметричные , для которых

(x 1 , y 1 ,z 1 … x N , y N , z N , t ) = - Ψ A ( x 1 , y 1 ,z 1 … x N , y N , z N , t ).

Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какой либо момент времени является симметричной (антисимметричной) , то этот тип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени.

Бозоны и фермионы

Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются бозонами статистике Бозе – Эйнштейна . К бозонам относятся фотоны, π- и к- мезоны, фононы в твёрдом теле, экситоны в полупроводниках и диэлектриках. Все бозоны обладают нулевым или целочисленным спином .

Частицы, состояния которых описываются антисимметричными волновыми функциями, называются фермионами . Системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Ферми – Дирака . К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарные частицы и античастицы с полуцелым спином.

Связь между спином частицы и типом статистики остаётся справедливой и в случае сложных частиц, состоящих из элементарных. Если суммарный спин сложной частицы равен целому числу или нулю, то эта частица является бозоном, а если он равен полуцелому числу, то частица является фермионом.

Пример: α-частица () состоит из двух протонов и двух нейтронов т.е. четырёх фермионов со спинами +. Следовательно спин ядра равен 2 и это ядро является бозоном.

Ядро лёгкого изотопа состоит из двух протонов и одного нейтрона (три фермиона) . Спин этого ядра . Следовательно ядро фермион.

Принцип Паули (запрет Паули)

В системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии.

Что же касается системы, состоящей из бозонов, то принцип симметрии волновых функций не некладывает каких либо ограничений на состояния системы. В одном и том же состоянии может находиться любое число тождественных бозонов.

Периодическая система элементов

На первый взгляд представляется, что в атоме все электроны должны заполнить уровень с наименьшей возможной энергией. Опыт же показывает, что это не так.

Действительно, в соответствии с принципом Паули, в атоме не может быть электронов с одинаковыми значениями всех четырёх квантовых чисел.

Каждому значению главного квантового числа п соответствует 2 п 2 состояний, отличающихся друг от друга значениями квантовых чисел l , m и m S .

Совокупность электронов атома с одинаковыми значения квантового числа п образует так называемую оболочку. В соответствии с номером п

Оболочки подразделяются на подоболочки , отличающиеся квантовым числом l . Число состояний в подоболочке равно 2(2l + 1).

Различные состояния в подоболочке отличаются значениями квантовых чисел т и m S .

Оболочка

Подоболочка

т S

система состоит из большого числа одинаковых подсистем, возможна синхронизация излучат. квантовых переходов в разл... класс безызлучат. квантовых переходов составляют туннельные переходы частиц . Туннельные квантовые переходы позволяют описать... Расчет квантово -химических параметров ФАВ и определение зависимости "структура-активность" на примере сульфаниламидов Дипломная работа >> Химия Xn)- волновая функция для системы из n частиц , которая зависит от их... пространства. В действительности электроны с одинаковыми спинами стремятся избежать находится не... точность результатов. сульфаниламид квантовый химический органический молекула Более... Общая и неорганическая химия Учебное пособие >> Химия Одновременно находиться два электрона с одинаковым набором четырех квантовых квантовых чисел (заполнение электронами орбиталей... вблизи значения энергии Е системы из N частиц . Впервые связь Э. с вероятностью состояния системы была установлена Л. Больцманом...

Атомное ядро, как и другие объекты микромира, является квантовой системой. Это означает, что теоретическое описание его характеристик требует привлечения квантовой теории. В квантовой теории описание состояний физических систем основывается на волновых функциях, или амплитудах вероятности ψ(α,t). Квадрат модуля этой функции определяет плотность вероятности обнаружения исследуемой системы в состоянии с характеристикой α – ρ (α,t) = |ψ(α,t)| 2 . Аргументом волновой функции могут быть, например, координаты частицы.
Полную вероятность принято нормировать на единицу:

Каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор , действующий в гильбертовом пространстве волновых функций ψ . Спектр значений, которые может принимать физическая величина, определяется спектром собственных значений ее оператора.
Среднее значение физической величины в состоянии ψ есть

() * = <ψ ||ψ > * = <ψ | + |ψ > = <ψ ||ψ > = .

Состояния ядра как квантовой системы, т.е. функции ψ(t), подчиняются уравнению Шредингера («у. Ш.»)

(2.4)

Оператор – эрмитов оператор Гамильтона (гамильтониан ) системы. Вместе с начальным условием на ψ(t) уравнение (2.4) определяет состояние системы в любой момент времени. Если не зависит от времени, то полная энергия системы является интегралом движения. Состояния, в которых полная энергия системы имеет определенное значение, называются стационарными. Стационарные состояния описываются собственными функциями оператора (гамильтониана):

ψ(α,t) = Eψ(α,t); ψ (α ) = Eψ(α ).

(2.5)

Последнее из уравнений - стационарное уравнение Шредингера , определяющее, в частности, набор (спектр) энергий стационарной системы.
В стационарных состояниях квантовой системы помимо энергии, могут сохраняться и другие физические величины. Условие сохранения физической величины F является равенство 0 коммутатора ее оператора с оператором Гамильтона:

[,] ≡ – = 0.

(2.6)

1. Спектры атомных ядер

Квантовый характер атомных ядер проявляется в картинах их спектров возбуждения (см. например, рис. 2.1). Спектр в области энергий возбуждения ядра 12 С ниже (примерно) 16 МэВ имеет дискретный характер. Выше этой энергии спектр непрерывен. Дискретный характер спектра возбуждений не означает, что ширины уровней в этом спектре равны 0. Поскольку каждый из возбужденных уровней спектра имеет конечное среднее время жизни τ , ширина уровня Г также конечна и связана со средним временем жизни соотношением, являющимся следствием соотношения неопределенности для энергии и времени Δ t·ΔE ≥ ћ :

На схемах спектров ядер указывают энергии уровней ядра в МэВ или кэВ, а также спин и четность состояний. На схемах указывают также, если возможно, изоспин состояния (поскольку на схемах спектров даны энергии возбуждения уровней , энергия основного состояния принимается за начало отсчета). В области энергий возбуждения E < E отд - т.е. при энергиях, меньших, чем энергия отделения нуклона, спектры ядер - дискретные . Это означает, что ширины спектральных уровней меньше расстояния между уровнями Г < Δ E.

Уровни энергии (атомные, молекулярные, ядерные)

1. Характеристики состояния квантовой системы
2. Энергетические уров атомов
3. Энергетические уровни молекул
4. Энергетические уровни ядер

Характеристики состояния квантовой системы

В основе объяснения св-в атомов, молекул и атомных ядер, т.е. явлений, происходящих в элементах объема с линейными масштабами 10 -6 -10 -13 см, лежит квантовая механика. Согласно квантовой механике, всякая квантовая система (т.е. система микрочастиц, к-рая подчиняется квантовым законам) характеризуется определенным набором состояний. В общем случае этот набор состояний может быть как дискретным (дискретный спектр состояний), так и непрерывным (непрерывный спектр состояний). Характеристиками состояния изолированной системы явл. внутренняя энергия системы (всюду дальше просто энергия), полный момент количества движения (МКД) и четность.

Энергия системы.
Квантовая система, находясь в различных состояниях, обладает, вообще говоря, различной энергией. Энергия связанной системы может принимать любые значения. Этот набор возможных значений энергии наз. дискретным энергетическим спкетром, а об энергии говорят, что она квантуется. Примером может служить энергетич. спектр атома (см. ниже). Несвязанная система взаимодействующих частиц обладает непрерывным энергетическим спектром, а энергия может принимать произвольные значения. Примером такой системы явл. свободный электрон (Э) в кулоновском поле атомного ядра. Непрерывный энергетический спектр можно представить как набор бесконечно большого числа дискретных состояний, между к-рыми энергетич. зазоры бесконечно малы.

Состояние, к-рому соответствует наименьшая энергия, возможная для данной системы, наз. основным: все остальные состояния наз. возбужденными. Часто бывает удобным пользоваться условной шкалой энергии, в к-рой энергия осн. состояния считается началом отсчета, т.е. полагается равной нулю (в этой условной шкале всюду в дальнейшем энергия обозначается буквой E ). Если система, находясь в состоянии n (причем индекс n =1 присваивается осн. состоянию), обладает энергией E n , то говорят, что система находится на энергетическом уровне E n . Число n , нумерующее У.э., наз. квантовым числом. В общем случае каждый У.э. может характеризоваться не одним квантовым числом, а их совокупностью; тогда индекс n означает совокупность этих квантовых чисел.

Если состояниям n 1 , n 2 , n 3 ,..., n k соответствует одна и та же энергия, т.е. один У.э., то этот уровень называется вырожденным, а число k - кратностью вырождения.

При любых превращениях замкнутой системы (а также системы в постоянном внеш. поле) ее полная энергия энергия сохраняется неизменной. Поэтому энергия относится к т.н. сохраняющимся величинам. Закон сохранения энергии следует из однородности времени.

Полный момент количества движения.
Эта величина явл. векторной и получается сложением МКД всех частиц, входящих в систему. Каждая частица обладает как собств. МКД - спином, так и орбитальным моментом, обусловленным движением частицы относительно общего центра масс системы. Квантование МКД приводит к тому, что его абс. величина J принимает строго определенные значения: , где j - квантовое число, к-рое может принимать неотрицательные целые и полуцелые значения (квантовое число орбитального МКД всегда целое). Проекция МКД на к.-л. ось наз. магн. квантовым числом и может принимать 2j+1 значений: m j =j, j -1,...,-j . Если к.-л. момент J явл. суммой двух др. моментов , то, согласно правилам сложения моментов в квантовой механике, квантовое число j может принимать следующие значения: j =|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2 , а . Аналогично производится суммирвоание большего числа моментов. Принято для краткости говорить о МКД системы j , подразумевая при этом момент, абс. величина к-рого есть ; о магн. квантовом числе говорят просто как о проекции момента.

При различных превращениях системы, находящейся в центрально-симметричном поле, полный МКД сохраняется, т.е., как и энергия, он относится к сохраняющимся величинам. Закон сохранения МКД следует из изотропии пространства. В аксиально-симметричном поле сохраняется лишь проекция полного МКД на ось симметрии.

Четность состояния.
В квантовой механике состояния системы описываются т.н. волновыми ф-циями. Четность характеризует изменение волновой ф-ции системы при операции пространственной инверсии, т.е. замене знаков координат всех частиц. При такой операции энергия не изменяется, тогда как волновая ф-ция может либо остаться неизменной (четное состояние), либо изменить свой знак на противоположный (нечетное состояние). Четность P принимает два значения, соответственно . Если в системе действуют ядерные или эл.-магн. силы, четность сохраняется в атомных, молекулярных и ядерных превращениях, т.е. эта величина также относится к сохраняющимся величинам. Закон сохранения четности явл. следствием симметрии пространства по отношению к зеркальным отражениям и нарушается в тех процессах, в к-рых участвуют слабые взаимодействия.

Квантовые переходы
- переходы системы из одного квантового состояния в другое. Такие переходы могут приводить как к изменению энергетич. состояния системы, так и к ее качеств. изменения. Это связанно-связанные, свободно-связанные, свободно-свободные переходы (см. Взаимодействие излучения с веществом), напр., возбуждение, деактивация, ионизация, диссоциация, рекомбинация. Это также хим. и ядерные реакции. Переходы могут происходить под действием излучения - излучательные (или радиацианные) переходы или при столкновении данной системы с к.-л. др. системой или частицей - безызлучательные переходы. Важной характеристикой квантового перехода явл. его вероятность в ед. времени, показывающая, как часто будет происходить данный переход. Эта величина измеряется в с -1 . Вероятности радиац. переходов между уровнями m и n (m>n ) с излучением или поглощением фотона, энергия к-рого равна , определяются коэфф. Эйнштейна A mn , B mn и B nm . Переход с уровня m на уровень n может происходить спонтанно. Вероятность излучения фотона B mn в этом случае равна A mn . Переходы типа под действием излучения (индуцированные переходы) характеризуются вероятностями излучения фотона и поглощения фотона , где - плотность энергии излучения с частотой .

Возможность осуществления квантового перехода с данного У.э. на к.-л. другой У.э. означает, что характерное ср. время , в течение к-рого система может находится на этом У.э., конечно. Оно определяется как величина, обратная суммарной вероятности распада данного уровня, т.е. сумме вероятностей всех возможных переходов с рассматриваемого уровня на все другие. Для радиац. переходов суммарная вероятность есть , а . Конечность времени , согласно соотношению неопределенностей , означает, что энергия уровня не может быть определена абсолютно точно, т.е. У.э. обладает нек-рой шириной. Поэтому излучение или поглощение фотонов при квантовом переходе происходит не на строго определенной частоте , а внутри нек-рого частотного интервала, лежащего в окрестности значения . Рапределение интенсивности внутри этого интервала задается профилем спектральной линии , определяющим вероятность того, что частота фотона, испущенного или поглощенного при данном переходе, равна :
(1)
где - полуширина профиля линии. Если уширение У.э. и спектральных линий вызвано только спонтанными переходами, то такое уширение наз. естественным. Если в уширении определенную роль играют столкновения системы с др. частицами, то уширение имеет комбинирвоанный характер и величина должна быть заменена суммой , где вычисляется подобно , но радиац. вероятности переходов должны быть заменены столкновительными вероятностями.

Переходы в квантовых системах подчиняются определенным правилам отбора, т.е. правилам, устанавливающим, как могут меняться при переходе квантовые числа, характеризующие состояние системы (МКД, четность и т.п.). Наиболее просто правила отбора формулируются для радиац. переходов. В этом случае они определяются св-вами начального и конечного состояний, а также квантовыми характеристиками излучаемого или поглощаемого фотона, в частности его МКД и четностью. Наибольшей вероятностью обладают т.н. электрические дипольные переходы. Эти переходы осуществляются между уровнями противоположной четности, полные МКД к-рых отличаются на величину (переход невозможен). В рамках сложившейся терминологии эти переходы наз. разрешенными. Все остальные типы переходов (магнитный дипольный, электрический квадрупольный и т.п.) наз. запрещенными. Смысл этого термина состоит лишь в том, что их вероятности оказываются много меньше вероятностей дипольных электрических переходов. Однако они не явл. запрещенными абсолютно.

Кабардин О.Ф. Ядерные спектры //Квант. - 1987. - № 3. - С. 42-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как вы знаете, атомные ядра состоят из нуклонов - протонов и нейтронов, между которыми действуют ядерные силы притяжения и кулоновские силы отталкивания. Что может произойти с ядром при его столкновении с другим ядром, частицей или гамма-квантом? Опыты Э. Резерфорда, выполненные в 1919 году, показали, например, что под воздействием альфа-частицы из ядра может быть выбит протон. В экспериментах, проведенных Д. Чедвиком в 1932 году, было установлено, что альфа-частицы могут выбивать из атомных ядер и нейтроны («Физика 10», § 106). Но всегда ли так заканчивается процесс столкновения? Не может ли атомное ядро поглотить энергию, полученную при столкновении, и перераспределить ее между входящими в его состав нуклонами, изменив тем самым свою внутреннюю энергию? Что будет происходить с таким ядром дальше?

Ответы на эти вопросы дали прямые опыты по изучению взаимодействия протонов с атомными ядрами. Их результаты очень похожи на результаты опытов Франка и Герца по изучению столкновений электронов с атомами («Физика 10», § 96). Оказывается, при постепенном увеличении энергии протонов сначала наблюдаются только упругие столкновения с атомными ядрами, кинетическая энергия не превращается в другие виды энергии, а лишь перераспределяется между протоном и атомным ядром как одной частицей. Однако, начиная с некоторого значения энергии протона, могут происходить и неупругие столкновения, при которых протон, поглощается ядром и полностью передает ему свою энергию. Ядро каждого изотопа характеризуется строго определенным набором «порций» энергии, которые оно может принять.

Превращение ядра азота с захватом альфа-частицы и испусканием протона.

Эти опыты доказывают, что ядра обладают дискретными спектрами возможных энергетических состояний. Таким образом, квантование энергии и ряда других параметров является свойством не только атомов, но и атомных ядер. Состояние атомного ядра с минимальным запасом энергии называется основным, или нормальным, состояния с избыточной энергией (по сравнению с основным состоянием) называются возбужденными.

Атомы обычно находятся в возбужденных состояниях примерно 10 -8 секунды, а возбужденные атомные ядра избавляются от избытка энергии за гораздо более короткое время - порядка 10 -15 - 10 -16 секунды. Как и атомы, возбужденные ядра освобождаются от избытка энергии, испуская кванты электромагнитного излучения. Эти кванты называются гамма-квантами (или гамма-лучами). Дискретному набору энергетических состояний атомного ядра соответствует дискретный спектр частот излучаемых ими гамма-квантов. Гамма-лучи представляют собой поперечные электромагнитные волны, такие же, как радиоволны, видимый свет или рентгеновские лучи. Они являются самым коротковолновым видом электромагнитного излучения из всех известных, и соответствующие им длины волн лежат в диапазоне примерно от 10 -11 м до 10 -13 м.

Энергетические состояния атомных ядер и переходы ядер из одного состояния в другое с поглощением или излучением энергии принято описывать с помощью энергетических диаграмм, аналогичных энергетическим диаграммам атомов («Физика 10», § 94). На рисунке представлена энергетическая диаграмма ядра изотопа железа - \(~^{58}_{26}Fe\), полученная на основе опытов по бомбардировке протонами. Заметим, что при качественном сходстве энергетических диаграмм атомов и ядер между ними есть существенные количественные различия. Если для перевода атома из основного состояния в возбужденное требуется энергия в несколько электронвольт, то для возбуждения атомного ядра необходима энергия порядка сотен тысяч или миллионов электронвольт. Это различие обусловлено тем, что ядерные силы, действующие между нуклонами в ядре, в значительной степени превосходят силы кулоновского взаимодействия электронов с ядром.

Диаграмма энергетических уровней ядра изотопа железа.

Способность атомных ядер самопроизвольно переходить из состояний с большим запасом энергии в состояние с меньшей энергией объясняет происхождение не только гамма-излучения, но и радиоактивного распада ядер.

Многие закономерности в ядерных спектрах можно объяснить, если воспользоваться так называемой оболочечной моделью строения атомного ядра. Согласно этой модели, нуклоны в ядре не перемешаны в беспорядке, а, подобно электронам в атоме, располагаются связанными группами, заполняя разрешенные ядерные оболочки. При этом протонные и нейтронные оболочки заполняются независимо друг от друга. Максимальные числа нейтронов: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 и протонов: 2, 8, 20, 28, 50, 82 в заполненных оболочках получили название магических. Ядра с магическими числами протонов и нейтронов обладают многими замечательными свойствами: повышенным значением удельной энергии связи, меньшей вероятностью вступления в ядерное взаимодействие, устойчивостью по отношению к радиоактивному распаду и т. п.

Переход ядра из основного состояния в возбужденное и возвращение его в основное состояние, с точки зрения оболочечной модели, объясняется переходом нуклона с одной оболочки на другую и обратно.

При большом числе достоинств оболочечная модель ядра не способна объяснить свойства всех ядер в различных типах взаимодействий. Во многих случаях более плодотворным оказывается представление о ядре как о капле ядерной жидкости, в которой нуклоны связаны ядерными силами, кулоновскими силами и силами поверхностного натяжения . Существуют и другие модели, но ни одна из предложенных до сих пор не может считаться универсальной.

Модель атома Бора была попыткой примирить представления классической физики с формирующимися законами квантового мира.

Э.Резерфорд, 1936 г.: «Как расположены электроны во внешней части атома? Я считаю первоначальную квантовую теорию спектра, выдвинутую Бором, одной из наиболее революционных из всех когда-либо созданных в науке; и я не знаю другой теории, которая имела бы больший успех. Он был в то время в Манчестере и, твердо уверовав в ядерную структуру атома, которая выяснилась в экспериментах по рассеянию, старался понять, как надо расположить электроны, чтобы получить известные спектры атомов. Основа его успеха лежит во внесении в теорию совершенно новых идей. Он внес в наши представления идею кванта действия, а также идею, чуждую классической физике, о том, что электрон может вращаться по орбите вокруг ядра, не испуская излучения. Выдвигая теорию ядерного строения атома, я вполне отдавал себе отчет в том, что согласно классической теории электроны должны падать на ядро, а Бор постулировал, что по некоторым неизвестным причинам этого не происходит, и на основе этого предположения он, как вы знаете, сумел объяснить происхождение спектров. Применяя вполне разумные допущения, он шаг за шагом решил вопрос о расположении электронов во всех атомах периодической таблицы. Здесь было много трудностей, так как распределение должно было соответствовать оптическим и рентгеновским спектрам элементов, но в конце концов Бор сумел предложить такое расположение электронов, которое показало смысл периодического закона.
В результате дальнейших усовершенствований, главным образом внесенных самим Бором, и видоизменений, произведенных Гейзенбергом, Шредингером и Дираком, изменилась вся математическая теория и были введены идеи волновой механики. Совершенно независимо от этих дальнейших усовершенствований я рассматриваю труды Бора как величайший триумф человеческой мысли.
Чтобы осознать значение его работ, следует рассмотреть хотя бы только необычайную сложность спектров элементов и представить себе, что в течение 10 лет все основные характеристики этих спектров были поняты и объяснены, так что теперь теория оптических спектров настолько завершена, что многие считают это исчерпанным вопросом, подобно тому, как это было несколько лет назад со звуком».

К середине 20-х годов стало очевидно, что полуклассическая теория атома Н.Бора не может дать адекватное описание свойств атома. В 1925–1926 гг. в работах В.Гейзенберга и Э.Шредингера был разработан общий подход описания квантовых явлений – квантовая теория.

Квантовая физика

Описание состояния

(x,y,z,p x ,p y ,p z)

Изменение состояния во времени

=∂H/∂p, = -∂H/∂t,

Измерения

x, y, z, p x , p y , p z

ΔхΔp x ~
ΔyΔp y ~
ΔzΔp z ~

Детерминизм

Статистическая теория

|(x,y,z)| 2

Гамильтониан H = p 2 /2m + U(r) = 2 /2m + U(r)

Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,p x ,p y ,p z ,t). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(х,у,z,t). Т.к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно только определить вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции W ~ |ψ(x,y,z)| 2 .
Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где – оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).
В нерелятивистском случае − 2 /2m + (r), где т – масса частицы, – оператор импульса, (x,y,z) – оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. В стационарном состоянии волновая функция ψ(х,у,z) является решением стационарного уравнения Шредингера ψ = Eψ. Как и всякая связанная система в квантовой физике, ядро обладает дискретным спектром собственных значений энергии.
Состояние с наибольшей энергией связи ядра, т. е. с наименьшей полной энергией Е, называют основным. Состояния с бòльшей полной энергией – возбуждённые. Нижнему по энергии состоянию приписывается нулевой индекс и энергия E 0 = 0.

E 0 → Mc 2 = (Zm p + Nm n)c 2 − W 0 ;

W 0 – энергия связи ядра в основном состоянии.
Энергии E i (i = 1, 2, ...) возбуждённых состояний отсчитываются от основного состояния.

Схема нижних уровней ядра 24 Mg.

Нижние уровни ядра дискретны. При увеличении энергии возбуждения среднее расстояние между уровнями уменьшается.
Рост плотности уровней с увеличением энергии является характерным свойством многочастичных систем. Он объясняется тем, что с увеличением энергии таких систем быстро растет число различных способов распределения энергии между нуклонами.
Квантовые числа – целые или дробные числа, определяющие возможные значения физических величин, характеризующих квантовую систему – атом, атомное ядро. Квантовые числа отражают дискретность (квантованность) физических величин, характеризующих микросистему. Набор квантовых чисел, исчерпывающе описывающих микросистему, называют полным. Так состояние нуклона в ядре определяется четырьмя квантовыми числами: главным квантовым числом n (может принимать значения 1, 2, 3, …), определяющим энергию Е n нуклона; орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, …, n, определяющим величину L орбитального момента количества движения нуклона (L = ћ 1/2); квантовым числом m ≤ ±l, определяющим направление вектора орбитального момента; и квантовым числом m s = ±1/2, определяющим направление вектора спина нуклона.

Квантовые числа

n	Главное квантовое число: n = 1, 2, … ∞.
j	Квантовое число полного углового момента. j никогда не бывает отрицательным и может быть целым (включая ноль) или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. Величина полного углового момента системы J связана с j соотношением J 2 = ћ 2 j(j+1). = + где и векторы орбитального и спинового угловых моментов.
l	Квантовое число орбитального углового момента. l может принимать только целые значения: l = 0, 1, 2, … ∞, Величина орбитального углового момента системы L связана с l соотношением L 2 = ћ 2 l (l +1).
m	Проекция полного, орбитального или спинового углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m j = j, j-1, j-2, …, -(j-1), -j. Для орбитального момента m l = l , l -1, l -2, …, -(l -1), -l . Для спинового момента электрона, протона, нейтрона, кварка m s = ±1/2
s	Квантовое число спинового углового момента. s может быть либо целым, либо полуцелым. s - неизменная характеристика частицы, определяемая ее свойствами. Величина спинового момента S связана с s соотношением S 2 = ћ 2 s(s+1)
P	Пространственная четность. Она равна либо +1, либо -1 и характеризует поведение системы при зеркальном отражении P = (-1) l .

Наряду с таким набором квантовых чисел, состояние нуклона в ядре можно также характеризовать другим набором квантовых чисел n, l , j, j z . Выбор набора квантовых чисел определяется удобством описания квантовой системы.
Существование сохраняющихся (неизменных во времени) физических величин для данной системы тесно связано со свойствами симметрии этой системы. Так, если изолированная система не изменяется при произвольных поворотах, то у неё сохраняется орбитальный момент количества движения. Это имеет место для атома водорода, в котором электрон движется в сферически симметричном кулоновском потенциале ядра и поэтому характеризуется неизменным квантовым числом l . Внешнее возмущение может нарушать симметрию системы, что приводит к изменению самих квантовых чисел. Фотон, поглощенный атомом водорода, может перевести электрон в другое состояние с другими значениями квантовых чисел. В таблице приведены некоторые квантовые числа, используемые для описа­ния атомных и ядерных состояний.
Помимо квантовых чисел, отражающих пространственно-временную симметрию микросистемы, существенную роль играют так называемые внутренние квантовые числа частиц. Ряд из них, такие как спин и электрический заряд, сохраняются во всех взаимодействиях, другие в некоторых взаимодействиях не сохраняются. Так квантовое число странность, сохраняющееся в сильном и электромагнитном взаимодействиях, не сохраняется в слабом взаимодействии, что отражает разную природу этих взаимодействий.
Атомное ядро в каждом состоянии характеризуется полным моментом количества движения . Этот момент в системе покоя ядра называется спином ядра .
Для ядра выполняются следующие правила:
а) A - чётно J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), т. е. целое;
б) A – нечётно J = n + 1/2, т. е. полуцелое.
Кроме того, экспериментально установлено ещё одно правило: у чётно-чётных ядер в основном состоянии J gs = 0. Это указывает на взаимную компенсацию моментов нуклонов в основном состоянии ядра – особое свойство межнуклонного взаимодействия.
Инвариантность системы (гамильтониана ) относительно пространственного отражения – инверсии (замены → -) приводит к закону сохранения чётности и квантовому числу чётности Р. Это означает, что ядерный гамильтониан обладает соответствующей симметрией. Действительно, ядро существует благодаря сильному взаимодействию между нуклонами. Кроме того, существенную роль в ядрах играет и электромагнитное взаимодействие. Оба этих типа взаимодействий инвариантны к пространственной инверсии. Это означает что ядерные состояния должны характеризоваться определенным значением четности Р, т. е. быть либо четными (Р = +1), либо нечетными (Р = -1).
Однако, между нуклонами в ядре действуют и не сохраняющие чётность слабые силы. Следствием этого является то, что к состоянию с данной четностью добавляется (обычно незначительная) примесь состояния с противоположной четностью. Типичная величина такой примеси в ядерных состояниях всего 10 -6 -10 -7 и в подавляющем числе случаев может не учитываться.
Четность ядра Р как системы нуклонов может быть представлена как произведение четностей отдельных нуклонов p i:

Р = p 1 ·p 2 ·...·p A ·,

причем четность нуклона p i в центральном поле зависит от орбитального момента нуклона , где π i - внутренняя четность нуклона, равная +1. Поэтому четность ядра в сферически симметричном состоянии может быть представлена как произведение орбитальных четностей нуклонов в этом состоянии:

На схемах ядерных уровней обычно указывают энергию, спин и чётность каждого уровня. Спин указывается числом, а чётность знаком плюс для чётных и минус для нечётных уровней. Этот знак ставится справа сверху от числа, указывающего спин. Например, символ 1/2 + обозначает чётный уровень со спином 1/2, а символ 3 - обозначает нечётный уровень со спином 3.

Изоспин атомных ядер. Ещё одна характеристика ядерных состояний – изоспин I . Ядро (A, Z) состоит из A нуклонов и имеет заряд Ze, который можно представить в виде суммы зарядов нуклонов q i , выраженных через проекции их изоспинов (I i) 3

− проекция изоспина ядра на ось 3 изоспинового пространства.
Полный изоспин системы нуклонов A

Все состояния ядра имеют значение проекции изоспина I 3 = (Z - N)/2. В ядре, состоящем из A нуклонов, каждый из которых имеет изоспин 1/2, возможны значения изоспина от |N - Z|/2 до A/2

|N - Z|/2 ≤ I ≤ A/2.

Минимальное значение I = |I 3 |. Максимальное значение I равно A/2 и отвечает всем i , направленным в одну сторону. Опытным путём установлено, что энергия возбуждения ядерного состояния тем выше, чем больше значение изоспина. Поэтому изоспин ядра в основном и низковозбужденных состояниях имеет минимальное значение

I gs = |I 3 | = |Z - N|/2.

Электромагнитное взаимодействие нарушает изотропию изоспинового пространства. Энергия взаимодействия системы заряженных частиц изменяется при поворотах в изопространстве, так как при поворотах изменяются заряды частиц и в ядре часть протонов переходит в нейтроны или наоборот. Поэтому реально изоспиновая симметрия не точная, а приближенная.

Потенциальная яма. Для описания связанных состояний частиц часто используется понятие потенциальной ямы. Потенциальная яма - ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне – нулевой.

Энергия частицы Е есть сумма её кинетической энергии Т ≥ 0 и потенциальной U (может быть как положительной, так и отрицательной). Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т 1 меньше глубины ямы U 0 , энергия частицы Е 1 = Т 1 + U 1 = Т 1 - U 0 В квантовой механике энергия частицы, находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом наинизший (основной) уровень всегда лежит выше дна потенциальной ямы. По порядку величины расстояние ΔЕ между уровнями частицы массы m в глубокой яме шириной а даётся выражением
ΔЕ ≈ ћ 2 / mа 2 .
Пример потенциальной ямы – потенциальная яма атомного ядра глубиной 40-50 МэВ и шириной 10 -13 –10 -12 см, в которой на различных уровнях находятся нуклоны со средней кинетической энергией ≈ 20 МэВ.

На простом примере частицы в одномерной бесконечной прямоугольной яме можно понять, как возникает дискретный спектр значений энергии. В классическом случае частица, двигаясь от одной стенки к другой, принимает любое значение энергии, в зависимости от сообщенного ей импульса. В квантовой системе ситуация принципиально другая. Если квантовая частица находится в ограниченной области пространства, спектр энергий оказывается дискретным. Рассмотрим случай, когда частица массы m находится в одномерной потенциальной яме U(x) бесконечной глубины. Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям

При таких граничных условиях частица, находясь внутри потенциальной ямы 0 < x < l, не может выйти за ее пределы, т. е.

ψ(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ L.

Используя стационарное уравнение Шредингера для области, где U = 0,

получим положение и спектр энергий частицы внутри потенциальной ямы.

Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

Волновая функция частицы в бесконечной прямоугольной яме (а), квадрат модуля волновой функции (б) определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике.
Самой поразительной особенностью квантовой физики оказался ее вероятностный характер.

Вероятностный характер процессов, протекающих в микромире, является фундаментальным свойством микромира.

Э.Шредингер: «Обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых чисел». Целочисленность получается при этом естественным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено и, я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования.
Довольно естественно связывать функцию ψ с некоторым колебательным процессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомнению. Я сначала тоже хотел обосновать новое понимание квантовых правил, используя указанный сравнительно наглядный путь, но потом предпочел чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить все существенные стороны вопроса. Существенным мне кажется, что квантовые правила не вводятся больше как загадочное «требование целочисленности », а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственной функции.
Я не считаю возможным, до тех пор, пока не будут успешно рассчитаны новым способом более сложные задачи, подробнее рассматривать истолкование введенного колебательного процесса. Не исключена возможность, что подобные расчеты приведут к простому совпадению с выводами обычной квантовой теории. Например, при рассмотрении по приведенному способу релятивистской задачи Кеплера, если действовать по указанным вначале правилам, получается замечательный результат: полуцелые квантовые числа (радиальное и азимутальное)…
Прежде всего, нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении «фазовых волн», которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания».

М.Лауэ: «Достижения квантовой теории накоплялись очень быстро. Особенно поражающий успех она имела в применении к радиоактивному распаду при испускании α-лучей. Согласно этой теории существует «туннельный эффект», т.е. проникновение через потенциальный барьер частицы, знергия которой согласно требованиям классической механики, недостаточна для перехода через него.
Г.Гамов дал в 1928 г. объяснение испускания α-частиц, основанное на этом туннельном эффекте. Согласно теории Гамова атомное ядро окружено потенциальным барьером, но α-частицы имеют определенную вероятность его «перешагнуть». Эмпирически найденные Гейгером и Неттолом соотношения между радиусом действия α-частицы и полупериодом распада получили на основе теории Гамова удовлетворительное объяснение».

Статистика. Принцип Паули. Свойства квантовомеханических систем, состоящих из многих частиц, определяются статистикой этих частиц. Классические системы, состоящие из одинаковых, но различимых частиц, подчиняются распределению Больцмана

В системе квантовых частиц одного типа проявляются новые особенности поведения, не имеющие аналогов в классической физике. В отличие от частиц в классической физике, квантовые частицы не просто одинаковы, но и неразличимы – тождественны. Одна из причин состоит в том, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновых функций, позволяющих вычислить лишь вероятность нахождения частицы в какой-либо точке пространства. Если волновые функции нескольких тождественных частиц перекрываются, то невозможно определить, какая из частиц находится в данной точке. Так как физический смысл имеет только квадрат модуля волновой функции, из принципа тождественности частиц следует, что при перестановке двух тождественных частиц волновая функция либо изменяет знак (антисимметричное состояние ), либо не изменяет знак (симметричное состояние ).
Симметричными волновыми функциями описываются частицы с целым спином – бозоны (пионы, фотоны, альфа-частицы. ...). Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

В одном квантовом состоянии может одновременно находиться неограниченное количество тождественных бозонов.
Антисимметричными волновыми функциями описываются частицы с полуцелым спином – фермионы (протоны, нейтроны, электроны, нейтрино). Фермионы починяются статистике Ферми-Дирака

На связь между симметрией волновой функции и спином впервые указал В. Паули.

Для фермионов справедлив принцип Паули – два тождественных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии.

Принцип Паули определяет строение электронных оболочек атомов, заполнение нуклонных состояний в ядрах и другие особенности поведения квантовых систем.
С созданием протон-нейтронной модели атомного ядра можно считать завершенным первый этап развития ядерной физики, в котором были установлены основные факты строения атомного ядра. Первый этап начался в фундаментальной концепции Демокрита о существовании атомов – недели­мых частиц материи. Установление периодического закона Менделеевым позволило систематизировать атомы и поставило вопрос о причинах, лежащих в основе этой систематики. Открытие электронов в 1897 г. Дж. Дж. Томсоном разрушило представление о неделимости атомов. Согласно модели Томсона, электроны – составные элементы всех атомов. Открытие А. Беккерелем в 1896 г. явление радиоактивности урана и последующее открытие П.Кюри и М.Склодовской-Кюри радиоактивности тория, полония и радия впервые показали, что химические элементы не являются вечными образованиями, они могут самопроизвольно распадаться, превращаться в другие химические элементы. В 1899 г. Э. Резерфордом было установлено, что атомы в результате радиоактивного распада могут выбрасывать из своего состава α-частицы – ионизованные атомы гелия и электроны. В 1911 г. Э. Резерфорд, обобщив результаты эксперимента Гейгера и Марсдена, разработал планетарную модель атома. Согласно этой модели атомы состоят из положительно заряженного атомного ядра радиусом ~10 -12 см, в котором сосредоточена вся масса атома и вращающихся вокруг него отрицательных электронов. Размер электронных оболочек атома ~10 -8 см. В 1913 г. Н.Бор развил представление планетарной модели атома на основе квантовой теории. В 1919 г. Э. Резерфорд доказал, что в состав атомного ядра входят протоны. В 1932 г. Дж. Чадвик открыл нейтрон и показал, что в состав атомного ядра входят нейтроны. Созданием в 1932 г. Д. Иваненко, В. Гейзенбергом протон-нейтронной модели атомного ядра завершился первый этап развития ядерной физики. Все составные элементы атома и атомного ядра были установлены.

1869 г. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева

Ко второй половине XIX столетия усилиями химиков была накоплена обширная информация о поведении химических элементов в различных химических реакциях. Было установлено, что только определенные комбинации химических элементов образуют данное вещество. Было обнаружено, что некоторые химические элементы имеют примерно одинаковые свойства, в то время как их атомные веса сильно различаются. Д. И. Менделеев проанализировал связь между химическими свойствами элементами и их атомным весом и показал, что химические свойства элементов расположенных по мере возрастания атомных весов повторяются. Это послужило основой созданной им периодической системы элементов. При составлении таблицы Менделеев обнаружил, что атомные веса некоторых химических элементов выпадают из полученной им закономерности, и указал, что атомные веса этих элементов определены неточно. Более поздние точные опыты показали, что действительно первоначально опреде­лен­ные веса были неправильны и новые результаты соответствовали пред­ска­за­ниям Менделеева. Оставив в таблице незаполненными некоторые места, Менделеев указал, что здесь должны находиться новые ещё не открытые химические элементы и предсказал их химические свойства. Так были предсказаны и затем открыты галлий (Z = 31), скандий (Z = 21) и германий (Z = 32). Потомкам Менделеев оставил задачу объяснения периодических свойств химических элементов. Теоретическое объяснение периодической системы элементов Менделеева, данное Н. Бором в 1922 г. было одним из убедительных доказательств правильности зарождающейся квантовой теории.

Атомное ядро и периодическая система элементов

Основой успешного построения периодической системы элементов Менделеевым и Логар Мейером явилось представление о том, что атомный вес может служить подходящей константой для систематической классификации элементов. Современная атомная теория подошла, однако, к истолкованию периодической системы, совершенно не затрагивая атомного веса. Номер места какого-нибудь элемента в этой системе и вместе с тем его химические свойства однозначно определяются положительным зарядом атомного ядра, или, что то же самое, числом отрицательных электронов, расположенных вокруг него. Масса и строение атомного ядра не играют при этом никакой роли; так, в настоящее время мы знаем, что существуют элементы или, вернее, виды атомов, которые при одном и том же числе и расположении внешних электронов обладают значительно разнящимися атомными весами. Такие элементы называются изотопами. Так, например, в плеяде изотопов цинка атомный вес распределяется от 112 до 124. Наоборот, есть элементы, обладающие существенно различными химическими свойствами, которые обнаруживают одинаковый атомный вес; их называют изобарами. Примером может служить атомный вес 124, который найден для цинка, теллура и ксенона.
Для определения химического элемента достаточно одной константы, а именно – числа отрицательных электронов, расположенных вокруг ядра, так как все химические процессы протекают среди этих электронов.
Число протонов n 2 , находящихся в атомном ядре, определяют его положительный заряд Z, а тем самим и число внешних электронов, обусловливающих химические свойства этого элемента; некоторое число нейтронов n 1 заключенных в этом же ядре, в сумме с n 2 дает его атомный вес
A = n 1 + n 2 . Обратно, порядковый номер Z дает число содержащихся в атомном ядре протонов, а из разности между атомным весом и зарядом ядра A – Z получается число ядерных нейтронов.
С открытием нейтрона периодическая система получила некоторое пополнение в области малых порядковых номеров, так как нейтрон можно считать элементом с порядковым числом, равным нулю. В области высоких порядковых чисел, а именно от Z = 84 до Z = 92, все атомные ядра неустойчивы, спонтанно радиоактивны; поэтому можно предположить, что атом с зарядом ядра еще более высоким, чем у урана, если он только может быть получен, должен быть также неустойчивым. Ферми и его сотрудники недавно сообщили о своих опытах, в которых при обстреле урана нейтронами наблюдалось появление радиоактивного элемента с порядковым номером 93 или 94. Вполне возможно, что и в этой области периодическая система имеет продолжение. Остается прибавить только, что гениальным предвидением Менделеева рамки периодической системы так широко предусмотрены, что каждое новое открытие, оставаясь в объеме их, еще более укрепляет ее.