Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовженням сторін іншого.
На малюнку кути 1 і 3 , а також кути 2 і 4 - Вертикальні. Кут 2 є суміжним як з кутом 1 , так і з кутом 3. За якістю суміжних кутів 1 +2 =180 0 3 +2 =180 0 . Звідси отримуємо: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Таким чином, градусні заходи кутів 1 і 3 рівні. Звідси випливає, що й самі кути рівні. Отже, вертикальні кути рівні.
2. Ознаки рівності трикутників.
Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Якщо сторона і два кута одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
3.Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
1 ознака рівності трикутників:
Розглянемо трикутники АВС і А1В1С1, у яких АВ=А1В1, АС=А1С1, кути А і А1 рівні. Доведемо, що АВС = А 1 В 1 З 1 .
Оскільки (у)А=(у)А 1 , то трикутник АВС можна накласти на трикутник А 1 В 1 З 1 так, що вершина А суміситься з вершиною А1, а сторони АВ та АС накладуться відповідно на промені А 1 В 1 А 1 З 1 . Оскільки АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 З 1 , то сторона АВ сумісний зі стороною А 1 В 1 , а сторона АС - зі стороною А 1 З 1; зокрема, суміщаються точки В і В 1 , З і С 1 . Отже, суміщаються сторони ЗС і В1С1. Отже, трикутники АВС та А 1 В 1 С 1 повністю суміщаться, отже вони рівні. ЧТД
3.Теорема про бісектрису рівнобедреного трикутника.
У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.
Звернемося до малюнка, на якому АВС – рівнобедрений трикутник з основою ВС, АD – його бісектриса.
З рівності трикутників АВD і АСD (за 2 ознаками рівності трикутників: AD – загальна; кути 1 і 2 рівні тому що AD-бісектриса; AB=AC, тому що трикутник рівнобедрений) випливає, що ВD = DC і 3 = 4. Рівність ВD = DC означає, що точка D – середина сторони ВС і тому АD – медіана трикутника АВС. Так як кути 3 і 4 суміжні та рівні один одному, то вони прямі. Отже, відрізок АТ є висотою трикутника АВС. ЧТД.
4. Якщо прямі паралельні -> кут. (на вибір)
5. Якщо кут…..-> прямі паралельні (на вибір)
Якщо при перетині двох прямих січної відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
Нехай при перетині прямих а і б січе з відповідні кути рівні, наприклад 1=2.
Оскільки кути 2 та 3 – вертикальні, то 2=3. З цих двох рівнів випливає, що 1=3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і б паралельні. ЧТД.
6. Теорема про суму кутів трикутника.
Сума кутів трикутника дорівнює 180 0.
Розглянемо довільні трикутники АВС і доведемо, що А+В+С=180 0 .
Проведемо через вершину пряму а, паралельну стороні АС. Кути 1 і 4 є навхрест лежачими кутами про перетин паралельних прямих а і АС сіючої АВ, а кути 3 і 5 - навхрест лежать кутами при перетині тих же паралельних прямих секучою ВС. Тому (1) 4 = 1; 5 = 3.
Очевидно, сума кутів 4, 2 і 5 дорівнює розгорнутому кутку з вершиною, тобто. 4+2+5=180 0 . Звідси, з огляду на рівність (1), отримуємо: 1+2+3=180 0 або А+В+С=180 0 .ЧТД.
7. Ознака рівності прямокутних трикутників.
1. Перша ознака паралельності.
Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.
Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і ∠1 = ∠2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL секучою ЕF (рис.).
Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину із прямою СD, АВ ⊥ МN. Доведемо, що й CD ⊥ МN.
Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: ∠1 = ∠2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;
∠МОL = ∠NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, ΔМОL = ΔNОК, а звідси і ∠LМО = ∠КNО,
але ∠LМО прямий, отже, і ∠КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і CD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже, вони паралельні, що і потрібно довести.
Примітка. Перетин прямих МО і СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.
2. Друга ознака паралельності.
Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.
Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад ∠3 = ∠2 (рис.);
∠3 = ∠1, як кути вертикальні; отже, ∠2 дорівнюватиме ∠1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежачі кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.
Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.
На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.
Прикладемо трикутник до лінійки так, як показано на рис. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по будь-якій іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.
3. Третя ознака паралельності.
Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (рис.).
Нехай ∠1 та ∠2-внутрішні односторонні кути і в сумі становлять 2 d.
Але ∠3 + ∠2 = 2 dяк кути суміжні. Отже, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Звідси ∠1 = ∠3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.
Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d (або 180°), ці дві прямі паралельні.
Ознаки паралельних прямих:
1. Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.2.Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.
3. Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то ці дві прямі паралельні.
4. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.
5. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою.
Аксіома паралельності Евкліда
Завдання. Через точку М, взяту поза прямою АВ, провести пряму, паралельну до прямої АВ.
Користуючись доведеними теоремами про ознаки паралельності прямих, можна це завдання розв'язати різними способами,
Рішення. 1-й спосіб (черт. 199).
Проводимо МN⊥АВ і через точку М проводимо СD⊥МN;
отримуємо СD⊥МN та АВ⊥МN.
На підставі теореми ("Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні") укладаємо, що СD | АВ.
2-й запит (чорт. 200).
Проводимо МК, що перетинає АВ під будь-яким кутом α, і через точку М проводимо пряму ЕF, що утворює з прямої МК кут ЕМК, що дорівнює куту α. З теореми () укладаємо, що ЕF || АВ.
Розв'язавши це завдання, можемо вважати доведеним, що через будь-яку точку М, взяту поза прямою АВ, можна провести пряму, їй паралельну. Виникає питання, скільки ж прямих, паралельних даній прямий і проходять через цю точку, може існувати?
Практика побудов дозволяє припускати, що існує тільки одна така пряма, так як при ретельно виконаному кресленні прямі, проведені різними способами через ту саму точку паралельно одній і тій же прямій, зливаються.
Теоретично у відповідь поставлене питання дає так звана аксіома паралельності Евкліда; вона формулюється так:
Через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій.
На кресленні 201 через точку проведена пряма СК, паралельна прямий АВ.
Будь-яка інша пряма, що проходить через точку О, вже не буде паралельна прямий АВ, а її перетинатиме.
Прийнята Евклідом у його "Початках" аксіома, яка стверджує, що на площині через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій, називається аксіомою паралельності Евкліда.
Більше двох тисячоліть після Евкліда багато вчених-математиків намагалися довести цю математичну пропозицію, але завжди їхні спроби виявлялися безуспішними. Тільки в 1826 р. великий російський учений, професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський довів, що, використовуючи всі інші аксіоми Евкліда, цю математичну пропозицію довести не можна, що вона дійсно має бути прийнята за аксіому. М. І. Лобачевський створив нову геометрію, яка на відміну геометрії Евкліда названа геометрією Лобачевського.
ABі ЗDперетнуті третьою прямою MN, то кути, що утворилися при цьому, отримують попарно такі назви:відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7;
внутрішні навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
зовнішні навхрест лежачі кути: 1 та 7, 2 та 8;
внутрішні односторонні кути: 3 та 6, 4 та 5;
зовнішні односторонні кути: 1 та 8, 2 та 7.
Так, ∠2 = ∠4 і ∠8 = ∠6, але за доведеним ∠4 = ∠6.
Отже, ∠2 = ∠8.
3. Відповідні кути 2 і 6 однакові, оскільки ∠2 = ∠4, а ∠4 = ∠6. Також переконаємось у рівності інших відповідних кутів.
4. Сума внутрішніх односторонніх кутів 3 і 6 буде 2d, тому що сума суміжних кутів 3 і 4 дорівнює 2d = 180 0 а ∠ 4 можна замінити ідентичним йому ∠ 6. Також переконаємося, що сума кутів 4 та 5 дорівнює 2d.
5. Сума зовнішніх односторонніх кутівбуде 2d, тому що ці кути рівні відповідно внутрішнім одностороннім кутамяк кути вертикальні.
З вище доведеного обґрунтування отримуємо зворотні теореми.
Коли при перетині двох прямих довільної третьої прямої отримаємо, що:
1. Внутрішні навхрест лежачі кути однакові;
чи 2.Зовнішні навхрест кути, що лежать однакові;
чи 3.Відповідні кути однакові;
чи 4.Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d = 180 0;
чи 5.Сума зовнішніх односторонніх дорівнює 2d = 180 0 ,
то перші дві прямі паралельні.
Ознаки паралельності двох прямих
Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:
навхрест лежачі кути рівні, або
відповідні кути рівні, або
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то
прямі паралельні(Рис.1).
Доведення. Обмежимося підтвердженням випадку 1.
Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.
Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.
Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).
Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.
Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.
Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).
Потім проводимо через точку М пряму перпендикулярно прямий р. Пряма b паралельна прямий а згідно з слідством теореми 1.
З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.
Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.
Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.
Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.
1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).
2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).
Справедлива та наступна теорема.
Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:
навхрест лежачі кути рівні;
відповідні кути рівні;
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).
Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.
Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.
приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.
Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.
