Trójkąt to trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej i trzy odcinki linii, które je łączą. W przeciwnym razie trójkąt to wielokąt, który ma dokładnie trzy kąty.

Te trzy punkty nazywane są wierzchołkami trójkąta, a odcinki nazywane są bokami trójkąta. Boki trójkąta tworzą trzy kąty na wierzchołkach trójkąta.

Trójkąt równoramienny to taki, w którym dwa boki są równe. Te boki nazywane są bokami, trzecia strona nazywana jest podstawą. W trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe.

Nazywa się trójkąt równoboczny lub prostokątny, w którym wszystkie trzy boki są równe. Wszystkie kąty trójkąta równobocznego są również równe i równe 60°.

Pole dowolnego trójkąta oblicza się według wzorów: lub

Pole trójkąta prostokątnego oblicza się według wzoru:

Pole trójkąta regularnego lub równobocznego oblicza się według wzorów: lub lub

Gdzie a,b,c- boki trójkąta h- wysokość trójkąta, tak- kąt między bokami, R- promień okręgu opisanego, r jest promieniem okręgu wpisanego.

Obszar trójkąta - wzory i przykłady rozwiązywania problemów

Poniżej są wzory na znalezienie pola dowolnego trójkąta które nadają się do znalezienia pola dowolnego trójkąta, niezależnie od jego właściwości, kątów czy wymiarów. Wzory przedstawione są w formie obrazkowej, oto wyjaśnienia dotyczące zastosowania lub uzasadnienie ich poprawności. Również osobny rysunek pokazuje zgodność symboli literowych we wzorach i symboli graficznych na rysunku.

Notatka . Jeśli trójkąt ma specjalne właściwości (równoramienny, prostokątny, równoboczny), możesz użyć poniższych wzorów, a także dodatkowo specjalnych wzorów, które są prawdziwe tylko dla trójkątów o tych właściwościach:

• „Wzory na obszar trójkąta równobocznego”

Formuły obszaru trójkąta

Wyjaśnienia do formuł:
a, b, c- długości boków trójkąta, których pole chcemy znaleźć
r- promień okręgu wpisanego w trójkąt
R- promień okręgu opisanego wokół trójkąta
h- wysokość trójkąta obniżona na bok
p- półobwód trójkąta, 1/2 sumy jego boków (obwód)
α - kąt po przeciwnej stronie a trójkąta
β - kąt przeciwnej strony b trójkąta
γ - kąt przeciwnej strony c trójkąta
h a, h b , h c- wysokość trójkąta opuszczonego na bok a, b, c

Zwróć uwagę, że podana notacja odpowiada powyższemu rysunkowi, dzięki czemu przy rozwiązywaniu rzeczywistego problemu z geometrii łatwiej byłoby Ci wizualnie podstawić prawidłowe wartości we właściwych miejscach we wzorze.

• Obszar trójkąta to połowa iloczynu wysokości trójkąta i długości boku, na którym ta wysokość jest obniżona(Formuła 1). Poprawność tego wzoru można zrozumieć logicznie. Wysokość obniżona do podstawy podzieli dowolny trójkąt na dwa prostokątne. Jeśli uzupełnimy każdy z nich do prostokąta o wymiarach b i h, to oczywiście powierzchnia tych trójkątów będzie równa dokładnie połowie powierzchni prostokąta (Spr = bh)
• Obszar trójkąta to połowa iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi(Formuła 2) (patrz przykład rozwiązywania problemu za pomocą tego wzoru poniżej). Pomimo tego, że wydaje się inny od poprzedniego, łatwo można go w niego przekształcić. Jeśli obniżymy wysokość z kąta B na bok b, to okaże się, że iloczyn boku a i sinusa kąta γ, zgodnie z własnościami sinusa w trójkącie prostokątnym, jest równy wysokości trójkąta narysowanego przez nam, co da nam poprzedni wzór
• Można znaleźć obszar dowolnego trójkąta poprzez praca połowa promienia okręgu wpisanego w nią przez sumę długości wszystkich jego boków(Formuła 3), czyli trzeba pomnożyć półobwód trójkąta przez promień okręgu wpisanego (łatwiej to zapamiętać)
• Obszar dowolnego trójkąta można znaleźć, dzieląc iloczyn wszystkich jego boków przez 4 promienie okręgu opisanego wokół niego (wzór 4)
• Formuła 5 to znalezienie pola trójkąta pod względem długości jego boków i półobwodu (połowa sumy wszystkich jego boków)
• Formuła Herona(6) jest reprezentacją tego samego wzoru bez użycia pojęcia półobwodu, tylko poprzez długości boków
• Pole dowolnego trójkąta jest równe iloczynowi kwadratu boku trójkąta i sinusów kątów sąsiadujących z tym bokiem podzielonego przez podwójny sinus kąta przeciwnego do tego boku (wzór 7)
• Pole dowolnego trójkąta można znaleźć jako iloczyn dwóch kwadratów koła opisanego wokół niego i sinusów każdego z jego kątów. (Formuła 8)
• Jeśli znana jest długość jednego boku i wielkość dwóch sąsiadujących z nim kątów, wówczas obszar trójkąta można znaleźć jako kwadrat tego boku, podzielony przez podwójną sumę ich cotangensów kąty (wzór 9)
• Jeśli znana jest tylko długość każdej z wysokości trójkąta (Wzór 10), to powierzchnia takiego trójkąta jest odwrotnie proporcjonalna do długości tych wysokości, jak według Formuły Herona
• Formuła 11 pozwala obliczyć obszar trójkąta według współrzędnych jego wierzchołków, które podane są jako wartości (x;y) dla każdego z wierzchołków. Należy pamiętać, że otrzymaną wartość należy przyjąć modulo, ponieważ współrzędne poszczególnych (lub nawet wszystkich) wierzchołków mogą znajdować się w obszarze wartości ujemnych

Notatka. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązywania problemów z geometrii w celu znalezienia obszaru trójkąta. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, podobnego do tego, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. W rozwiązaniach funkcja sqrt() może być używana zamiast symbolu „pierwiastek kwadratowy”, w którym sqrt jest symbolem pierwiastka kwadratowego, a wyrażenie radykalne jest wskazane w nawiasach.Czasami symbol może być używany do prostych wyrażeń radykalnych √

Zadanie. Znajdź obszar podany z dwóch stron i kąt między nimi

Boki trójkąta mają 5 i 6 cm, a kąt między nimi wynosi 60 stopni. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, posługujemy się wzorem numer dwa z teoretycznej części lekcji.
Pole trójkąta można znaleźć przez długości dwóch boków i sinus kąta między nimi i będzie równy
S=1/2 odb sin γ

Ponieważ mamy wszystkie niezbędne dane do rozwiązania (zgodnie ze wzorem), możemy jedynie podstawić wartości ze sformułowania problemu do wzoru:
S=1/2*5*6*sin60

W tabeli wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy i zastępujemy w wyrażeniu wartość sinusa 60 stopni. Będzie równy pierwiastkowi trzy na dwa.
S = 15 √3 / 2

Odpowiadać: 7,5 √3 (w zależności od wymagań nauczyciela, prawdopodobnie można zostawić 15 √3/2)

Zadanie. Znajdź obszar trójkąta równobocznego

Znajdź obszar trójkąta równobocznego o boku 3 cm.

Rozwiązanie .

Pole trójkąta można znaleźć za pomocą wzoru Herona:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ponieważ a \u003d b \u003d c, wzór na obszar trójkąta równobocznego przyjmie postać:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpowiadać: 9 √3 / 4.

Zadanie. Zmiana obszaru przy zmianie długości boków

Ile razy zwiększy się powierzchnia trójkąta, jeśli boki będą czterokrotnie większe?

Rozwiązanie.

Ponieważ wymiary boków trójkąta są nam nieznane, aby rozwiązać problem, przyjmiemy, że długości boków są odpowiednio równe dowolnym liczbom a, b, c. Następnie, aby odpowiedzieć na pytanie problemu, znajdujemy pole tego trójkąta, a następnie znajdujemy pole trójkąta, którego boki są czterokrotnie większe. Stosunek pól tych trójkątów da nam odpowiedź na problem.

Następnie podajemy tekstowe wyjaśnienie rozwiązania problemu w krokach. Jednak na samym końcu to samo rozwiązanie przedstawione jest w wygodniejszej do percepcji formie graficznej. Ci, którzy chcą, mogą natychmiast upuścić rozwiązanie.

Do rozwiązania używamy wzoru Czapla (patrz wyżej w części teoretycznej lekcji). To wygląda tak:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz pierwsza linia na poniższym obrazku)

Długości boków dowolnego trójkąta są określone przez zmienne a, b, c.
Jeśli boki zostaną zwiększone 4 razy, obszar nowego trójkąta c będzie wynosił:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(patrz druga linia na poniższym obrazku)

Jak widać, 4 to wspólny czynnik, który można ująć w nawias ze wszystkich czterech wyrażeń zgodnie z ogólnymi zasadami matematyki.
Następnie

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - w trzecim wierszu obrazu
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - czwarta linia

Z liczby 256 pierwiastek kwadratowy jest idealnie wyodrębniony, więc wyciągniemy go spod pierwiastka
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(patrz piąty wiersz rysunku poniżej)

Aby odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu, wystarczy podzielić obszar powstałego trójkąta przez obszar pierwotnego.
Stosunki powierzchni określamy dzieląc wyrażenia na siebie i redukując wynikowy ułamek.

Definicja trójkąta

Trójkąt- Jest to figura geometryczna, która powstaje w wyniku przecięcia trzech segmentów, których końce nie leżą na jednej linii prostej. Każdy trójkąt ma trzy boki, trzy wierzchołki i trzy kąty.

Kalkulator online

Trójkąty są różnego rodzaju. Na przykład istnieje trójkąt równoboczny (w którym wszystkie boki są równe), równoramienny (dwa boki są w nim równe) i prostokątny (w którym jeden z kątów jest równy 90 stopniom). ).

Obszar trójkąta można znaleźć na różne sposoby, w zależności od tego, które elementy figury są znane ze stanu problemu, czy są to kąty, długości, czy ogólnie promienie okręgów związanych z trójkąt. Rozważ każdą metodę osobno z przykładami.

Wzór na powierzchnię trójkąta ze względu na jego podstawę i wysokość

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ h,

A a- podstawa trójkąta;
h h h- wysokość trójkąta narysowanego do danej podstawy a.

Przykład

Znajdź obszar trójkąta, jeśli znana jest długość jego podstawy, równa 10 (cm) i wysokość narysowana do tej podstawy, równą 5 (cm).

Rozwiązanie

A=10 a=10 a =1 0
godz.=5 godz.=5 h =5

Zastąp we wzorze na obszar i uzyskaj:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (patrz kw.)

Odpowiadać: 25 (patrz kw.)

Wzór na pole trójkąta ze względu na długości wszystkich boków

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A , b , c a, b, c a, b, c- długość boków trójkąta;
pp p- połowa sumy wszystkich boków trójkąta (czyli połowa obwodu trójkąta):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (+b+c)

Ta formuła nazywa się Formuła Herona.

Przykład

Znajdź obszar trójkąta, jeśli znane są długości jego trzech boków, równe 3 (patrz), 4 (patrz), 5 (patrz).

Rozwiązanie

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

Znajdź połowę obwodu pp p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Wtedy, zgodnie ze wzorem Herona, pole trójkąta to:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (patrz kw.)

Odpowiedź: 6 (patrz kw.)

Wzór na pole trójkąta z jednym bokiem i dwoma kątami

S = a 2 2 ⋅ grzech ⁡ β grzech ⁡ γ grzech ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 a 2 ​ ⋅ grzech (β+γ)grzech β grzech γ ​ ,

A a- długość boku trójkąta;
β , γ \beta, \gamma β , γ - kąty przylegające do boku a a.

Przykład

Biorąc pod uwagę bok trójkąta równy 10 (patrz) i dwa sąsiednie kąty 30 stopni. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie

A=10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Zgodnie ze wzorem:

S = 1 0 2 2 ⋅ grzech ⁡ 3 0 ∘ grzech ⁡ 3 0 ∘ grzech ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\ok14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ grzech(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) grzech 3 0 ∘ grzech 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (patrz kw.)

Odpowiadać: 14.4 (patrz kw.)

Wzór na pole trójkąta o trzech bokach i promieniu koła opisanego

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A , b , c a, b, c a, b, c- boki trójkąta
R R R jest promieniem okręgu opisanego wokół trójkąta.

Przykład

Bierzemy liczby z naszego drugiego problemu i dodajemy do nich promień R R R kręgi. Niech będzie równy 10 (patrz).

Rozwiązanie

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (patrz kw.)

Odpowiadać: 1,5 (cm kw.)

Wzór na pole trójkąta o trzech bokach i promieniu okręgu wpisanego

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= p⋅ r,

ppp- połowa obwodu trójkąta:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)p= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- boki trójkąta
r rr jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt.

Przykład

Niech promień okręgu wpisanego będzie równy 2 (patrz). Z poprzedniego zadania bierzemy długości boków.

Rozwiązanie

$a=3b=4\; b=4b=4c=5\; c=5c=5r=2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (patrz kw.)

Odpowiadać: 12 (patrz kw.)

Wzór na pole trójkąta z podaniem dwóch boków i kąta między nimi

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ grzech ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ grzech(α ) ,

b, c b, cb, c- boki trójkąta

α\alfaα - kąt między bokami nocleg ze śniadaniemb oraz c cc.

Przykład

Boki trójkąta to 5 (patrz) i 6 (patrz), kąt między nimi wynosi 30 stopni. Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie

$b=5c=6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ grzech(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (patrz kw.)

Odpowiadać: 7,5 (patrz kw.)

Trójkąt to najprostsza figura geometryczna, która składa się z trzech boków i trzech wierzchołków. Ze względu na swoją prostotę trójkąt był używany od czasów starożytnych do różnych pomiarów, a dziś figura może być przydatna do rozwiązywania praktycznych i codziennych problemów.

Cechy trójkąta

Figura była używana do obliczeń od czasów starożytnych, na przykład geodeci i astronomowie operują właściwościami trójkątów do obliczania obszarów i odległości. Poprzez pole tej figury łatwo jest wyrazić pole dowolnego n-kąta, a ta właściwość była wykorzystywana przez starożytnych naukowców do wyprowadzania wzorów na pola wielokątów. Ciągła praca z trójkątami, zwłaszcza z trójkątem prostokątnym, stała się podstawą całej sekcji matematyki - trygonometrii.

geometria trójkąta

Właściwości figury geometrycznej badano od czasów starożytnych: najwcześniejsze informacje o trójkącie znaleziono w egipskich papirusach sprzed 4000 lat. Następnie figurę badano w starożytnej Grecji, a największy wkład w geometrię trójkąta mieli Euklides, Pitagoras i Czapla. Badanie trójkąta nigdy się nie skończyło, aw XVIII wieku Leonhard Euler wprowadził koncepcję ortocentrum figury i okręgu Eulera. Na przełomie XIX i XX wieku, kiedy wydawało się, że o trójkącie wiadomo już absolutnie wszystko, Frank Morley sformułował twierdzenie o kącie trisectrix, a Wacław Sierpiński zaproponował trójkąt fraktalny.

Istnieje kilka rodzajów trójkątów płaskich znanych nam ze szkolnego kursu geometrii:

• ostrokątny - wszystkie rogi figury są ostre;
• rozwarty - figura ma jeden kąt rozwarty (większy niż 90 stopni);
• prostokątny - figura zawiera jeden kąt prosty równy 90 stopni;
• równoramienne - trójkąt o dwóch równych bokach;
• równoboczny - trójkąt o wszystkich równych bokach.
• W prawdziwym życiu istnieją wszelkiego rodzaju trójkąty, aw niektórych przypadkach może być konieczne obliczenie obszaru figury geometrycznej.

Obszar trójkąta

Pole to szacunkowa część płaszczyzny, w której figura ogranicza. Pole trójkąta można znaleźć na sześć sposobów, używając boków, wysokości, kątów, promienia okręgu wpisanego lub opisanego, a także korzystając ze wzoru Herona lub obliczając całkę podwójną po liniach ograniczających płaszczyznę. Najprostszy wzór na obliczenie pola trójkąta to:

gdzie a jest bokiem trójkąta, h jest jego wysokością.

Jednak w praktyce nie zawsze wygodnie jest nam znaleźć wysokość figury geometrycznej. Algorytm naszego kalkulatora pozwala obliczyć powierzchnię, wiedząc:

• trzy strony;
• dwie strony i kąt między nimi;
• jeden bok i dwa rogi.

Aby określić pole w ujęciu trzech boków, posługujemy się wzorem Herona:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdzie p to połowa obwodu trójkąta.

Obliczenia powierzchni z dwóch stron i kąta dokonuje się według klasycznego wzoru:

S = a × b × sin(alfa),

gdzie alfa to kąt między bokami a i b.

Do wyznaczenia powierzchni przez jeden bok i dwa rogi posługujemy się zależnością, która:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Za pomocą prostej proporcji określamy długość drugiego boku, po czym obliczamy powierzchnię za pomocą wzoru S = a × b × sin (alfa). Algorytm ten jest w pełni zautomatyzowany i wystarczy wprowadzić podane zmienne i uzyskać wynik. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia

płyty chodnikowe

Załóżmy, że chcesz ułożyć podłogę trójkątnymi płytkami, a aby określić ilość potrzebnego materiału, powinieneś ustalić obszar jednej płytki i powierzchnię podłogi. Załóżmy, że musisz przetworzyć 6 metrów kwadratowych powierzchni za pomocą płytek o wymiarach a \u003d 20 cm, b \u003d 21 cm, c \u003d 29 cm. Oczywiście, aby obliczyć powierzchnię trójkąta, Kalkulator wykorzystuje wzór Herona i poda wynik:

W związku z tym powierzchnia jednego elementu płytki wyniesie 0,021 metra kwadratowego, a do ulepszenia podłogi będziesz potrzebować 6 / 0,021 \u003d 285 trójkątów. Liczby 20, 21 i 29 tworzą potrójne liczby pitagorejskie, które spełniają . Zgadza się, nasz kalkulator również obliczył wszystkie kąty trójkąta, a kąt gamma wynosi dokładnie 90 stopni.

zadanie szkolne

W problemie szkolnym musisz znaleźć obszar trójkąta, wiedząc, że bok a \u003d 5 cm, a kąty alfa i beta rany wynoszą odpowiednio 30 i 50 stopni. Aby rozwiązać ten problem ręcznie, musielibyśmy najpierw znaleźć wartość boku b ze stosunku boków i sinusów przeciwnych kątów, a następnie określić pole za pomocą prostego wzoru S = a × b × sin(alfa). Oszczędźmy czas, wprowadź dane w formularzu kalkulatora i uzyskaj natychmiastową odpowiedź

Podczas korzystania z kalkulatora ważne jest, aby poprawnie określić kąty i boki, w przeciwnym razie wynik będzie nieprawidłowy.

Wniosek

Trójkąt to unikalna figura, która występuje zarówno w prawdziwym życiu, jak i w abstrakcyjnych obliczeniach. Skorzystaj z naszego kalkulatora online, aby znaleźć obszar trójkątów dowolnego rodzaju.

Obszar trójkąta. W wielu problemach geometrycznych związanych z obliczaniem obszarów stosuje się wzory na obszar trójkąta. Jest ich kilka, tutaj rozważymy główne.Wymienienie tych formuł byłoby zbyt proste i bezużyteczne. Przeanalizujemy pochodzenie głównych formuł, tych, które są najczęściej używane.

Zanim zapoznasz się z wyprowadzaniem formuł, zapoznaj się z artykułem na temat.Po przestudiowaniu materiału możesz łatwo przywrócić formuły w pamięci (jeśli nagle „wylecą” we właściwym dla Ciebie czasie).

Pierwsza formuła

Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty o równej powierzchni:

Dlatego powierzchnia trójkąta będzie równa połowie powierzchni równoległoboku:

Formuła obszaru trójkąta

* Oznacza to, że jeśli znamy dowolny bok trójkąta i wysokość obniżoną do tej strony, zawsze możemy obliczyć pole tego trójkąta.

Formuła 2

Jak już wspomniano w artykule o powierzchni równoległoboku, formuła ma postać:

Pole trójkąta to połowa jego pola, więc:

*Oznacza to, że jeśli znane są dowolne dwa boki w trójkącie i kąt między nimi, zawsze możemy obliczyć pole takiego trójkąta.

Wzór Herona (trzeci)

Ta formuła jest trudna do wyprowadzenia i nie potrzebujesz jej. Spójrz, jaka jest piękna, możemy powiedzieć, że została zapamiętana.

*Jeżeli podane są trzy boki trójkąta, to korzystając z tego wzoru zawsze możemy obliczyć jego powierzchnię.

Formuła czwarta

gdzie rjest promień okręgu wpisanego

*Jeżeli znane są trzy boki trójkąta i promień okręgu w nim wpisanego, to zawsze możemy znaleźć pole tego trójkąta.

Formuła piąta

gdzie Rjest promieniem opisanego okręgu.

*Jeśli znane są trzy boki trójkąta i promień opisanego koła, to zawsze możemy znaleźć pole takiego trójkąta.

Powstaje pytanie: skoro znane są trzy boki trójkąta, to czy nie jest łatwiej wyznaczyć jego pole za pomocą wzoru Herona!

Tak, jest łatwiej, ale nie zawsze, czasami staje się to trudne. Ma to związek z ekstrakcją korzeni. Ponadto wzory te są bardzo wygodne do zastosowania w problemach, w których podano pole trójkąta, podano jego boki i wymagane jest znalezienie promienia koła wpisanego lub opisanego. Takie zadania są zawarte w egzaminie.

Przyjrzyjmy się wzorowi:

Jest to szczególny przypadek wzoru na pole powierzchni wielokąta, w który wpisany jest okrąg:

Rozważmy to na przykładzie pięciokąta:

Łączymy środek koła z wierzchołkami tego pięciokąta i opuszczamy prostopadłe ze środka na jego boki. Otrzymujemy pięć trójkątów, przy czym upuszczone prostopadłe są promieniami okręgu wpisanego:

Powierzchnia pięciokąta to:

Teraz jest jasne, że jeśli mówimy o trójkącie, to ta formuła ma postać:

Formuła szósta