Ինչպես գտնել տարբեր ձևերի պարագիծը: Պարզ առաջադրանք՝ ինչպե՞ս գտնել պարագիծը: Բոլոր գործիչների համար ընդհանուր տեսություն

Պարագծայինգործիչը նրա բոլոր կողմերի երկարությունն է: Ոչ բոլոր ձևերն ունեն պարագիծ, օրինակ՝ գնդակը պարագիծ չունի: Ստանդարտ նշում պարագիծը մաթեմատիկայի մեջ -նամակ Պ

Քառակուսու պարագիծը

Թող քառակուսու կողմի երկարությունը լինի a. Քառակուսին ունի չորս հավասար կողմ, ուրեմն հրապարակի պարագծով P = a + a + a + a կամ:

Ուղղանկյունի պարագիծ

Թող ուղղանկյան կողմերի երկարությունները լինեն a և b:
Նրա բոլոր կողմերի երկարությունը P = a + b + a + b կամ.

Զուգահեռագիծ պարագիծ

Թող զուգահեռագծի կողմերի երկարությունները լինեն a և b
Նրա բոլոր կողմերի երկարությունը P = a + b + a + b է, ուստի զուգահեռագծի պարագիծը հետևյալն է.

Ինչպես տեսնում եք, զուգահեռագծի պարագիծը հավասար է ուղղանկյան պարագծին։

Հավասարաչափ տրապեզի պարագիծը

Թողեք a և b տրապիզոնի զուգահեռ կողմերի երկարությունները, իսկ մյուս երկու կողմերի երկարությունները հավասար են c-ի (Ինչպես գիտեք, հավասարաչափ տրապիզն ունի երկու հավասար կողմեր):

P = a + b + c + c = a + b + 2c

Հավասարակողմ եռանկյան պարագիծ

Ինչպես հայտնի է, հավասարակողմ եռանկյունունի 3 հավասար կողմեր. Եթե ​​կողմի երկարությունը a է, ապա պարագիծը գտնելու բանաձևը P = a + a + a է

Տուփի պարագիծը

Զուգահեռագիծը պրիզմա է, որի բոլոր կողմերը զուգահեռական են: (Խորանարդը այն պատկերն է, որի կողմերն ուղղանկյուն են):
Եթե ​​հիմքի կողմերն ունեն a և b երկարություններ, ապա հիմքի պարագիծը P = 2a + 2b է: Յուրաքանչյուր տուփ ունի երկու հիմք, ուստի երկու հիմքերի պարագիծը (2a + 2b) է.2 = 4a + 4b : Ինչպես գիտենք, պարամետրը բոլոր կողմերի գումարն է։ Այսպիսով, մենք պետք է ավելացնենք չորս անգամ c

P = 4a + 4b + 4c

խորանարդի պարագիծը

Խորանարդը զուգահեռաբարձ է, որի բոլոր կողմերը քառակուսի են (բոլոր կողմերը հավասար են):
Այնուհետև, խորանարդի պարագիծը կողմերի * երկարության թիվն է:
Յուրաքանչյուր խորանարդ ունի 12 կողմ:
Այնուհետև խորանարդի պարագիծը գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

Որտեղ a-ն նրա կողմի երկարությունն է:

Ինչպես գտնել տարբեր երկրաչափական ձևերի պարագիծը

Ունե՞ք դժվարություն հասկանալու, թե ինչպես գտնել տարբեր երկրաչափական պատկերների պարագիծը: Բիզնես կայքը գալիս է ձեզ օգնության՝ դարձնելով երկրաչափությունը ավելի հեշտ, քան երբևէ Հաճույք Փաստ Երկրի պարագիծը կամ շրջագիծը 24,901 մղոն է, այսինքն. ե. գրեթե 40,075 կմ Մաթեմատիկայի մեջ դիտարկվում են երկրաչափությունը, ձևերը, չափերը, հարաբերական դիրքը, պատկերների եռաչափ կողմնորոշումը տարածության մեջ։ Այն վերաբերում է պատկերների երեք հիմնական չափերին՝ մակերես, ծավալ և պարագիծ:

Մակերեսը երկչափ գործչի կամ ձևի չափն է. մակերեսը կարելի է բնութագրել որպես օբյեկտի մակերեսի տարածություն: Այն չափում է օբյեկտի մոտ գտնվող 3D տարածության մեջ:

Պարագիծը պարզապես կարելի է նկարագրել որպես երկչափ ձևը շրջապատող ճանապարհի երկարություն: Այլ կերպ ասած, դա գործչի շուրջ տարածությունն է։ Եկեք հիմա նայենք, թե ինչպես գտնել տարբեր երկրաչափական ձևերի պարագիծը:

Ցուցանիշ
Քառակուսի
Ուղղանկյուն
Շրջանակ
Կիսաշրջան

Ոլորտ
Եռանկյուն
Trapezoidal
Բազմանկյուն
Քառակուսի
Քառակուսին այն քառանկյունն է, որն ունի բոլոր չորս կողմերը և չորս անկյունները հավասար (բոլորը 90°):

Օրինակ. 5 սմ կողմ ունեցող քառակուսու պարագիծը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք Նկ.
P = A + A + A + A
P = 5 + 5 + 5 + 5
P = 20 սմ
Նույն բանաձևով կարելի է հաշվարկել ռոմբի պարագիծը։
Վերադարձ դեպի ինդեքս
Ուղղանկյուն
Ուղղանկյունը քառանկյուն է, որի բոլոր չորս անկյունները հավասար են (բոլորը 90°): Ուղղանկյան հակառակ կողմերը հավասար են (իսկ հարակից կողմերը՝ ոչ):

Օրինակ. Ուղղանկյան պարագիծը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նկ.
լ = 15 սմ
b = 25 սմ
P = 2 (15 + 25)
P = 2 (40)
R = 80 սմ
Նույն բանաձևով կարող եք գտնել զուգահեռագծի պարագիծը:
Վերադարձ դեպի ինդեքս
Շրջանակ
Շրջանակը կարելի է նկարագրել որպես որոշակի կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի մի շարք (հայտնի է որպես կենտրոն): Շրջանակի պարագիծը կոչվում է շրջան, որը նշանակում է c.

Օրինակ՝ գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը, մենք օգտագործում ենք նկ.
Եթե ​​C = 2πR և πd
C = 2 x 3.14 x 7 կամ 3.14 x 14
C = 43,96 սմ
Վերադարձ դեպի ինդեքս
ԿԻՍԱՇՐՋԱՆ
Կիսաշրջան, այլ կերպ ասած՝ կես շրջան, նրա պարագիծը կլինի այս շրջանագծի կեսը։

Օրինակ. Կիսաշրջանի պարագիծը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նկ.
p = 7 սմ կամ D = 14 սմ (d = p + p)
P \u003d πR և πd / 2
R = 2 x 3.14 x 7 կամ 3.14 x 14/2
P = 21,98 սմ
Վերադարձ դեպի ինդեքս
Ոլորտ
Սեկտորը կարելի է նկարագրել որպես շրջանագծի մաս:

Օրինակ. Սեկտորի պարագիծը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նկ.

ϴ = 60°
p = 7 սմ
P \u003d 60/360 X 2 X 3. 14 x 7
R = 7,33 սմ
Վերադարձ դեպի ինդեքս
Եռանկյուն
Եռանկյունը բազմանկյուն է, որն ունի երեք կողմ և երեք գագաթ: Նրա պարագիծը որոշելու համար դիտարկենք երեք դեպք։

մեկ. Երբ երեք կողմերն էլ հայտնի են։

Եռանկյան պարագիծը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նկ.
a = 14 սմ
b = 16 սմ
c = 15 սմ
P = 14 + 16 + 15
P = 45 սմ
բ. Ուղղանկյուն եռանկյան համար, եթե նրա հիպոթենուսը անհայտ է:

Պարագիծը գտնելու համար ուղղանկյուն եռանկյուն, մենք օգտագործում ենք նկ.
B = 3 սմ
h = 4 սմ
P \u003d b + h + √ B2 + h 2
P \u003d 3 + 4 + √ 32 + 4 2
P = 3 + 4 + 5
P = 12 սմ

Եթե ​​որևէ այլ կողմ անհայտ է, կարելի է օգտագործել Պյութագորասի բանաձևը՝ սկզբում կողմը գտնելու և այնուհետև հաշվարկելու պարագիծը:
Հետ. Ցանկացած այլ եռանկյունու համար, երբ հայտնի են միայն երկու կողմ և անկյուն:

Նախևառաջ պետք է գտնել կողմի երկարությունը՝ օգտագործելով կոսինուսների օրենքը,
Երբ A-ն, B-ն և C-ն եռանկյան կողմերի երկարություններն են, և a, b-ն և C-ն ունեն համապատասխանաբար A, B և C կողմերի հակառակ անկյունները, մենք կարող ենք գտնել անհայտ կողմի երկարությունը (ասենք. գ) բանաձևով.

C2 \u003d a 2 + B 2 - 2-ում: b, քանի որ (c)

Օրինակ
A = 4 սմ
B=2սմ
C2 \u003d 4 2 + 2 2 - 2 4. 2 cos (45)
C2 = 16 + 4 - 2 (0,876)
C2 = 20 - 1,752
C2 = 18.284
c = 4. 272 ​​սմ

P = A + B + C
P = 4 + 2 + 4.272
P = 10,272 սմ
Վերադարձ դեպի ինդեքս
ՏՐԱՊԵԶՈԻԴ
Trapezoid-ը քառանկյուն է, որն ունի առնվազն մեկ զույգ զուգահեռ ուղիղներ: Զուգահեռ գծերը կոչվում են trapezoid-ի հիմքեր, իսկ մյուս կողմը հայտնի չէ որպես trapezoid-ի ոտքեր: Զուգահեռ գծերի միջև ընկած հեռավորությունը կոչվում է տրապիզոնի բարձրություն:
Եկեք դիտարկենք երեք տարբեր սցենարներ՝ պարագիծը գտնելու համար:

մեկ. Երբ բոլոր կողմերն իմանան.

A = 4 սմ
b = 16 սմ
c = 5 սմ
d = 8 սմ
P = 4 + 16 + 5 + 8
P = 33 սմ
բ. Երբ նրա կողմերը (ոտքերը) անհայտ են:

Trapezoid-ի պարագիծը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նկ.
b = 16 սմ
h = 3 սմ
d = 8 սմ
P = b + d + h
1
+
1
Մեղք (S)
Մեղք (Ա)

P = 16 + 8 + 3
1
+
1
Մեղք (53)
Մեղք (45)

P = 16 + 8 + 33.3
P = 57,3 սմ
Հետ. Երբ հիմքերից մեկն ու բարձրությունը անհայտ են:

Պատկերացրեք, եթե տրապիզոնը երկու կողմից կտրեինք այնպես, որ հիմքերի երկարությունները հավասար լինեն, իսկ կտրված հատվածը միացնելիս ստացվի եռանկյուն, ինչպես ցույց է տրված նկարում։

Երբ ∠ և ∠c հավասար են. բոլոր երեք անկյունները 60° են։ Այս եռանկյունը հավասարակողմ եռանկյուն է, և հետևաբար, երբ մի կողմի երկարությունը ավելացվում է հիմքին, մենք ստանում ենք ավելի մեծ հիմքի երկարությունը:
Երբ անկյունները հավասար են; 180°-ով հանված անկյունների գումարը:

Այս եռանկյունու տարածքը կարելի է հաշվարկել բանաձևով
A \u003d ½ X X X մեղք (B)
Գտեք տրապեզի պարագիծը,
A = 4 սմ
c = 6 սմ
d = 11 սմ
∠ a = 53°
∠ c = 65 °
∠ B = 78 °
Տարածք = ½ x 4 x 6 x մեղք 78
Մակերես = 6,12 սմ2
Եռանկյունի հիմք=
Քառակուսի
½ x x մեղք(ներ)

Հիմք =
6. 12
½ x 4 x մեղք (65)

Հիմք =
6. 12
2 x 0,826

Հիմք = 3,70 սմ
Trapezoid-ի հիմքը = 11 + 3,70 = 14,70 սմ

Այժմ մենք ունենք trapezoid-ի կողմերը և հիմքը, կարող ենք գտնել պարագիծը:
P = 14. 7 + 4 + 6 + 11
P = 35,7 սմ
Վերադարձ դեպի ինդեքս
Բազմանկյուն
Ցանկացած փակ պատկեր, որտեղ հատվածները միմյանց հետ չեն հատվում, տանում է դեպի բազմանկյուն: Բազմանկյունի ներքին անկյունների գումարը միշտ 360° է, և դրանք անվանվում են ըստ իրենց ունեցած կողմերի քանակի։

մեկ. Կանոնավոր բազմանկյունն ունի բոլոր հավասար կողմերը, այնպես որ, երբ կողմերի թիվը և յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը հայտնի է, բազմանկյունի պարագիծը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով Նկ.

Օրինակ. Եթե վեցանկյունն ունի 5 սմ երկարություն ունեցող կողմեր, ապա նրա պարագիծը կարող է հաշվարկվել ինչպես ցույց է տրված ստորև:
n = 6 (վեցանկյունն ունի վեց կողմ)
c = 5 սմ
P = 6 x 5
R = 30 սմ
բ. Երբ բազմանկյան կողմի երկարությունը հայտնի չէ, ապա դրա պարագիծը կարելի է հաշվարկել ստորև բերված բանաձևով։

X = 2 x x Թան (180/p)
Ահա մի-ապոթեմ.
Ապոթեմը մի հատված է բազմանկյան կենտրոնից մինչև կողմի կեսը:

S = 2 x R x Tan (180/p)
R-շառավիղ.
Հեռավորությունը կանոնավոր բազմանկյունի կենտրոնից մինչև ցանկացած գագաթ:

Օրինակ. 4 սմ ապոտեմ վեցանկյունի վրա նրա կողմը կարելի է հաշվարկել, ինչպես ցույց է տրված ստորև:
c = 2 x 4 x Tan (180/6)
x = 8 x Tan (30)
s = 8 x 0,58
s = 4,62 սմ

P = 6 x 4,62 = 27,71 սմ

4 սմ շառավղով վեցանկյունի համար նրա կողմը կարելի է հաշվարկել, ինչպես ցույց է տրված ստորև։
x = 2 x 4 x մեղք (180/6)
s = 8 x մեղք (30)
s = 8 x 0,5
s = 4,00 սմ

P = 6 x 4. 00 = 24 սմ
Հետ. Անկանոն բազմանկյունի համար, եթե նրա բոլոր կողմերը հավասար են, մենք կարող ենք հաշվարկել նրա պարագիծը՝ պարզապես ավելացնելով նրա բոլոր կողմերի երկարությունները:

Օրինակ՝ վեց կողմերով անկանոն բազմանկյուն
C1 = 8 սմ
C2 = 6 սմ
C3 = 4 սմ
C4=7սմ
C5 = 5 սմ
C6 = 4 սմ

P \u003d C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
P \u003d 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
P = 36 սմ
Վերադարձ դեպի ինդեքս
Մենք գիտենք, որ երկրաչափությունը սկզբում կարող է մի փոքր բարդ լինել (վստահեք մեզ, մենք գիտենք), բայց շարունակեք պարապել, և դուք անպայման կլավանաք ամեն փորձից:

Ուղղանկյան պարագիծը գտնելու ունակությունը շատ կարևոր է բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար։ Ստորև ներկայացված է, թե ինչպես կարելի է գտնել տարբեր ուղղանկյունների պարագիծը:

Ինչպես գտնել կանոնավոր ուղղանկյան պարագիծը

Կանոնավոր ուղղանկյունը քառանկյուն է, որի զուգահեռ կողմերը հավասար են, իսկ բոլոր անկյունները = 90º: Նրա պարագիծը գտնելու 2 եղանակ կա.

Ավելացրեք բոլոր կողմերը:

Հաշվի՛ր ուղղանկյան պարագիծը, եթե նրա լայնությունը 3 սմ է, իսկ երկարությունը՝ 6։

Լուծում (գործողությունների հաջորդականություն և պատճառաբանություն).

• Քանի որ մենք գիտենք ուղղանկյան լայնությունն ու երկարությունը, դրա պարագիծը գտնելը դժվար չէ։ Լայնությունը զուգահեռ է լայնությանը, իսկ երկարությունը՝ երկարությունը։ Այսպիսով, կանոնավոր ուղղանկյունում կա 2 լայնություն և 2 երկարություն:
• Գումարեք բոլոր կողմերը (3 + 3 + 6 + 6) = 18 սմ:

Պատասխան՝ P = 18 սմ:

Երկրորդ ճանապարհը հետևյալն է.

Դուք պետք է ավելացնեք լայնությունը և երկարությունը և բազմապատկեք 2-ով: Այս մեթոդի բանաձևը հետևյալն է. 2 × (a + b), որտեղ a-ն լայնությունն է, b-ը՝ երկարությունը:

Որպես այս առաջադրանքի մաս, մենք ստանում ենք հետևյալ լուծումը.

2x(3 + 6) = 2x9 = 18:

Պատասխան՝ P = 18:

Ինչպես գտնել քառակուսի ուղղանկյունի պարագիծը

Քառակուսին կանոնավոր քառանկյուն է: Ճիշտ է, քանի որ նրա բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են: Նրա պարագիծը գտնելու երկու եղանակ կա.

• Ավելացրե՛ք նրա բոլոր կողմերը։
• Նրա կողմը բազմապատկեք 4-ով:

Օրինակ՝ Գտե՛ք քառակուսու պարագիծը, եթե նրա կողմը = 5 սմ է:

Աշակերտները սովորում են, թե ինչպես գտնել պարագիծը տարրական դպրոցում: Այնուհետև այս տեղեկատվությունը մշտապես օգտագործվում է մաթեմատիկայի և երկրաչափության ընթացքում:

Բոլոր գործիչների համար ընդհանուր տեսություն

Կողմերը սովորաբար նշվում են լատինական տառերով։ Ավելին, դրանք կարող են նշանակվել որպես հատվածներ: Այնուհետև ձեզ հարկավոր կլինի երկու տառ յուրաքանչյուր կողմի համար և գրված մեծ տառերով: Կամ մուտքագրեք նշանակումը մեկ տառով, որը անպայման փոքր կլինի:
Տառերը միշտ ընտրվում են այբբենական կարգով: Եռանկյունու համար դրանք կլինեն առաջին երեքը: Վեցանկյունը կունենա դրանցից 6-ը՝ a-ից մինչև f: Սա օգտակար է բանաձևեր մուտքագրելու համար:

Այժմ այն ​​մասին, թե ինչպես գտնել պարագիծը: Դա նկարի բոլոր կողմերի երկարությունների գումարն է: Տերմինների քանակը կախված է դրա տեսակից: Պարագիծը նշվում է լատիներեն P տառով։ Չափման միավորները նույնն են, ինչ տրված է կողմերի համար։

Տարբեր ձևերի պարագծային բանաձևեր

Եռանկյունու համար՝ P \u003d a + b + c: Եթե ​​այն հավասարաչափ է, ապա բանաձևը փոխակերպվում է. P \u003d 2a + c: Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան պարագիծը, եթե այն հավասարակողմ է: Սա կօգնի՝ P \u003d 3a:

Կամայական քառանկյունի համար՝ P=a+b+c+d: Դրա հատուկ դեպքը քառակուսին է, պարագծի բանաձևը՝ P=4a։ Կա նաև ուղղանկյուն, այնուհետև պահանջվում է հետևյալ հավասարությունը՝ P \u003d 2 (a + b):

Իսկ եթե չգիտեք եռանկյան մեկ կամ մի քանի կողմերի երկարությունը:

Օգտագործեք կոսինուսի թեորեմը, եթե տվյալների մեջ կա երկու կողմ և նրանց միջև անկյունը, որը նշվում է A տառով: Այնուհետև, նախքան պարագիծը գտնելը, պետք է հաշվարկեք երրորդ կողմը: Դրա համար օգտակար է հետևյալ բանաձևը՝ c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A):

Այս թեորեմի հատուկ դեպքը Պյութագորասի կողմից ուղղանկյուն եռանկյունու համար ձևակերպված դեպքն է։ Դրանում ուղիղ անկյան կոսինուսի արժեքը հավասարվում է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ վերջին անդամը պարզապես անհետանում է։

Կան իրավիճակներ, երբ դուք կարող եք պարզել, թե ինչպես կարելի է գտնել մի կողմի եռանկյան պարագիծը: Բայց միևնույն ժամանակ հայտնի են նաև գործչի անկյունները։ Այստեղ օգնության է գալիս սինուսների թեորեմը, երբ կողմերի երկարությունների հարաբերությունները համապատասխան հակադիր անկյունների սինուսներին հավասար են։

Այն իրավիճակում, երբ գործչի պարագիծը պետք է գտնել ըստ տարածքի, այլ բանաձևեր օգտակար կլինեն: Օրինակ, եթե ներգծված շրջանագծի շառավիղը հայտնի է, ապա այն հարցին, թե ինչպես գտնել եռանկյան պարագիծը, օգտակար է հետևյալ բանաձևը. S \u003d p * r, այստեղ p-ն կիսաշրջագիծն է: Այն պետք է ստացվի այս բանաձևից և բազմապատկվի երկուով:

Առաջադրանքների օրինակներ

Առաջին պայման.Գտեք եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը 3, 4 և 5 սմ են:
Լուծում.Դուք պետք է օգտագործեք վերևում նշված հավասարությունը և պարզապես փոխարինեք արժեքի առաջադրանքի տվյալները դրա մեջ: Հաշվարկները հեշտ են, դրանք հանգեցնում են 12 սմ թվին։
Պատասխանել.Եռանկյան պարագիծը 12 սմ է։

Երկրորդ պայման.Եռանկյան մի կողմը 10 սմ է, հայտնի է, որ երկրորդը 2 սմ-ով մեծ է առաջինից, իսկ երրորդը 1,5 անգամ մեծ է առաջինից։ Պահանջվում է հաշվարկել դրա պարագիծը:
Լուծում. Պարզելու համար պետք է հաշվել երկու կողմը։ Երկրորդը սահմանվում է որպես 10-ի և 2-ի գումար, երրորդը հավասար է 10-ի և 1,5-ի արտադրյալին: Այնուհետև մնում է միայն հաշվել երեք արժեքների գումարը՝ 10, 12 և 15: Արդյունքը կլինի 37 սմ:
Պատասխանել.Պարագիծը 37 սմ է։

Երրորդ պայման.Առկա է ուղղանկյուն և քառակուսի։ Ուղղանկյան մի կողմը 4 սմ է, իսկ մյուսը՝ 3 սմ երկար։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել քառակուսու կողմի արժեքը, եթե նրա պարագիծը 6 սմ-ով փոքր է ուղղանկյան պարագծից։
Լուծում.Ուղղանկյան երկրորդ կողմը 7 է։ Իմանալով դա՝ հեշտ է հաշվարկել նրա պարագիծը։ Հաշվարկը տալիս է 22 սմ։
Քառակուսու կողմը պարզելու համար ուղղանկյան պարագծից նախ պետք է հանել 6-ը, իսկ հետո ստացված թիվը բաժանել 4-ի, արդյունքում ունենք 4 թիվը։
Պատասխանել.Քառակուսու կողմը 4 սմ է։

Երկրաչափական ձևերի պարագծի և տարածքի որոշումը կարևոր խնդիր է, որն առաջանում է բազմաթիվ գործնական կամ առօրյա խնդիրներ լուծելիս: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է պաստառ կախել, ցանկապատ տեղադրել, հաշվարկել ներկի կամ սալիկների սպառումը, ապա անպայման պետք է զբաղվեք երկրաչափական հաշվարկներով։

Թվարկված կենցաղային խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ կլինի աշխատել երկրաչափական տարբեր ձևերի հետ։ Ձեզ ենք ներկայացնում առցանց հաշվիչների կատալոգ, որը թույլ է տալիս հաշվարկել ամենահայտնի ինքնաթիռի թվերի պարամետրերը: Դիտարկենք դրանք։

Շրջանակ

Հատուկ դեպքեր

Հավասար կողմերով քառանկյուն: Զուգահեռագիծը դառնում է ռոմբ, եթե նրա անկյունագծերը հատվում են 90 աստիճանով և իրենց անկյունների կիսորդներն են:

Ուղիղ անկյուններով զուգահեռագիծ է։ Բացի այդ, զուգահեռագիծը համարվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողմերը և անկյունագծերը համապատասխանում են Պյութագորասի թեորեմի պայմաններին։

Այն զուգահեռագիծ է, որի բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները հավասար են: Քառակուսու անկյունագծերը ամբողջությամբ կրկնում են ուղղանկյունի և ռոմբի անկյունագծերի հատկությունները, ինչը քառակուսին դարձնում է եզակի պատկեր, որը բնութագրվում է առավելագույն համաչափությամբ։

Բազմանկյուն

Կանոնավոր բազմանկյունը ուռուցիկ պատկեր է հարթության վրա, որն ունի հավասար կողմեր ​​և հավասար անկյուններ: Բազմանկյուններն ունեն իրենց անունները՝ կախված կողմերի քանակից.

• - հնգանկյուն;
• - վեցանկյուն;
• ութ - ութանկյուն;
• տասներկու - տասներկու.

Եվ այսպես շարունակ։ Երկրաչափերը կատակում են, որ շրջանագիծը անսահման թվով անկյուններով բազմանկյուն է: Մեր հաշվիչը ծրագրված է միայն կանոնավոր բազմանկյունների պարագծերն ու տարածքները որոշելու համար: Այն օգտագործում է ընդհանուր բանաձևեր բոլոր կանոնավոր բազմանկյունների համար: Պարագիծը հաշվարկելու համար օգտագործվում է բանաձևը.

որտեղ n-ը բազմանկյունի կողմերի թիվն է, a-ն՝ կողմի երկարությունը:

Տարածքը որոշելու համար օգտագործվում է արտահայտությունը.

S = n/4 × a^2 × ctg (pi/n):

Փոխարինելով համապատասխան n-ը՝ մենք կարող ենք գտնել ցանկացած կանոնավոր բազմանկյան բանաձև, որը ներառում է նաև հավասարակողմ եռանկյուն և քառակուսի։

Բազմանկյունները շատ տարածված են իրական կյանքում: Այսպիսով, հնգանկյունի ձևը ԱՄՆ պաշտպանության նախարարության շենքն է՝ Պենտագոնը, վեցանկյունը՝ մեղրախորիսխները կամ ձյան փաթիլների բյուրեղները, ութանկյունը՝ ճանապարհային նշանները: Բացի այդ, շատ նախակենդանիներ, ինչպիսիք են ռադիոլարերը, ունեն կանոնավոր բազմանկյունների տեսք։

Իրական կյանքի օրինակներ

Դիտարկենք մեր հաշվիչը իրական հաշվարկներում օգտագործելու մի քանի օրինակ:

Ցանկապատերի նկարչություն

Մակերեւույթի ներկումը և ներկերի հաշվարկը ամենաակնհայտ առօրյա խնդիրներից են, որոնք պահանջում են նվազագույն մաթեմատիկական հաշվարկներ: Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ է նկարել 1,5 մետր բարձրությամբ և 20 մետր երկարությամբ ցանկապատ, ապա քանի տուփ ներկ է մեզ անհրաժեշտ: Դա անելու համար անհրաժեշտ է պարզել ցանկապատի ընդհանուր տարածքը և ներկերի և լաքերի սպառումը 1 քառակուսի մետրի համար: Մենք գիտենք, որ էմալ սպառումը 130 գրամ է մեկ մետրի համար։ Այժմ եկեք որոշենք ցանկապատի տարածքը, օգտագործելով հաշվիչը, ուղղանկյունի տարածքը հաշվարկելու համար: Դա կլինի S = 30 քառակուսի մետր: Բնականաբար, մենք կնկարենք ցանկապատը երկու կողմից, այնպես որ ներկելու համար տարածքը կավելանա մինչև 60 քառակուսի: Այնուհետև մեզ անհրաժեշտ է 60 × 0,13 = 7,8 կիլոգրամ ներկ կամ երեք ստանդարտ բանկա 2,8 կիլոգրամանոց:

Ծոպերի հարդարում

Դերձակությունը ևս մեկ արդյունաբերություն է, որը պահանջում է լայն երկրաչափական գիտելիքներ: Ենթադրենք, մենք պետք է ծոպեր շարենք, որը 150, 100, 75 և 75 սմ կողմերով հավասարաչափ տրապիզոիդ է, եզրերի սպառումը հաշվարկելու համար պետք է իմանալ տրապեզի պարագիծը։ Այստեղ է, որ առցանց հաշվիչը հարմար է: Մուտքագրեք այս բջջային տվյալները և ստացեք պատասխանը.

Այսպիսով, շարֆը ավարտելու համար մեզ անհրաժեշտ է 4 մ ծոպեր։

Եզրակացություն

Հարթ ֆիգուրները կազմում են շրջապատող իրական աշխարհը: Դպրոցում հաճախ էինք ինքներս մեզ հարց տալիս՝ երկրաչափությունը մեզ օգտակար կլինի՞ ապագայում։ Վերոնշյալ օրինակները ցույց են տալիս, որ մաթեմատիկան մշտապես օգտագործվում է առօրյա կյանքում: Եվ եթե ուղղանկյունի մակերեսը մեզ ծանոթ է, ապա տասներկումատնյակի մակերեսը հաշվարկելը կարող է բարդ խնդիր լինել: Օգտագործեք հաշվիչների մեր կատալոգը՝ դպրոցական առաջադրանքները կամ առօրյա խնդիրները լուծելու համար:

Մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից է ուղղանկյունի պարագիծը։ Այս թեմայի շուրջ կան բազմաթիվ խնդիրներ, որոնց լուծումը չի կարող անել առանց պարագծի բանաձևի և այն հաշվարկելու հմտությունների։

Հիմնական հասկացություններ

Ուղղանկյունը քառանկյուն է, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, իսկ հակառակ կողմերը՝ զույգ-զույգ հավասար և զուգահեռ: Մեր կյանքում շատ ֆիգուրներ ունեն ուղղանկյունի տեսք, օրինակ՝ սեղանի մակերեսը, տետրը և այլն։

Դիտարկենք մի օրինակ.հողի սահմանների երկայնքով պետք է պարիսպ տեղադրվի։ Յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը պարզելու համար անհրաժեշտ է դրանք չափել։

Բրինձ. 1. Ուղղանկյունի ձևով հողատարածք.

Հողամասն ունի 2 մ, 4 մ, 2 մ, 4 մ երկարությամբ կողմեր։ Հետևաբար, ցանկապատի ընդհանուր երկարությունը պարզելու համար պետք է ավելացնել բոլոր կողմերի երկարությունները.

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 մ.

Հենց այս արժեքն է սովորաբար կոչվում պարագիծ: Այսպիսով, պարագիծը գտնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել գործչի բոլոր կողմերը: P տառը օգտագործվում է պարագիծը նշանակելու համար:

Ուղղանկյուն պատկերի պարագիծը հաշվարկելու համար հարկավոր չէ այն ուղղանկյունների բաժանել, պետք է քանոնով (ժապավենով) չափել այս գործչի միայն բոլոր կողմերը և գտնել դրանց գումարը։

Ուղղանկյան պարագիծը չափվում է մմ, սմ, մ, կմ և այլն։ Անհրաժեշտության դեպքում առաջադրանքի տվյալները վերածվում են նույն չափման համակարգի:

Ուղղանկյան պարագիծը չափվում է տարբեր միավորներով՝ մմ, սմ, մ, կմ և այլն։ Անհրաժեշտության դեպքում առաջադրանքի տվյալները վերածվում են մեկ չափման համակարգի:

Ձևի պարագծի բանաձև

Եթե ​​հաշվի առնենք այն փաստը, որ ուղղանկյան հակառակ կողմերը հավասար են, ապա կարող ենք դուրս բերել ուղղանկյան պարագծի բանաձևը.

$P = (a+b) * 2$, որտեղ a, b նկարի կողմերն են:

Բրինձ. 2. Ուղղանկյուն, հակառակ կողմերով նշված:

Պարագիծը գտնելու ևս մեկ տարբերակ կա. Եթե ​​առաջադրանքին տրված է միայն մի կողմը և նկարի մակերեսը, կարող եք օգտագործել մյուս կողմը տարածքի միջոցով արտահայտելու համար: Այնուհետև բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, որտեղ S-ը ուղղանկյան մակերեսն է:

Բրինձ. 3. a, b կողմերով ուղղանկյուն:

Զորավարժություններ Հաշվե՛ք ուղղանկյան պարագիծը, եթե նրա կողմերը 4 սմ են և 6 սմ։

Լուծում:

Մենք օգտագործում ենք $P = (a+b)*2$ բանաձևը

$P = (4+6)*2=20 սմ$

Այսպիսով, գործչի պարագիծը $P = 20 սմ $ է:

Քանի որ պարագիծը պատկերի բոլոր կողմերի գումարն է, կիսաշրջագիծը միայն մեկ երկարության և լայնության գումարն է։ Բազմապատկեք կիսաշրջագիծը 2-ով, որպեսզի ստացվի պարագիծ:

Տարածքը և պարագիծը երկու հիմնական հասկացություններն են ցանկացած գործչի չափման համար: Նրանք չպետք է շփոթվեն, չնայած նրանք կապված են: Եթե ​​դուք ավելացնեք կամ նվազեցնեք տարածքը, ապա, համապատասխանաբար, դրա պարագիծը կաճի կամ կնվազի:

Ի՞նչ ենք մենք սովորել:

Մենք սովորել ենք, թե ինչպես գտնել ուղղանկյան պարագիծը: Եվ նաև ծանոթացել է դրա հաշվարկման բանաձևին. Այս թեմային կարելի է հանդիպել ոչ միայն մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելիս, այլև իրական կյանքում։

Թեմայի վիկտորինան

Հոդվածի վարկանիշ

Միջին գնահատականը: 4.5. Ստացված ընդհանուր գնահատականները՝ 363։

Ուսանողները ստանում են պարագիծը գտնելու իմացություն տարրական դպրոց. Այնուհետև այս տեղեկատվությունը մշտապես օգտագործվում է մաթեմատիկայի և երկրաչափության ընթացքում:

Բոլոր գործիչների համար ընդհանուր տեսություն

Կողմերը սովորաբար նշվում են լատինական տառերով։ Ավելին, դրանք կարող են նշանակվել որպես հատվածներ: Այնուհետև ձեզ հարկավոր կլինի երկու տառ յուրաքանչյուր կողմի համար և գրված մեծ տառերով: Կամ մուտքագրեք նշանակումը մեկ տառով, որը անպայման փոքր կլինի:
Տառերը միշտ ընտրվում են այբբենական կարգով: Եռանկյունու համար դրանք կլինեն առաջին երեքը: Վեցանկյունը կունենա դրանցից 6-ը՝ a-ից մինչև f: Սա օգտակար է բանաձևեր մուտքագրելու համար:

Այժմ այն ​​մասին, թե ինչպես գտնել պարագիծը: Դա նկարի բոլոր կողմերի երկարությունների գումարն է: Տերմինների քանակը կախված է դրա տեսակից: Պարագիծը նշվում է լատիներեն P տառով։ Չափման միավորները նույնն են, ինչ տրված է կողմերի համար։

Տարբեր ձևերի պարագծային բանաձևեր

Եռանկյունու համար՝ P \u003d a + b + c: Եթե ​​այն հավասարաչափ է, ապա բանաձևը փոխակերպվում է. P \u003d 2a + c: Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան պարագիծը, եթե այն հավասարակողմ է: Սա կօգնի՝ P \u003d 3a:

Կամայական քառանկյունի համար՝ P=a+b+c+d: Դրա հատուկ դեպքը քառակուսին է, պարագծի բանաձևը՝ P=4a։ Կա նաև ուղղանկյուն, այնուհետև պահանջվում է հետևյալ հավասարությունը՝ P \u003d 2 (a + b):

Իսկ եթե չգիտեք եռանկյան մեկ կամ մի քանի կողմերի երկարությունը:

Օգտագործեք կոսինուսի թեորեմը, եթե տվյալների մեջ կա երկու կողմ և նրանց միջև անկյունը, որը նշվում է A տառով: Այնուհետև, նախքան պարագիծը գտնելը, պետք է հաշվարկեք երրորդ կողմը: Դրա համար օգտակար է հետևյալ բանաձևը՝ c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A):

Այս թեորեմի հատուկ դեպքը Պյութագորասի կողմից ուղղանկյուն եռանկյունու համար ձևակերպված դեպքն է։ Դրանում ուղիղ անկյան կոսինուսի արժեքը հավասարվում է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ վերջին անդամը պարզապես անհետանում է։

Կան իրավիճակներ, երբ դուք կարող եք պարզել, թե ինչպես կարելի է գտնել մի կողմի եռանկյան պարագիծը: Բայց միևնույն ժամանակ հայտնի են նաև գործչի անկյունները։ Այստեղ օգնության է գալիս սինուսների թեորեմը, երբ կողմերի երկարությունների հարաբերությունները համապատասխան հակադիր անկյունների սինուսներին հավասար են։

Այն իրավիճակում, երբ գործչի պարագիծը պետք է գտնել ըստ տարածքի, այլ բանաձևեր օգտակար կլինեն: Օրինակ, եթե ներգծված շրջանագծի շառավիղը հայտնի է, ապա այն հարցին, թե ինչպես գտնել եռանկյան պարագիծը, օգտակար է հետևյալ բանաձևը. S \u003d p * r, այստեղ p-ն կիսաշրջագիծն է: Այն պետք է ստացվի այս բանաձևից և բազմապատկվի երկուով:

Առաջադրանքների օրինակներ

Առաջին պայման.Գտեք եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը 3, 4 և 5 սմ են:
Լուծում.Դուք պետք է օգտագործեք վերևում նշված հավասարությունը և պարզապես փոխարինեք արժեքի առաջադրանքի տվյալները դրա մեջ: Հաշվարկները հեշտ են, դրանք հանգեցնում են 12 սմ թվին։
Պատասխանել.Եռանկյան պարագիծը 12 սմ է։

Երկրորդ պայման.Եռանկյան մի կողմը 10 սմ է, հայտնի է, որ երկրորդը 2 սմ-ով մեծ է առաջինից, իսկ երրորդը 1,5 անգամ մեծ է առաջինից։ Պահանջվում է հաշվարկել դրա պարագիծը:
Լուծում. Պարզելու համար պետք է հաշվել երկու կողմը։ Երկրորդը սահմանվում է որպես 10-ի և 2-ի գումար, երրորդը հավասար է 10-ի և 1,5-ի արտադրյալին: Այնուհետև մնում է միայն հաշվել երեք արժեքների գումարը՝ 10, 12 և 15: Արդյունքը կլինի 37 սմ:
Պատասխանել.Պարագիծը 37 սմ է։

Երրորդ պայման.Առկա է ուղղանկյուն և քառակուսի։ Ուղղանկյան մի կողմը 4 սմ է, իսկ մյուսը՝ 3 սմ երկար։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել քառակուսու կողմի արժեքը, եթե նրա պարագիծը 6 սմ-ով փոքր է ուղղանկյան պարագծից։
Լուծում.Ուղղանկյան երկրորդ կողմը 7 է։ Իմանալով դա՝ հեշտ է հաշվարկել նրա պարագիծը։ Հաշվարկը տալիս է 22 սմ։
Քառակուսու կողմը պարզելու համար ուղղանկյան պարագծից նախ պետք է հանել 6-ը, իսկ հետո ստացված թիվը բաժանել 4-ի, արդյունքում ունենք 4 թիվը։
Պատասխանել.Քառակուսու կողմը 4 սմ է։

Երկրաչափությունը, եթե չեմ սխալվում, իմ ժամանակ սովորում էին հինգերորդ դասարանից ու պարագիծը եղել ու կա առանցքային հասկացություններից մեկը։ Այսպիսով, պարագիծը բոլոր կողմերի երկարությունների գումարն է (նշվում է լատինական P տառով). Ընդհանուր առմամբ, այս տերմինը մեկնաբանվում է տարբեր ձևերով, օրինակ.

• նկարի եզրագծի ընդհանուր երկարությունը,
• նրա բոլոր կողմերի երկարությունը,
• նրա երեսների երկարությունների գումարը,
• սահմանային գծի երկարությունը,
• բազմանկյան կողմերի բոլոր երկարությունների գումարը

Տարբեր ձևեր ունեն պարագիծը որոշելու իրենց բանաձևերը: Ինքն իմաստը հասկանալու համար ես առաջարկում եմ ինքնուրույն եզրակացնել մի քանի պարզ բանաձևեր.

1. քառակուսու համար
2. ուղղանկյունի համար
3. զուգահեռագծի համար
4. խորանարդի համար
5. տուփի համար

Քառակուսու պարագիծը

Օրինակ՝ վերցնենք ամենապարզը՝ քառակուսու պարագիծը։

Քառակուսու բոլոր կողմերը հավասար են: Թող մի կողմը կոչվի «ա» (ինչպես և մյուս երեքը), ապա

P = a + a + a + a

կամ ավելի կոմպակտ նշում

Ուղղանկյունի պարագիծ

Եկեք բարդացնենք առաջադրանքը և վերցնենք ուղղանկյուն: Այս դեպքում այլեւս հնարավոր չէ ասել, որ բոլոր կողմերը հավասար են, ուստի թող ուղղանկյան կողմերի երկարությունները հավասար լինեն a-ին և b-ին:

Այնուհետև բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

P = a + b + a + b

Զուգահեռագիծ պարագիծ

Նմանատիպ իրավիճակ կլինի զուգահեռագծի դեպքում (տես ուղղանկյան պարագիծը)

խորանարդի պարագիծը

Ի՞նչ անել, եթե գործ ունենք եռաչափ գործչի հետ։ Օրինակ, վերցրեք մի խորանարդ: Խորանարդն ունի 12 կողմ և բոլորը հավասար են: Համապատասխանաբար, խորանարդի պարագիծը կարելի է հաշվարկել հետևյալ կերպ.

Տուփի պարագիծը

Դե, նյութը ամրացնելու համար մենք հաշվարկում ենք զուգահեռականի պարագիծը։ Այստեղ պետք է մի փոքր մտածել. Եկեք դա անենք միասին: Ինչպես գիտենք, խորանարդը պատկեր է, որի կողմերն ուղղանկյուն են։ Յուրաքանչյուր զուգահեռաբար ունի երկու հիմք: Վերցնենք հիմքերից մեկը և նայենք նրա կողմերին՝ նրանք ունեն a և b երկարություններ: Համապատասխանաբար, հիմքի պարագիծը P = 2a + 2b է: Այնուհետև երկու հիմքերի պարագիծն է

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Բայց մենք ունենք նաև «գ» կողմ. Այսպիսով, զուգահեռականի պարագիծը հաշվարկելու բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

P = 4a + 4b + 4c

Ինչպես երևում է վերը նշված օրինակներից, այն ամենը, ինչ պետք է արվի՝ որոշելու ձևի պարագիծը, այն է, որ գտնենք կողմերից յուրաքանչյուրի երկարությունը և այնուհետև գումարենք դրանք:

Եզրափակելով, ես կցանկանայի նշել, որ ամեն գործիչ չէ, որ ունի պարագիծ: Օրինակ, Գունդը պարագիծ չունի։

, կոտրված գիծ և այլն:

Եթե ​​ուշադիր նայեք այս բոլոր պատկերներին, կարող եք ընտրել դրանցից երկուսը, որոնք ձևավորվում են փակ գծերով (շրջանակ և եռանկյուն): Այս թվերն ունեն մի տեսակ սահման, որը բաժանում է ներսում եղածը դրսից: Այսինքն՝ սահմանը հարթությունը բաժանում է երկու մասի՝ ներքին և արտաքին տարածքը այն գործչի նկատմամբ, որին այն պատկանում է.

Պարագծային

Պարագիծը հարթ երկրաչափական պատկերի փակ սահմանն է, որը բաժանում է նրա ներքին տարածքը արտաքինից։

Ցանկացած փակ երկրաչափական պատկեր ունի պարագիծ.

Նկարում պարագծերը նշված են կարմիր գծով: Նկատի ունեցեք, որ շրջանագծի շրջագիծը հաճախ կոչվում է երկարություն:

Պարագիծը չափվում է երկարության միավորներով՝ մմ, սմ, դմ, մ, կմ։

Բոլոր բազմանկյունների համար պարագիծը գտնելը կրճատվում է բոլոր կողմերի երկարությունների գումարմամբ, այսինքն՝ բազմանկյունի պարագիծը միշտ հավասար է նրա կողմերի երկարությունների գումարին։ Պարագիծը հաշվարկելիս այն հաճախ նշվում է մեծատառ լատիներեն P տառով.

Քառակուսի

Մակերեսը հարթության այն մասն է, որը զբաղեցնում է փակ հարթ երկրաչափական պատկերը։

Ցանկացած հարթ փակ երկրաչափական պատկեր ունի որոշակի տարածք։ Գծագրերում երկրաչափական ձևերի տարածքը ներքին տարածքն է, այսինքն՝ հարթության այն հատվածը, որը գտնվում է պարագծի ներսում։

չափել տարածքըթվեր - նշանակում է գտնել, թե քանի անգամ է դրված մեկ այլ պատկեր՝ որպես չափման միավոր: Սովորաբար որպես մակերեսի չափման միավոր վերցվում է քառակուսին, որի կողմը հավասար է երկարության չափման միավորին՝ միլիմետր, սանտիմետր, մետր և այլն։

Նկարը ցույց է տալիս քառակուսի սանտիմետր: - քառակուսի յուրաքանչյուր կողմով 1 սմ երկարությամբ.

Տարածքը չափվում է երկարության քառակուսի միավորներով։ Տարածքի միավորները ներառում են՝ մմ 2, սմ 2, մ 2, կմ 2 և այլն:

Քառակուսի միավորների փոխակերպման աղյուսակ

	մմ 2	սմ 2	դմ 2	մ 2	ar (հյուսել)	հեկտար (հա)	կմ 2
մմ 2	1 մմ 2	0,01 սմ2	10 -4 դմ 2	10 -6 մ 2	10 -8 ար	10 -10 հա	10 -12 կմ 2
սմ 2	100 մմ 2	1 սմ 2	0,01 դմ 2	10 -4 մ 2	10 -6 են	10 -8 հա	10 -10 կմ 2
դմ 2	10 4 մմ 2	100 սմ 2	1 դմ 2	0,01 մ2	10 -4 ար	10 -6 հա	10 -8 կմ 2
մ 2	10 6 մմ 2	10 4 սմ 2	100 դմ 2	1 մ 2	0,01 են	10 -4 հա	10 -6 կմ 2
առ	10 8 մմ 2	10 6 սմ 2	10 4 դմ 2	100 մ2	1 են	0,01 հա	10 -4 կմ 2
հա	10 10 մմ 2	10 8 սմ 2	10 6 դմ 2	10 4 մ 2	100 են	1 հա	0,01 կմ2
կմ 2	10 12 մմ 2	10 10 սմ 2	10 8 դմ 2	10 6 մ 2	10 4 ար	100 հա	1 կմ 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001