Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatke.
Kuvassa näkyy kulmat 1 ja 3 , samoin kuin kulmat 2 ja 4 - pystysuora. Kulma 2 on molempien kulmien vieressä 1 , ja kulman kanssa 3. Vierekkäisten kulmien ominaisuuden mukaan 1 +2 =180 0 ja 3 +2 = 1800. Täältä saamme: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Siten kulmien astemittaukset 1 ja 3 ovat tasavertaisia. Tästä seuraa, että itse kulmat ovat yhtä suuret. Pystykulmat ovat siis yhtä suuret.
2. Kolmioiden tasa-arvomerkit.
Jos yhden kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma on vastaavasti yhtä suuri kuin toisen kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.
Jos yhden kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.
3. Jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kolme sivua, niin tällaiset kolmiot ovat yhtä suuret.
1 kolmioiden tasa-arvomerkki:
Tarkastellaan kolmioita ABC ja A 1 B 1 C 1, joissa AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, kulmat A ja A 1 ovat yhtä suuret. Osoitetaan, että ABC=A 1 B 1 C 1 .
Koska (y) A \u003d (y) A 1, niin kolmio ABC voidaan asettaa kolmion A 1 B 1 C 1 päälle siten, että kärki A on linjassa kärjen A1 kanssa ja sivut AB ja AC ovat päällekkäin, vastaavasti säteillä A1B1 ja A1C1. Koska AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, niin puoli AB yhdistetään sivuun A 1 B 1 ja sivu AC - sivuun A 1 C 1; erityisesti pisteet B ja B1, C ja C1 osuvat yhteen. Siksi sivut BC ja B 1 C 1 kohdistetaan. Joten kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 ovat täysin yhteensopivia, mikä tarkoittaa, että ne ovat yhtä suuret. CTD
3. Lause tasakylkisen kolmion puolittajasta.
Tasakylkisessä kolmiossa kantaan vedetty puolittaja on mediaani ja korkeus.
Siirrytään kuvaan, jossa ABC on tasakylkinen kolmio, jonka kanta on BC, AD on sen puolittaja.
Kolmioiden ABD ja ACD yhtälöstä (kolmioiden yhtäläisyyden 2. kriteerin mukaan: AD on yhteinen; kulmat 1 ja 2 ovat yhtä suuret koska AD-puolittaja; AB=AC, koska kolmio on tasakylkinen) seuraa, että BD = DC ja 3 = 4. Yhtälö BD = DC tarkoittaa, että piste D on sivun BC keskipiste ja siksi AD on kolmion ABC mediaani. Koska kulmat 3 ja 4 ovat vierekkäisiä ja yhtä suuria keskenään, ne ovat suoria kulmia. Siksi jana AO on myös kolmion ABC korkeus. CHTD.
4. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset -> kulma…. (valinnainen)
5. Jos kulma ... ..-> suorat ovat yhdensuuntaiset (valinnainen)
Jos sekantin kahden suoran leikkauskohdassa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin suorat ovat yhdensuuntaisia.
Olkoon sekantin suorien a ja b leikkauskohdassa vastaavien kulmien kanssa yhtä suuri, esimerkiksi 1=2.
Koska kulmat 2 ja 3 ovat pystysuorat, niin 2=3. Näistä kahdesta yhtälöstä seuraa, että 1=3. Mutta kulmat 1 ja 3 ovat ristikkäisiä, joten suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia. CHTD.
6. Lause kolmion kulmien summasta.
Kolmion kulmien summa on 180 0.
Tarkastellaan mielivaltaista kolmiota ABC ja osoitetaan, että A+B+C=180 0 .
Piirretään suora a kärjen B läpi, yhdensuuntainen sivun AC kanssa. Kulmat 1 ja 4 ovat poikittaissuunnassa sijaitsevia kulmia samansuuntaisten viivojen a ja AC leikkauskohdassa sekantissa AB, ja kulmat 3 ja 5 ovat poikittaissuuntaisia makuukulmia samojen yhdensuuntaisten viivojen leikkauspisteessä BC:llä. Siksi (1)4 = 1; 5=3.
On selvää, että kulmien 4, 2 ja 5 summa on yhtä suuri kuin suora kulma kärjen B kanssa, ts. 4+2+5=1800 . Näin ollen yhtäläisyydet (1) huomioiden saadaan: 1+2+3=180 0 tai A+B+C=180 0 .
7. Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvo.
1. Ensimmäinen rinnakkaisuuden merkki.
Jos kahden suoran ja kolmannen leikkauskohdassa poikki olevat sisäkulmat ovat yhtä suuret, niin nämä suorat ovat yhdensuuntaisia.
Leikataan suorat AB ja CD suoralla EF ja ∠1 = ∠2. Otetaan piste O - sekantin EF segmentin KL keskikohta (kuva).
Pudotetaan kohtisuora OM pisteestä O suoralle AB ja jatketaan, kunnes se leikkaa suoran CD, AB ⊥ MN kanssa. Todistakaamme myös, että CD ⊥ MN.
Harkitse tätä varten kahta kolmiota: MOE ja NOK. Nämä kolmiot ovat yhtä suuret keskenään. Todellakin: ∠1 = ∠2 lauseen hypoteesin mukaan; OK = OL - rakenteen mukaan;
∠MOL = ∠NOK pystykulmina. Siten yhden kolmion sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa; siksi ΔMOL = ΔNOK ja siten ∠LMO = ∠KNO,
mutta ∠LMO on suora, joten ∠KNO on myös suora. Siten suorat AB ja CD ovat kohtisuorassa samaa suoraa MN vastaan, joten ne ovat yhdensuuntaisia, mikä oli todistettava.
Merkintä. Suoran MO ja CD leikkauspiste saadaan aikaan kiertämällä kolmiota MOL pisteen O ympäri 180°.
2. Toinen rinnakkaisuuden merkki.
Katsotaan ovatko suorat AB ja CD yhdensuuntaiset, jos niiden kolmannen suoran EF leikkauskohdassa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.
Olkoon jotkin vastaavat kulmat yhtä suuret, esimerkiksi ∠ 3 = ∠2 (kuva);
∠3 = ∠1 pystykulmina; joten ∠2 on yhtä suuri kuin ∠1. Mutta kulmat 2 ja 1 ovat sisäisiä poikittaiskulmia, ja tiedämme jo, että jos kahden suoran leikkauskohdassa kolmasosa, sisäiset poikittainen makuukulmat ovat yhtä suuret, niin nämä suorat ovat yhdensuuntaisia. Siksi AB || CD.
Jos kolmannen kahden suoran leikkauskohdassa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia.
Yhdensuuntaisten viivojen rakentaminen viivaimen ja piirustuskolmion avulla perustuu tähän ominaisuuteen. Tämä tehdään seuraavasti.
Kiinnitetään kolmio viivaimeen kuvan 1 mukaisesti. Siirrämme kolmiota niin, että sen toinen puoli liukuu viivainta pitkin, ja piirrämme useita suoria viivoja pitkin kolmion toista sivua. Nämä viivat ovat yhdensuuntaisia.
3. Kolmas rinnakkaisuuden merkki.
Tiedämme, että kahden suoran AB ja CD leikkauskohdassa kolmannella suoralla mahdollisten sisäisten yksipuolisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 2 d(tai 180°). Ovatko suorat AB ja CD samansuuntaiset tässä tapauksessa (kuva).
Olkoon ∠1 ja ∠2 yksipuolisia sisäkulmia ja lasketaan yhteen 2 d.
Mutta ∠3 + ∠2 = 2 d vierekkäisinä kulmina. Siksi ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Näin ollen ∠1 = ∠3, ja nämä sisäkulmat ovat ristikkäisiä. Siksi AB || CD.
Jos kahden suoran leikkauskohdassa kolmasosa, sisäisten yksipuolisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 2 d (tai 180°), silloin kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset.
Yhdensuuntaisten viivojen merkit:
1. Jos kahden suoran ja kolmanneksen leikkauskohdassa sisäiset poikittaismakuukulmat ovat yhtä suuret, niin nämä suorat ovat yhdensuuntaisia.2. Jos kolmannen kahden suoran leikkauskohdassa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia.
3. Jos kolmannen kahden suoran leikkauskohdassa sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180°, niin nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia.
4. Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa.
5. Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa kolmanteen suoraan nähden, ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa.
Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma
Tehtävä. Piirrä suoran AB ulkopuolella olevan pisteen M kautta suoran AB kanssa yhdensuuntainen viiva.
Käyttämällä todistettuja lauseita suorien yhdensuuntaisuuden merkeistä tämä ongelma voidaan ratkaista eri tavoin,
Ratkaisu. 1. s o s o b (kuva 199).
Piirretään MN⊥AB ja pisteen M kautta CD⊥MN;
saamme CD⊥MN ja AB⊥MN.
Lauseen ("Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa samaa suoraa vastaan, niin ne ovat yhdensuuntaiset.") perusteella päätämme, että СD || AB.
2. s p o s o b (kuva 200).
Piirretään MK, joka leikkaa AB missä tahansa kulmassa α, ja pisteen M kautta vedetään suora EF, joka muodostaa kulman EMK suoran MK kanssa, joka on yhtä suuri kuin kulma α. Lauseen () perusteella päätämme, että EF || AB.
Kun tämä ongelma on ratkaistu, voidaan katsoa todistetuksi, että minkä tahansa pisteen M kautta, joka on otettu suoran AB ulkopuolelle, on mahdollista piirtää sen kanssa yhdensuuntainen suora. Herää kysymys, kuinka monta suoraa, joka on yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa ja kulkee tietyn pisteen kautta, voi olla?
Konstruktiokäytäntö antaa meille mahdollisuuden olettaa, että tällaisia viivoja on vain yksi, koska huolellisesti tehdyssä piirustuksessa eri tavoin saman pisteen läpi vedetyt viivat sulautuvat saman linjan suuntaisesti.
Teoriassa vastauksen tähän kysymykseen antaa ns. Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma; se on muotoiltu näin:
Tietyn suoran ulkopuolelle otetun pisteen kautta voidaan piirtää vain yksi suora tämän suoran suuntaisesti.
Piirustuksessa 201 pisteen O läpi on piirretty suora SK, joka on yhdensuuntainen suoran AB kanssa.
Mikä tahansa muu pisteen O kautta kulkeva suora ei ole enää yhdensuuntainen suoran AB kanssa, vaan leikkaa sen.
Aksiooma, jonka Euclid omaksui teoksessaan Elements, jonka mukaan tasossa, joka kulkee tietyn suoran ulkopuolelle otetun pisteen läpi, voidaan piirtää vain yksi suora tämän suoran suuntaisesti, on ns. Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma.
Yli kahden tuhannen vuoden ajan Eukleideen jälkeen monet matemaatikot yrittivät todistaa tämän matemaattisen väitteen, mutta heidän yrityksensä epäonnistuivat aina. Vasta vuonna 1826 suuri venäläinen tiedemies, Kazanin yliopiston professori Nikolai Ivanovitš Lobatševski osoitti, että kaikkia muita Eukleideen aksioomia käyttäen tätä matemaattista väitettä ei voida todistaa, että se todella pitäisi ottaa aksioomana. N. I. Lobatševski loi uuden geometrian, jota, toisin kuin Eukleideen geometriaa, kutsuttiin Lobatševskin geometriaksi.
AB ja FROMD ylittää kolmas viiva MN, niin tässä tapauksessa muodostetut kulmat saavat seuraavat nimet pareittain:vastaavat kulmat: 1 ja 5, 4 ja 8, 2 ja 6, 3 ja 7;
sisäpuoliset ristikkäiset kulmat: 3 ja 5, 4 ja 6;
ulkoiset ristikkäiset kulmat: 1 ja 7, 2 ja 8;
yksipuoliset sisäkulmat: 3 ja 6, 4 ja 5;
ulkoiset yksipuoliset kulmat: 1 ja 8, 2 ja 7.
Joten ∠ 2 = ∠ 4 ja ∠ 8 = ∠ 6, mutta todistetulla ∠ 4 = ∠ 6.
Siksi ∠ 2 = ∠ 8.
3. Vastaavat kulmat 2 ja 6 ovat samat, koska ∠ 2 = ∠ 4 ja ∠ 4 = ∠ 6. Varmistamme myös, että muut vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.
4. Summa yksipuoliset sisäkulmat 3 ja 6 ovat 2d, koska summa vierekkäiset kulmat 3 ja 4 on yhtä kuin 2d = 180 0 ja ∠ 4 voidaan korvata identtisellä ∠ 6:lla. Varmista myös, että kulmien summa 4 ja 5 on yhtä suuri kuin 2d.
5. Summa ulkoiset yksipuoliset kulmat on 2d, koska nämä kulmat ovat vastaavasti yhtä suuret yksipuoliset sisäkulmat kuten kulmat pystysuora.
Yllä todistetusta perustelusta saamme käänteiset lauseet.
Kun mielivaltaisen kolmannen rivin kahden suoran leikkauspisteessä saadaan, että:
1. Sisäiset poikkimakuukulmat ovat samat;
tai 2. Ulkoiset poikkimakuukulmat ovat samat;
tai 3. Vastaavat kulmat ovat samat;
tai 4. Sisäisten yksipuolisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 2d = 180 0 ;
tai 5. Ulomman yksipuolisen summa on 2d = 180 0 ,
silloin kaksi ensimmäistä suoraa ovat yhdensuuntaisia.
Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit
Lause 1. Jos sekantin kahden suoran leikkauskohdassa:
vinottain makaavat kulmat ovat yhtä suuret tai
vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai
yksipuolisten kulmien summa on 180°
viivat ovat yhdensuuntaisia(Kuva 1).
Todiste. Rajaudumme tapauksen 1 todisteisiin.
Oletetaan, että suorien a ja b leikkauskohdassa AB-leikkauskulmat ovat yhtä suuret. Esimerkiksi ∠ 4 = ∠ 6. Osoitetaan, että a || b.
Oletetaan, että suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaisia. Sitten ne leikkaavat jossain pisteessä M ja siten yksi kulmista 4 tai 6 on kolmion ABM ulkokulma. Olkoon varmuuden vuoksi ∠ 4 kolmion ABM ulkokulma ja ∠ 6 sisäkulma. Kolmion ulkokulman lauseesta seuraa, että ∠ 4 on suurempi kuin ∠ 6, ja tämä on ristiriidassa ehdon kanssa, mikä tarkoittaa, että suorat a ja 6 eivät voi leikkiä, joten ne ovat yhdensuuntaisia.
Seuraus 1. Kaksi erillistä suoraa samaan viivaan nähden kohtisuorassa tasossa ovat yhdensuuntaisia(Kuva 2).
Kommentti. Tapaa, jolla juuri todistimme Lauseen 1 tapauksen 1, kutsutaan todistusmenetelmäksi ristiriidalla tai pelkistetyksi absurdiksi. Tämä menetelmä sai etunimensä, koska päättelyn alussa tehdään oletus, joka on päinvastainen (päinvastainen) kuin todistettava. Sitä kutsutaan järjettömyydeksi pelkistymiseksi siitä syystä, että esitetyn oletuksen perusteella väittelemällä päädymme absurdiin johtopäätökseen (absurdisti). Tällaisen johtopäätöksen saaminen pakottaa meidät hylkäämään alussa tehdyn oletuksen ja hyväksymään sen, joka vaadittiin todistettavaksi.
Tehtävä 1. Muodosta suora, joka kulkee tietyn pisteen M kautta ja yhdensuuntainen tietyn suoran a kanssa, joka ei kulje pisteen M läpi.
Ratkaisu. Piirretään suora p pisteen M kautta kohtisuoraan suoraa a vastaan (kuva 3).
Sitten vedetään suora b pisteen M kautta kohtisuoraan suoraa p vastaan. Suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa Lauseen 1 seurauksen mukaan.
Käsitellystä ongelmasta seuraa tärkeä johtopäätös:
Pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, voidaan aina piirtää viiva, joka on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa..
Yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuus on seuraava.
Yhdensuuntaisten viivojen aksiooma. Tietyn pisteen läpi, joka ei ole tietyllä suoralla, on vain yksi suora yhdensuuntainen annetun suoran kanssa.
Tarkastellaan joitain rinnakkaisten suorien ominaisuuksia, jotka seuraavat tästä aksioomasta.
1) Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se leikkaa toisen (kuva 4).
2) Jos kaksi eri suoraa ovat yhdensuuntaisia kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia (kuva 5).
Myös seuraava lause pitää paikkansa.
Lause 2. Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa sekantti, niin:
makuukulmat ovat yhtä suuret;
vastaavat kulmat ovat yhtä suuret;
yksipuolisten kulmien summa on 180°.
Seuraus 2. Jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen.(katso kuva 2).
Kommentti. Lausea 2 kutsutaan Lauseen 1 käänteiseksi. Lauseen 1 johtopäätös on Lauseen 2 ehto. Ja Lauseen 1 ehto on Lauseen 2 johtopäätös. Jokaisella lauseella ei ole käänteislukua, eli jos annettu lause on tosi, silloin käänteislause voi olla väärä.
Selvitetään tämä pystykulmia koskevan lauseen esimerkillä. Tämä lause voidaan muotoilla seuraavasti: jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret. Käänteinen lause olisi tämä: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, ne ovat pystysuorat. Ja tämä ei tietenkään pidä paikkaansa. Kahden samanlaisen kulman ei tarvitse olla pystysuorassa ollenkaan.
Esimerkki 1 Kaksi yhdensuuntaista viivaa ylittää kolmas. Tiedetään, että kahden sisäisen yksipuolisen kulman välinen ero on 30°. Etsi ne kulmat.
Ratkaisu. Olkoon kuvion 6 ehdon mukainen.
