Vektoreihin rakennetun suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman tulo.

On hyvä, kun näiden samojen vektorien pituudet on annettu ehtojen mukaan. Kuitenkin tapahtuu myös niin, että vektoreihin rakennetun suunnikkaan pinta-alan kaavaa voidaan soveltaa vasta koordinaattilaskelmien jälkeen.
Jos olet onnekas ja vektorien pituudet annetaan olosuhteiden mukaan, sinun tarvitsee vain soveltaa kaavaa, jonka olemme jo analysoineet yksityiskohtaisesti artikkelissa. Pinta-ala on yhtä suuri kuin moduulien ja niiden välisen kulman sini tulo:

Harkitse esimerkkiä vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-alan laskemisesta.

Tehtävä: Suuntaviiva on rakennettu vektoreille ja . Etsi alue, jos , Ja niiden välinen kulma on 30°.
Ilmaistaan ​​vektorit niiden arvoilla:

Ehkä sinulla on kysymys - mistä nollat ​​tulivat? On syytä muistaa, että työskentelemme vektoreiden kanssa ja niitä varten . Huomaa myös, että jos saamme lausekkeen tuloksena, se muunnetaan muotoon. Tehdään nyt lopulliset laskelmat:

Palataan ongelmaan, kun vektorien pituuksia ei ole määritelty ehdoissa. Jos suunnikkaasi on suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä, sinun on tehtävä seuraava.

Koordinaattien antaman kuvan sivujen pituuksien laskeminen

Aluksi etsitään vektorien koordinaatit ja vähennetään vastaavat alkukoordinaatit loppukoordinaateista. Oletetaan vektorin a (x1;y1;z1) ja vektorin b (x3;y3;z3) koordinaatit.
Nyt löydämme jokaisen vektorin pituuden. Tätä varten jokainen koordinaatti on neliöitävä, sitten lisätään tulokset ja erotettava juuri äärellisestä luvusta. Vektoriemme mukaan tehdään seuraavat laskelmat:


Nyt meidän täytyy löytää vektoridemme pistetulo. Tätä varten niiden vastaavat koordinaatit kerrotaan ja lisätään.

Ottaen huomioon vektorien pituudet ja niiden skalaaritulon, voimme löytää niiden välisen kulman kosinin .
Nyt voimme löytää saman kulman sinin:
Nyt meillä on kaikki tarvittavat suuret, ja voimme helposti löytää vektoreille rakennetun suunnikasalueen jo tunnetun kaavan avulla.

Ensin muistellaan, mikä vektoritulo on.

Huomautus 1

Vector taideteoksia$\vec(a)$ ja $\vec(b)$ on $\vec(c)$, joka on jokin kolmas vektori $\vec(c)= ||$, ja tällä vektorilla on erityisiä ominaisuuksia:

• Tuloksena olevan vektorin skalaari on $|\vec(a)|$ ja $|\vec(b)|$ kertaa kulman $\vec(c)= ||= |\vec(a) sini )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Kaikki $\vec(a), \vec(b)$ ja $\vec(c)$ muodostavat oikeanpuoleisen kolmion;
• Tuloksena oleva vektori on ortogonaalinen kohtiin $\vec(a)$ ja $\vec(b)$.

Jos vektoreille on joitain koordinaatteja ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ ja $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), niin niiden vektoritulo karteesinen koordinaattijärjestelmä voidaan määrittää kaavalla:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Helpoin tapa muistaa tämä kaava on kirjoittaa se determinantin muodossa:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Tämä kaava on erittäin kätevä käyttää, mutta ymmärtääksesi kuinka sitä käytetään, sinun tulee ensin tutustua matriisien ja niiden determinanttien aiheeseen.

Rinnakkaisalue, jonka sivut määritellään kahdella vektorilla $\vec(a)$ ja $vec(b)$ on yhtä suuri kuin annettujen kahden vektorin ristitulon skalaariin.

Tämä suhde on melko helppo johtaa.

Muista kaava tavallisen suunnikkaan alueen löytämiseksi, jota voidaan luonnehtia sen segmenteillä $a$ ja $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

Tässä tapauksessa sivujen pituudet ovat yhtä suuret kuin vektorien $\vec(a)$ ja $\vec(b)$ skalaariarvot, mikä on meille varsin sopiva, eli vektorin skalaari. näiden vektorien vektoritulo on tarkasteltavan kuvan alue.

Esimerkki 1

Annetut vektorit $\vec(c)$ koordinaatteilla $\(5;3; 7\)$ ja vektori $\vec(g)$, joiden koordinaatit $\(3; 7;10 \)$ suorakulmaisissa koordinaateissa. Etsi suuntaviivan alue, jonka muodostavat $\vec(c)$ ja $\vec(g)$.

Ratkaisu:

Etsi vektoritulo näille vektoreille:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(-19; 29; 26\)$.

Etsitään nyt saadun suuntasegmentin modulaarinen arvo, se on rakennetun suunnikkaan alueen arvo:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34 $.

Tämä päättely pätee paitsi alueen etsimiseen 3-ulotteisessa avaruudessa, vaan myös kaksiulotteisessa avaruudessa. Katso seuraava kysymys tästä aiheesta.

Esimerkki 2

Laske suunnikkaan pinta-ala, jos sen muodostavat segmentit on annettu vektoreilla $\vec(m)$ koordinaatteilla $\(2; 3\)$ ja $\vec(d)$ koordinaatteilla $\(-5; 6\)$.

Ratkaisu:

Tämä ongelma on erityinen esimerkki edellä ratkaistusta tehtävästä 1, mutta molemmat vektorit ovat samassa tasossa, mikä tarkoittaa, että kolmas koordinaatti, $z$, voidaan ottaa nollaksi.

Yhteenvetona edellä esitetystä, suunnikkaan pinta-ala on:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Esimerkki 3

Annetut vektorit $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Etsi niiden muodostaman suunnikkaan pinta-ala.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \ kertaa 5i = 15 - 5 + $

Yksinkertaistetaan yksikkövektorien taulukon mukaisesti:

Kuva 1. Vektorin hajotus kannassa. Author24 - online-vaihto opiskelijapaperit

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Laskuaika:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Edelliset tehtävät koskivat vektoreita, joiden koordinaatit on annettu suorakulmaisessa koordinaatistossa, mutta harkitse myös tilannetta, jos kantavektoreiden välinen kulma poikkeaa $90°$:sta:

Esimerkki 4

Vektori $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, $\vec(a)$ ja $\vec(b)$ pituudet ovat yhtä suuret ja yhtä suuri kuin yksi ja kulma $\vec(a)$ ja $\vec(b)$ välillä on 45°.

Ratkaisu:

Lasketaan vektoritulo $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Vektorituloille, niiden ominaisuuksien mukaan, pitää paikkansa seuraava: $$ ja $$ ovat nolla, $ = - $.

Käytämme tätä yksinkertaistamiseen:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11 $.

Käytetään nyt kaavaa $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5 $.

Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: vektorien ristitulo ja vektorien sekatulo (välitön linkki sitä tarvitseville). Ei haittaa, joskus käy niin, että täydellisen onnen vuoksi, lisäksi vektorien pistetulo , tarvitaan enemmän ja enemmän. Sellainen on vektoririippuvuus. Saattaa saada vaikutelma, että olemme joutumassa analyyttisen geometrian viidakkoon. Tämä ei ole totta. Tässä korkeamman matematiikan osiossa polttopuuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin vaikeampi kuin sama skalaarituote , vaikka tyypillisiä tehtäviä on vähemmän. Tärkein asia analyyttisessä geometriassa, kuten monet näkevät tai ovat jo nähneet, on EI VÄÄRÄ LASKENTIA. Toista kuin loitsu, niin olet onnellinen =)

Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai hankkia uudelleen perustiedot vektoreista. Valmistautuneemmat lukijat voivat tutustua tietoihin valikoivasti, yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman esimerkkejä, joita käytännön työssä usein löytyy

Mikä tekee sinut onnelliseksi? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta ja jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain avaruusvektorit, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä toiminnot syntyivät - vektorien vektori ja sekatulo määritellään ja toimivat kolmiulotteisessa avaruudessa. Helpompaa jo!

Tässä operaatiossa, samalla tavalla kuin skalaaritulossa, kaksi vektoria. Olkoon ne katoamattomia kirjaimia.

Itse toiminta merkitty seuraavalla tavalla: . On muitakin vaihtoehtoja, mutta olen tottunut merkitsemään vektorien ristituloa tällä tavalla, hakasulkeissa ristin kanssa.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien pistetulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mikä on ero? Selkeä ero ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VEKTORI: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa, tästä toiminnan nimi. Erilaisissa oppikirjoissa nimitykset voivat myös vaihdella, käytän kirjainta .

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: ristiintuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, on nimeltään VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Analysoimme määritelmää luiden mukaan, siellä on paljon mielenkiintoisia asioita!

Voimme siis korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Lähdevektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarista. Kollineaaristen vektorien tapausta on aiheellista tarkastella hieman myöhemmin.

2) Vektorit otettu tiukassa järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" - "a". Vektorikertoimen tulos on VECTOR , joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteisessä järjestyksessä, niin saamme vektorin, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen suuntaisesti (purinpunainen väri). Eli tasa-arvoa .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä kohta! Sinisen vektorin PITUUS (ja siten purppuraisen vektorin ) on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALUE. Kuvassa tämä suunnikas on varjostettu mustalla.

Merkintä : piirustus on kaavamainen, ja tietenkään ristitulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistamme yhden geometrisista kaavoista: suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen ja niiden välisen kulman sini tulo. Siksi edellä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on voimassa:

Korostan, että kaavassa puhumme vektorin PITUUDESTA, emme itse vektorista. Mikä on käytännön merkitys? Ja merkitys on sellainen, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Saamme toisen tärkeän kaavan. Suunnikkaan diagonaali (punainen katkoviiva) jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) löytyy kaavasta:

4) Yhtä tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden, eli . Tietenkin myös vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (punainen nuoli) on ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusta Sillä on oikein suuntautuminen. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Olen puhunut yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme, mikä avaruuden suunta on. Selitän sormillasi oikea käsi. Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina kämmenelle. Tuloksena peukalo- vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on kuvassa). Vaihda nyt vektorit ( etu- ja keskisormi) joissakin paikoissa tämän seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Ehkä sinulla on kysymys: millä perusteella on vasen suuntaus? "Määritä" samat sormet vasen käsi vektorit ja saat vasemman kanta- ja vasemman tilan suunnan (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertelevät" tai suuntaavat tilaa eri suuntiin. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tavallisin peili muuttaa tilan suuntaa, ja jos "vedät heijastuneen kohteen ulos peilistä", ei yleensä ole mahdollista yhdistä se "alkuperäiseen". Tuo muuten kolme sormea ​​peilin luo ja analysoi heijastus ;-)

... kuinka hyvä se on, että tiedät siitä nyt oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suunnanmuutoksesta ovat kauheita =)

Kollineaaristen vektorien vektoritulo

Määritelmä on laadittu yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "taittuu" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan tai 180 asteen sini on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että alue on nolla

Eli jos , niin ja . Huomaa, että ristitulo itsessään on yhtä suuri kuin nollavektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on myös nolla.

Erikoistapaus on vektorin ja itsensä vektoritulo:

Ristitulon avulla voit tarkistaa kolmiulotteisten vektorien kollineaarisuuden ja analysoimme myös tämän ongelman mm.

Käytännön esimerkkien ratkaisemiseksi se voi olla tarpeen trigonometrinen taulukko löytääksesi siitä sinien arvot.

No, sytytetään tulipalo:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

Ratkaisu: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella ehtokohteiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan se on löydettävä pituus vektori (vektoritulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Koska pituudesta kysyttiin, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan se on löydettävä neliö- vektoreihin rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin ristitulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vektorituloa koskevassa vastauksessa ei puhuta ollenkaan, meiltä kysyttiin hahmon alue, mitat ovat neliöyksiköitä.

Katsomme aina MITÄ ehto edellyttää, ja sen perusteella muotoilemme asia selvä vastaus. Se saattaa tuntua kirjaimellisuudesta, mutta opettajien joukossa on tarpeeksi kirjailijaa ja tehtävä hyvillä mahdolli- suuksilla palautetaan tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei ole erityisen jännittynyt nitpicki - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia ​​asioita ja/tai ei ole ymmärtänyt tehtävän ydintä. Tämä hetki tulee aina pitää kurissa, ratkaista mikä tahansa ongelma korkeammassa matematiikan ja myös muissa aineissa.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se voisi olla lisäksi kiinni ratkaisussa, mutta ennätyksen lyhentämiseksi en tehnyt. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja tarkoittavat samaa asiaa.

Suosittu esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voidaan yleensä kiduttaa.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien ristitulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä eroteta ominaisuuksista, mutta se on käytännön kannalta erittäin tärkeä. Joten anna sen olla.

2) - kiinteistöstä on myös keskusteltu yllä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) - yhdistelmä tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot saadaan helposti pois vektoritulon rajoista. Oikeasti, mitä he tekevät siellä?

4) - jakelu tai jakelu vektoritulolakeja. Avaamisessa ei myöskään ole ongelmia.

Harkitse esimerkkiä esimerkkinä:

Esimerkki 3

Etsi jos

Ratkaisu: Ehdon mukaan on jälleen löydettävä vektoritulon pituus. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme pois vakiot vektoritulon rajojen yli.

(2) Otamme vakion pois moduulista, kun taas moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Seuraava on selvää.

Vastaus:

On aika heittää puita tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Ratkaisu: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Ongelmana on, että vektorit "ce" ja "te" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4. Vektorien pistetulo . Jaa se kolmeen vaiheeseen selvyyden vuoksi:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaista vektoria vektorilla. Pituudesta ei vielä sanaakaan!

(1) Korvaamme vektorien lausekkeet.

(2) Distributiivisia lakeja käyttäen avataan sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä otamme pois kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolella. Vähäisellä kokemuksella toiminnot 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) miellyttävästä ominaisuudesta johtuen. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen:

(5) Esittelemme samanlaisia ​​termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmaistuksi vektorin kautta, mikä oli se, mitä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminto on samanlainen kuin esimerkki 3:

3) Etsi vaaditun kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 voitaisiin järjestää yhdelle riville.

Vastaus:

Tarkasteltu ongelma on melko yleinen testeissä, tässä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 5

Etsi jos

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

, annettu ortonormaalilla perusteella , ilmaistaan ​​kaavalla:

Kaava on todella yksinkertainen: kirjoitamme koordinaattivektorit determinantin yläriville, "pakkaamme" vektoreiden koordinaatit toiselle ja kolmannelle riville ja laitamme tiukassa järjestyksessä- ensin vektorin "ve" koordinaatit, sitten vektorin "double-ve" koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, tulee myös rivit vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
a)
b)

Ratkaisu: Testi perustuu yhteen tämän oppitunnin väittämiin: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden ristitulo on nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Joten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä osa ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki lepää määritelmän, geometrisen merkityksen ja muutaman työkaavan varassa.

Vektorien sekatulo on kolmen vektorin tulo:

Näin he asettuivat jonoon kuin juna ja odottavat, he eivät voi odottaa, kunnes heidät lasketaan.

Ensin taas määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekoitettu tuote ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, kutsutaan suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymätön viivat piirretään katkoviivalla:

Sukellaan määritelmään:

2) Vektorit otettu tietyssä järjestyksessä, eli tuotteessa olevien vektorien permutaatio, kuten saatat arvata, ei jää ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeisen tosiasian: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, minulla oli tapana nimetä sekatuotteen läpi, ja laskelmien tulos kirjaimella "pe".

Määritelmän mukaan sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin annetun suuntaissärmiön tilavuus.

Merkintä : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää vaivautuko kantajan ja tilan orientaation käsitteeseen. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisesti sanottuna sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Kaava vektoreihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi seuraa suoraan määritelmästä.