Artikkelissa puhutaan tasojen välisen kulman löytämisestä. Määritelmän tuomisen jälkeen asetamme graafisen kuvan, harkitsemme yksityiskohtaista menetelmää koordinaattien löytämiseksi menetelmällä. Saamme leikkaustasojen kaavan, joka sisältää normaalivektorien koordinaatit.
Materiaalissa hyödynnetään dataa ja käsitteitä, joita on aiemmin tutkittu tasoa ja avaruuden linjaa koskevissa artikkeleissa. Aluksi on siirryttävä päättelyyn, joka sallii tietyn lähestymistavan kahden leikkaavan tason välisen kulman määrittämiseen.
Kaksi leikkaavaa tasoa γ 1 ja γ 2 on annettu. Niiden risteys saa merkinnän c . χ-tason rakenne liittyy näiden tasojen leikkauspisteeseen. Taso χ kulkee pisteen M läpi suorana c. Tasot γ 1 ja γ 2 leikataan käyttämällä χ-tasoa. Hyväksymme suoralle a leikkaavan linjan γ 1 ja χ sekä suoran b nimet γ 2 ja χ. Saadaan, että suorien a ja b leikkauspiste antaa pisteen M .
Pisteen M sijainti ei vaikuta leikkaavien suorien a ja b väliseen kulmaan, ja piste M sijaitsee suoralla c, jonka kautta taso χ kulkee.
On tarpeen rakentaa taso χ 1, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan ja erilainen kuin taso χ . Tasojen γ 1 ja γ 2 leikkaus χ 1:n avulla saa suorien a 1 ja b 1 merkinnät.
Voidaan nähdä, että kun muodostetaan χ ja χ 1, suorat a ja b ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan, sitten a 1, b 1 ovat kohtisuorassa suoraa c vastaan. Kun etsitään suorat a ja a 1 tasosta γ 1, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan, niin niitä voidaan pitää yhdensuuntaisina. Samalla tavalla b:n ja b 1:n sijainti tasossa γ 2 suoran c kohtisuorassa osoittaa niiden yhdensuuntaisuuden. Tämä tarkoittaa, että on tarpeen tehdä yhdensuuntainen siirto tasosta χ 1 pisteeseen χ, jolloin saadaan kaksi yhteneväistä suoraa a ja a 1 , b ja b 1 . Saadaan, että risteävien viivojen a ja b 1 välinen kulma on yhtä suuri kuin leikkaavien viivojen a ja b kulma.
Harkitse alla olevaa kuvaa.
Tämän tuomion todistaa se, että leikkaavien viivojen a ja b välillä on kulma, joka ei riipu pisteen M sijainnista eli leikkauspisteestä. Nämä viivat sijaitsevat tasoissa γ 1 ja γ 2 . Itse asiassa tuloksena olevaa kulmaa voidaan pitää kahden leikkaavan tason välisenä kulmana.
Jatketaan olemassa olevien leikkaavien tasojen γ 1 ja γ 2 välisen kulman määrittämistä.
Määritelmä 1
Kahden leikkaavan tason γ 1 ja γ 2 välinen kulma kutsutaan kulmaa, joka muodostuu suorien a ja b leikkauspisteestä, jossa tasot γ 1 ja γ 2 leikkaavat tason χ, joka on kohtisuorassa suoraa c vastaan.
Harkitse alla olevaa kuvaa.
Määritelmä voidaan toimittaa toisessa muodossa. Tasojen γ 1 ja γ 2 leikkauskohdassa, jossa c on viiva, jolla ne leikkaavat, merkitse piste M, jonka läpi piirretään suoraa c vastaan kohtisuorassa tasoissa γ 1 ja γ olevat suorat a ja b. 2, silloin viivojen a ja b välinen kulma on tasojen välinen kulma. Käytännössä tämä soveltuu tasojen välisen kulman muodostamiseen.
Leikkauskohtaan muodostuu kulma, jonka arvo on alle 90 astetta, eli kulman astemitta pätee tämän tyyppisellä alueella (0, 90 ]. Samalla näitä tasoja kutsutaan kohtisuoraksi). jos leikkauskohtaan muodostuu suora kulma Yhdensuuntaisten tasojen välisen kulman katsotaan olevan nolla.
Tavallinen tapa löytää leikkaustasojen välinen kulma on suorittaa lisärakennuksia. Tämä auttaa määrittämään sen tarkasti, ja tämä voidaan tehdä käyttämällä kolmion yhtäläisyys- tai samankaltaisuusmerkkejä, sinejä, kulman kosineja.
Harkitse ongelmien ratkaisemista käyttämällä esimerkkiä lohkon C 2 Unified State Examinationin ongelmista.
Esimerkki 1
On annettu suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, jossa sivu A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, piste E erottaa sivun A A 1 suhteessa 4:3. Etsi tasojen A B C ja B E D 1 välinen kulma.
Ratkaisu
Selvyyden vuoksi sinun on tehtävä piirustus. Me ymmärrämme sen
Visuaalinen esitys on tarpeen, jotta tasojen välisen kulman kanssa työskentely olisi mukavampaa.
Määrittelemme suoran, jota pitkin tasot A B C ja B E D 1 leikkaavat. Piste B on yhteinen piste. Yksi yhteinen leikkauspiste pitäisi löytää lisää. Tarkastellaan suoria D A ja D 1 E , jotka sijaitsevat samassa tasossa A D D 1 . Niiden sijainti ei osoita yhdensuuntaisuutta, mikä tarkoittaa, että niillä on yhteinen leikkauspiste.
Suora D A sijaitsee kuitenkin tasossa A B C ja D 1 E tasossa B E D 1 . Siten saamme, että rivit D A ja D 1 E niillä on yhteinen leikkauspiste, joka on yhteinen myös tasoille A B C ja B E D 1 . Osoittaa viivojen leikkauspisteen D A ja D1E kirjain F. Tästä saadaan, että B F on suora, jota pitkin tasot A B C ja B E D 1 leikkaavat.
Harkitse alla olevaa kuvaa.
Vastauksen saamiseksi on tarpeen rakentaa tasoissa A B C ja B E D 1 olevia suoria viivoja, jotka kulkevat linjalla B F sijaitsevan pisteen kautta kohtisuorassa sitä vastaan. Tällöin näiden viivojen välistä kulmaa pidetään halutuksi tasojen A B C ja B E D 1 väliseksi kulmaksi.
Tästä voidaan nähdä, että piste A on pisteen E projektio tasolle A B C. On tarpeen piirtää viiva, joka leikkaa suoran B F suorassa kulmassa pisteessä M. Voidaan nähdä, että suora A M on suoran E M projektio tasolle A B C perustuen kohtisuoraan A M ⊥ B F . Harkitse alla olevaa kuvaa.
∠ A M E on tasojen A B C ja B E D 1 muodostama haluttu kulma. Tuloksena olevasta kolmiosta A E M löydämme kulman sinin, kosinin tai tangentin, jonka jälkeen itse kulma, vain sen kahdella tunnetulla sivulla. Ehdolla meillä on, että A E:n pituus löydetään tällä tavalla: suora A A 1 jaetaan pisteellä E suhteessa 4:3, mikä tarkoittaa, että viivan kokonaispituus on 7 osaa, niin A E \u003d 4 osaa. Löydämme A.M.
Täytyy harkita suorakulmainen kolmio A B F. Meillä on suora kulma A, jonka korkeus on A M. Ehdosta A B \u003d 2 voimme löytää pituuden A F kolmioiden D D 1 F ja A E F samankaltaisuuden perusteella. Saadaan, että A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4
Kolmion A B F sivun B F pituus on löydettävä Pythagoraan lauseen avulla. Saamme, että B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Sivun A M pituus löytyy kolmion A B F alueelta. Meillä on, että pinta-ala voi olla yhtä suuri kuin S A B C = 1 2 · A B · A F ja S A B C = 1 2 · B F · A M .
Saamme, että A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5
Sitten voimme löytää kolmion A E M kulman tangentin arvon. Saamme:
t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5
Tasojen A B C ja B E D 1 leikkauspisteellä saatu haluttu kulma on a r c t g 5, jolloin yksinkertaistettuna saadaan a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .
Vastaus: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .
Joitakin tapauksia leikkausviivojen välisen kulman löytämiseksi on annettu käyttämällä O x y z -koordinaattitasoa ja koordinaattimenetelmää. Tarkastellaanpa tarkemmin.
Jos on annettu tehtävä, jossa on tarpeen löytää kulma leikkaavien tasojen γ 1 ja γ 2 välillä, merkitään haluttu kulma α:lla.
Tällöin annettu koordinaattijärjestelmä osoittaa, että meillä on leikkaustasojen γ 1 ja γ 2 normaalivektorien koordinaatit. Sitten merkitään, että n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z on tason γ 1 normaalivektori ja n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - taso γ 2 . Harkitse näiden tasojen välisen kulman yksityiskohtaista selvitystä vektorien koordinaattien mukaan.
On tarpeen määrittää suora viiva, jota pitkin tasot γ 1 ja γ 2 leikkaavat kirjaimen c. Suoralla kanssa meillä on piste M, jonka läpi piirretään taso χ, joka on kohtisuorassa c:tä vastaan. Taso χ viivoja a ja b pitkin leikkaa tasot γ 1 ja γ 2 pisteessä M . määritelmästä seuraa, että leikkaavien tasojen γ 1 ja γ 2 välinen kulma on yhtä suuri kuin näihin tasoihin kuuluvien leikkaavien viivojen a ja b kulma.
χ-tasossa jätämme sivuun pisteen M normaalivektorit ja merkitsemme niitä n 1 → ja n 2 →. Vektori n 1 → sijaitsee suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan, ja vektori n 2 → suoralla, joka on kohtisuorassa suoraa b vastaan. Siksi saamme sen annettu lentokoneχ:lla on suoran a normaalivektori, joka on yhtä suuri kuin n 1 → ja suoralla b on yhtä suuri kuin n 2 → . Harkitse alla olevaa kuvaa.
Täältä saamme kaavan, jolla voimme laskea leikkaavien viivojen kulman sinin vektorien koordinaattien avulla. Havaitsimme, että suorien a ja b välisen kulman kosini on sama kuin leikkaavien tasojen γ 1 ja γ 2 välinen kosini johdetaan kaavasta cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , missä meillä on, että n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) ja n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) ovat esitettyjen tasojen vektorien koordinaatit.
Leikkaavien viivojen välinen kulma lasketaan kaavalla
α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2
Esimerkki 2
Ehdolla annetaan suuntaissärmiö А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , jossa A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7 ja piste E erottaa sivun A A 1 4: 3. Etsi tasojen A B C ja B E D 1 välinen kulma.
Ratkaisu
Se voidaan nähdä ehdosta, että sen sivut ovat pareittain kohtisuorassa. Tämä tarkoittaa, että on tarpeen ottaa käyttöön koordinaattijärjestelmä O x y z, jonka kärkipiste on pisteessä C ja koordinaattiakselit O x, O y, O z. Suunta on asetettava asianmukaisille puolille. Harkitse alla olevaa kuvaa.
Leikkaavat lentokoneet A B C ja B E D 1 muodostavat kulman, joka löytyy kaavasta 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , missä n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) ja n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) ovat näiden tasojen normaalivektoreita. On tarpeen määrittää koordinaatit. Kuvasta nähdään, että koordinaattiakseli O x y osuu yhteen tasossa A B C, mikä tarkoittaa, että normaalivektorin k → koordinaatit ovat yhtä suuret kuin arvo n 1 → = k → = (0, 0, 1) .
Tason B normaalivektorille otetaan D 1 vektorituote B E → ja B D 1 → , joissa niiden koordinaatit löytyvät ääripisteiden B, E, D 1 koordinaateista, jotka määritetään tehtävän ehdon perusteella.
Saamme, että B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Koska A E E A 1 = 4 3 , saamme pisteiden A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 koordinaateista E 2 , 3 , 4 . Saadaan, että B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2, - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)
Löydetyt koordinaatit on korvattava kaavassa kulman laskemiseksi kaarikosinin läpi. Saamme
α = arc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6
Koordinaattimenetelmä antaa samanlaisen tuloksen.
Vastaus: a r c cos 6 6 .
Lopullista tehtävää tarkastellaan, jotta löydettäisiin kulma risteävien tasojen välillä käytettävissä olevien tasojen yhtälöiden kanssa.
Esimerkki 3
Laske kulman sini, kosini ja kahden leikkaavan suoran muodostaman kulman arvo, jotka on määritelty O x y z -koordinaatistossa ja saatu yhtälöillä 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ja 3 y - z-1 = 0.
Ratkaisu
Kun tutkittiin muotoa A x + B y + C z + D = 0 olevan suoran yleisen yhtälön aihetta, paljastui, että A, B, C ovat kertoimia, jotka ovat yhtä suuria kuin normaalivektorin koordinaatit. Näin ollen n 1 → = 2 , - 4 , 1 ja n 2 → = 0 , 3 , - 1 ovat tiettyjen suorien normaalivektoreita.
Tasojen normaalivektorien koordinaatit on korvattava kaavassa, jolla lasketaan haluttu leikkaustasojen kulma. Sitten saamme sen
α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210
Tästä syystä kulman kosini on muotoa cos α = 13 210 . Tällöin leikkaavien viivojen kulma ei ole tylppä. Korvaamalla trigonometriseen identiteettiin saadaan, että kulman sinin arvo on yhtä suuri kuin lauseke. Laskemme ja saamme sen
sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210
Vastaus: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
kulma avaruuden suorien välissä kutsumme mitä tahansa vierekkäisiä kulmia, jotka muodostuvat kahdesta suorasta, jotka on piirretty tiedon kanssa yhdensuuntaisen mielivaltaisen pisteen läpi.
Annetaan kaksi suoraa avaruuteen:
On selvää, että viivojen välinen kulma φ voidaan ottaa niiden suuntavektorien ja :n väliseksi kulmaksi. Koska , Sitten vektorien välisen kulman kosinin kaavan mukaan saamme
Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot vastaavat niiden suuntavektorien yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehtoja ja:
Kaksi suoraan ovat yhdensuuntaisia jos ja vain jos niiden vastaavat kertoimet ovat suhteellisia, ts. l 1 rinnakkais l 2 jos ja vain rinnakkain 
.
Kaksi suoraan kohtisuorassa jos ja vain jos vastaavien kertoimien tulojen summa on nolla: .
klo tavoite linjan ja tason välillä
Anna linjan d- ei kohtisuorassa tasoon θ nähden;
d′− suoran projektio d tasoon θ;
Pienin suorien viivojen välisistä kulmista d ja d"soitamme linjan ja tason välinen kulma.
Merkitään se φ=( d,θ)
Jos d⊥θ , sitten ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− suorakulmainen koordinaattijärjestelmä.
Tasoyhtälö:
θ: Kirves+Tekijä:+cz+D=0
Oletetaan, että suora on annettu pisteellä ja suuntavektorilla: d[M 0,s→]
Vektori n→(A,B,C)⊥θ
Sitten on vielä selvitettävä vektorien välinen kulma n→ ja s→, merkitse se γ=( n→,s→).
Jos kulma γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Jos kulma γ>π/2 , niin vaadittu kulma φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Sitten, linjan ja tason välinen kulma voidaan laskea kaavalla:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23
Kysymys 29. Neliömäisen muodon käsite. Kvadraattisten muotojen merkkimääräisyys.
Neliömuoto j (x 1, x 2, ..., x n) n todellista muuttujaa x 1, x 2, ..., x n kutsutaan muodon summaksi 
, (1)
missä aij joitain lukuja kutsutaan kertoimiksi. Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa sen aij = a ji.
Kvadraattista muotoa kutsutaan pätevä, jos aij
О GR. Matriisi neliössä kutsutaan matriisiksi, joka koostuu sen kertoimista. Neliömuoto (1) vastaa ainutlaatuista symmetristä matriisia 
eli A T = A. Siksi neliömuoto (1) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon j ( X) = x T Ah, missä x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Ja päinvastoin, mikä tahansa symmetrinen matriisi (2) vastaa ainutlaatuista neliömuotoa muuttujien merkintään asti.
Neliömuodon arvo kutsutaan sen matriisin arvoksi. Kvadraattista muotoa kutsutaan ei rappeutunut, jos sen matriisi on ei-yksikkö MUTTA. (muista, että matriisi MUTTA kutsutaan ei-degeneroituneeksi, jos sen determinantti on nollasta poikkeava). Muuten neliömuoto on rappeutunut.
positiivinen selvä(tai ehdottomasti positiivinen), jos
j ( X) > 0 , kenelle tahansa X = (X 1 , X 2 , …, x n), sitä paitsi X = (0, 0, …, 0).
Matriisi MUTTA positiivinen tarkka neliömuoto j ( X) kutsutaan myös positiiviseksi definiitiksi. Siksi positiivinen tarkka neliömuoto vastaa ainutlaatuista positiivista tarkkaa matriisia ja päinvastoin.
Neliömuotoa (1) kutsutaan negatiivinen selvä(tai ehdottomasti negatiivinen), jos
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Sitä paitsi X = (0, 0, …, 0).
Samoin kuin edellä, negatiivis-definiittinen neliömatriisi kutsutaan myös negatiiviseksi määrätyksi.
Siksi positiivisesti (negatiivisesti) määrätty neliömuoto j ( X) saavuttaa minimi (maksimi) arvon j ( X*) = 0 varten X* = (0, 0, …, 0).
Huomaa, että suurin osa toisen asteen muodoista ei ole merkkimääräisiä, eli ne eivät ole positiivisia eivätkä negatiivisia. Tällaiset neliömuodot katoavat paitsi koordinaattijärjestelmän origossa, myös muissa pisteissä.
Kun n> 2, toisen asteen muodon merkkitarkkuuden tarkistamiseksi tarvitaan erityisiä kriteerejä. Harkitse niitä.
Suuret alaikäiset neliömuotoja kutsutaan alaikäisiksi:
eli nämä ovat alaikäisiä luokkaa 1, 2, …, n matriiseja MUTTA, joka sijaitsee vasemmassa yläkulmassa, viimeinen niistä on sama kuin matriisin determinantti MUTTA.
Positiivisen määrittelyn kriteeri (Sylvester-kriteeri)
X) = x T Ah on positiivinen määrätty, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki matriisin pääalaikäiset MUTTA olivat positiivisia, eli: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivisen varmuuden kriteeri Jotta neliömuoto j ( X) = x T Ah on negatiivinen määrätty, on välttämätöntä ja riittävää, että sen parillisen kertaluvun päämollit ovat positiivisia ja parittomat ovat negatiivisia, eli: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Puhun lyhyesti. Kahden suoran välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden suuntavektorien välinen kulma. Siten, jos onnistut löytämään suuntavektorien a \u003d (x 1; y 1; z 1) ja b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinaatit, voit löytää kulman. Tarkemmin sanottuna kulman kosini kaavan mukaan:
Katsotaanpa, kuinka tämä kaava toimii tietyissä esimerkeissä:
Tehtävä. Pisteet E ja F on merkitty kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.
Koska kuution reunaa ei ole määritelty, asetetaan AB = 1. Otamme käyttöön vakiokoordinaattijärjestelmän: origo on pisteessä A ja x-, y-, z-akselit on suunnattu pitkin AB, AD ja AA 1, vastaavasti. . Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsitään nyt suoritemme suuntavektorien koordinaatit.
Etsi vektorin AE koordinaatit. Tätä varten tarvitsemme pisteet A = (0; 0; 0) ja E = (0,5; 0; 1). Koska piste E on janan A 1 B 1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Huomaa, että vektorin AE origo on sama kuin origo, joten AE = (0,5; 0; 1).
Käsitellään nyt BF-vektoria. Samalla tavalla analysoimme pisteet B = (1; 0; 0) ja F = (1; 0,5; 1), koska F - segmentin B 1 C 1 keskikohta. Meillä on:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Suuntavektorit ovat siis valmiit. Viivojen välisen kulman kosini on suuntavektorien välisen kulman kosini, joten meillä on:
Tehtävä. Säännöllisessä kolmikulmaisessa prismassa ABCA 1 B 1 C 1 , jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet D ja E - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi suorien AD ja BE välinen kulma.
Otamme käyttöön standardikoordinaattijärjestelmän: origo on pisteessä A, x-akseli on suunnattu AB:tä pitkin, z - AA 1:tä pitkin. Suunnamme y-akselia niin, että OXY-taso osuu ABC-tason kanssa. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1. Etsi haluttujen suorien suuntavektorien koordinaatit.
Etsitään ensin AD-vektorin koordinaatit. Tarkastellaan pisteitä: A = (0; 0; 0) ja D = (0,5; 0; 1), koska D - segmentin A 1 B 1 keskikohta. Koska vektorin AD alku on sama kuin origo, saadaan AD = (0.5; 0; 1).
Etsitään nyt vektorin BE koordinaatit. Piste B = (1; 0; 0) on helppo laskea. Pisteellä E - segmentin C 1 B 1 keskellä - hieman monimutkaisempi. Meillä on:
Vielä on löydettävä kulman kosini:
Tehtävä. Säännöisessä kuusikulmaisessa prismassa ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet K ja L - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AK ja BL välinen kulma.
Otamme käyttöön prisman vakiokoordinaattijärjestelmän: asetamme koordinaattien origon alemman kannan keskelle, suuntaamme x-akselin FC:tä pitkin, y-akselin segmenttien AB ja DE keskipisteiden läpi ja z-akselin pystysuoraan ylöspäin. Yksikkösegmentti on jälleen yhtä suuri kuin AB = 1. Kirjoitetaan meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:
Pisteet K ja L ovat janan A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löydetään aritmeettisen keskiarvon kautta. Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AK ja BL koordinaatit:
Etsitään nyt kulman kosini:
Tehtävä. Säännölliseen nelikulmaiseen pyramidiin SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet E ja F - sivujen SB ja SC keskipisteet, vastaavasti. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.
Otamme käyttöön standardikoordinaattijärjestelmän: origo on pisteessä A, x- ja y-akselit on suunnattu AB:tä ja AD:tä pitkin ja z-akseli on suunnattu pystysuunnassa ylöspäin. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB = 1.
Pisteet E ja F ovat janan SB ja SC keskipisteitä, joten niiden koordinaatit löytyvät päiden aritmeettisena keskiarvona. Kirjoitamme meille kiinnostavien kohteiden koordinaatit:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Kun tiedämme pisteet, löydämme suuntavektorien AE ja BF koordinaatit:
Vektorin AE koordinaatit ovat samat kuin pisteen E koordinaatit, koska piste A on origo. Vielä on löydettävä kulman kosini:
Määritelmä. Jos kahdelle suoralle annetaan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , näiden viivojen välinen terävä kulma määritellään seuraavasti
Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2 . Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/ k 2 .
Lause. Suorat Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat yhdensuuntaisia, kun kertoimet A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ovat verrannollisia. Jos myös С 1 = λС, niin suorat osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.
Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö
Kohtisuorassa tähän linjaan nähden
Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) läpi ja on kohtisuorassa suoraa y \u003d kx + b vastaan, esittää yhtälö:
Etäisyys pisteestä linjaan
Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys linjaan Ax + Vy + C \u003d 0 määritellään seuraavasti
.
Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M annettuun suoraan pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:
(1)
Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:
Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 läpi kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sitten ratkaisemalla saamme:
Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:
Lause on todistettu.
Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ = p /4.
Esimerkki. Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.
Ratkaisu. Löydämme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, joten viivat ovat kohtisuorassa.
Esimerkki. Kolmion A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) kärjet on annettu. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.
Ratkaisu. Löydämme sivun AB yhtälön: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3v + 3 = 0;
Haluttu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b. k = . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, jolloin sen koordinaatit täyttyvät tämä yhtälö: 
jossa b = 17. Yhteensä: . 
Vastaus: 3x + 2v - 34 = 0.
Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden viivan välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen
1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.
2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjoitettu näin:
Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kaltevuus määräytyy kaavalla
3. Kulma suorien viivojen välillä A ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa annetaan kaltevuusyhtälöillä
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
sitten niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan
On huomattava, että murto-osan osoittajassa ensimmäisen suoran kaltevuus vähennetään toisen suoran kulmasta.
Jos suoran yhtälöt annetaan yleisessä muodossa
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan
4. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehdot:
a) Jos suorat on annettu yhtälöillä (4), joissa on kaltevuus, niin niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on niiden kaltevuuden yhtäläisyys:
k 1 = k 2 . (8)
b) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä yleismuodossa (6), niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on, että kertoimet vastaavissa virtakoordinaateissa niiden yhtälöissä ovat verrannollisia, ts.
5. Kahden suoran kohtisuoraisuuden ehdot:
a) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä (4), joissa on kaltevuus, niiden kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto on, että niiden kulmakertoimet ovat suuruudeltaan käänteissuuntaisia ja etumerkillisesti vastakkaisia, ts.
Tämä ehto voidaan kirjoittaa myös muotoon
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Jos suorien yhtälöt annetaan yleismuodossa (6), niin niiden kohtisuoraisuuden ehto (välttämätön ja riittävä) on yhtälön täyttyminen
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä (6). Suorat (6) leikkaavat jos ja vain jos
1. Kirjoita yhtälöt pisteen M läpi kulkeville suorille, joista toinen on yhdensuuntainen ja toinen on kohtisuorassa annettua suoraa l vastaan.
Kulma φ yleiset yhtälöt A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, lasketaan kaavalla:
Kulma φ kahden suoran välissä kanoniset yhtälöt(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 ja (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, lasketaan kaavalla:
Etäisyys pisteestä linjaan
Jokainen avaruuden taso voidaan esittää lineaarisena yhtälönä, jota kutsutaan yleinen yhtälö kone
Erikoistapaukset.
o Jos yhtälössä (8), niin taso kulkee origon läpi.
o Kun (,) taso on samansuuntainen akselin (akseli, akseli) kanssa, vastaavasti.
o Kun (,) taso on yhdensuuntainen tason kanssa (taso, taso).
Ratkaisu: käytä (7)
Vastaus: tason yleinen yhtälö.
Esimerkki.
Suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Oxyz taso saadaan tason yleisestä yhtälöstä 
. Kirjoita muistiin kaikkien tämän tason normaalivektorien koordinaatit.
Tiedämme, että tason yleisen yhtälön muuttujien x, y ja z kertoimet ovat kyseisen tason normaalivektorin vastaavat koordinaatit. Siksi annetun tason normaalivektori 
on koordinaatit. Kaikkien normaalivektorien joukko voidaan antaa muodossa.
Kirjoita tason yhtälö, jos suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz avaruudessa se kulkee pisteen läpi 
, a 
on tämän tason normaalivektori.
Esitämme kaksi ratkaisua tähän ongelmaan.
Tilanteesta, joka meillä on. Korvaamme nämä tiedot pisteen läpi kulkevan tason yleiseen yhtälöön:
Kirjoita yleinen yhtälö tasolle, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason Oyz kanssa ja kulkee pisteen läpi 
.
Taso, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason Oyz kanssa, voidaan antaa muodon tason yleisellä epätäydellisellä yhtälöllä. Kohdasta lähtien 
kuuluu ehdoiltaan tasoon, silloin tämän pisteen koordinaattien on täytettävä tason yhtälö, eli tasa-arvon on oltava tosi. Täältä löydämme. Siten halutulla yhtälöllä on muoto.
Ratkaisu. Vektoritulo määritelmän 10.26 mukaan on ortogonaalinen vektoreihin p ja q nähden. Siksi se on ortogonaalinen haluttuun tasoon nähden ja vektori voidaan ottaa sen normaalivektoriksi. Etsi vektorin n koordinaatit:
tuo on 
. Kaavan (11.1) avulla saamme
Avaamalla tämän yhtälön sulut pääsemme lopulliseen vastaukseen.
Vastaus: 
.
Kirjoitetaan normaalivektori muotoon ja selvitetään sen pituus:
Yllä olevan mukaan:
Vastaus: 
Yhdensuuntaisilla tasoilla on sama normaalivektori. 1) Yhtälöstä löydämme tason normaalivektorin:.
2) Muodostamme tason yhtälön pisteen ja normaalivektorin mukaan: 
Vastaus:
Vektoriyhtälö avaruudessa
Avaruuden tason parametrinen yhtälö
Yhtälö tasosta, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn vektoriin nähden
Olkoon kolmiulotteisessa avaruudessa suorakulmainen karteesinen koordinaattijärjestelmä. Muotoillaan seuraava ongelma:
Kirjoita yhtälö tietyn pisteen läpi kulkevalle tasolle M(x 0, y 0, z 0) kohtisuorassa annettuun vektoriin nähden n = ( A, B, C} .
Ratkaisu. Päästää P(x, y, z) on mielivaltainen piste avaruudessa. Piste P kuuluu tasoon jos ja vain jos vektori MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonaalinen vektoriin nähden n = {A, B, C) (Kuva 1).
Kun olet kirjoittanut ortogonaalisuusehdon näille vektoreille (n, MP) = 0 koordinaattimuodossa, saamme:
|
A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Tason yhtälö kolmella pisteellä
Vektorimuodossa
Koordinaateissa
Tasojen keskinäinen järjestely avaruudessa
ovat kahden tason yleisiä yhtälöitä. Sitten:
1) jos 
, silloin tasot osuvat yhteen;
2) jos 
, silloin tasot ovat yhdensuuntaiset;
3) jos tai , niin tasot leikkaavat ja yhtälöjärjestelmä
(6)
ovat annettujen tasojen leikkausviivan yhtälöitä.
|
Ratkaisu: Muodostamme suoran kanoniset yhtälöt kaavalla: Vastaus: |
Otetaan tuloksena saadut yhtälöt ja "kiinnitetään" henkisesti esimerkiksi vasen pala: . Nyt vertaamme tämän kappaleen mihin tahansa numeroon(muista, että siellä oli jo nolla), esimerkiksi yhdeksi: . Koska , sitten kahden muun "kappaleen" on myös oltava yhtä suuri kuin yksi. Pohjimmiltaan sinun on ratkaistava järjestelmä: |
Kirjoita parametriyhtälöt seuraaville riveille: 
Ratkaisu: Suorat on annettu kanonisilla yhtälöillä ja ensimmäisessä vaiheessa pitäisi löytää jokin suoraan kuuluva piste ja sen suuntavektori.
a) Yhtälöistä 
poista piste ja suuntavektori: . Voit valita toisen pisteen (miten tämä tehdään edellä), mutta on parempi ottaa ilmeisin. Muuten, virheiden välttämiseksi korvaa aina sen koordinaatit yhtälöihin.
Tehdään tämän suoran parametriset yhtälöt: 
Parametristen yhtälöiden mukavuus on, että niiden avulla on erittäin helppo löytää muita suoran pisteitä. Etsitään esimerkiksi piste, jonka koordinaatit vastaavat esimerkiksi parametrin arvoa: 
Siten: b) Tarkastellaan kanonisia yhtälöitä 
. Pisteen valinta tässä on yksinkertainen, mutta salakavala: (varo sekoittamasta koordinaatteja!!!). Kuinka vetää ohjausvektori esiin? Voit väittää, minkä kanssa tämä suora on yhdensuuntainen, tai voit käyttää yksinkertaista muodollista temppua: suhde on "y" ja "z", joten kirjoitamme suuntavektorin ja laitamme nollan jäljellä olevaan tilaan: .
Muodostamme suoran parametriset yhtälöt: 
c) Kirjoitetaan yhtälöt muotoon , eli "Z" voi olla mikä tahansa. Ja jos on, niin olkoon esimerkiksi . Näin ollen piste kuuluu tälle riville. Suuntavektorin löytämiseksi käytämme seuraavaa muodollista tekniikkaa: alkuyhtälöissä on "x" ja "y" ja suuntavektoriin näihin kohtiin kirjoitetaan nollia: . Jäljellä olevaan paikkaan laitamme yksikkö: . Yhden sijaan mikä tahansa luku nollaa lukuun ottamatta käy.
Kirjoitamme suoran parametriset yhtälöt: 
