Координатной прямой называют прямую линию с выбранными на ней началом отсчета (ноль), единичным отрезком и направлением. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.

Для того, чтобы сравнить два числа, расположенных на координатной прямой, необходимо обратить внимание на то, как они расположены друг относительно друга.

Если число a расположено левее числа b , то a < b

Если число a расположено правее числа b , то a > b

В ОГЭ существует несколько типов заданий, связанных с расположением чисел на координатной прямой. Для того, чтобы начать решать примеры, вспомним еще некоторые понятия.

Модуль числа

| a | = { a , a > 0 0 , a = 0 − a , a < 0

Модуль отбирает у чисел знаки.

Если число положительное

Если число равно нулю , то при взятии модуля нуля результат — ноль.

Если число отрицательное , то при взятии модуля этого числа результат — положительное число.

Примеры:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Наверняка у вас возникает вопрос, почему в формуле раскрытия модуля | a | = − a , если    a < 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

Для ответа на этот вопрос, давайте подумаем, как у отрицательного числа отобрать знак минус? Если отрицательное число домножить на − 1 , то оно станет положительным.

Примеры:

| − 1 | = − (− 1) = 1

| − 5 | = − (− 5) = 5

Квадратный корень из числа

a — арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — такое неотрицательное число, квадрат которого равен a .

Математика. 6 класс. Тест 2. Вариант 1 .

1. Длина прямоугольника 8 см, ширина 6 см. При постоянной площади данного прямоугольника узнать, чему будет равна длина, если ширина станет равной 4 см.

А) 14 см; В) 10 см; С) 30 см; D) 15 см; Е) 12 см.

2 . Найдите неизвестный член пропорции:

А) 45; В) 6,5; С) 4,5; D) 3,5; Е) 1,5.

3 . Назвать наименование множества точек на плоскости, равноудаленных от точки О.

А) квадрат; В) прямоугольник; С) круг; D) окружность; Е) треугольник.

4. Записать путем перечисления элементов множество делителей числа 24.

А) {1; 2; 8; 12; 24}; B) {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}; C) {1; 24}; D) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 12; 24}; E) {1; 4; 6; 8; 24}.

5 . Найти объединение множеств А и В, если: А={-5; 0; 5; 13}, B={-5; 10; 13}.

A) {-5; 5}; B) {-5; 5; 13}; C) {10}; D) {-5; 13}; E) {-5; 0; 5; 10; 13}.

6. На координатной прямой направление... от начала отсчета принимаем за положительное направление.

А) влево; В) вниз; С) вверх; D) вправо; Е) в любую сторону.

7 . На координатной прямой отмечены точки А и В. Найдите координату каждой точки.

А) А(-3), В(2); В) А(-2), В(1,5); С) А(-1), В(1,5); D) А(-4), В(2,5); Е) А(-2), В(2).

8. Число, противоположное отрицательному числу, есть число... .

А) обратное; В) нулевое; С) отрицательное; D) противоположное; Е) положительное.

9. Запишите вместо звездочки такое число, чтобы выполнялось равенство: — (*)=10.

А) 10; В) -10; С) -2; D) -5; Е) -100.

10 . Из следующих чисел: -3; -1; 0; 1; 1,2; 3; 6 выбрать все натуральные.

A) -3; -1; 1; 6; B) 1; 6; C) 1; 3; 6; D) -3; 1,2; E) -3; -1; 0.

11. ... числа называют расстояние (в единичных отрезках) на координатной прямой от начала отсчета до точки, изображающей число.

А) квадратом; В) кубом; С) отношением; D) модулем; Е) нормой.

12. Выполнить действия: |-64|:|1,6|.

A) -40; B) 40; C) 4; D) -4; E) 400.

Ответы к тестам Вы найдете на странице " Ответы" .

• Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положительное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.
• Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5 ). Читают: точка А с координатой пять. В(-3) . Читают: точка В с координатой минус три.

Пример 1. Изобразить на координатной прямой точки А(-7), В(-3), С(2), D (5).

Начертим прямую, стрелкой покажем положительное направление, поставим точку О(0) — начало отсчета и выберем единичный отрезок 1 клетку. На полученной координатной прямой отметим заданные точки. Точка А(-7) отстоит от начала отсчета — точки О влево на 7 единичных отрезков (7 клеток). Точку В(-3) отметим на 3 клетки левее начала отсчета. Точка С(2) будет находиться правее нуля на 2 клетки, а точку D (5) отметим на 5 клеток правее начала отсчета.

Пример 2. Изобразить на координатной прямой точки А(-4,5), В(-2), С(2,5) и D (6).

Начертим координатную прямую, за единичный отрезок возьмем 1 клетку. От начала отсчета отложим четыре с половиной клетки влево и поставим точку А. Точка С будет находиться справа от нуля на расстоянии двух с половиной клеток. Точку В отметим на 2 клетки левее точки О, а точку D на 6 клеток правее точки О.

Пример 3. Изобразить на координатной прямой числа: 5; -4; -1; 3; -6; 7. Сравнить с помощью координатной прямой: а) 0 и 5; б) -1 и 7; в) -6 и -4; г) 5 и -6; д) 0 и -6; е) -4 и 3. Сделать выводы.

Выбрав единичный отрезок равным 1 клетке, отметим числа -6, -4 и -1 слева от нуля, а числа 3, 5 и 7 справа от нуля. Меньшее число располагается левее на координатной прямой, а большее — правее.

а) 0<5 ; б) -1<7 ; в) -6<-4 ; г) 5>-6 ; д) 0>-6 ; е) -4<3 .

Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Страница 1 из 1 1

Тема урока:

« Координаты на прямой »

Цель урока:

познакомить учащихся с координатной прямой и отрицательными числами.

Задачи урока:

Учебная: познакомить учащихся с координатной прямой и отрицательными числами.

Развивающая: развитие логического мышления, расширение кругозора.

Воспитательная: развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

План урока:

Оргмомент. Проверка учащихся и их готовности к уроку.

Актуализация опорных знаний. Устный опрос учащихся по пройденной теме.

Объяснение нового материала.

4. Закрепление изученного материала .

5. Подведение итогов. Краткое содержание того, что было изучено на уроке. Вопросы учащихся.

6. Выводы. Обобщение основных моментов урока. Оценивание знаний. Выставление отметок.

7. Домашнее задание . Самостоятельная работа учащихся с изученным материалом.

Оборудование: мел, доска, слайды.

Развернутый план-конспект

Название этапа и его содержимое

Деятельность

Деятельность

учащихся

I этап

Оргмомент. Приветствие.

Заполнение журнала.

здоровается с классом, староста класса даёт список отсутствующих.

здороваются с

учителем

II этап

Актуализация опорных знаний.

Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Числа правят миром». Мы с вами живем в этом мире чисел, а в школьные годы учимся работать с разными числами.

1 Какие числа нам уже известны к сегодняшнему уроку?

2 Какие задачи помогают нам решать эти числа?

Сегодня мы переходим к изучению второй главы нашего учебника «Рациональные числа», где расширим наши знания о числах, а изучив всю главу «Рациональные числа» научимся выполнять с ними все известные вам действия и начнём с темы координатная прямая.

1.натуральные, обыкновенные дроби, десятичные дроби

2.сложение, вычитание, умножение деление, нахождение дроби от числа и числа по его дроби, решать различные уравнения и задачи

III этап

Объяснение нового материала.

Возьмём прямую АВ и разобьём её точкой О на два дополнительных луча – ОА и ОВ. Выберем на прямой единичный отрезок и примем точку О за начало отсчёта и направление.

Определения:

Прямую с выбранным на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

Как построить координатную прямую?

провести прямую

задать единичный отрезок

указать направление

Координатная прямая может изображаться по разному: горизонтально, вертикально и под любым другим углом к горизонту, и имеет начало, но не имеет конца.

Задание1. Какие из перечисленных прямых не являются координатными?(слайд)

Давайте начертим координатную прямую, отметим начало координат, единичный отрезок и отложим влево и вправо точки 1,2,3,4 и так далее.

Посмотрим на получившуюся координатную прямую. Чем такая прямая неудобна?

Направление вправо от начала отсчета называется положительным, и направление на прямой обозначают стрелкой. Числа, расположенные вправо от точки О, называются положительными. Влево от точки О располагают отрицательные числа, и направление влево от точки О называется отрицательным (отрицательное направление не указывается). Если координатная прямая расположена вертикально то сверху от начала координат – положительные числа, снизу от начала координат - отрицательные. Отрицательные числа пишутся со знаком “-”. Читают: “Минус один”, “Минус два”, “Минус три” и т.д. Число 0 – начало отсчета не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно отделяет положительные от отрицательных чисел.

Решение уравнений и понятие «долга» при торговых расчетах привело к появлению отрицательных чисел.

Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные – как долг, недостача. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». В XVII веке отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси

Так же можно привести примеры координатной прямой: термометр, сравнение горных вершин и впадин (за нуль берётся уровень моря), расстояние на карте, шахта лифта, дома, подъёмные краны.

Подумайте, знаете ли вы какие-нибудь ещё примеры координатной прямой?

Задания.

Задание2. Назовите координаты точек.

Задание3. Постройте точки на координатной прямой

Задание4 . Проведите горизонтальную прямую и отметьте на ней точку O. Отметьте на этой прямой точки A, B, C, K , если известно, что:

A правее O на 9 клеток;

B левее O на 6,5 клеток;

C правее O на 3½ клетки;

K левее O на 3 клетки.

Записывают в опорных конспектах.

Слушают, дополняют.

Выполняют задание в тетради а потом поясняют вслух свои ответы.

Чертят, отмечают начало координат единичный отрезок

Такая прямая неудобна тем что 2ум точкам на прямой соответствует одно и то же число.

История до нашей эры и наша эра.

IV этап

Закрепление изученного материала.

1.Что такое координатная прямая?

2.Как построить координатную прямую?

1.Прямую с выбранным на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой

2)провести прямую

отметить на ней начало отсчета

задать единичный отрезок

указать направление

V этап

Подведение итогов

Что нового мы сегодня узнали?

Координатная прямая и отрицательные числа.

VI этап

Оценивание знаний. Выставление отметок.

Домашнее задание.

Составить вопросы по пройденной теме (знать на них ответы)

На данном уроке мы познакомимся с понятием координатной прямой, выведем ее основные характеристики и свойства. Сформулируем и научимся решать основные задачи. Решим несколько примеров на сочетание этих задач.

Из курса геометрии мы знаем, что такое прямая, но что нужно сделать с обычной прямой, чтобы она стала координатной?

1) Выбрать точку начала отсчета;

2) Выбрать направление;

3) Выбрать масштаб;

На рисунке 1 изображена обычная прямая, а на рисунке 2 - координатная.

Координатной прямой называется такая прямая l , на которой выбрана начальная точка О - начало отсчета, масштаб - единичный отрезок, то есть такой отрезок, длина которого считается равной единице, и положительное направление.

Координатную прямую также называют координатной осью или осью Х.

Выясним, зачем нужна координатная прямая, для этого определим ее основное свойство. Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между множеством всех чисел и множеством всех точек на этой прямой. Приведем примеры:

Заданы два числа: (знак «+», модуль равен трем) и (знак «-», модуль равен трем).Изобразим эти числа на координатной прямой:

Здесь число называется координатой А, число - координатой В.

Говорят также, что образом числа есть точка С с координатой , а образом числа есть точка D с координатой :

Итак, поскольку основное свойство координатной прямой - это установление взаимооднозначного соответствия между точками и числами, то возникает две основные задачи: указать точку по заданному числу, мы это уже сделали выше, и указать число по заданной точке. Рассмотрим пример второй задачи:

Пусть дана точка М:

Чтобы определить по данной точке число нужно в первую очередь определить расстояние от начал отсчета до точки. В данном случае расстояние равно двум. Теперь нужно определить знак числа, то есть в каком луче прямой лежит точка М. В данном случае точка лежит справа от начала отсчета, в положительном луче, значит число будет иметь знак «+».

Возьмем еще одну точку и по ней определим число:

Расстояние от начала отсчета до точки аналогично предыдущему примеру равно двум, но в данном случае точка лежит слева от начала отсчета, на отрицательном луче, значит точка N характеризует число

Все типовые задачи, связанные с координатной прямой, так или иначе связаны с ее основным свойством и двумя основными задачами, которые мы сформулировали и решили.

К типовым задачам относятся:

-уметь расставлять точки и их координаты ;

-понимать сравнение чисел :

выражение означает, что точка С с координатой 4 лежит правее точки М с координатой 2:

И наоборот, если нам задано расположение точек на координатной прямой, мы должны понимать, что их координаты связаны определенным соотношением:

Пусть заданы точки М(х М) и N(x N):

Мы видим, что точка М лежит правее точки n, значит, их координаты соотносятся как

-Определение расстояния между точками .

Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа . пусть даны две точки:

Тогда расстояние между ними будет равно:

Еще одно очень важная задача - это геометрическое описание числовых множеств .

Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает свое начало, но включает все остальные точки:

Итак, у нас задано множество точек, расположенных на координатной оси. Опишем множество чисел, которое характеризуется данным множеством точек. Таких чисел и точек бесчисленное множество, поэтому данная запись выглядит так:

Сделаем пояснение: при втором варианте записи если ставят круглую скобку «(» значит крайнее число - в данном случае число 3, не включается в множество, если же поставить квадратную скобку «[», то крайнее число включается в множество.

Итак, мы записали аналитически числовое множество, которое характеризует заданное множество точек. аналитическая запись, как мы сказали, выполняется или в виде неравенства, или в виде промежутка.

Задано множество точек:

В данном случае точка а=3 входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:

Обратим внимание, что после или перед знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, так как бесконечности мы никогда не достигнем, а около числа может стоять как круглая скобка, так и квадратная, в зависимости от условий поставленной задачи.

Рассмотрим пример обратной задачи.

Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству и :

Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между любой точкой и числом, а значит и между числовыми множествами и множествами точек. Мы рассмотрели лучи, направленные как в положительном, так и в отрицательном направлении, включающие свою вершину и не включающие ее. Теперь рассмотрим отрезки.

Пример 10:

Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек

Пример 11:

Задано множество чисел . Изобразить множество точек:

Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:

Пример 12:

Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число из промежутка :

Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:

Мы может отнять от восьми сколь угодно малое число и сказать, что результат и будет наибольшим числом, но тут же найдем число еще меньше, и результат вычитания увеличится, так что найти наибольшее число в данном промежутке невозможно.

Обратим внимание на тот факт, что ни к одному числу на координатной прямой нельзя подобрать ближайшее число, потому что всегда найдется число еще ближе.

Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?

Из промежутка выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 - четыре натуральных числа.

Напомним, что натуральные числа - это числа, применяемые для счета.

Возьмем другое множество.

Пример 13:

Задано множество чисел

Построить его геометрическую модель:

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.