У задачі B9 дається графік функції або похідної, яким потрібно визначити одну з наступних величин:
- Значення похідної в деякій точці x 0
- Точки максимуму або мінімуму (точки екстремуму),
- Інтервали зростання та зменшення функції (інтервали монотонності).
Функції та похідні, представлені у цій задачі, завжди безперервні, що значно спрощує рішення. Незважаючи на те, що завдання відноситься до розділу математичного аналізу, вона цілком під силу навіть найслабшим учням, оскільки ніяких глибоких теоретичних знань тут не потрібно.
Для знаходження значення похідної, точок екстремуму та інтервалів монотонності існують прості та універсальні алгоритми – всі вони будуть розглянуті нижче.
Уважно читайте умову завдання B9, щоб не допускати дурних помилок: іноді трапляються досить об'ємні тексти, але важливих умов, які впливають на перебіг рішення, там небагато.
Обчислення значення похідної. Метод двох точок
Якщо в задачі дано графік функції f(x), що стосується цього графіка в деякій точці x 0 і потрібно знайти значення похідної в цій точці, застосовується наступний алгоритм:
- Знайти на графіку дотичної дві «адекватні» точки: їх координати мають бути цілими. Позначимо ці точки A (x 1 ; y 1) і B (x 2 ; y 2). Правильно виписуйте координати - це ключовий момент рішення, і будь-яка помилка тут призводить до неправильної відповіді.
- Знаючи координати, легко обчислити збільшення аргументу Δx = x 2 − x 1 і збільшення функції Δy = y 2 − y 1 .
- Зрештою, знаходимо значення похідної D = Δy/Δx. Іншими словами, треба розділити збільшення функції на збільшення аргументу — і це буде відповідь.
Ще раз зазначимо: точки A і B треба шукати саме на дотичній, а не графіку функції f(x), як це часто трапляється. Стосовно обов'язково міститиме хоча б дві такі точки — інакше завдання складено некоректно.
Розглянемо точки A (−3; 2) та B (−1; 6) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Знайдемо значення похідної: D = y/Δx = 4/2 = 2.
Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 .
Розглянемо точки A (0; 3) та B (3; 0), знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Тепер знаходимо значення похідної: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 .
Розглянемо точки A (0; 2) і B (5; 2) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Залишилося знайти значення похідної: D = y/Δx = 0/5 = 0.
З останнього прикладу можна сформулювати правило: якщо дотична паралельна до осі OX, похідна функції в точці дотику дорівнює нулю. У цьому випадку навіть не треба нічого рахувати — достатньо поглянути на графік.
Обчислення точок максимуму та мінімуму
Іноді замість графіка функції завдання B9 дається графік похідної і потрібно знайти точку максимуму чи мінімуму функції. При такому розкладі метод двох точок марний, але існує інший, ще більш простий алгоритм. Спочатку визначимося з термінологією:
- Точка x 0 називається точкою максимуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≥ f(x).
- Точка x 0 називається точкою мінімуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≤ f(x).
Для того щоб знайти точки максимуму та мінімуму за графіком похідної, достатньо виконати такі кроки:
- Перекреслити графік похідної, забравши всю зайву інформацію. Як показує практика, зайві дані лише заважають рішенню. Тому наголошуємо на координатній осі нулі похідної — і все.
- З'ясувати похідні знаки на проміжках між нулями. Якщо для деякої точки x 0 відомо, що f'(x 0) ≠ 0, то можливі лише два варіанти: f'(x 0) ≥ 0 або f'(x 0) ≤ 0. Знак похідної легко визначити за вихідним кресленням: якщо графік похідної лежить вище за осю OX, значить f'(x) ≥ 0. І навпаки, якщо графік похідної проходить під віссю OX, то f'(x) ≤ 0.
- Знову перевіряємо нулі та знаки похідної. Там, де знак змінюється з мінусу на плюс, точка мінімуму. І навпаки, якщо знак похідної змінюється із плюсу на мінус, це точка максимуму. Відлік завжди ведеться зліва направо.
Ця схема працює тільки для безперервних функцій — інших задач B9 не зустрічається.
Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-5; 5]. Знайдіть точку мінімуму функції f(x) у цьому відрізку.
Позбавимося зайвої інформації - залишимо тільки межі [-5; 5] і нулі похідної x = −3 та x = 2,5. Також відзначимо знаки:
Очевидно, у точці x = −3 знак похідної змінюється з мінусу на плюс. Це і є точка мінімуму.
Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7]. Знайдіть точку максимуму функції f(x) у цьому відрізку.
Перекреслимо графік, залишивши на координатній осі лише межі [−3; 7] і нулі похідної x = −1,7 та x = 5. Зазначимо на отриманому графіку знаки похідної. Маємо:
Очевидно, у точці x = 5 знак похідної змінюється з плюсу на мінус – точка максимуму.
Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-6; 4]. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x), що належать відрізку [−4; 3].
З умови завдання слід, що досить розглянути лише частину графіка, обмежену відрізком [-4; 3]. Тому будуємо новий графік, у якому відзначаємо лише межі [−4; 3] та нулі похідної всередині нього. А саме точки x = −3,5 і x = 2. Отримуємо:
На цьому графіку є лише одна точка максимуму x=2. Саме в ній знак похідної змінюється з плюсу на мінус.
Невелике зауваження щодо точок з нецілочисельними координатами. Наприклад, в останній задачі було розглянуто точку x = −3,5, але з тим самим успіхом можна взяти x = −3,4. Якщо завдання складено коректно, такі зміни не повинні впливати на відповідь, оскільки точки без певного місця проживання не беруть безпосередньої участі у вирішенні завдання. Зрозуміло, з цілими точками такий фокус не пройде.
Знаходження інтервалів зростання та зменшення функції
У такій задачі, подібно до точок максимуму і мінімуму, пропонується за графіком похідної відшукати області, в яких сама функція зростає або зменшується. Для початку визначимо, що таке зростання та спадання:
- Функція f(x) називається зростаючою на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Іншими словами, що більше значення аргументу, то більше значення функції.
- Функція f(x) називається спадною на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тобто. більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.
Сформулюємо достатні умови зростання та спадання:
- Щоб безперервна функція f(x) зростала на відрізку , достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була позитивна, тобто. f'(x) ≥ 0.
- Щоб безперервна функція f(x) убувала на відрізку , достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була негативна, тобто. f'(x) ≤ 0.
Приймемо ці твердження без доказів. Таким чином, отримуємо схему для знаходження інтервалів зростання та спадання, яка багато в чому схожа на алгоритм обчислення точок екстремуму:
- Забрати всю зайву інформацію. На вихідному графіку похідної нас цікавлять насамперед нулі функції, тому залишимо лише їх.
- Позначити похідні знаки на інтервалах між нулями. Там, де f'(x) ≥ 0, функція зростає, а де f'(x) ≤ 0 – зменшується. Якщо завдання встановлено обмеження на змінну x, додатково позначаємо їх у новому графіці.
- Тепер, коли нам відома поведінка функції та обмеження, залишається обчислити необхідну в завданні величину.
Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7,5]. Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть суму цілих чисел, що входять до цих проміжків.
Як завжди, перекреслимо графік та відзначимо межі [−3; 7,5], а також нулі похідної x = −1,5 та x = 5,3. Потім відзначимо похідні знаки. Маємо:
Оскільки на інтервалі (− 1,5) похідна негативна, це і є інтервал зменшення функції. Залишилося підсумувати всі цілі числа, що знаходяться всередині цього інтервалу:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−10; 4]. Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.
Позбавимося зайвої інформації. Залишимо лише межі [−10; 4] і нулі похідної, яких цього разу виявилося чотири: x = −8, x = −6, x = −3 та x = 2. Зазначимо знаки похідної та отримаємо наступну картинку:
Нас цікавлять періоди зростання функції, тобто. такі, де f'(x) ≥ 0. На графіку таких проміжків два: (−8; −6) та (−3; 2). Обчислимо їх довжини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Оскільки потрібно знайти довжину найбільшого інтервалу, у відповідь записуємо значення l 2 = 5.
Похідна функції - одна із складних тем у шкільній програмі. Не кожен випускник дасть відповідь на запитання, що таке похідна.
У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути математичної суворості викладу. Найголовніше – зрозуміти сенс.
Запам'ятаємо визначення:
Похідна – це швидкість зміни функції.
На малюнку – графіки трьох функцій. Як ви вважаєте, яка з них швидше росте?
Відповідь очевидна – третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.
Ось інший приклад.
Костя, Гриша та Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:
На графіці відразу все видно, чи не так? Дохід Кості за півроку зріс більш ніж удвічі. І у Гриші дохід теж зріс, але зовсім трохи. А прибуток Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - Різна. Що ж до Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.
Інтуїтивно ми легко оцінюємо швидкість зміни функції. Але як це робимо?
Насправді ми дивимося, наскільки круто йде нагору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що та сама функція в різних точках може мати різне значення похідної - тобто може змінюватися швидше або повільніше.
Похідна функції позначається.
Покажемо як знайти за допомогою графіка.
Намальовано графік деякої функції. Візьмемо на ньому крапку з абсцисою. Проведемо у цій точці дотичну до графіку функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.
Похідна функції у точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.
Зверніть увагу - як кут нахилу дотичної ми беремо кут між дотичним і позитивним напрямом осі.
Іноді учні запитують, що таке, що стосується графіку функції. Це пряма, що має на даній ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на малюнку. Схоже на дотичну до кола.
Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутникудорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:
Ми знайшли похідну за допомогою графіка навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.
Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням
Величина у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.
.
Ми отримуємо, що
Запам'ятаємо цю формулу. Вона виражає геометричний зміст похідної.
Похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.
Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної.
Ми вже сказали, що в однієї й тієї функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як пов'язана похідна з поведінкою функції.
Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших – зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай ця функція матиме точки максимуму і мінімуму.
У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут з позитивним напрямом осі. Отже, у точці похідна позитивна.
У точці наша функція зменшується. Стосовна у цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута негативний, у точці похідна негативна.
Ось що виходить:
Якщо функція зростає, її похідна є позитивною.
Якщо зменшується, її похідна негативна.
А що ж буде у точках максимуму та мінімуму? Ми бачимо, що у точках (точка максимуму) та (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна також дорівнює нулю.
Крапка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється зменшенням. Отже, знак похідної змінюється у точці з плюсу на мінус.
У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з мінусу на плюс.
Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції, що нас цікавить.
Якщо похідна позитивна, то функція зростає.
Якщо похідна негативна, то функція зменшується.
У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак із «плюсу» на «мінус».
У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс.
Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:
| зростає | точка максимуму | зменшується | точка мінімуму | зростає | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Зробимо два невеликі уточнення. Одне з них знадобиться вам під час вирішення завдань ЄДІ. Інше - першому курсі, за більш серйозному вивченні функцій і похідних.
Можливий випадок, коли похідна функції у будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції у цій точці немає. Це так звана :
У точці дотична до графіка горизонтальна і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала – і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється – вона як була позитивною, так і залишилася.
Буває й так, що в точці максимуму чи мінімуму похідна не існує. На графіці це відповідає різкому зламу, коли дотичну у цій точці провести неможливо.
Як знайти похідну, якщо функція задана не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується
Сергій Никифоров
Якщо похідна функції знакопостійна на інтервалі, а сама функція безперервна з його межах, то граничні точки приєднуються як до проміжків зростання, і до проміжків спадання, що цілком відповідає визначенню зростаючих і спадних функцій.
Фаріт Ямаєв 26.10.2016 18:50
Добрий день. Як (на якому підставі) можна стверджувати, що у точці, де похідна дорівнює нулю, функція зростає. Наведіть аргументи. Інакше, це просто чийсь каприз. За якою теоремою? А також доказ. Дякую.
Служба підтримки
Значення похідної у точці немає прямого відношення до зростання функції на проміжку. Розгляньте, наприклад, функції – всі вони зростають на відрізку
Владлен Писарєв 02.11.2016 22:21
Якщо функція зростає на інтервалі (а;b) і визначена і безперервна в точках а та b, вона зростає на відрізку . Тобто. точка x=2 входить у цей проміжок.
Хоча, зазвичай зростання і спадання розглядається не так на відрізку, але в інтервалі.
Але в самій точці x = 2 функція має локальний мінімум. І як пояснювати дітям, що коли вони шукають точки зростання (зменшення), то точки локального екстремуму не вважаємо, а в проміжки зростання (зменшення) – входять.
Враховуючи, що перша частина ЄДІ для " середньої групи дитячого садка", то напевно такі нюанси-перебір.
Окремо, дякую за "Вирішу ЄДІ" всім співробітникам-відмінний посібник.
Сергій Никифоров
Просте пояснення можна отримати, якщо відштовхуватися від визначення зростаючої/зменшувальної функції. Нагадаю, що звучить воно так: функція називається зростаючою/зменшується на проміжку, якщо більшому аргументу функції відповідає більше/менше значення функції. Таке визначення ніяк не використовує поняття похідної, тому питань про точки, де похідна звертається в нуль, виникнути не може.
Ірина Ішмакова 20.11.2017 11:46
Добрий день. Тут у коментарях я бачу переконання, що кордони треба включати. Допустимо, я з цим погоджуся. Але подивіться, будь ласка, ваше рішення до задачі 7089. Там за вказівкою проміжків зростання кордону не включаються. І це впливає відповідь. Тобто. вирішення завдань 6429 та 7089 суперечать один одному. Проясніть, будь ласка, цю ситуацію.
Олександр Іванов
У завданнях 6429 і 7089 різні питання.
В одному проміжку зростання, а в іншому проміжку з позитивною похідною.
Суперечності немає.
Екстремуми входять у проміжки зростання і спадання, але точки, у яких похідна дорівнює нулю, не входять у проміжки, у яких похідна позитивна.
A Z 28.01.2019 19:09
Колеги є поняття зростання в точці
(див. Фіхтенгольц наприклад)
і ваше розуміння зростання в точці x = 2 суперечить класичному визначенню.
Зростання і спад це процес і хотілося б дотримуватися цього принципу.
У будь-якому інтервалі, який містить точку x=2, функція не є зростаючою. Тому включення даної точки x = 2 процес особливий.
Зазвичай, щоб уникнути плутанини про включення кінців інтервалів, говорять окремо.
Олександр Іванов
Функція y=f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
У точці х=2 функція диференційована, але в інтервалі (2; 6) похідна позитивна, отже, на проміжку )
