Әртүрлі пішіндердің периметрін қалай табуға болады. Қарапайым тапсырма: периметрді қалай табуға болады? Барлық фигураларға ортақ теория

Периметрфигура - оның барлық қабырғаларының ұзындығы. Барлық пішіндердің периметрі болмайды, мысалы, шардың периметрі жоқ. Стандартты белгілеу математикадағы периметр - P әрпі

Шаршы периметрі

Шаршының қабырғасының ұзындығы а болсын. Шаршының төрт қабырғасы тең, сондықтан шаршының периметрі P = a + a + a + a немесе:

Тіктөртбұрыштың периметрі

Тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары а және b болсын.
Оның барлық қабырғаларының ұзындығы P = a + b + a + b немесе:

Параллелограммның периметрі

Параллелограмның қабырғаларының ұзындықтары а және b болсын
Оның барлық қабырғаларының ұзындығы P = a + b + a + b, сондықтан параллелограмның периметрі:

Көріп отырғаныңыздай, параллелограмның периметрі тіктөртбұрыштың периметріне тең.

Тең қабырғалы трапецияның периметрі

Трапецияның параллель қабырғаларының ұзындықтары a және b, ал қалған екі қабырғасының ұзындықтары с-ға тең болсын (Өздеріңіз білетіндей, тең қабырғалы трапецияның екі бірдей қабырғасы болады).

P = a + b + c + c = a + b + 2c

Тең қабырғалы үшбұрыштың периметрі

Белгілі болғандай, тең қабырғалы үшбұрыш 3 бірдей жағы бар. Егер қабырғасының ұзындығы a болса, онда периметрді табу формуласы P = a + a + a

Қораптың периметрі

Параллелепипед - барлық қабырғалары параллелограмм болатын призма. (Кубоид - қабырғалары тіктөртбұрыштар фигура.)
Егер табанның қабырғаларының ұзындығы a және b болса, онда табанның периметрі P = 2a + 2b болады. Әрбір қораптың екі негізі бар, сондықтан екі табанның периметрі (2a + 2b).2 = 4a + 4b . Біз білетіндей, параметр барлық жақтардың қосындысы болып табылады. Сондықтан төрт есе c қосу керек

P = 4a + 4b + 4c

текше периметрі

Куб - барлық қабырғалары шаршы болатын параллелепипед (барлық қабырғалары тең).
Сонда текшенің периметрі қабырғаларының саны * ұзындығы.
Әр текшенің 12 қыры бар.
Сонда текшенің периметрін табу формуласы:

Мұндағы a - оның қабырғасының ұзындығы.

Әртүрлі геометриялық пішіндердің периметрін қалай табуға болады

Әртүрлі геометриялық фигуралардың периметрін қалай табуға болатынын түсіну қиын ба? Бизнес сайты геометрияны бұрынғыдан да жеңілдету арқылы сізге көмекке келеді!Ләззат фактісі Жердің периметрі немесе шеңбері 24,901 миль, яғни. e. 40,075 км дерлік!Математикада геометрия, фигуралар, өлшемдер, салыстырмалы орналасуы, кеңістіктегі фигуралардың үш өлшемді бағыты қарастырылады. Ол фигуралардың үш негізгі өлшемін қарастырады: аудан, көлем және периметр.

Аудан – екі өлшемді фигураның немесе пішіннің көлемінің өлшемі; бетті объект бетінің көлемі ретінде сипаттауға болады. Бұл нысанның жанындағы 3D кеңістігіндегі өлшем.

Периметрді жай ғана екі өлшемді пішінді қоршап тұрған жолдың ұзындығы ретінде сипаттауға болады. Басқаша айтқанда, бұл фигураның айналасындағы қашықтық. Енді әртүрлі геометриялық фигуралардың периметрін қалай табуға болатынын қарастырайық.

Индекс
Шаршы
Тіктөртбұрыш
Шеңбер
Жартылай шеңбер

сектор
Үшбұрыш
Трапеция тәрізді
Көпбұрыш
Шаршы
Шаршы - төрт қабырғасы мен төрт бұрышы тең (барлығы 90°) төртбұрыш.

Мысал: Қабырғасы 5 см болатын шаршының периметрін табу үшін суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.
P = A + A + A + A
P = 5 + 5 + 5 + 5
P = 20 см
Дәл осы формуланы ромбтың периметрін есептеу үшін қолдануға болады.
Индекс дегенге қайта келу
Тіктөртбұрыш
Тіктөртбұрыш – төрт бұрышы тең (барлығы 90°) болатын төртбұрыш. Тіктөртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары тең (ал іргелес қабырғалары тең емес).

Мысал: Тіктөртбұрыштың периметрін табу үшін суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.
l = 15 см
b = 25 см
P = 2 (15 + 25)
P = 2 (40)
R = 80 см
Параллелограмның периметрін табу үшін бірдей формуланы қолдануға болады.
Индекс дегенге қайта келу
Шеңбер
Шеңберді белгілі бір нүктеден (орталық ретінде белгілі) бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер жиынтығы ретінде сипаттауға болады. Шеңбердің периметрі шеңбер деп аталады, с деп белгіленеді.

Мысал: шеңбердің шеңберін табыңыз, біз суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.
Егер C = 2πR және πd болса
C = 2 x 3,14 x 7 немесе 3,14 x 14
C = 43,96 см
Индекс дегенге қайта келу
ЖАРТЫ АЙНАЛ
Жартылай шеңбер, басқаша айтқанда, жарты шеңбер, оның периметрі осы шеңбердің жартысы болады.

Мысалы: Жартылай шеңбердің периметрін табу үшін суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.
p = 7 см немесе D = 14 см (d = p + p)
P \u003d πR және πd / 2
R = 2 x 3,14 x 7 немесе 3,14 x 14/2
P = 21,98 см
Индекс дегенге қайта келу
сектор
Секторды шеңбердің бөлігі ретінде сипаттауға болады.

Мысал: Сектордың периметрін табу үшін суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.

ϴ = 60°
p = 7 см
P \u003d 60/360 X 2 X 3. 14 x 7
R = 7,33 см
Индекс дегенге қайта келу
Үшбұрыш
Үшбұрыш - үш қабырғасы және үш төбелері бар көпбұрыш. Оның периметрін анықтау үшін үш жағдайды қарастырайық.

бір. Үш жағы да белгілі болғанда.

Үшбұрыштың периметрін табу үшін суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.
a = 14 см
b = 16 см
c = 15 см
P = 14 + 16 + 15
P = 45 см
б. Тікбұрышты үшбұрыш үшін, егер оның гипотенузасы белгісіз болса.

Периметрді табу үшін тікбұрышты үшбұрыш, біз суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.
B = 3см
h = 4 см
P \u003d b + h + √ B2 + h 2
P \u003d 3 + 4 + √ 32 + 4 2
P = 3 + 4 + 5
P = 12 см

Егер басқа жағы белгісіз болса, алдымен жағын табу үшін Пифагор формуласын қолдануға болады, содан кейін периметрді есептеуге болады.
бірге. Кез келген басқа үшбұрыш үшін, тек екі қабырғасы мен бұрышы белгілі болған кезде.

Ең алдымен косинустар заңын пайдаланып қабырғасының ұзындығын табу керек,
Егер A, B және C үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болса, ал a, b және C бұрыштары сәйкесінше A, B және C қабырғаларының қарама-қарсы бұрыштары болса, біз белгісіз қабырғасының ұзындығын таба аламыз (айталық: в) формула бойынша:

C2 \u003d a 2 + B 2 - 2-де. b себебі (c)

Мысалға
A = 4 см
B=2см
C2 \u003d 4 2 + 2 2 - 2 4. 2 cos (45)
C2 = 16 + 4 - 2 (0,876)
C2 = 20 - 1,752
C2 = 18,284
с = 4. 272 ​​см

P = A + B + C
P = 4 + 2 + 4,272
P = 10,272 см
Индекс дегенге қайта келу
ТРАПЕЦОИДА
Трапеция деп кемінде бір жұп параллель түзулері бар төртбұрышты айтады. Параллель түзулер трапецияның табандары деп аталады, ал екінші жағы трапецияның катеттері деп аталмайды. Параллель түзулер арасындағы қашықтық трапеция биіктігі деп аталады.
Периметрді табу үшін үш түрлі сценарийді қарастырайық.

бір. Барлық тараптар білетін кезде.

A = 4 см
b = 16 см
c = 5 см
d = 8 см
P = 4 + 16 + 5 + 8
P = 33 см
б. Оның жақтары (аяқтары) белгісіз болған кезде.

Трапецияның периметрін табу үшін суретте көрсетілген формуланы қолданамыз.
b = 16 см
h = 3 см
d = 8 см
P = b + d + h
1
+
1
Күнә(S)
Күнә(А)

P = 16 + 8 + 3
1
+
1
Күнә(53)
Күнә(45)

P = 16 + 8 + 33,3
P = 57,3 см
бірге. Негіз бен биіктіктің бірі белгісіз болғанда.

Елестетіп көріңізші, егер біз трапецияны екі жағынан табандарының ұзындықтары тең болатындай етіп кесетін болсақ, ал кесілген бөлікті қосқанда, суретте көрсетілгендей үшбұрыш аламыз.

∠ және ∠c тең болғанда; үш бұрыштың барлығы 60°. Бұл үшбұрыш тең ​​бүйірлі үшбұрыш болып табылады, сондықтан табанға қабырғасының ұзындығын қосқанда біз үлкенірек табанның ұзындығын аламыз.
Бұрыштар тең болғанда; 180°-қа шегерілген бұрыштардың қосындысы.

Бұл үшбұрыштың ауданын формула арқылы есептеуге болады
A \u003d ½ X X X күнә (B)
Трапецияның периметрін табыңыз,
A = 4 см
c = 6 см
d = 11 см
∠ a = 53°
∠ c = 65°
∠ B = 78°
Аудан = ½ x 4 x 6 x sin 78
Ауданы = 6,12 см2
Үшбұрыштың негізі =
Шаршы
½ x x күнә(лар)

Негіз =
6. 12
½ x 4 x күнә(65)

Негіз =
6. 12
2 x 0,826

Негіз = 3,70 см
Трапецияның табаны = 11 + 3,70 = 14,70 см

Енді трапецияның қабырғалары мен табаны бар, периметрін таба аламыз.
P = 14. 7 + 4 + 6 + 11
P = 35,7 см
Индекс дегенге қайта келу
Көпбұрыш
Сегменттері бір-бірімен қиылыспайтын кез келген тұйық фигура көпбұрышқа әкеледі. Көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы әрқашан 360° болады және олар қабырғаларының санына қарай аталады.

бір. Тұрақты көпбұрыштың барлық қабырғалары бірдей, сондықтан қабырғалардың саны мен әр қабырғасының ұзындығы белгілі болған кезде, көпбұрыштың периметрін суретте көрсетілген формула арқылы есептеуге болады.

Мысал: Егер алтыбұрыштың қабырғалары ұзындығы 5 см болса, оның периметрін төменде көрсетілгендей есептеуге болады.
n = 6 (алтыбұрыштың алты қабырғасы бар)
c = 5 см
P = 6 x 5
R = 30 см
б. Көпбұрыштың қабырғасының ұзындығы белгісіз болса, оның периметрін төмендегі формула арқылы есептеуге болады.

X = 2 x x сарғыш (180/p)
Міне, апотема.
Апотем – көпбұрыштың ортасынан бүйірдің ортасына дейінгі кесінді.

S = 2 x R x күңгірт (180/p)
R-радиусы.
Дұрыс көпбұрыштың центрінен кез келген төбеге дейінгі қашықтық.

Мысал: 4 см апотема алтыбұрышында оның жағын төменде көрсетілгендей есептеуге болады.
c = 2 x 4 x күңгірт (180/6)
x = 8 x сарғыш (30)
s = 8 x 0,58
с = 4,62 см

P = 6 x 4,62 = 27,71 см

Радиусы 4 см алтыбұрыш үшін оның жағын төменде көрсетілгендей есептеуге болады.
x = 2 x 4 x күнә (180/6)
s = 8 x күнә (30)
s = 8 x 0,5
с = 4,00 см

P = 6 x 4. 00 = 24 см
бірге. Дұрыс емес көпбұрыш үшін оның барлық қабырғалары тең болса, оның барлық қабырғаларының ұзындықтарын қосу арқылы оның периметрін есептей аламыз.

Мысалы: алты қабырғасы бар дұрыс емес көпбұрыш
C1 = 8 см
C2 = 6 см
C3 = 4 см
C4=7см
C5 = 5 см
C6 = 4 см

P \u003d C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
P \u003d 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
P = 36 см
Индекс дегенге қайта келу
Біз геометрияның бастапқыда аздап қиын болуы мүмкін екенін білеміз (бізге сеніңіз, біз білеміз), бірақ жаттығуды жалғастырыңыз және сіз әр әрекетте жақсырақ боласыз.

Тіктөртбұрыштың периметрін табу қабілеті көптеген геометриялық есептерді шешу үшін өте маңызды. Төменде әртүрлі төртбұрыштардың периметрін табу жолы берілген.

Дұрыс төртбұрыштың периметрін қалай табуға болады

Дұрыс тіктөртбұрыш деп параллель қабырғалары тең және барлық бұрыштары = 90º болатын төртбұрышты айтады. Оның периметрін табудың екі жолы бар:

Барлық жақтарын қосыңыз.

Тік төртбұрыштың периметрін есептеңдер, егер оның ені 3 см, ал ұзындығы 6 болса.

Шешім (іс-әрекеттер мен дәлелдеу тізбегі):

• Тіктөртбұрыштың ені мен ұзындығын білетіндіктен, оның периметрін табу қиын емес. Ені еніне параллель, ал ұзындығы - ұзындығы. Осылайша, қалыпты тіктөртбұрышта 2 ені және 2 ұзындығы бар.
• Барлық жақтарын қосыңыз (3 + 3 + 6 + 6) = 18 см.

Жауабы: P = 18 см.

Екінші жол келесідей:

Ені мен ұзындығын қосып, 2-ге көбейту керек. Бұл әдістің формуласы келесідей: 2 × (a + b), мұндағы a - ені, b - ұзындық.

Осы тапсырманың бөлігі ретінде біз келесі шешімді аламыз:

2x(3 + 6) = 2x9 = 18.

Жауабы: P = 18.

Тіктөртбұрыш – шаршының периметрін қалай табуға болады

Шаршы дұрыс төртбұрыш. Дұрыс, өйткені оның барлық қабырғалары мен бұрыштары тең. Оның периметрін табудың екі жолы бар:

• Оның барлық жақтарын қосыңыз.
• Оның қабырғасын 4-ке көбейтіңіз.

Мысалы: Шаршының қабырғасы = 5 см болса, оның периметрін табыңыз.

Оқушылар периметрді табуды бастауыш мектепте үйренеді. Содан кейін бұл ақпарат математика мен геометрия курсында үнемі қолданылады.

Барлық фигураларға ортақ теория

Тараптар әдетте латын әріптерімен белгіленеді. Сонымен қатар, оларды сегменттер ретінде белгілеуге болады. Содан кейін сізге әр жаққа екі әріп қажет және үлкен әріптермен жазылады. Немесе белгілеуді бір әріппен енгізіңіз, ол міндетті түрде кішкентай болады.
Әріптер әрқашан алфавит бойынша таңдалады. Үшбұрыш үшін олар алғашқы үштік болады. Алтыбұрышта олардың 6-сы болады - а-дан f-ға дейін. Бұл формулаларды енгізу үшін пайдалы.

Енді периметрді қалай табуға болатыны туралы. Бұл фигураның барлық жақтарының ұзындықтарының қосындысы. Терминдер саны оның түріне байланысты. Периметр латынның P әрпімен белгіленеді. Өлшем бірліктері тараптар үшін берілгендермен бірдей.

Әртүрлі фигуралар үшін периметр формулалары

Үшбұрыш үшін: P \u003d a + b + c. Егер ол тең қабырғалы болса, онда формула түрлендіріледі: P \u003d 2a + c. Үшбұрыш тең ​​қабырғалы болса, оның периметрін қалай табуға болады? Бұл көмектеседі: P \u003d 3a.

Ерікті төртбұрыш үшін: P=a+b+c+d. Оның ерекше жағдайы квадрат, периметр формуласы: P=4a. Сондай-ақ тіктөртбұрыш бар, содан кейін келесі теңдік қажет: P \u003d 2 (a + b).

Үшбұрыштың бір немесе бірнеше қабырғасының ұзындығын білмесеңіз ше?

Мәліметтер арасында екі жақ және олардың арасындағы бұрыш болса, косинус теоремасын қолданыңыз, ол А әрпімен белгіленеді. Содан кейін периметрді таппас бұрын үшінші жағын есептеу керек. Бұл үшін келесі формула пайдалы: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Бұл теореманың ерекше жағдайы - Пифагор тікбұрышты үшбұрыш үшін тұжырымдаған. Онда тік бұрыштың косинусының мәні нөлге тең болады, яғни соңғы мүше жай жоғалады.

Бір жағында үшбұрыштың периметрін қалай табуға болатынын білуге ​​болатын жағдайлар бар. Бірақ сонымен бірге фигураның бұрыштары да белгілі. Бұл жерде синус теоремасы тараптардың ұзындықтарының сәйкес қарама-қарсы бұрыштардың синусына қатынасы тең болғанда көмекке келеді.

Фигураның периметрін аудан бойынша табу қажет болған жағдайда, басқа формулалар пайдалы болады. Мысалы, егер сызылған шеңбердің радиусы белгілі болса, онда үшбұрыштың периметрін қалай табуға болады деген сұрақта келесі формула пайдалы: S \u003d p * r, мұнда p - жартылай периметр. Оны осы формуладан шығарып, екіге көбейту керек.

Тапсырма мысалдары

Бірінші шарт.Қабырғалары 3, 4 және 5 см болатын үшбұрыштың периметрін табыңдар.
Шешім.Жоғарыда көрсетілген теңдікті пайдаланып, оған мән тапсырмасындағы деректерді жай ғана ауыстыру керек. Есептер оңай, олар 12 см санына әкеледі.
Жауап.Үшбұрыштың периметрі 12 см.

Екінші шарт.Үшбұрыштың бір қабырғасы 10 см.Екіншісі біріншіден 2 см, ал үшіншісі біріншіден 1,5 есе үлкен екені белгілі. Оның периметрін есептеу қажет.
Шешім. Оны білу үшін екі жағын санау керек. Екіншісі 10 мен 2-нің қосындысы ретінде анықталады, үшіншісі 10 мен 1,5-тің көбейтіндісіне тең. Содан кейін үш мәннің қосындысын санау ғана қалады: 10, 12 және 15. Нәтиже 37 см болады.
Жауап.Периметрі 37 см.

Үшінші шарт.Тіктөртбұрыш пен шаршы бар. Тік төртбұрыштың бір қабырғасы 4 см, ал екіншісі 3 см ұзын. Шаршының периметрі тіктөртбұрыштан 6 см аз болса, оның қабырғасының мәнін есептеу керек.
Шешім.Тік төртбұрыштың екінші қабырғасы 7. Осыны біле отырып, оның периметрін есептеу оңай. Есеп 22 см береді.
Шаршының қабырғасын білу үшін алдымен тіктөртбұрыштың периметрінен 6-ны алып тастау керек, содан кейін алынған санды 4-ке бөлу керек. Нәтижесінде бізде 4 саны бар.
Жауап.Шаршының қабырғасы 4 см.

Геометриялық фигуралардың периметрі мен ауданын анықтау көптеген практикалық немесе күнделікті мәселелерді шешу кезінде туындайтын маңызды міндет болып табылады. Егер сізге тұсқағазды қою, қоршау орнату, бояуды немесе плиткаларды тұтынуды есептеу қажет болса, онда сіз міндетті түрде геометриялық есептеулермен айналысуға тура келеді.

Тізімде келтірілген күнделікті мәселелерді шешу үшін әртүрлі геометриялық пішіндермен жұмыс істеу керек. Біз сізге ең танымал ұшақ фигураларының параметрлерін есептеуге мүмкіндік беретін онлайн калькуляторлар каталогын ұсынамыз. Оларды қарастырайық.

Шеңбер

Ерекше жағдайлар

Қабырғалары тең төртбұрыш. Параллелограмм ромбқа айналады, егер оның диагональдары 90 градуспен қиылыса және олардың бұрыштарының биссектрисасы болса.

Бұл тік бұрыштары бар параллелограмм. Сонымен қатар, егер оның қабырғалары мен диагональдары Пифагор теоремасының шарттарына сәйкес келсе, параллелограмм тіктөртбұрыш болып саналады.

Бұл барлық қабырғалары тең және барлық бұрыштары тең болатын параллелограмм. Шаршының диагональдары тіктөртбұрыш пен ромбтың диагональдарының қасиеттерін толығымен қайталайды, бұл шаршыны максималды симметриямен сипатталатын бірегей фигура етеді.

Көпбұрыш

Дұрыс көпбұрыш деп қабырғалары мен бұрыштары бірдей жазықтықтағы дөңес фигураны айтады. Көпбұрыштардың қабырғаларының санына байланысты өз атаулары болады:

• - бесбұрыш;
• - алтыбұрыш;
• сегіз - сегізбұрыш;
• он екі - он екібұрыш.

Тағыда басқа. Геометрлер шеңберді бұрыштары шексіз көпбұрыш деп әзілдейді. Біздің калькулятор тек дұрыс көпбұрыштардың периметрлері мен аудандарын анықтауға бағдарламаланған. Ол барлық дұрыс көпбұрыштар үшін жалпы формулаларды пайдаланады. Периметрді есептеу үшін мына формула қолданылады:

мұндағы n – көпбұрыштың қабырғаларының саны, а – қабырғасының ұзындығы.

Ауданды анықтау үшін мына өрнек қолданылады:

S = n/4 × a^2 × ctg(pi/n).

Сәйкес n орнына қойып, кез келген дұрыс көпбұрыштың формуласын таба аламыз, оған тең қабырғалы үшбұрыш пен шаршы да кіреді.

Көпбұрыштар өмірде өте жиі кездеседі. Сонымен бесбұрыштың пішіні АҚШ қорғаныс министрлігінің ғимараты – Пентагон, алтыбұрыш – бал ұялары немесе қар түйіршіктері кристалдары, сегізбұрыш – жол белгілері. Сонымен қатар, радиоляриялар сияқты көптеген қарапайымдылар дұрыс көпбұрыштардың пішініне ие.

Өмірден алынған мысалдар

Калькуляторды өмірдегі есептеулерде пайдаланудың бірнеше мысалын қарастырайық.

Қоршауды бояу

Беттерді бояу және бояуды есептеу - ең аз математикалық есептеулерді қажет ететін ең айқын күнделікті тапсырмалардың бірі. Биіктігі 1,5 метр, ұзындығы 20 метр болатын қоршауды бояу керек болса, бізге қанша құты бояу керек? Мұны істеу үшін сіз қоршаудың жалпы ауданын және 1 шаршы метрге бояулар мен лактарды тұтынуды білуіңіз керек. Эмаль шығыны бір метрге 130 грамм екенін білеміз. Енді тіктөртбұрыштың ауданын есептеу үшін калькулятордың көмегімен қоршаудың ауданын анықтайық. Ол S = 30 шаршы метр болады. Әрине, біз қоршауды екі жағынан бояймыз, сондықтан бояуға арналған алаң 60 шаршыға дейін артады. Содан кейін бізге 60 × 0,13 = 7,8 килограмм бояу немесе 2,8 килограмм үш стандартты банка қажет.

Жиек жиектері

Тігіншілік – кең геометриялық білімді қажет ететін тағы бір сала. Бүйірлері 150, 100, 75 және 75 см болатын тең қабырғалы трапеция болып табылатын шарфты жиектеу керек делік.Жашақтың шығынын есептеу үшін трапецияның периметрін білу керек. Бұл жерде онлайн калькулятор пайдалы болады. Осы ұяшық деректерін енгізіп, жауапты алыңыз:

Осылайша, шарфты аяқтау үшін бізге 4 м жиек қажет.

Қорытынды

Тегіс фигуралар айналадағы шынайы әлемді құрайды. Біз мектепте өзімізге жиі сұрақ қоятынбыз, болашақта геометрия бізге пайдалы бола ма? Жоғарыда келтірілген мысалдар математиканың күнделікті өмірде үнемі қолданылатынын көрсетеді. Ал егер тіктөртбұрыштың ауданы бізге таныс болса, онда он екібұрыштың ауданын есептеу қиын міндет болуы мүмкін. Мектеп тапсырмаларын немесе күнделікті мәселелерді шешу үшін калькуляторлар каталогын пайдаланыңыз.

Математиканың негізгі ұғымдарының бірі – төртбұрыштың периметрі. Бұл тақырып бойынша көптеген есептер бар, оларды шешу периметр формуласынсыз және оны есептеу дағдыларынсыз мүмкін емес.

Негізгі ұғымдар

Тіктөртбұрыш - барлық бұрыштары тік, ал қарама-қарсы қабырғалары жұптары тең және параллель болатын төртбұрыш. Біздің өмірімізде көптеген фигуралар тіктөртбұрыш түрінде болады, мысалы, үстелдің беті, дәптер және т.б.

Мысал қарастырайық:жердің шекарасы бойымен қоршау орнатылуы керек. Әр жақтың ұзындығын білу үшін оларды өлшеу керек.

Күріш. 1. Тік төртбұрыш түріндегі жер учаскесі.

Жер учаскесінің ұзындығы 2 м, 4 м, 2 м, 4 м болатын қабырғалары бар. Сондықтан қоршаудың жалпы ұзындығын білу үшін барлық жақтардың ұзындықтарын қосу керек:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 м.

Дәл осы мән әдетте периметр деп аталады. Осылайша, периметрді табу үшін фигураның барлық жақтарын қосу керек. Периметрді белгілеу үшін P әрпі қолданылады.

Тіктөртбұрышты фигураның периметрін есептеу үшін оны тіктөртбұрыштарға бөлудің қажеті жоқ, бұл фигураның барлық жақтарын ғана сызғышпен (лентаметрмен) өлшеп, олардың қосындысын табу керек.

Тік төртбұрыштың периметрі мм, см, м, км және т.б. Қажет болған жағдайда тапсырмадағы деректер бір өлшем жүйесіне түрлендіріледі.

Тіктөртбұрыштың периметрі әртүрлі өлшем бірліктерімен өлшенеді: мм, см, м, км және т.б. Қажет болған жағдайда тапсырмадағы деректер бір өлшем жүйесіне түрлендіріледі.

Пішін периметрі формуласы

Егер тіктөртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары тең болатынын ескерсек, онда тіктөртбұрыштың периметрі үшін формуланы шығаруға болады:

$P = (a+b) * 2$, мұндағы a, b - фигураның қабырғалары.

Күріш. 2. Тіктөртбұрыш, қарама-қарсы жақтары белгіленген.

Периметрді табудың тағы бір жолы бар. Тапсырмаға тек бір жағы және фигураның ауданы берілсе, екінші жағын аумақ арқылы көрсету үшін пайдалануға болады. Сонда формула келесідей болады:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, мұнда S - тіктөртбұрыштың ауданы.

Күріш. 3. Қабырғалары a, b болатын тіктөртбұрыш.

Жаттығу : Тік төртбұрыштың қабырғалары 4 см және 6 см болса, оның периметрін есептеңдер.

Шешімі:

$P = (a+b)*2$ формуласын қолданамыз

$P = (4+6)*2=20 см$

Сонымен, фигураның периметрі $P = 20 см$.

Периметр фигураның барлық қабырғаларының қосындысы болғандықтан, жартылай периметр тек бір ұзындық пен еннің қосындысы болып табылады. Периметрді алу үшін жартылай периметрді 2-ге көбейтіңіз.

Аудан және периметр - кез келген фигураны өлшеуге арналған екі негізгі ұғым. Олар туысқан болса да, шатастырмау керек. Егер сіз аумақты көбейтсеңіз немесе азайтсаңыз, сәйкесінше оның периметрі артады немесе азаяды.

Біз не үйрендік?

Тіктөртбұрыштың периметрін табуды үйрендік. Және де оны есептеу формуласымен танысты. Бұл тақырып тек математикалық есептерді шығарғанда ғана емес, өмірде де кездесуі мүмкін.

Тақырыптық викторина

Мақала рейтингі

Орташа рейтинг: 4.5. Алынған жалпы рейтингтер: 363.

Периметрді табу жолын білу, оқушылар ішке қабылдайды бастауыш мектеп. Содан кейін бұл ақпарат математика мен геометрия курсында үнемі қолданылады.

Барлық фигураларға ортақ теория

Тараптар әдетте латын әріптерімен белгіленеді. Сонымен қатар, оларды сегменттер ретінде белгілеуге болады. Содан кейін сізге әр жаққа екі әріп қажет және үлкен әріптермен жазылады. Немесе белгілеуді бір әріппен енгізіңіз, ол міндетті түрде кішкентай болады.
Әріптер әрқашан алфавит бойынша таңдалады. Үшбұрыш үшін олар алғашқы үштік болады. Алтыбұрышта олардың 6-сы болады - а-дан f-ға дейін. Бұл формулаларды енгізу үшін пайдалы.

Енді периметрді қалай табуға болатыны туралы. Бұл фигураның барлық жақтарының ұзындықтарының қосындысы. Терминдер саны оның түріне байланысты. Периметр латынның P әрпімен белгіленеді. Өлшем бірліктері тараптар үшін берілгендермен бірдей.

Әртүрлі фигуралар үшін периметр формулалары

Үшбұрыш үшін: P \u003d a + b + c. Егер ол тең қабырғалы болса, онда формула түрлендіріледі: P \u003d 2a + c. Үшбұрыш тең ​​қабырғалы болса, оның периметрін қалай табуға болады? Бұл көмектеседі: P \u003d 3a.

Ерікті төртбұрыш үшін: P=a+b+c+d. Оның ерекше жағдайы квадрат, периметр формуласы: P=4a. Сондай-ақ тіктөртбұрыш бар, содан кейін келесі теңдік қажет: P \u003d 2 (a + b).

Үшбұрыштың бір немесе бірнеше қабырғасының ұзындығын білмесеңіз ше?

Мәліметтер арасында екі жақ және олардың арасындағы бұрыш болса, косинус теоремасын қолданыңыз, ол А әрпімен белгіленеді. Содан кейін периметрді таппас бұрын үшінші жағын есептеу керек. Бұл үшін келесі формула пайдалы: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Бұл теореманың ерекше жағдайы - Пифагор тікбұрышты үшбұрыш үшін тұжырымдаған. Онда тік бұрыштың косинусының мәні нөлге тең болады, яғни соңғы мүше жай жоғалады.

Бір жағында үшбұрыштың периметрін қалай табуға болатынын білуге ​​болатын жағдайлар бар. Бірақ сонымен бірге фигураның бұрыштары да белгілі. Бұл жерде синус теоремасы тараптардың ұзындықтарының сәйкес қарама-қарсы бұрыштардың синусына қатынасы тең болғанда көмекке келеді.

Фигураның периметрін аудан бойынша табу қажет болған жағдайда, басқа формулалар пайдалы болады. Мысалы, егер сызылған шеңбердің радиусы белгілі болса, онда үшбұрыштың периметрін қалай табуға болады деген сұрақта келесі формула пайдалы: S \u003d p * r, мұнда p - жартылай периметр. Оны осы формуладан шығарып, екіге көбейту керек.

Тапсырма мысалдары

Бірінші шарт.Қабырғалары 3, 4 және 5 см болатын үшбұрыштың периметрін табыңдар.
Шешім.Жоғарыда көрсетілген теңдікті пайдаланып, оған мән тапсырмасындағы деректерді жай ғана ауыстыру керек. Есептер оңай, олар 12 см санына әкеледі.
Жауап.Үшбұрыштың периметрі 12 см.

Екінші шарт.Үшбұрыштың бір қабырғасы 10 см.Екіншісі біріншіден 2 см, ал үшіншісі біріншіден 1,5 есе үлкен екені белгілі. Оның периметрін есептеу қажет.
Шешім. Оны білу үшін екі жағын санау керек. Екіншісі 10 мен 2-нің қосындысы ретінде анықталады, үшіншісі 10 мен 1,5-тің көбейтіндісіне тең. Содан кейін үш мәннің қосындысын санау ғана қалады: 10, 12 және 15. Нәтиже 37 см болады.
Жауап.Периметрі 37 см.

Үшінші шарт.Тіктөртбұрыш пен шаршы бар. Тік төртбұрыштың бір қабырғасы 4 см, ал екіншісі 3 см ұзын. Шаршының периметрі тіктөртбұрыштан 6 см аз болса, оның қабырғасының мәнін есептеу керек.
Шешім.Тік төртбұрыштың екінші қабырғасы 7. Осыны біле отырып, оның периметрін есептеу оңай. Есеп 22 см береді.
Шаршының қабырғасын білу үшін алдымен тіктөртбұрыштың периметрінен 6-ны алып тастау керек, содан кейін алынған санды 4-ке бөлу керек. Нәтижесінде бізде 4 саны бар.
Жауап.Шаршының қабырғасы 4 см.

Геометрия, қателеспесем, менің кезімде бесінші сыныптан бастап оқытылатын және периметрі негізгі ұғымдардың бірі болған және болып табылады. Сонымен, периметр – барлық жақтарының ұзындықтарының қосындысы (латынның P әрпімен белгіленген). Жалпы, бұл термин әртүрлі тәсілдермен түсіндіріледі, мысалы,

• фигураның шекарасының жалпы ұзындығы,
• оның барлық жақтарының ұзындығы,
• оның беттерінің ұзындықтарының қосындысы,
• шектеу сызығының ұзындығы,
• көпбұрыштың қабырғаларының барлық ұзындықтарының қосындысы

Әртүрлі пішіндердің периметрді анықтауға арналған өз формулалары бар. Мағынаның өзін түсіну үшін мен бірнеше қарапайым формулаларды дербес шығаруды ұсынамын:

1. шаршы үшін
2. тіктөртбұрыш үшін
3. параллелограмм үшін
4. текше үшін
5. қорап үшін

Шаршы периметрі

Мысалы, ең қарапайым – шаршының периметрін алайық.

Шаршының барлық қабырғалары тең. Бір жағы «а» деп аталсын (басқа үшеуі сияқты), онда

P = a + a + a + a

немесе одан да ықшам белгілер

Тіктөртбұрыштың периметрі

Тапсырманы күрделендіріп, төртбұрыш алайық. Бұл жағдайда енді барлық қабырғалары тең деп айту мүмкін емес, сондықтан тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары а және b-ге тең болсын.

Сонда формула келесідей болады:

P = a + b + a + b

Параллелограммның периметрі

Ұқсас жағдай параллелограммда болады (тіктөртбұрыштың периметрін қараңыз)

текше периметрі

Егер біз үш өлшемді фигурамен айналысатын болсақ, не істеу керек? Мысалы, текшені алыңыз. Кубтың 12 қабырғасы бар және олардың барлығы тең. Тиісінше, текшенің периметрін келесідей есептеуге болады:

Қораптың периметрі

Ал, материалды бекіту үшін біз параллелепипедтің периметрін есептейміз. Бұл жерде аздап ойлану керек. Бірге жасайық. Біз білетіндей, текше - қабырғалары тіктөртбұрыштар болатын фигура. Әрбір параллелепипедтің екі табаны болады. Негіздердің бірін алып, оның қабырғаларын қарастырайық – олардың ұзындығы a және b. Сәйкесінше, табанның периметрі P = 2a + 2b. Сонда екі негіздің периметрі

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Бірақ бізде «с» жағы да бар. Сонымен параллелепипедтің периметрін есептеу формуласы келесідей болады:

P = 4a + 4b + 4c

Жоғарыдағы мысалдардан көріп отырғаныңыздай, фигураның периметрін анықтау үшін әр жақтың ұзындығын табу, содан кейін оларды қосу керек.

Қорытындылай келе, әрбір фигураның периметрі болмайтынын атап өткім келеді. Мысалыға, Шардың периметрі жоқ.

, үзік сызық және т.б.:

Егер сіз осы фигуралардың барлығына мұқият қарасаңыз, олардың екеуін таңдауға болады, олар тұйық сызықтармен (шеңбер және үшбұрыш) қалыптасады. Бұл фигуралардың ішкі мен сыртын ажырататын шекарасы бар. Яғни, шекара жазықтықты екі бөлікке бөледі: ол тиесілі фигураға қатысты ішкі және сыртқы аймақ:

Периметр

Периметр – жазық геометриялық фигураның ішкі аймағын сыртқы жағынан бөліп тұратын тұйық шекарасы.

Кез келген тұйық геометриялық фигураның периметрі болады:

Суретте периметрлер қызыл сызықпен белгіленген. Шеңбердің шеңбері жиі ұзындық деп аталатынына назар аударыңыз.

Периметр ұзындық өлшем бірліктерімен өлшенеді: мм, см, дм, м, км.

Барлық көпбұрыштар үшін периметрді табу барлық қабырғаларының ұзындықтарын қосуға дейін азайтылады, яғни көпбұрыштың периметрі әрқашан оның қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең. Периметрді есептеу кезінде ол көбінесе латынның бас P әрпімен белгіленеді:

Шаршы

Аудан - бұл тұйық жазық геометриялық фигура алып жатқан жазықтықтың бөлігі.

Кез келген жазық тұйық геометриялық фигураның белгілі бір ауданы болады. Сызбаларда геометриялық фигуралардың ауданы ішкі аймақ, яғни периметрдің ішіндегі жазықтықтың бөлігі болып табылады.

аумақты өлшеуфигуралар – өлшем бірлігі ретінде алынған берілген фигураға басқа фигураның неше рет қойылғанын табуды білдіреді. Әдетте, алаң өлшем бірлігі ретінде шаршы алынады, оның жағы ұзындық өлшем бірлігіне тең: миллиметр, сантиметр, метр және т.б.

Суретте шаршы сантиметр көрсетілген. - әр қабырғасының ұзындығы 1 см болатын шаршы:

Аудан шаршы ұзындық бірліктерімен өлшенеді. Аудан бірліктеріне мыналар жатады: мм 2, см 2, м 2, км 2 және т.б.

Шаршы бірліктерді түрлендіру кестесі

	мм 2	см 2	dm 2	м 2	ар (тоқу)	га (га)	км 2
мм 2	1 мм 2	0,01 см2	10 -4 дм 2	10 -6 м 2	10 -8 б	10 -10 га	10 -12 км 2
см 2	100 мм 2	1 см 2	0,01 дм 2	10 -4 м 2	10-6	10 -8 га	10 -10 км 2
dm 2	10 4 мм 2	100 см 2	1 дм 2	0,01 м2	10 -4 б	10 -6 га	10 -8 км 2
м 2	10 6 мм 2	10 4 см 2	100 дм 2	1 м 2	0,01 құрайды	10 -4 га	10 -6 км 2
ар	10 8 мм 2	10 6 см 2	10 4 дм 2	100 м2	1 болып табылады	0,01 га	10 -4 км 2
га	10 10 мм 2	10 8 см 2	10 6 дм 2	10 4 м 2	100	1 га	0,01 км2
км 2	10 12 мм 2	10 10 см 2	10 8 дм 2	10 6 м 2	10 4 ар	100 га	1 км 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001