Үшбұрыш – бір түзуде жатпайтын үш нүкте және оларды қосатын үш кесінді. Әйтпесе, үшбұрыш - дәл үш бұрышы бар көпбұрыш.

Бұл үш нүкте үшбұрыштың төбелері, ал кесінділері үшбұрыштың қабырғалары деп аталады. Үшбұрыштың қабырғалары үшбұрыштың төбелерінде үш бұрыш құрайды.

Тең қабырғалы үшбұрыш - екі қабырғасы тең болатын үшбұрыш. Бұл жақтарды бүйірлер, үшінші жағын негіз деп атайды. Тең қабырғалы үшбұрышта табанындағы бұрыштар тең.

Үш қабырғасы тең болатын тең қабырғалы немесе тікбұрышты үшбұрыш деп аталады. Теңбүйірлі үшбұрыштың барлық бұрыштары да тең және 60°-қа тең.

Ерікті үшбұрыштың ауданы мына формулалармен есептеледі: немесе

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы мына формула бойынша есептеледі:

Дұрыс немесе теңбүйірлі үшбұрыштың ауданы мына формулалармен есептеледі: немесе немесе

Қайда а,б,в- үшбұрыштың қабырғалары h- үшбұрыштың биіктігі, ж- қабырғалар арасындағы бұрыш; Р- шектелген шеңбердің радиусы, rсызылған шеңбердің радиусы болып табылады.

Үшбұрыштың ауданы – формулалар мен есептерді шығару мысалдары

Төменде ерікті үшбұрыштың ауданын табу формулаларықасиеттеріне, бұрыштарына немесе өлшемдеріне қарамастан кез келген үшбұрыштың ауданын табуға жарамды. Формулалар сурет түрінде берілген, мұнда олардың дұрыстығын қолдану немесе негіздеу бойынша түсініктемелер берілген. Сондай-ақ жеке суретте формулалардағы әріп таңбаларының және сызбадағы графикалық белгілердің сәйкестігі көрсетілген.

Ескерту . Егер үшбұрыштың ерекше қасиеттері болса (тең қабырғалы, тікбұрышты, тең қабырғалы), төмендегі формулаларды, сондай-ақ осы қасиеттері бар үшбұрыштар үшін ғана дұрыс болатын қосымша арнайы формулаларды пайдалануға болады:

• «Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданының формулалары»

Үшбұрыш ауданы формулалары

Формулаға түсініктеме:
a, b, c- ауданын тапқымыз келетін үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары
r- үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы
Р- үшбұрыштың айналасындағы сызылған шеңбердің радиусы
h- бүйір жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі
б- үшбұрыштың жарты периметрі, оның қабырғаларының қосындысы 1/2 (периметрі)
α - үшбұрыштың а қабырғасына қарама-қарсы бұрыш
β - үшбұрыштың b қабырғасына қарама-қарсы бұрыш
γ - үшбұрыштың c қабырғасына қарама-қарсы бұрышы
h а, h б , h в- a, b, c жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі

Берілген белгі жоғарыдағы суретке сәйкес келетінін ескеріңіз, сондықтан геометриядағы нақты есепті шешу кезінде формуланың дұрыс орындарындағы дұрыс мәндерді көрнекі түрде ауыстыру оңайырақ болады.

• Үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың биіктігі мен осы биіктік түсірілген жағының ұзындығының көбейтіндісінің жартысы(Формула 1). Бұл формуланың дұрыстығын логикалық тұрғыдан түсінуге болады. Негізге түсірілген биіктік ерікті үшбұрышты екі тікбұрыштыға бөледі. Егер олардың әрқайсысын b және h өлшемдері бар тіктөртбұрышқа аяқтасақ, онда бұл үшбұрыштардың ауданы тіктөртбұрыштың дәл жартысына тең болады (Spr = bh)
• Үшбұрыштың ауданы оның екі қабырғасының жартысы мен олардың арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісі(Формула 2) (төменде осы формуланы пайдаланып есепті шешудің мысалын қараңыз). Бұрынғысынан өзгеше болып көрінгенімен, оны оңай өзгертуге болады. Егер биіктікті В бұрышынан b қабырғасына түсірсек, тікбұрышты үшбұрыштың синусының қасиеттеріне сәйкес а қабырғасы мен γ бұрышының синусының көбейтіндісі сызылған үшбұрыштың биіктігіне тең болады. біз, ол бізге алдыңғы формуланы береді
• Ерікті үшбұрыштың ауданын табуға болады арқылы жұмысбарлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына іштей сызылған шеңбердің радиусының жартысы(Формула 3), басқаша айтқанда, үшбұрыштың жарты периметрін сызылған шеңбердің радиусына көбейту керек (бұл жолмен есте сақтау оңайырақ)
• Ерікті үшбұрыштың ауданын оның барлық қабырғаларының көбейтіндісін айналасындағы шеңбердің 4 радиусына бөлу арқылы табуға болады (Формула 4)
• Формула 5 - үшбұрыштың ауданын оның қабырғаларының ұзындығы мен жартылай периметрі бойынша табу (барлық қабырғаларының қосындысының жартысы)
• Герон формуласы(6) жартылай периметр түсінігін қолданбай, тек жақтарының ұзындықтары арқылы бірдей формуланың көрінісі.
• Ерікті үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың қабырғасының квадраты мен осы қабырғаға іргелес бұрыштардың синусы осы қабырғаға қарама-қарсы бұрыштың қос синусына бөлінген көбейтіндісіне тең (Формула 7)
• Ерікті үшбұрыштың ауданын оның айналасында сызылған шеңбердің екі квадратының және оның әрбір бұрышының синусының көбейтіндісі ретінде табуға болады. (Формула 8)
• Егер бір қабырғасының ұзындығы және оған іргелес жатқан екі бұрыштың шамасы белгілі болса, онда үшбұрыштың ауданын осы қабырғасының квадраты ретінде осы қабырғалардың котангенстерінің қос қосындысына бөлу арқылы табуға болады. бұрыштар (Формула 9)
• Егер үшбұрыштың әрбір биіктігінің ұзындығы белгілі болса (Формула 10), онда мұндай үшбұрыштың ауданы Герон формуласы бойынша осы биіктіктердің ұзындықтарына кері пропорционал болады.
• Формула 11 есептеуге мүмкіндік береді үшбұрыштың төбелерінің координаталарына сәйкес ауданы, олар шыңдардың әрқайсысы үшін (x;y) мәндері ретінде берілген. Алынған мәнді модуль бойынша алу керек екенін ескеріңіз, өйткені жеке (немесе тіпті барлық) шыңдардың координаттары теріс мәндер аймағында болуы мүмкін.

Ескерту. Төменде үшбұрыштың ауданын табу үшін геометрия есептерін шешу мысалдары берілген. Егер сізге геометриядағы мәселені шешу керек болса, оған ұқсас мұнда жоқ - бұл туралы форумда жазыңыз. Шешімдерде «шаршы түбір» таңбасының орнына sqrt() функциясын қолдануға болады, онда sqrt шаршы түбір белгісі болып табылады, ал радикалды өрнек жақшада көрсетілген..Кейде символды қарапайым радикалды өрнектер үшін пайдалануға болады √

Тапсырма. Берілген екі қабырғаның ауданын және олардың арасындағы бұрышты табыңыз

Үшбұрыштың қабырғалары 5 және 6 см.Олардың арасындағы бұрыш 60 градус. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім.

Бұл мәселені шешу үшін біз сабақтың теориялық бөлігінен №2 формуланы қолданамыз.
Үшбұрыштың ауданын екі қабырғасының ұзындығы мен олардың арасындағы бұрыштың синусы арқылы табуға болады және оған тең болады
S=1/2 ab sin γ

Шешім үшін бізде барлық қажетті деректер болғандықтан (формула бойынша), есеп шартының мәндерін тек формулаға ауыстыра аламыз:
S=1/2*5*6*sin60

Тригонометриялық функциялардың мәндер кестесінде синустың 60 градус мәнін өрнектен табамыз және ауыстырамыз. Ол үштен екі түбірге тең болады.
S = 15 √3 / 2

Жауап: 7,5 √3 (мұғалімнің талабына байланысты 15 √3/2 қалдыруға болатын шығар)

Тапсырма. Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табыңыз

Қабырғасы 3 см тең бүйірлі үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім.

Үшбұрыштың ауданын Герон формуласы арқылы табуға болады:

S = 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c болғандықтан, тең бүйірлі үшбұрыштың ауданы үшін формула келесі пішінді алады:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Жауап: 9 √3 / 4.

Тапсырма. Бүйірлердің ұзындығын өзгерту кезінде аумақты өзгерту

Қабырғаларын төрт есе арттырса, үшбұрыштың ауданы неше есе артады?

Шешім.

Үшбұрыштың қабырғаларының өлшемдерін білмегендіктен, есепті шешу үшін қабырғаларының ұзындықтары сәйкесінше a, b, c ерікті сандарына тең деп есептейміз. Содан кейін мәселенің сұрағына жауап беру үшін біз осы үшбұрыштың ауданын табамыз, содан кейін қабырғалары төрт есе үлкен үшбұрыштың ауданын табамыз. Осы үшбұрыштардың аудандарының қатынасы бізге есептің жауабын береді.

Әрі қарай, мәселені шешудің қадамдары бойынша мәтіндік түсініктеме береміз. Дегенмен, ең соңында сол шешім қабылдауға ыңғайлырақ графикалық түрде ұсынылады. Қалағандар шешімді дереу тастай алады.

Шешу үшін біз Герон формуласын қолданамыз (жоғарыдан сабақтың теориялық бөлігінде қараңыз). Бұл келесідей көрінеді:

S = 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(төмендегі суреттің бірінші жолын қараңыз)

Ерікті үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары a, b, c айнымалылары арқылы беріледі.
Егер қабырғалар 4 есе ұлғайса, онда жаңа c үшбұрышының ауданы:

S 2 = 1/4 шаршы((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(төмендегі суреттегі екінші жолды қараңыз)

Көріп отырғаныңыздай, 4 математиканың жалпы ережелеріне сәйкес барлық төрт өрнектің ішінен жақшаға алуға болатын ортақ көбейткіш.
Содан кейін

S 2 = 1/4 шаршы(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - суреттің үшінші жолында
S 2 = 1/4 шаршы(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - төртінші жол

256 санынан квадрат түбір тамаша шығарылған, сондықтан оны түбірдің астынан шығарамыз
S 2 = 16 * 1/4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 шаршы((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(төмендегі суреттің бесінші жолын қараңыз)

Есепте қойылған сұраққа жауап беру үшін алынған үшбұрыштың ауданын түпнұсқаның ауданына бөлу жеткілікті.
Өрнектерді бір-біріне бөліп, алынған бөлшекті азайту арқылы ауданның қатынасын анықтаймыз.

Үшбұрыштың анықтамасы

Үшбұрыш- Бұл үш кесіндінің қиылысуы нәтижесінде пайда болған геометриялық фигура, оның ұштары бір түзуде жатпайды. Кез келген үшбұрыштың үш қабырғасы, үш төбесі және үш бұрышы болады.

Онлайн калькулятор

Үшбұрыштар әртүрлі түрлері. Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыш (барлық қабырғалары тең), тең қабырғалы үшбұрыштар (оның екі қабырғасы тең) және тік бұрышты (мұнда бұрыштардың бірі тік, яғни 90 градусқа тең) бар. ).

Үшбұрыштың ауданын әртүрлі тәсілдермен табуға болады, бұл фигураның қандай элементтері есептің шарты бойынша белгілі екеніне байланысты, ол бұрыштар, ұзындықтар немесе жалпы шеңберлердің радиустарымен байланысты. үшбұрыш. Әрбір әдісті мысалдармен бөлек қарастырыңыз.

Үшбұрыштың табаны мен биіктігі берілген ауданның формуласы

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

А а- үшбұрыштың табаны;
сағ h- берілген табанға түсірілген үшбұрыштың биіктігі а.

Мысал

Үшбұрыштың табанының ұзындығы белгілі болса, 10 (см) және осы табанға түсірілген биіктігі 5 (см) тең болса, оның ауданын табыңыз.

Шешім

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Формуладағы ауданның орнына қойып, мынаны алыңыз:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (шаршы қараңыз)

Жауап: 25 (шаршы қараңыз)

Барлық қабырғаларының ұзындықтары берілген үшбұрыштың ауданы формуласы

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A , b , c a, b, c a, b, c- үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы;
бет б- үшбұрыштың барлық қабырғаларының қосындысының жартысы (яғни үшбұрыштың периметрінің жартысы):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (а +b+в)

Бұл формула деп аталады Герон формуласы.

Мысал

Үшбұрыштың ауданын табыңыз, егер оның үш қабырғасының ұзындықтары белгілі болса, 3-ке (қараңыз), 4-ке (қараңыз), 5-ке (қараңыз).

Шешім

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

Периметрдің жартысын табыңыз бет б:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Сонда Герон формуласы бойынша үшбұрыштың ауданы:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-) 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (шаршы қараңыз)

Жауабы: 6 (шаршы қараңыз)

Бір қабырғасы мен екі бұрышы берілген үшбұрыштың ауданына арналған формула

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\бета+\гамма))S=2 а 2 ​ ⋅ күнә(β+γ)күнә β күнә γ ​ ,

А а- үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы;
β , γ \бета, \гамма β , γ - бүйірге іргелес бұрыштар а а а.

Мысал

10-ға тең үшбұрыштың қабырғасы (қараңыз) және 30 градусқа жақын екі бұрышы берілген. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім

A=10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \гамма=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Формула бойынша:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(10^t) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\шамамен14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ күнә(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) күнә 3 0 ∘ күнә 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (шаршы қараңыз)

Жауап: 14,4 (шаршы қараңыз)

Үшбұрыштың ауданы үшін формула үш қабырғасы мен шектелген шеңбердің радиусы берілген

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4 Рa ⋅ b ⋅ c​ ,

A , b , c a, b, c a, b, c- үшбұрыштың қабырғалары
Р Р Рүшбұрыштың айналасындағы шектелген шеңбердің радиусы.

Мысал

Екінші есептерімізден сандарды алып, оларға радиус қосамыз Р Р Ршеңберлер. Ол 10-ға тең болсын (қараңыз).

Шешім

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (шаршы қараңыз)

Жауап: 1,5 (см.кв.)

Үшбұрыштың ауданы үшін формула үш қабырғасы және іштей сызылған шеңбердің радиусы берілген

S = p ⋅ r S=p\cdot rС= б⋅ r,

бетб- үшбұрыштың жарты периметрі:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)б= 2 а+ б+ в​ ,

a, b, c a, b, cа, б, в- үшбұрыштың қабырғалары
r rrүшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

Мысал

Ішке сызылған шеңбердің радиусы 2-ге тең болсын (қараңыз). Алдыңғы есептің жақтарының ұзындықтарын аламыз.

Шешім

$а=3b=4\; b=4б=4c=5\; c=5в=5r=2\; r=2r=2$

$б=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12С= 6 ⋅ 2 = 1 2 (шаршы қараңыз)

Жауап: 12 (шаршы қараңыз)

Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш берілген үшбұрыштың ауданына арналған формула

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\альфа)С= 2 1 ​ ⋅ б⋅ в⋅ күнә(α ) ,

b, c b, cб, в- үшбұрыштың қабырғалары

α\альфаα - қабырғалар арасындағы бұрыш б.ббжәне в cв.

Мысал

Үшбұрыштың қабырғалары 5 (қараңыз) және 6 (қараңыз), олардың арасындағы бұрыш 30 градус. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешім

$б=5c=6\; c=6в=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash альфа=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5С= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ күнә(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (шаршы қараңыз)

Жауап: 7,5 (шаршы қараңыз)

Үшбұрыш – үш қабырғасы мен үш төбесінен тұратын ең қарапайым геометриялық фигура. Қарапайымдылығының арқасында үшбұрыш ежелден әртүрлі өлшемдер үшін қолданылған және бүгінгі күні бұл фигура практикалық және күнделікті мәселелерді шешу үшін пайдалы болуы мүмкін.

Үшбұрыштың мүмкіндіктері

Бұл фигура ежелден бері есептеулер үшін қолданылған, мысалы, геодезистер мен астрономдар аудандар мен қашықтықтарды есептеу үшін үшбұрыштардың қасиеттерімен жұмыс істейді. Бұл фигураның ауданы арқылы кез келген n-бұрыштың ауданын өрнектеу оңай және бұл сипатты ежелгі ғалымдар көпбұрыштардың аудандары үшін формулаларды алу үшін пайдаланған. Үшбұрыштармен тұрақты жұмыс, әсіресе тікбұрышты үшбұрыш, математиканың тұтас бір бөлімі – тригонометрия үшін негіз болды.

үшбұрыш геометриясы

Геометриялық фигураның қасиеттері ерте заманнан бері зерттеліп келеді: үшбұрыш туралы ең алғашқы мәліметтер 4000 жыл бұрынғы мысырлық папирустардан табылған. Содан кейін фигура Ежелгі Грецияда зерттелді және үшбұрыштың геометриясына ең үлкен үлес Евклид, Пифагор және Герон болды. Үшбұрышты зерттеу ешқашан тоқтаған жоқ, 18 ғасырда Леонгард Эйлер фигураның ортоцентрі мен Эйлер шеңбері ұғымын енгізді. 19-20 ғасырлар тоғысында үшбұрыш туралы бәрі белгілі болып көрінген кезде, Фрэнк Морли бұрыш үшбұрышының теоремасын тұжырымдады, ал Вацлав Сиерпински фракталдық үшбұрышты ұсынды.

Мектептегі геометрия курсынан бізге таныс жазық үшбұрыштардың бірнеше түрі бар:

• өткір бұрышты - фигураның барлық бұрыштары өткір;
• доғал - фигураның бір доғал бұрышы бар (90 градустан жоғары);
• тікбұрышты - фигура 90 градусқа тең бір тік бұрышты қамтиды;
• тең қабырғалы – екі қабырғасы тең үшбұрыш;
• тең бүйірлі – барлық қабырғалары тең үшбұрыш.
• Шынайы өмірде үшбұрыштардың барлық түрлері бар және кейбір жағдайларда геометриялық фигураның ауданын есептеу қажет болуы мүмкін.

Үшбұрыштың ауданы

Аудан - фигура жазықтықтың қанша бөлігін шектейтінін бағалау. Үшбұрыштың ауданын алты жолмен табуға болады: қабырғалары, биіктігі, бұрыштары, сызылған немесе сызылған шеңбердің радиусы, сондай-ақ Герон формуласы немесе жазықтықты шектейтін түзулердің үстінен қос интегралды есептеу. Үшбұрыштың ауданын есептеудің ең қарапайым формуласы:

мұндағы a – үшбұрыштың қабырғасы, h – биіктігі.

Бірақ іс жүзінде бізге геометриялық фигураның биіктігін табу әрқашан қолайлы бола бермейді. Біздің калькулятордың алгоритмі мынаны біле отырып, ауданды есептеуге мүмкіндік береді:

• үш жағы;
• екі жағы және олардың арасындағы бұрыш;
• бір жағы және екі бұрышы.

Ауданды үш жағы бойынша анықтау үшін Герон формуласын қолданамыз:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

мұндағы p – үшбұрыштың жарты периметрі.

Екі жақтағы және бұрыштағы ауданды есептеу классикалық формула бойынша жүргізіледі:

S = a × b × sin(альфа),

мұндағы альфа – а және b қабырғаларының арасындағы бұрыш.

Бір жағы мен екі бұрышы арқылы ауданды анықтау үшін мына қатынасты қолданамыз:

a / sin(альфа) = b / sin(бета) = c / sin(гамма)

Қарапайым пропорцияны пайдалана отырып, біз екінші жақтың ұзындығын анықтаймыз, содан кейін S = a × b × sin (альфа) формуласы арқылы ауданды есептейміз. Бұл алгоритм толығымен автоматтандырылған және тек берілген айнымалыларды енгізіп, нәтиже алу керек. Бір-екі мысалды қарастырайық.

Өмірден алынған мысалдар

тротуар тақталары

Сіз еденді үшбұрышты плиткамен төсегіңіз келеді делік және қажетті материалдың мөлшерін анықтау үшін бір плитканың ауданы мен еденнің ауданын білуіңіз керек. Өлшемдері \u003d 20 см, b \u003d 21 см, c \u003d 29 см болатын плиткаларды пайдаланып, беттің 6 шаршы метрін өңдеу керек делік. Әлбетте, үшбұрыштың ауданын есептеу үшін, калькулятор Герон формуласын қолданады және нәтижені береді:

Осылайша, бір плитка элементінің ауданы 0,021 шаршы метрді құрайды және еденді жақсарту үшін сізге 6 / 0,021 \u003d 285 үшбұрыш қажет болады. 20, 21 және 29 сандары қанағаттандыратын Пифагор үштік сандарын құрайды. Бұл дұрыс, біздің калькулятор да үшбұрыштың барлық бұрыштарын есептеді, ал гамма бұрышы дәл 90 градус.

мектеп тапсырмасы

Мектеп мәселесінде бүйір жағы a \u003d 5 см, ал альфа және бета бұрыштары сәйкесінше 30 және 50 градус екенін біле отырып, үшбұрыштың ауданын табу керек. Бұл есепті қолмен шешу үшін алдымен қабырғалардың және қарама-қарсы бұрыштардың синусының қатынасын пайдаланып, b қабырғасының мәнін табамыз, содан кейін S = a × b × sin(alfa) қарапайым формуласы арқылы ауданды анықтаймыз. Уақытты үнемдейік, деректерді калькулятор пішініне енгізіп, лезде жауап алайық

Калькуляторды пайдаланған кезде бұрыштар мен жақтарды дұрыс көрсету маңызды, әйтпесе нәтиже дұрыс емес болады.

Қорытынды

Үшбұрыш – өмірде де, дерексіз есептеулерде де кездесетін ерекше фигура. Кез келген түрдегі үшбұрыштардың ауданын табу үшін онлайн калькуляторды пайдаланыңыз.

Үшбұрыштың ауданы. Аудандарды есептеуге байланысты көптеген геометриялық есептерде үшбұрыштың ауданына арналған формулалар қолданылады. Олардың бірнешеуі бар, мұнда біз негізгілерін қарастырамыз.Бұл формулаларды тізімдеу тым қарапайым және пайдасыз болар еді. Біз негізгі формулалардың шығу тегін талдаймыз, жиі қолданылатындары.

Формулаларды шығарумен таныспас бұрын, мақаланы қараңыз.Материалды зерттегеннен кейін сіз жадтағы формулаларды оңай қалпына келтіре аласыз (егер олар сізге қажет сәтте кенеттен «ұшып кетсе»).

Бірінші формула

Параллелограммның диагоналы оны ауданы бірдей екі үшбұрышқа бөледі:

Сондықтан үшбұрыштың ауданы параллелограммның жартысына тең болады:

Үшбұрыш ауданының формуласы

* Яғни, егер біз үшбұрыштың кез келген жағын және осы жағына түсірілген биіктігін білсек, онда біз әрқашан осы үшбұрыштың ауданын есептей аламыз.

Формула екінші

Параллелограммның ауданы туралы мақалада айтылғандай, формула келесі пішінге ие:

Үшбұрыштың ауданы оның жартысына тең, сондықтан:

*Яғни, үшбұрыштың кез келген екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш белгілі болса, біз әрқашан мұндай үшбұрыштың ауданын есептей аламыз.

Герон формуласы (үшінші)

Бұл формуланы алу қиын және сізге қажет емес. Қараңызшы, ол қандай әдемі, оны есте қалды деп айта аламыз.

*Егер үшбұрыштың үш қабырғасы берілсе, онда осы формуланы қолданып біз әрқашан оның ауданын есептей аламыз.

Формула төрт

қайда rсызылған шеңбердің радиусы болып табылады

*Егер үшбұрыштың үш қабырғасы және оған сызылған шеңбердің радиусы белгілі болса, онда біз әрқашан осы үшбұрыштың ауданын таба аламыз.

Бесінші формула

қайда Ршектелген шеңбердің радиусы болып табылады.

*Егер үшбұрыштың үш қабырғасы мен сызылған шеңбердің радиусы белгілі болса, онда біз әрқашан мұндай үшбұрыштың ауданын таба аламыз.

Сұрақ туындайды: үшбұрыштың үш қабырғасы белгілі болса, оның ауданын Герон формуласы арқылы табу оңай емес пе!

Иә, бұл оңай, бірақ әрқашан емес, кейде қиынға соғады. Бұл тамырды алумен байланысты. Сонымен қатар, бұл формулаларды үшбұрыштың ауданы берілген, оның қабырғалары берілген және іштей сызылған немесе шектелген шеңбердің радиусын табу қажет болатын есептерде қолдануға өте ыңғайлы. Мұндай тапсырмалар емтиханға енгізілген.

Формулаға назар аударайық:

Бұл шеңбер сызылған көпбұрыштың ауданы формуласының ерекше жағдайы:

Оны бесбұрыштың мысалында қарастырайық:

Шеңбердің центрін осы бесбұрыштың төбелерімен қосамыз және центрден оның қабырғаларына перпендикуляр түсіреміз. Біз бес үшбұрыш аламыз, түсірілген перпендикулярлар сызылған шеңбердің радиустары болады:

Бесбұрыштың ауданы:

Енді үшбұрыш туралы айтатын болсақ, онда бұл формула келесі пішінді алатыны анық:

Алтыншы формула