Дәрістер мен практикалық сабақтар кезінде нота мен символика жүйесі қабылданады (2.3-кесте), проф. Четверухин Н.Ф. Бұл белгілер жүйесі қазіргі уақытта Ресейдің жетекші университеттерінің сызба геометрия және инженерлік графика кафедраларында кеңінен қолданылады.
кесте 2
ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ НЫСҚАЛАРДЫ ТАҢДАУ
| Геометриялық фигура (зат) | Белгі және мысал |
| Нүкте | Латын әліпбиінің бас әріпі: А, IN, МЕН, ... немесе араб цифры: 1 , 2 , 3 , ... (рим цифры болуы мүмкін: I, II, III, …). Проекциялау орталығы С. Шығу тегі ТУРАЛЫ(хат). Шексіздік нүктесі: S¥, А ¥ , IN ¥ , …. |
| Сызық – түзу немесе қисық | Латын әліпбиінің кіші әріпі: а,б,в,…. Көлденең h; фронтальды f; профиль түзу немесе қисық (профиль) Р; айналу осі мен; проекция бағыты немесе кеңістіктегі көрініс бағыты: с- қосулы P 1, v- қосулы P 2; координаталық осьтер: x, ж, z; проекция осьтері x, ж, zнемесе x 12, x 24және т.б. ( AB) – нүктелермен анықталатын түзу АЖәне IN; Ι ABΙ – кесіндінің ұзындығы AB, сегменттің табиғи өлшемі AB. Мәтінде сәйкес сөздер болса, жақшалар берілмейді (мысалы, түзу AB). |
| Беткей (соның ішінде жазықтық) | Г(гамма), С(сигма), Л(лямбда), .... |
| Проекция жазықтығы | Грек алфавитінің бас әріпі: П(pi) индексті қосу арқылы. P 1– көлденең проекция жазықтығы; P 2– проекциялардың фронталь жазықтығы; P 3– проекциялардың профильдік жазықтығы; P 4, P 5, ... – қосымша проекция жазықтықтары. |
| Бұрыш | Грек алфавитінің кіші әріпі: а, б, g, …. |
| Объектінің проекциясы | A 1, б 1, S 1– нүктенің горизонталь проекциялары А, сызықтар б, беттер С; А 2, б 2, S 2– нүктенің фронталь проекциялары А, Түзу б, беттер С; және т.б. |
3-кесте
ҚАТЫНАСТАРДЫҢ СИМВОЛДАРЫ ЖӘНЕ ЛОГИКАЛЫҚ ОПЕРАЦИЯЛАР
| Қол қою | Белгінің мағынасы | Мысал, түсіндіру |
| Ì немесе É Î немесе « | Объектілердің жиынтықтар, ішкі жиындар ретіндегі өзара тиесілілігі (индиденттілігі) бірі жиынтық, екіншісі жиынның элементі болып табылатын объектілердің өзара тиесілілігі (индиденттілігі), т.б. нүкте | тÌ Г- түзу тбетіне жатады Г; беті Гсызық арқылы өтеді т; ГÉ т– бірдей (белгінің ашық бөлігі әрқашан үлкен жиынтыққа қарап тұрады). т"А- түзу тнүкте арқылы өтеді А; нүкте Ақатарға жатады т; АÎ т– бірдей (ашық бөлігі жинаққа қараған Î белгісі). |
| ∩ | Қиылысу | А ∩ б- сызықтар аЖәне бқиылысу; С (а ∩ б) – ұшақ Сқиылысатын сызықтармен анықталады аЖәне б. |
| = немесе | Нәтиже теңдігі сәйкестігі | А=А∩б- нүкте Асызықтардың қиылысуы нәтижесінде алынған аЖәне б.ê ABê=ê Е.Фê – сегмент ABсегментіне тең Е.Ф. А 2=2-де– нүктелердің фронталь проекциялары АЖәне INсәйкестендіріңіз. |
| ΙΙ | Параллелизм | (AB) ΙΙ (СD) – түзу сызықтар ABЖәне CDпараллель. |
| ^ | Перпендикулярлық | AB^CD |
| ® | Көрсетілген әрекеттер тізбегі | А 1® А 2 – нүктенің горизонталь проекциясы бойымен Аалдыңғысын салып жатырмыз. |
4. ГРАФИКАЛЫҚ ЖҰМЫСТЫ ОРЫНДАУ БОЙЫНША ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР
№1 графикалық жұмыс
«Болжам»
Жаттығу:
1. A3 форматында үйдің берілген екі проекциясын пайдаланып, кескінді 2 есе үлкейте отырып, профиль проекциясын құрастырыңыз.
2. Сызбада негізгі жазудың үстінде орналасқан төменгі оң жақ бұрышқа (үстел өлшемі - 100х100 мм) белгілеңіз және кестеге жазыңыз, кеңістіктегі сызықтардың орнын (жалпы позиция сызығы, үш деңгейлі сызық, үш проекциялық сызық, бір параллель түзулер жұбы, бір жұп қиылысатын түзулер, бір жұп қиылысатын түзулер).
3. Жалпы жағдайдағы түзудің табиғи өлшемін және оның проекция жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын анықтаңыз.
4. Кез келген бес белгіленген нүктенің координаталарын анықтаңыз. Деректерді форматтың жоғарғы оң жақ бұрышындағы кестеге енгізіңіз (кесте өлшемі 40х60 мм).
5. А4 форматында үйдің аксонометриялық проекциясын таңдап, тұрғызыңыз, аксонометриялық осьтердің сызбасын сызыңыз. Аксонометрияны түрлі-түсті қарындаштармен бояңыз.
No1 графикалық жұмысты орындауға нұсқау. А3 қағаз парағында парақтың ортасына координат осьтерін сызыңыз. Сіздің нұсқаңызға сәйкес, кескінді 2 есе арттыра отырып, «Үйдің» екі проекциясын жасаңыз. «Үй» негізінің фронтальды проекциясы OX осінде болуы керек. Проекциялық байланыс желілерін пайдаланып, «үйдің» үшінші проекциясын құрастырыңыз.
Әрі қарай, тапсырмада көрсетілген түзу сызықтарды «үйдің» үш проекциясында латын әліпбиінің бас әріптерімен дәйекті түрде анықтап, белгілеңіз. Алынған нәтижелерді кестеге енгізіңіз. Кестені толтыру үлгісі суретте көрсетілген.
Табылған түзу үшін P 1 және P 2 жазықтығында жалпы позицияда тікбұрышты үшбұрыш және оның проекциялардың горизонталь және фронталь жазықтықтарына (α және β) көлбеу бұрыштары әдісі арқылы натурал өлшемін анықтаңыз және белгілеңіз.
Кез келген бес белгіленген нүкте үшін координаталарды анықтаңыз. Кестеге мм мәндерін енгізіңіз. Кестені толтыру үлгісі суретте көрсетілген.
Аксонометриялық проекцияның түрін үй кескінінде жазықтықтар (шеттері) сызықтарға проекцияланбауы үшін таңдаңыз. A4 пішімінде қайталама көлденең проекция мен аксонометриялық осьтерді сақтай отырып, таңдалған аксонометриялық проекцияны құрастырыңыз.
Түрлі-түсті қарындаштарды пайдаланып, «Үйдің» аксонометриялық проекциясын бояңыз. Жоғарғы оң жақ бұрышта аксонометриялық осьтердің диаграммасын сызыңыз. 9.10-суреттегі графикалық жұмыстың мысалы.
№1 «Проекция» графикалық жұмыс тапсырмаларының нұсқалары
№2 графикалық жұмыс
«Кесілген призма мен кесілген цилиндрдің құрылысы»
Жаттығу:
Графикалық жұмыс екі А3 форматында орындалады және екі тапсырмадан тұрады.
№1 тапсырма. Түзу алтыбұрышты призманың үш проекциясын тұрғызыңыз (нұсқаңызға сәйкес кестеден құрастыру үшін мәліметтер алыңыз). Проекциялық жазықтықтарды ауыстыру әдісі арқылы қима контурының табиғи өлшемін тұрғызу. Даму құру. Аксонометриялық проекцияны таңдап, сызыңыз. Өлшемдерді қолданбаңыз. Сызбада құрылыс және проекциялық байланыс желілеріне арналған нүктелер көрсетілуі керек.
Бұл мақалада біз алдымен қиылысатын сызықтар арасындағы бұрышты анықтап, графикалық иллюстрация береміз. Келесі сұраққа жауап береміз: «Тікбұрышты координаталар жүйесіндегі осы түзулердің бағыт векторларының координаталары белгілі болса, қиылысу түзулерінің арасындағы бұрышты қалай табуға болады?»? Қорытындылай келе мысалдар мен есептер шығару кезінде қиылысатын түзулердің арасындағы бұрышты табуға жаттығамыз.
Бетті шарлау.
Қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш – анықтау.
Біз бірте-бірте қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты анықтауға жақындаймыз.
Алдымен қиғаш сызықтардың анықтамасын еске түсірейік: үш өлшемді кеңістіктегі екі түзу деп аталады. шағылыстыру, егер олар бір жазықтықта жатпаса. Бұл анықтамадан қиылысатын түзулердің қиылыспайтыны, параллель еместігі, сонымен қатар, сәйкес келмейтіні, әйтпесе олардың екеуі де белгілі бір жазықтықта жататыны шығады.
Қосымша көмекші пайымдаулар берейік.
Үш өлшемді кеңістікте екі қиылысатын a және b түзулері берілсін. a 1 және b 1 түзулерін сәйкесінше a және b қисаю түзулеріне параллель болатындай және M 1 кеңістігінің қандай да бір нүктесінен өтетіндей етіп салайық. Осылайша, біз екі қиылысатын a 1 және b 1 түзулерін аламыз. Қиылысатын a 1 және b 1 түзулерінің арасындағы бұрыш бұрышқа тең болсын. Енді M 1 нүктесінен өзгеше М 2 нүктесі арқылы өтетін, сәйкесінше a және b қисаю түзулеріне параллель a 2 және b 2 түзулерін салайық. Қиылысатын a 2 және b 2 түзулерінің арасындағы бұрыш та бұрышқа тең болады. Бұл мәлімдеме дұрыс, өйткені a 1 және b 1 түзулері сәйкесінше a 2 және b 2 түзулерімен сәйкес келеді, егер параллель тасымалдау орындалса, онда M 1 нүктесі M 2 нүктесіне жылжиды. Сонымен, сәйкесінше берілген қиылысатын түзулерге параллель, М нүктесінде қиылысатын екі түзудің арасындағы бұрыштың өлшемі М нүктесін таңдауға тәуелді емес.
Енді біз қиылысатын сызықтар арасындағы бұрышты анықтауға дайынбыз.
Анықтама.
Қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш- берілген қиылысатын түзулерге сәйкесінше параллель болатын екі қиылысатын түзудің арасындағы бұрыш.
Анықтамадан қиылысатын сызықтар арасындағы бұрыш М нүктесін таңдауға да тәуелді болмайтыны шығады. Сондықтан М нүктесі ретінде қиылысатын түзулердің біріне жататын кез келген нүктені алуға болады.
Қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты анықтауға мысал келтірейік.
Қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты табу.
Қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш қиылысатын түзулер арасындағы бұрыш арқылы анықталатындықтан, қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты табу үш өлшемді кеңістікте сәйкес қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты табуға дейін азаяды.
Орта мектептегі геометрия сабақтарында оқытылатын әдістер қиылысатын түзулердің арасындағы бұрышты табуға қолайлы екені сөзсіз. Яғни, қажетті конструкцияларды аяқтай отырып, фигуралардың теңдігіне немесе ұқсастығына негізделген шарттан белгілі кез келген бұрышпен қажетті бұрышты қосуға болады, кейбір жағдайларда бұл көмектеседі. косинус теоремасы, ал кейде нәтижеге әкеледі бұрыштың синусын, косинусын және тангенсін анықтаутікбұрышты үшбұрыш.
Бірақ қиылысатын түзулер арасындағы бұрышты табу есебін координаталық әдіспен шешу өте ыңғайлы. Бұл біз қарастыратын нәрсе.
Oxyz үш өлшемді кеңістікте енгізілсін (бірақ көптеген мәселелерде оны өзіңіз енгізу керек).
Өзімізге тапсырма қояйық: Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесіндегі кеңістіктегі түзудің кейбір теңдеулеріне сәйкес келетін a және b қиылысу түзулерінің арасындағы бұрышты табайық.
Оны шешейік.
Үш өлшемді M кеңістігіндегі ерікті нүктені алайық және ол арқылы сәйкесінше a және b қиылысу түзулеріне параллель a 1 және b 1 түзулері өтеді деп алайық. Сонда қиылысатын a және b түзулерінің арасындағы қажетті бұрыш анықтамасы бойынша қиылысатын a 1 және b 1 түзулерінің арасындағы бұрышқа тең болады.
Осылайша, біз тек қиылысатын a 1 және b 1 түзулерінің арасындағы бұрышты табуымыз керек. Кеңістікте қиылысатын екі түзудің арасындағы бұрышты табу формуласын қолдану үшін a 1 және b 1 түзулерінің бағыт векторларының координаталарын білу керек.
Біз оларды қалай аламыз? Және бұл өте қарапайым. Түзудің бағыт векторының анықтамасы параллель түзулердің бағыт векторларының жиындары сәйкес келетінін бекітуге мүмкіндік береді. Сондықтан a 1 және b 1 түзулерінің бағыт векторларын бағыт векторлары ретінде алуға болады 
Және 
a және b түзулері.
Сонымен, Екі қиылысатын a және b түзулерінің арасындағы бұрыш формула бойынша есептеледі 
, Қайда Және сәйкесінше a және b түзулерінің бағыт векторлары болып табылады.
Қиылысу түзулерінің арасындағы бұрыштың косинусын табу формуласы a және b пішіні бар 
.
Косинусы белгілі болса, қиылысу сызықтары арасындағы бұрыштың синусын табуға мүмкіндік береді: 
.
Мысалдардың шешімдерін талдау қалды.
Мысал.
Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесінде теңдеулер арқылы анықталған a және b қиылысу түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз. 
Және 
.
Шешім.
Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулері осы түзудің бағыттаушы векторының координаталарын бірден анықтауға мүмкіндік береді – олар бөлшектердің бөлгіштеріндегі сандармен беріледі, яғни, 
. Кеңістіктегі түзудің параметрлік теңдеулері де бағыт векторының координаталарын бірден жазуға мүмкіндік береді – олар параметр алдындағы коэффициенттерге тең, яғни 
- тура вектор . Осылайша, бізде қиылысатын сызықтар арасындағы бұрыш есептелетін формуланы қолдану үшін барлық қажетті деректер бар: 
Жауап:
Берілген қиылысатын түзулердің арасындағы бұрыш -ге тең.
Мысал.
ABCD пирамидасының AD және ВС қырлары жататын қиылысу түзулерінің арасындағы бұрыштың синусы мен косинусын табыңыз, егер оның төбелерінің координаталары белгілі болса: .
Шешім.
AD және BC қиылысу сызықтарының бағыт векторлары және векторлары болып табылады. Олардың координаталарын вектордың соңғы және бастапқы нүктелерінің сәйкес координаталары арасындағы айырма ретінде есептейік: 
Формула бойынша 
көрсетілген қиылысатын сызықтар арасындағы бұрыштың косинусын есептей аламыз:
Енді қиылысатын түзулер арасындағы бұрыштың синусын есептейік: 
Шексіздік.Дж. Уоллис (1655).
Алғаш рет ағылшын математигі Джон Валистің «Конусты кесінділер туралы» трактатында кездеседі.
Натурал логарифмдердің негізі. Л.Эйлер (1736).
Математикалық тұрақты, трансценденттік сан. Бұл нөмір кейде шақырылады қауырсынсызшотландтардың құрметінеғалым Непье, «Логарифмдердің таңғажайып кестесінің сипаттамасы» еңбегінің авторы (1614). Тұрақты бірінші рет 1618 жылы жарияланған Непьердің жоғарыда аталған еңбегінің ағылшын тіліндегі аудармасының қосымшасында жасырын түрде кездеседі. Тұрақтының өзін алғаш рет швейцариялық математигі Якоб Бернулли пайыздық кірістің шекті мәні мәселесін шешу кезінде есептеген.
2,71828182845904523...
Бұл тұрақтының алғашқы белгілі қолданылуы, мұнда ол әріппен белгіленді б, Лейбництің Гюйгенске жазған хаттарында, 1690-1691 ж. Хат eЭйлер оны 1727 жылы қолдана бастады және осы хатпен бірге шыққан алғашқы басылым 1736 жылы «Механика немесе қозғалыс туралы ғылым, аналитикалық түрде түсіндіріледі» атты еңбегі болды. Сәйкесінше, eәдетте шақырылады Эйлер саны. Неліктен әріп таңдалды? e, нақты белгісіз. Бұл сөздің осыдан басталуына байланысты шығар экспоненциалды(«индикативті», «экпоненциалды»). Тағы бір болжам - әріптер а, б, вЖәне dқазірдің өзінде басқа мақсаттар үшін кеңінен қолданылды және eбірінші «тегін» хат болды.
Шеңбердің диаметрге қатынасы. В.Джонс (1706), Л.Эйлер (1736).
Математикалық тұрақты, иррационал сан. «Pi» саны, ескі атауы - Людольфтың саны. Кез келген иррационал сан сияқты, π шексіз периодты емес ондық бөлшек түрінде берілген:
π =3,141592653589793...
Алғаш рет бұл санның грек әрпімен белгіленуі π британдық математигі Уильям Джонс «Математикаға жаңа кіріспе» кітабында қолданылған және ол Леонхард Эйлердің жұмысынан кейін жалпы қабылданған. Бұл белгілеу грек тіліндегі περιφερεια - шеңбер, периферия және περιμετρος - периметр сөздерінің бастапқы әрпінен шыққан. Иоганн Генрих Ламберт 1761 жылы π-тің иррационалдылығын, ал Адриен Мари Леджендре 1774 жылы π 2-нің иррационалдылығын дәлелдеді. Леджендре мен Эйлер π трансцендентальды болуы мүмкін деп есептеді, яғни. бүтін коэффициенттері бар кез келген алгебралық теңдеуді қанағаттандыра алмайды, оны 1882 жылы Фердинанд фон Линдеман дәлелдеген.
Қиял бірлік. Л.Эйлер (1777, баспа – 1794).
теңдеу екені белгілі x 2 =1екі тамыры бар: 1 Және -1 . Елестетілген бірлік теңдеудің екі түбірінің бірі болып табылады x 2 = -1, латын әрпімен белгіленген мен, басқа түбір: -і. Бұл белгілеуді осы мақсат үшін латын сөзінің бірінші әрпін алған Леонхард Эйлер ұсынған. қиялшыл(қиял). Ол сондай-ақ барлық стандартты функцияларды күрделі доменге кеңейтті, яғни. ретінде көрсетілетін сандар жиыны a+ib, Қайда аЖәне б- нақты сандар. «Күрделі сан» терминін 1831 жылы неміс математигі Карл Гаусс кеңінен қолданысқа енгізді, дегенмен бұрын бұл терминді 1803 жылы француз математигі Лазаре Карно осы мағынада қолданған.
Бірлік векторлары. У.Гамильтон (1853).
Бірлік векторлары көбінесе координаталар жүйесінің координат осімен (атап айтқанда, декарттық координаталар жүйесінің осьтерімен) байланысты. Ось бойымен бағытталған бірлік векторы X, белгіленген мен, ось бойымен бағытталған бірлік вектор Ы, белгіленген j, және ось бойымен бағытталған бірлік векторы З, белгіленген к. Векторлар мен, j, кбірлік векторлар деп аталады, олардың бірлік модульдері бар. «Орт» терминін ағылшын математигі және инженері Оливер Хевсайд (1892) енгізді және нота мен, j, к- ирланд математигі Уильям Гамильтон.
Санның бүтін бөлігі, анти. К.Гаусс (1808).
x санының [x] санының бүтін бөлігі х-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан болып табылады. Сонымен, =5, [-3,6]=-4. [x] функциясын «х-тің антиері» деп те атайды. Бүкіл бөлік функциясының таңбасын 1808 жылы Карл Гаусс енгізген. Кейбір математиктер оның орнына 1798 жылы Леджендре ұсынған E(x) белгісін қолданғанды жөн көреді.
Параллелизм бұрышы. Н.И. Лобачевский (1835).
Лобачевский жазықтығында – түзу сызық арасындағы бұрышб, нүктесі арқылы өтуТУРАЛЫсызыққа параллельа, нүктесі жоқТУРАЛЫ, және перпендикулярТУРАЛЫқосулы а. α - осы перпендикулярдың ұзындығы. Нүкте алыстаған сайынТУРАЛЫтүзу сызықтан апараллелизм бұрышы 90°-тан 0°-қа дейін төмендейді. Лобачевский параллелизм бұрышының формуласын бердіP( α )=2arctg e - α /қ , Қайда q— Лобачевский кеңістігінің қисықтығымен байланысты кейбір тұрақты.
Белгісіз немесе айнымалы шамалар. Р.Декарт (1637).
Математикада айнымалы - ол қабылдай алатын мәндер жиынтығымен сипатталатын шама. Бұл физикалық контекстен уақытша оқшауланған нақты физикалық шаманы да, нақты әлемде теңдесі жоқ кейбір абстрактілі шаманы да білдіруі мүмкін. Айнымалы ұғымы 17 ғасырда пайда болды. бастапқыда жай күйлерді емес, қозғалысты, процестерді зерттеуді алға шығарған жаратылыстану талаптарының әсерінен. Бұл концепция оны білдіру үшін жаңа формаларды қажет етті. Мұндай жаңа формалар Рене Декарттың әріптік алгебрасы мен аналитикалық геометриясы болды. Алғаш рет тікбұрышты координаталар жүйесі мен x, y белгісін Рене Декарт 1637 жылы «Әдіс туралы әңгіме» атты еңбегінде енгізді. Пьер Ферма да координаталық әдісті дамытуға үлес қосты, бірақ оның еңбектері алғаш рет ол қайтыс болғаннан кейін жарияланды. Декарт пен Ферма координат әдісін тек жазықтықта қолданды. Үш өлшемді кеңістік үшін координат әдісін алғаш рет 18 ғасырда Леонхард Эйлер қолданған.
Вектор. О.Коши (1853).
Ең басынан вектор деп шамасы, бағыты және (міндетті емес) қолдану нүктесі бар объект түсініледі. Векторлық есептеудің бастаулары Гаусста (1831) комплекс сандардың геометриялық моделімен бірге пайда болды. Гамильтон өзінің кватерниондық есептеуінің бөлігі ретінде векторлармен әзірленген операцияларды жариялады (вектор кватернионның елестетілген құрамдас бөліктері арқылы құрылған). Гамильтон терминді ұсынды векторы(латын сөзінен векторы, тасымалдаушы) және векторлық талдаудың кейбір операцияларын сипаттады. Максвелл бұл формализмді электромагнетизм туралы еңбектерінде қолданып, сол арқылы ғалымдардың назарын жаңа есептеулерге аударды. Көп ұзамай Гиббстің Векторлық талдаудың элементтері шықты (1880 ж.), содан кейін Heaviside (1903) векторлық талдаудың заманауи көрінісін берді. Векторлық белгіні 1853 жылы француз математигі Августин Луи Коши қолданысқа енгізген.
Қосу, азайту. Дж.Видман (1489).
Плюс және минус белгілері неміс математикалық мектебінде «Коссист» (яғни алгебристер) ойлап табылған сияқты. Олар Ян (Иоганнес) Видманның 1489 жылы шыққан «Барлық саудагерлер үшін жылдам және жағымды есеп» оқулығында қолданылады. Бұрын қосымша әріппен белгіленетін б(латын тілінен плюс«көп») немесе латын сөзі т.б(«және» жалғауы), ал азайту – әріп м(латын тілінен минус«аз, аз») Видман үшін плюс белгісі қосуды ғана емес, сонымен қатар «және» жалғауын да ауыстырады. Бұл белгілердің шығу тегі түсініксіз, бірақ олар бұрын пайда мен шығынның көрсеткіштері ретінде саудада пайдаланылған болуы мүмкін. Екі рәміз де көп ұзамай Еуропада кең таралған болды - Италияны қоспағанда, ол бір ғасырға жуық ескі белгілерді қолдануды жалғастырды.
Көбейту. В.Оутред (1631), Г.Лейбниц (1698).
Көлбеу крест түріндегі көбейту белгісін 1631 жылы ағылшын Уильям Оутред енгізген. Оның алдында хат жиі қолданылған М, дегенмен басқа белгілер де ұсынылды: тіктөртбұрыш таңбасы (француз математигі Эригон, 1634), жұлдызша (швейцариялық математигі Иоган Рахн, 1659). Кейінірек Готфрид Вильгельм Лейбниц әріппен шатастырмау үшін крестті нүктемен (17 ғасырдың аяғында) ауыстырды. x; оған дейін мұндай символизм неміс астрономы және математигі Региомонтанус (15 ғасыр) мен ағылшын ғалымы Томас Эрриот (1560 -1621) арасында табылған.
Бөлім. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).
Уильям Оутред қиғаш сызықты / бөлу белгісі ретінде пайдаланды. Готфрид Лейбниц бөлуді қос нүктемен белгілей бастады. Оларға дейін хат та жиі қолданылған D. Фибоначчиден бастап фракцияның көлденең сызығы да қолданылады, оны Герон, Диофант және араб еңбектерінде қолданған. Англия мен АҚШ-та 1659 жылы Иоганн Рахн (мүмкін Джон Пеллдің қатысуымен) ұсынған ÷ (обелус) символы кең тарады. Американың математикалық стандарттар жөніндегі ұлттық комитетінің әрекеті ( Математикалық талаптар жөніндегі ұлттық комитет) тәжірибеден обелусты алып тастау (1923) сәтсіз болды.
Пайыз. M. de la Porte (1685).
Бірлік ретінде алынған бүтіннің жүзден бір бөлігі. «Процент» сөзінің өзі латынның «pro centum» сөзінен шыққан, ол «жүзге» дегенді білдіреді. 1685 жылы Парижде Матье де ла Портенің «Коммерциялық арифметика бойынша нұсқаулық» кітабы жарық көрді. Бір жерде олар пайыздар туралы айтты, содан кейін олар «cto» (центоның қысқартылған) деп белгіленді. Дегенмен, теруші бұл «cto» дегенді бөлшек деп қателесіп, «%» басып шығарды. Сонымен, қатеге байланысты бұл белгі қолданысқа енді.
Дәрежелер. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).
Көрсеткіштің заманауи белгісін Рене Декарт өзінің « Геометрия"(1637), дегенмен, көрсеткіші 2-ден асатын табиғи дәрежелер үшін ғана. Кейінірек Исаак Ньютон жазбаның бұл түрін теріс және бөлшек көрсеткішке дейін кеңейтті (1676), оның түсіндірмесі осы уақытқа дейін ұсынылған: фламандтық математик және инженер Саймон Стивин, ағылшын математигі Джон Уоллис және француз математигі Альберт Жирард.
Арифметикалық түбір n-нақты санның дәрежесі А≥0, - теріс емес сан n- ші дәрежесі тең А. 2-дәрежелі арифметикалық түбір квадрат түбір деп аталады және дәрежесін көрсетпей жазуға болады: √. 3-дәрежелі арифметикалық түбір текше түбір деп аталады. Ортағасырлық математиктер (мысалы, Кардано) шаршы түбірді R x (латын тілінен) символымен белгіледі. Радикс, түбір). Қазіргі заманғы белгілерді алғаш рет 1525 жылы Коссист мектебінен шыққан неміс математигі Кристоф Рудольф қолданған. Бұл таңба сол сөздің стильдендірілген бірінші әрпінен шыққан түбір. Алғашында радикалды өрнектің үстінде ешқандай сызық болған жоқ; оны кейінірек Декарт (1637) басқа мақсатпен (жақшаның орнына) енгізді және бұл қасиет көп ұзамай түбір белгісімен біріктірілді. 16 ғасырда текше түбірі келесідей белгіленді: R x .u.cu (лат. Radix universalis cubica). Альберт Жирард (1629) ерікті дәреженің түбірі үшін таныс белгілерді қолдана бастады. Бұл формат Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбництің арқасында құрылды.
Логарифм, ондық логарифм, натурал логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А.Принсхайм (1893).
«Логарифм» термині шотланд математигі Джон Непьерге тиесілі. «Логарифмдердің таңғажайып кестесінің сипаттамасы», 1614); ол гректің λογος (сөз, қатынас) және αριθμος (сан) сөздерінің бірігуінен пайда болған. Дж.Напье логарифмі – екі санның қатынасын өлшеуге арналған көмекші сан. Логарифмнің қазіргі анықтамасын алғаш рет ағылшын математигі Уильям Гардинер (1742) берген. Анықтау бойынша, санның логарифмі бнегізделген а (а ≠ 1, a > 0) - көрсеткіш м, оның санын көбейту керек а(логарифм негізі деп аталады) алу үшін б. Белгіленген журнал а б.Сонымен, m = журнал а б, Егер a m = b.
Ондық логарифмдердің алғашқы кестелерін 1617 жылы Оксфорд математикасының профессоры Генри Бриггс басып шығарды. Сондықтан шетелде ондық логарифмдерді Бриггс логарифмдері деп атайды. «Табиғи логарифм» терминін Пьетро Менголи (1659) мен Николас Меркатор (1668) енгізді, дегенмен лондондық математика мұғалімі Джон Спиделл натурал логарифмдер кестесін сонау 1619 жылы құрастырған.
19 ғасырдың аяғына дейін логарифмнің жалпы қабылданған белгісі, негізі болған жоқ. атаңбаның сол жағында және үстінде көрсетілген журнал, содан кейін оның үстіне. Ақырында, математиктер негіз үшін ең қолайлы жер таңбадан кейін сызықтан төмен деген қорытындыға келді. журнал. Логарифм белгісі – «логарифм» сөзінің аббревиатурасының нәтижесі – логарифмдердің алғашқы кестелерінің пайда болуымен бір мезгілде дерлік әртүрлі формаларда пайда болады, т.б. Журнал- И.Кеплер (1624) және Г.Бриггс (1631), журнал- Б.Кавальери (1632 ж.). Белгі лннатурал логарифм үшін неміс математигі Альфред Прингхайм (1893) енгізді.
Синус, косинус, тангенс, котангенс. В.Оутред (17 ғ. ортасы), И.Бернулли (18 ғ.), Л.Эйлер (1748, 1753).
Синус пен косинустың аббревиатурасын 17 ғасырдың ортасында Уильям Оутред енгізген. Тангенс пен котангенстің қысқартулары: тг, ctg 18 ғасырда Иоганн Бернулли енгізген олар Германия мен Ресейде кең тарады. Басқа елдерде бұл функциялардың атаулары қолданылады тотығу, төсекАльберт Жирард бұдан да ертерек, 17 ғасырдың басында ұсынған. Леонхард Эйлер (1748, 1753) тригонометриялық функциялар теориясын оның қазіргі формасына әкелді және біз оған нақты символизмді бекіту үшін қарыздармыз.«Тригонометриялық функциялар» терминін 1770 жылы неміс математигі және физигі Георг Симон Клюгель енгізген.
Үнді математиктері бастапқыда синус сызығы деп атады «арха-джива»(«жартылай ішек», яғни жарты аккорд), содан кейін сөз «арча»жойылды және синус сызығы жай атала бастады «джива». Араб аудармашылары бұл сөзді аудармаған «джива»Араб сөзі «ватар», жіп пен хорданы білдіретін және араб әріптерімен транскрипцияланып, синус сызығын атай бастады. «жиба». Өйткені араб тілінде қысқа дауысты дыбыстар таңбаланбайды, бірақ сөздегі ұзын «и». «жиба»жарты дауысты «th» сияқты белгіленген, арабтар синус сызығының атауын айта бастады. «жибе», бұл сөзбе-сөз «қуыс», «синус» дегенді білдіреді. Араб шығармаларын латын тіліне аударғанда еуропалық аудармашылар бұл сөзді аударған «жибе»Латын сөзі синус, бірдей мағынаға ие.«Тангенс» термині (лат.жанамалар- жанасу) дегенді дат математигі Томас Финк өзінің «Дөңгелек геометриясы» (1583) кітабында енгізген.
Арксин. К.Шерфер (1772), Дж.Лагранж (1772).
Кері тригонометриялық функциялар – тригонометриялық функцияларға кері болатын математикалық функциялар. Кері тригонометриялық функцияның атауы сәйкес тригонометриялық функцияның атынан «доға» префиксін қосу арқылы жасалады (лат. доға- доға).Кері тригонометриялық функциялар әдетте алты функцияны қамтиды: арксинус (арксин), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксекант (arcsec) және арккосекант (arccosec). Кері тригонометриялық функциялар үшін арнайы белгілерді алғаш рет Даниэль Бернулли (1729, 1736) қолданған.Префикс арқылы кері тригонометриялық функцияларды белгілеу тәсілі доға(лат. доға, arc) австриялық математик Карл Шерфермен бірге пайда болды және француз математигі, астрономы және механикі Джозеф Луи Лагранждың арқасында біріктірілді. Мысалы, кәдімгі синус оны шеңбер доғасының бойымен бағындыратын хорданы табуға мүмкіндік береді, ал кері функция қарама-қарсы есепті шешеді. 19 ғасырдың аяғына дейін ағылшын және неміс математикалық мектептері басқа белгілерді ұсынды: sin -1 және 1/sin, бірақ олар кеңінен қолданылмайды.
Гиперболалық синус, гиперболалық косинус. В.Рикати (1757).
Тарихшылар гиперболалық функциялардың алғаш рет пайда болуын ағылшын математигі Авраам де Моврдың (1707, 1722) еңбектерінде ашты. Олардың заманауи анықтамасы мен егжей-тегжейлі зерттеуін итальяндық Винченцо Риккати 1757 жылы өзінің «Опускулорум» еңбегінде жасады, ол сонымен қатар олардың белгілеулерін ұсынды: ш,б. Риккати бірлік гиперболаны қарастырудан бастады. Гиперболалық функциялардың қасиеттерін тәуелсіз ашу және одан әрі зерттеуді неміс математигі, физигі және философы Иоганн Ламберт (1768) жүзеге асырды, ол қарапайым және гиперболалық тригонометрия формулаларының кең параллелизмін белгіледі. Н.И. Лобачевский кейіннен бұл параллелизмді кәдімгі тригонометрия гиперболалық геометриямен алмастыратын евклидтік емес геометрияның сәйкестігін дәлелдеу әрекетінде қолданды.
Тригонометриялық синус пен косинус координаталық шеңбердегі нүктенің координаталары сияқты, гиперболалық синус пен косинус гиперболадағы нүктенің координаталары болып табылады. Гиперболалық функциялар экспоненциалмен өрнектеледі және тригонометриялық функциялармен тығыз байланысты: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Тригонометриялық функцияларға ұқсастығы бойынша гиперболалық тангенс пен котангенс сәйкесінше гиперболалық синус пен косинустың, косинус пен синустың қатынасы ретінде анықталады.
Дифференциалды. Г.Лейбниц (1675, 1684 ж. жарияланған).
Функция өсімінің негізгі, сызықтық бөлігі.Егер функция y=f(x)бір айнымалы x бар x=x 0туынды және өсімΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)функциялары f(x)түрінде көрсетуге боладыΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , мүше қайда Рсалыстырғанда шексіз азΔx. Бірінші мүшеdy=f"(x 0 )Δxбұл кеңеюде және функцияның дифференциалы деп аталады f(x)нүктесіндеx 0. IN Готфрид Лейбниц, Якоб және Иоган Бернулли шығармалары сөз«айырмашылық»ұлғайту мағынасында қолданылған, оны И.Бернулли Δ арқылы белгілеген. Г.Лейбниц (1675, 1684 ж.) «шексіз аз айырмашылық» белгісін қолданды.d- сөздің бірінші әрпі«дифференциалды», бастап ол қалыптастырды«айырмашылық».
Анықталмаған интеграл. Г.Лейбниц (1675, 1686 ж. жарияланған).
«Интеграл» сөзін алғаш рет баспада Джейкоб Бернулли (1690) қолданған. Мүмкін бұл термин латын тілінен алынған бүтін сан- тұтас. Тағы бір болжам бойынша, негіз латын сөзі болды integro- бұрынғы күйіне келтіру, қалпына келтіру. ∫ таңбасы математикада интегралды көрсету үшін қолданылады және латын сөзінің бірінші әрпінің стильдендірілген көрінісі болып табылады. қорытынды -сома. Оны алғаш рет неміс математигі және дифференциалдық және интегралдық есептеулердің негізін салушы Готфрид Лейбниц 17 ғасырдың аяғында қолданған. Дифференциалдық және интегралдық есептеулердің тағы бір негізін қалаушылардың бірі Исаак Ньютон өз еңбектерінде интегралдың альтернативті символизмін ұсынбады, бірақ ол әртүрлі нұсқаларды қолданып көрді: функцияның үстіндегі тік жолақ немесе функцияның алдында тұрған шаршы таңба немесе шектейді. Функция үшін анықталмаған интеграл y=f(x)берілген функцияның барлық қарсы туындыларының жиыны болып табылады.
Анықталған интеграл. Дж.Фурье (1819-1822).
Функцияның анықталған интегралы f(x)төменгі шегімен ажәне жоғарғы шегі байырмашылығы ретінде анықтауға болады F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Қайда F(x)- функцияның кейбір антитуындысы f(x) . Анықталған интеграл a ∫ b f(x)dx сандық жағынан х осімен және түзу сызықтармен шектелген фигураның ауданына тең x=aЖәне x=bжәне функцияның графигі f(x). Анықталған интегралдың бізге таныс формадағы жобасын 19 ғасырдың басында француз математигі және физигі Жан Батист Джозеф Фурье ұсынған.
Туынды. Г.Лейбниц (1675), Дж.Лагранж (1770, 1779).
Туынды – функцияның өзгеру жылдамдығын сипаттайтын дифференциалдық есептеудің негізгі ұғымы f(x)аргумент өзгергенде x . Ол функция өсімінің оның аргументінің өсіміне қатынасының шегі ретінде анықталады, өйткені мұндай шектеу бар болса, аргумент өсімі нөлге ұмтылады. Қандай да бір нүктеде ақырлы туындысы бар функция сол нүктеде дифференциалданатын деп аталады. Туындыны есептеу процесі дифференциалдау деп аталады. Кері процесс интеграция болып табылады. Классикалық дифференциалдық есепте туынды көбінесе шектер теориясының ұғымдары арқылы анықталады, бірақ тарихи тұрғыдан шектер теориясы дифференциалдық есептен кеш пайда болды.
«Туынды» терминін 1797 жылы Джозеф Луи Лагранж енгізген, туындының штрих арқылы белгіленетін белгісін де ол қолданады (1770, 1779), және dy/dx- Готфрид Лейбниц 1675 ж. Уақыт туындысын әріп үстінде нүктемен белгілеу тәсілі Ньютоннан (1691) келеді.Орысша «функцияның туындысы» терминін алғаш рет орыс математигі қолданғанВасилий Иванович Висковатов (1779-1812).
Жартылай туынды. А.Лжендре (1786), Дж.Лагранж (1797, 1801).
Көптеген айнымалылардың функциялары үшін ішінара туындылар анықталады - қалған аргументтер тұрақты деп есептелетін аргументтердің біріне қатысты туындылар. Белгілер ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ ж 1786 жылы француз математигі Адриен Мари Леджендре енгізген; fx",z x "- Джозеф Луи Лагранж (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ ж- екінші ретті жартылай туындылар – неміс математигі Карл Густав Якоб Якоби (1837).
Айырмашылық, өсу. И.Бернулли (17 ғ. соңы – 18 ғ. бірінші жартысы), Л.Эйлер (1755).
Δ әрпімен өсуді белгілеуді алғаш рет швейцариялық математик Иоганн Бернулли қолданған. Дельта символы 1755 жылы Леонгард Эйлердің жұмысынан кейін жалпы қолданысқа енді.
сомасы. Л.Эйлер (1755).
Қосынды шамаларды қосудың нәтижесі (сандар, функциялар, векторлар, матрицалар және т.б.). a 1, a 2, ..., a n n санының қосындысын белгілеу үшін гректің “sigma” Σ әрпі қолданылады: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 а и. Қосындының Σ белгісін 1755 жылы Леонхард Эйлер енгізген.
Жұмыс. К.Гаусс (1812).
Өнім көбейтудің нәтижесі болып табылады. a 1, a 2, ..., a n n санының көбейтіндісін белгілеу үшін гректің pi Π әрпі қолданылады: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i. . Мысалы, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Өнімнің Π белгісін 1812 жылы неміс математигі Карл Гаусс енгізген. Орыс математикалық әдебиетінде «өнім» терминін алғаш рет 1703 жылы Леонтий Филиппович Магнитский кездестірді.
Факторлық. К. Крамп (1808).
n санының факториалы (белгіленген n!, «en факториалды» деп айтылады) n-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі: n! = 1·2·3·...·n. Мысалы, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Анықтама бойынша 0 қабылданады! = 1. Факториал тек теріс емес бүтін сандар үшін анықталады. n факториалы n элементтің орын ауыстыру санына тең. Мысалы, 3! = 6, шын мәнінде,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Үш элементтің барлық алты және тек алты ауыстыруы.
«Факторлық» терминін француз математигі және саясаткері Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800) енгізді, n! - француз математигі Кристиан Крамп (1808).
Модуль, абсолютті мән. К.Вейерштрасс (1841).
x нақты санының абсолютті мәні келесідей анықталған теріс емес сан болып табылады: |x| = x x ≥ 0 үшін және |x| = -x үшін x ≤ 0. Мысалы, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. z = a + ib комплексті санның модулі √(a 2 + b 2) тең нақты сан.
«Модуль» терминін ағылшын математигі және философы, Ньютонның шәкірті Роджер Котес ұсынған деп есептеледі. Готфрид Лейбниц де осы функцияны қолданды, ол оны «модуль» деп атады және былай белгіледі: моль х. Абсолюттік шаманың жалпы қабылданған белгісін 1841 жылы неміс математигі Карл Вейерштрасс енгізді. Күрделі сандар үшін бұл ұғымды 19 ғасырдың басында француз математиктері Августин Коши мен Жан Роберт Арган енгізген. 1903 жылы австриялық ғалым Конрад Лоренц вектордың ұзындығына бірдей символизмді қолданған.
Норма. Э.Шмидт (1908).
Норма - бұл векторлық кеңістікте анықталған және вектордың ұзындығы немесе санның модулі туралы түсінікті жалпылайтын функция. «Норма» белгісін (латынның «norma» - «ереже», «үлгі» деген сөзінен шыққан) 1908 жылы неміс математигі Эрхард Шмидт енгізген.
Шектеу. С.Люйлье (1786), В.Гамильтон (1853), көптеген математиктер (ХХ ғасырдың басына дейін)
Лимит математикалық талдаудың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады, ол қарастырылып отырған өзгеру процесінде белгілі бір айнымалы шаманың белгілі бір тұрақты шамаға шексіз жақындауын білдіреді. Шек ұғымын 17 ғасырдың екінші жартысында Исаак Ньютон, сондай-ақ 18 ғасырдағы Леонхард Эйлер және Джозеф Луи Лагранж сияқты математиктер интуитивті түрде қолданған. Реттілік шегінің алғашқы қатаң анықтамаларын 1816 жылы Бернард Болзано және 1821 жылы Августин Коши берген. Lim таңбасы (латынның limes – шекара сөзінен алғашқы 3 әріп) 1787 жылы швейцар математигі Саймон Антуан Жан Люйльемен пайда болды, бірақ оның қолданылуы әлі қазіргілерге ұқсамады. Таныс формадағы lim өрнегін алғаш рет 1853 жылы ирланд математигі Уильям Гамильтон қолданған.Вейерштрасс қазіргіге жақын белгіні енгізді, бірақ таныс көрсеткінің орнына ол теңдік белгісін қолданды. Көрсеткі 20 ғасырдың басында бірден бірнеше математиктердің арасында пайда болды - мысалы, 1908 жылы ағылшын математигі Годфрид Харди.
Zeta функциясы, d Риман дзета функциясы. Б.Риман (1857).
Күрделі айнымалының аналитикалық функциясы s = σ + it, σ > 1 үшін, конвергентті Дирихле қатарымен абсолютті және біркелкі анықталады:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
σ > 1 үшін Эйлер туындысы түріндегі ұсыну жарамды:
ζ(лар) = Πб (1-p -s) -s,
мұнда өнім барлық негізгі п. бойынша алынады. Цета функциясы сандар теориясында үлкен рөл атқарады.Нақты айнымалының функциясы ретінде zeta функциясын 1737 жылы (1744 жылы жарияланған) Л.Эйлер енгізді, ол оның өнімге кеңеюін көрсетті. Бұл функцияны кейін неміс математигі Л.Дирихле және әсіресе сәтті түрде орыс математигі және механигі П.Л. Чебышев жай сандардың таралу заңын зерттегенде. Дегенмен, zeta функциясының ең терең қасиеттері кейінірек, неміс математигі Георг Фридрих Бернхард Риманның (1859) жұмысынан кейін ашылды, мұнда zeta функциясы күрделі айнымалының функциясы ретінде қарастырылды; Ол сонымен қатар 1857 жылы «zeta функциясы» атауын және ζ(s) белгісін енгізді.
Гамма функциясы, Эйлер Γ функциясы. А.Лжендре (1814).
Гамма функциясы факториал ұғымын кешенді сандар өрісіне дейін кеңейтетін математикалық функция. Әдетте Γ(z) арқылы белгіленеді. G-функциясын алғаш рет 1729 жылы Леонхард Эйлер енгізді; мына формуламен анықталады:
Γ(z) = лимn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).
G-функциясы арқылы интегралдардың, шексіз туындылардың және қатарлардың қосындыларының үлкен саны өрнектеледі. Аналитикалық сандар теориясында кеңінен қолданылады. «Гамма функциясы» атауын және Γ(z) белгісін 1814 жылы француз математигі Адриен Мари Лежендре ұсынған.
Бета функциясы, B функциясы, Эйлер В функциясы. Дж.Бинет (1839).
p>0, q>0 үшін теңдікпен анықталған p және q екі айнымалының функциясы:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Бета функциясын Γ-функция арқылы көрсетуге болады: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Бүтін сандар үшін гамма функциясы факториалды жалпылау сияқты, бета функция белгілі бір мағынада биномдық коэффициенттерді жалпылау болып табылады.
Бета функциясы көптеген қасиеттерді сипаттайдыэлементар бөлшектерқатысу күшті өзара әрекеттесу. Бұл ерекшелікті итальяндық физик-теоретик байқағанГабриэль Венециано 1968 жылы. Бұл бастама болдыжіп теориясы.
«Бета-функция» атауын және B(p, q) белгісін 1839 жылы француз математигі, механик және астрономы Жак Филипп Мари Бине енгізген.
Лаплас операторы, Лаплас. Р. Мерфи (1833).
x 1, x 2, ..., x n айнымалылардың φ(x 1, x 2, ..., x n) функцияларын тағайындайтын Δ сызықтық дифференциалдық операторы:
Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.
Атап айтқанда, бір айнымалының φ(x) функциясы үшін Лаплас операторы 2-ші туынды операторымен сәйкес келеді: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Δφ = 0 теңдеуі әдетте Лаплас теңдеуі деп аталады; «Лаплас операторы» немесе «Лаплас» деген атаулар осы жерден шыққан. Δ белгісін 1833 жылы ағылшын физигі және математигі Роберт Мерфи енгізген.
Гамильтон операторы, набла операторы, Гамильтондық. О.Хевсайд (1892).
Форманың векторлық дифференциалдық операторы
∇ = ∂/∂x мен+ ∂/∂ж · j+ ∂/∂z · к,
Қайда мен, j, Және к- координаталық бірлік векторлары. Векторлық талдаудың негізгі операциялары, сондай-ақ Лаплас операторы Nabla операторы арқылы табиғи түрде өрнектеледі.
1853 жылы ирланд математигі Уильям Роуэн Гамильтон бұл операторды енгізіп, оған ∇ таңбасын инверттелген грек әрпі Δ (дельта) ретінде ойлап тапты. Гамильтонда таңбаның ұшы сол жаққа қараған болса, кейінірек шотланд математигі және физигі Питер Гутри Тейттің еңбектерінде таңба өзінің заманауи формасына ие болды. Гамильтон бұл символды «atled» деп атады («дельта» сөзі кері оқылады). Кейінірек ағылшын ғалымдары, оның ішінде Оливер Хевсайд бұл таңбаны финикиялық алфавиттегі ∇ әрпінің аты кездесетін жерде «набла» деп атай бастады. Әріптің шығу тегі арфа сияқты музыкалық аспаппен байланысты, ναβλα (набла) көне грек тілінен аударғанда «арфа» дегенді білдіреді. Оператор Гамильтон операторы немесе набла операторы деп аталды.
Функция. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).
Жиындардың элементтері арасындағы байланысты көрсететін математикалық түсінік. Функцияны «заң», «ереже» деп айта аламыз, оған сәйкес бір жиынның әрбір элементі (анықтау облысы деп аталады) басқа жиынның қандай да бір элементімен (мәндер облысы деп аталады) байланысады. Функцияның математикалық тұжырымдамасы бір шама екінші шаманың мәнін қалай толық анықтайтыны туралы интуитивті идеяны білдіреді. Көбінесе «функция» термині сандық функцияны білдіреді; яғни кейбір сандарды басқалармен сәйкестендіру функциясы. Ұзақ уақыт бойы математиктер жақшасыз аргументтерді көрсетті, мысалы, бұл сияқты - φх. Бұл белгіні алғаш рет 1718 жылы швейцариялық математик Иоган Бернулли қолданған.Жақшалар тек бірнеше аргумент болған жағдайда немесе аргумент күрделі өрнек болған жағдайда ғана пайдаланылды. Сол кездердің жаңғырығы бүгінгі күнге дейін қолданылып жүрген жазбаларsin x, log xт.б. Бірақ бірте-бірте жақшаны пайдалану f(x) жалпы ережеге айналды. Ал мұның басты еңбегі Леонхард Эйлерге тиесілі.
Теңдік. R. Record (1557).
Теңдік белгісін 1557 жылы Уэльс дәрігері және математигі Роберт Рекорд ұсынған; таңбаның контуры қазіргіден әлдеқайда ұзын болды, өйткені ол екі параллель сегменттің бейнесіне еліктеді. Автор әлемде ұзындығы бірдей екі параллель кесіндіден асқан тең ештеңе жоқ деп түсіндірді. Бұған дейін ежелгі және ортағасырлық математикада теңдік сөзбен белгіленді (мысалы est egale). 17 ғасырда Рене Декарт æ (лат. aequalis), және ол коэффициенттің теріс болуы мүмкін екенін көрсету үшін қазіргі теңдік белгісін қолданды. Франсуа Вьет азайтуды белгілеу үшін теңдік белгісін қолданды. Жазба белгісі бірден кең тараған жоқ. Жазба таңбасының таралуына көне заманнан бері бір таңбаның түзу сызықтардың параллельдігін көрсету үшін пайдаланылуы кедергі болды; Соңында параллелизм таңбасын тік ету туралы шешім қабылданды. Континенттік Еуропада «=» белгісін Готфрид Лейбниц 17-18 ғасырлар тоғысында ғана енгізді, яғни Роберт Рекорд қайтыс болғаннан кейін 100 жылдан астам уақыт өткен соң, оны алғаш рет осы мақсатта пайдаланды.
Шамамен тең, шамамен тең. А.Гюнтер (1882).
қол қою» ≈" 1882 жылы неміс математигі және физигі Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер тарапынан "шамамен тең" қатынастың символы ретінде қолданысқа енгізілді.
Көбірек аз. Т.Гарриот (1631).
Бұл екі белгіні 1631 жылы ағылшын астрономы, математигі, этнографы және аудармашысы Томас Харриот қолданысқа енгізген, оған дейін «көп» және «аз» сөздері қолданылған.
Салыстырмалылық. К.Гаусс (1801).
Салыстыру дегеніміз n және m екі бүтін сандардың арасындағы қатынас, яғни бұл сандардың n-m айырмасы салыстыру модулі деп аталатын берілген a бүтін санына бөлінеді; ол былай жазылады: n≡m(mod а) және «n және m сандары a модулі бойынша салыстырылады» деп оқылады. Мысалы, 3≡11(mod 4), өйткені 3-11 4-ке бөлінеді; 3 және 11 сандары салыстырылатын модуль 4. Конгруенциялардың теңдіктерге ұқсас көптеген қасиеттері бар. Сонымен, салыстырудың бір бөлігінде орналасқан терминді қарама-қарсы таңбамен екінші бөлікке ауыстыруға болады, ал сол модульмен салыстыруларды қосуға, азайтуға, көбейтуге, салыстырудың екі бөлігін бірдей санға көбейтуге және т.б. . Мысалы,
3≡9+2(4-мод) және 3-2≡9(4-мод)
Сонымен қатар шынайы салыстырулар. Ал 3≡11(mod 4) және 1≡5(mod 4) дұрыс салыстыру жұбынан келесілер шығады:
3+1≡11+5(мод 4)
3-1≡11-5(мод 4)
3·1≡11·5(мод 4)
3 2 ≡11 2 (4 режим)
3·23≡11·23(мод 4)
Сандар теориясы әртүрлі салыстыруларды шешу әдістерімен айналысады, яғни. бір немесе басқа түрдегі салыстыруды қанағаттандыратын бүтін сандарды табу әдістері.Модульдік салыстыруды алғаш рет неміс математигі Карл Гаусс өзінің 1801 жылғы «Арифметикалық зерттеулер» кітабында қолданған. Ол сондай-ақ математикада бекітілген салыстыру үшін символизмді ұсынды.
Жеке басын куәландыратын. Б.Риман (1857).
Сәйкестік - оған енгізілген әріптердің кез келген рұқсат етілген мәндері үшін жарамды екі аналитикалық өрнектің теңдігі. a+b = b+a теңдігі a және b барлық сандық мәндері үшін жарамды, сондықтан сәйкестік болып табылады. Жеке тұлғаларды жазу үшін кейбір жағдайларда 1857 жылдан бастап «≡» («бірдей тең» деп оқылады) белгісі қолданылады, оның авторы неміс математигі Георг Фридрих Бернхард Риман. Сіз жазып аласыз a+b ≡ b+a.
Перпендикулярлық. П.Эригон (1634).
Перпендикулярлық – екі түзудің, жазықтықтың немесе көрсетілген фигуралар тік бұрышты құрайтын түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы. Перпендикулярлықты білдіретін ⊥ белгісін 1634 жылы француз математигі және астрономы Пьер Эригон енгізген. Перпендикулярлық ұғымында бірқатар жалпылаулар бар, бірақ олардың барлығы, әдетте, ⊥ белгісімен бірге жүреді.
Параллелизм. В.Оутред (қайтыс болғаннан кейінгі басылым 1677).
Параллельдік – белгілі геометриялық фигуралар арасындағы қатынас; мысалы, түзу. Әртүрлі геометрияларға байланысты әртүрлі анықталады; мысалы, Евклид геометриясында және Лобачевский геометриясында. Параллелизм белгісі ежелгі дәуірден белгілі, оны Герон мен Александриялық Паппус қолданған. Алғашында таңба ағымдағы теңдік белгісіне ұқсас болды (тек ұзартылған), бірақ соңғысының пайда болуымен шатастырмау үшін таңба тігінен || бұрылды. Бұл формада алғаш рет 1677 жылы ағылшын математигі Уильям Огтред еңбектерінің қайтыс болғаннан кейінгі басылымында пайда болды.
Қиылысу, одақ. Дж.Пеано (1888).
Жиындардың қиылысуы – барлық берілген жиындарға бір уақытта тиесілі және тек сол элементтерді қамтитын жиын. Жиындар одағы – бастапқы жиындардың барлық элементтерін қамтитын жиын. Қиылысу және біріктіру жоғарыда көрсетілген ережелерге сәйкес белгілі бір жиындарға жаңа жиындар тағайындайтын жиындардағы операциялар деп те аталады. Сәйкесінше ∩ және ∪ арқылы белгіленеді. Мысалы, егер
A= (♠ ♣ )Және B= (♣ ♦),
Бұл
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Құрамында, бар. Э.Шредер (1890).
Егер А және В екі жиын болса және А-да В-ға жатпайтын элементтер болмаса, онда олар В-да А бар деп айтады. Олар A⊂B немесе B⊃A деп жазады (В құрамында А). Мысалы,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
«Құрамында» және «құрамында» таңбаларын 1890 жылы неміс математигі және логикасы Эрнст Шредер пайда болды.
Тиістілік. Дж.Пиано (1895).
Егер a A жиынының элементі болса, онда a∈A деп жазып, «a A-ға тиесілі» деп оқыңыз. Егер а A жиынының элементі болмаса, a∉A деп жазып, «a A жиынына жатпайды» деп оқыңыз. Басында «құрамында» және «тиісті» («элемент болып табылады») қатынастары ажыратылмады, бірақ уақыт өте бұл ұғымдар саралауды қажет етті. ∈ символын алғаш рет 1895 жылы итальяндық математик Джузеппе Пеано қолданған. ∈ таңбасы гректің εστι – болу сөзінің бірінші әрпінен шыққан.
Әмбебаптық кванторы, болмыстың кванфикаторы. Г.Гентцен (1935), К.Пирс (1885).
Квантор – предикаттың (математикалық тұжырымның) ақиқат облысын көрсететін логикалық операциялардың жалпы атауы. Философтар предикаттың ақиқат аймағын шектейтін логикалық операцияларға ұзақ уақыт назар аударды, бірақ оларды операциялардың жеке класы ретінде анықтаған жоқ. Кванторлық-логикалық конструкциялар ғылыми және күнделікті сөйлеуде кеңінен қолданылғанымен, олардың формализациясы тек 1879 жылы неміс логикасы, математигі және философы Фридрих Людвиг Готлоб Фрегенің «Ұғымдар есебі» кітабында орын алды. Фреге белгілеуі қиын графикалық конструкциялар сияқты көрінді және қабылданбады. Кейіннен көптеген табысты символдар ұсынылды, бірақ жалпы қабылданған белгілер 1885 жылы американдық философ, логик және математик Чарльз Пирс ұсынған экзистенциалды кванфикатор үшін («бар», «бар» деп оқыңыз) және ∀ болды. 1935 жылы неміс математигі және логикасы Герхард Карл Эрих Гентцен құрған әмбебап кванфикатор үшін («кез келген», «әрқайсысы», «әркім» деп оқыңыз) болмыстың кванторының символына ұқсастығы бойынша (ағылшын сөздерінің инверттелген бірінші әріптері) Бар болу (бар болу) және Кез келген (кез келген)). Мысалы, жазу
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
былай оқылады: «кез келген ε>0 үшін δ>0 бар, сондықтан барлық х үшін х 0-ге тең емес және |x-x 0 теңсіздігін қанағаттандыратын |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Бос жиын. Н.Бурбаки (1939).
Бір элементі жоқ жиын. Бос жиынтықтың белгісі 1939 жылы Николас Бурбакидің кітаптарында енгізілген. Бурбаки - 1935 жылы құрылған француз математиктері тобының ұжымдық бүркеншік аты. Бурбаки тобының мүшелерінің бірі Ø символының авторы Андре Вайль болды.
Q.E.D. Д.Кнут (1978).
Математикада дәлелдеу белгілі бір тұжырымның ақиқат екенін көрсететін белгілі бір ережелерге негізделген пайымдаулар тізбегі ретінде түсініледі. Қайта өрлеу дәуірінен бері дәлелдеудің соңын математиктер «Q.E.D.» аббревиатурасымен, «Quod Erat Demonstrandum» латын сөзінен шыққан – «Дәлелдеуге не талап етілді» деп белгіледі. 1978 жылы ΤΕΧ компьютерлік орналасу жүйесін жасаған кезде американдық информатика профессоры Дональд Эдвин Кнут символды пайдаланды: толтырылған шаршы, венгриялық американдық математик Пол Ричард Халмостың атымен аталатын «Халмос символы». Бүгінгі күні дәлелдеудің аяқталуы әдетте Халмос символымен белгіленеді. Балама ретінде басқа белгілер пайдаланылады: бос шаршы, тікбұрышты үшбұрыш, // (екі қиғаш сызық), сондай-ақ орыс аббревиатурасы «ch.t.d.»
