Dwa kąty nazywane są pionowymi, jeśli boki jednego kąta są przedłużeniem boków drugiego.
Rysunek pokazuje rogi 1 oraz 3 , a także kąty 2 oraz 4 - pionowy. Narożnik 2 przylega do obu kątów 1 , i pod kątem 3. Zgodnie z właściwością sąsiednich kątów 1 +2 =180 0 i 3 +2 =1800. Stąd otrzymujemy: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Zatem miary stopnia kątów 1 oraz 3 są równe. Wynika z tego, że same kąty są równe. Więc kąty pionowe są równe.
2. Znaki równości trójkątów.
Jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.
Jeżeli bok i dwa sąsiednie kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.
3. Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom innego trójkąta, to takie trójkąty są równe.
1 znak równości trójkątów:
Rozważ trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1, w których AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, kąty A i A 1 są równe. Udowodnijmy, że ABC=A 1 B 1 C 1 .
Ponieważ (y) A \u003d (y) A 1, trójkąt ABC można nałożyć na trójkąt A 1 B 1 C 1 tak, aby wierzchołek A był wyrównany z wierzchołkiem A1, a boki AB i AC zostały nałożone, odpowiednio na promieniach A 1 B 1 i A 1 C 1 . Ponieważ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, wówczas strona AB zostanie połączona ze stroną A 1 B 1, a strona AC - ze stroną A 1 C 1; w szczególności punkty B i B1, C i C1 będą się pokrywać. Dlatego boki BC i B 1 C 1 zostaną wyrównane. Zatem trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są całkowicie kompatybilne, co oznacza, że są równe. CTD
3. Twierdzenie o dwusiecznej trójkąta równoramiennego.
W trójkącie równoramiennym dwusieczna narysowana do podstawy jest medianą i wysokością.
Przejdźmy do figury, na której ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie BC, AD jest jego dwusieczną.
Z równości trójkątów ABD i ACD (według II kryterium równości trójkątów: AD jest wspólne; kąty 1 i 2 są równe, ponieważ AD-dwusieczna; AB=AC, ponieważ trójkąt jest równoramienny) wynika, że BD = DC i 3 = 4. Równość BD = DC oznacza, że punkt D jest środkiem boku BC, a zatem AD jest medianą trójkąta ABC. Ponieważ kąty 3 i 4 sąsiadują ze sobą i są sobie równe, są to kąty proste. Dlatego odcinek AO jest również wysokością trójkąta ABC. CHTD.
4. Jeśli linie są równoległe -> kąt…. (opcjonalny)
5. Jeżeli kąt ... ..-> linie są równoległe (opcjonalnie)
Jeśli na przecięciu dwóch linii siecznej odpowiednie kąty są równe, to linie są równoległe.
Niech na przecięciu prostych aib siecznej z odpowiednimi kątami będą równe, na przykład 1=2.
Ponieważ kąty 2 i 3 są pionowe, to 2=3. Z tych dwóch równości wynika, że 1=3. Ale kąty 1 i 3 są poprzeczne, więc linie a i b są równoległe. CHTD.
6. Twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
Suma kątów trójkąta wynosi 180 0.
Rozważ dowolny trójkąt ABC i udowodnij, że A+B+C=180 0 .
Narysujmy linię prostą a przez wierzchołek B, równoległą do boku AC. Kąty 1 i 4 są kątami leżącymi poprzecznie na przecięciu linii równoległych a i AC przez sieczną AB, a kąty 3 i 5 są kątami leżącymi poprzecznie na przecięciu tych samych linii równoległych przez sieczną BC. Dlatego (1)4=1; 5=3.
Oczywiście suma kątów 4, 2 i 5 jest równa kątowi prostemu z wierzchołkiem B, tj. 4+2+5=1800 . Stąd biorąc pod uwagę równości (1) otrzymujemy: 1+2+3=180 0 lub A+B+C=180 0 .
7. Znak równości trójkątów prostokątnych.
1. Pierwsza oznaka równoległości.
Jeżeli na przecięciu dwóch linii z trzecią kąty wewnętrzne leżące w poprzek są równe, to te linie są równoległe.
Niech proste AB i CD będą przecięte przez prostą EF i ∠1 = ∠2. Weźmy punkt O - środek odcinka KL siecznego EF (ryc.).
Upuśćmy prostopadłą OM z punktu O do prostej AB i kontynuujmy ją, aż przetnie się z prostą CD, AB ⊥ MN. Udowodnijmy, że CD ⊥ MN również.
Aby to zrobić, rozważ dwa trójkąty: MOE i NOK. Te trójkąty są sobie równe. Rzeczywiście: ∠1 = ∠2 na podstawie hipotezy twierdzenia; OK = OL - według konstrukcji;
∠MOL = ∠NOK jako kąty pionowe. Zatem bok i dwa sąsiadujące z nim kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiadującym z nim kątom innego trójkąta; zatem ΔMOL = ΔNOK, a zatem ∠LMO = ∠KNO,
ale ∠LMO jest bezpośrednie, stąd ∠KNO jest również bezpośrednie. Zatem proste AB i CD są prostopadłe do tej samej prostej MN, a więc są równoległe, co należało udowodnić.
Notatka. Przecięcie linii MO i CD można ustalić, obracając trójkąt MOL wokół punktu O o 180°.
2. Druga oznaka równoległości.
Zobaczmy, czy proste AB i CD są równoległe, jeśli na przecięciu ich trzeciej prostej EF odpowiadające im kąty są równe.
Niech niektóre odpowiadające kąty będą równe, na przykład ∠ 3 = ∠2 (rys.);
∠3 = ∠1 jako kąty pionowe; więc ∠2 będzie równe ∠1. Ale kąty 2 i 1 są wewnętrznymi kątami poprzecznymi i już wiemy, że jeśli na przecięciu dwóch prostych o jedną trzecią wewnętrzne kąty leżące poprzecznie są równe, to te linie są równoległe. Dlatego AB || PŁYTA CD.
Jeśli na przecięciu dwóch linii trzeciej odpowiadające im kąty są równe, to te dwie linie są równoległe.
Na tej właściwości opiera się konstrukcja linii równoległych za pomocą linijki i trójkąta rysunkowego. Odbywa się to w następujący sposób.
Przymocujmy trójkąt do linijki, jak pokazano na ryc. Przesuniemy trójkąt tak, aby jeden jego bok przesuwał się po linijce i narysujemy kilka prostych linii wzdłuż dowolnego innego boku trójkąta. Te linie będą równoległe.
3. Trzeci znak równoległości.
Wiedzmy, że na przecięciu dwóch prostych AB i CD przez trzecią, suma dowolnych wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 d(lub 180°). Czy w tym przypadku linie AB i CD będą równoległe (rys.).
Niech ∠1 i ∠2 będą jednostronnymi kątami wewnętrznymi i dodajmy do 2 d.
Ale ∠3 + ∠2 = 2 d jako kąty sąsiednie. Dlatego ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Stąd ∠1 = ∠3, a te kąty wewnętrzne są poprzeczne. Dlatego AB || PŁYTA CD.
Jeżeli na przecięciu dwóch prostych przez jedną trzecią, suma wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 d (lub 180 °), to dwie linie są równoległe.
Znaki równoległych linii:
1. Jeżeli na przecięciu dwóch linii prostych o jedną trzecią, wewnętrzne kąty leżące są równe, to te linie są równoległe.2. Jeśli na przecięciu dwóch linii trzeciej, odpowiednie kąty są równe, to te dwie linie są równoległe.
3. Jeżeli na przecięciu dwóch linii trzeciej suma kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 180 °, to te dwie linie są równoległe.
4. Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe do siebie.
5. Jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii, to są do siebie równoległe.
Aksjomat równoległości Euklidesa
Zadanie. Przez punkt M wzięty poza linię AB narysuj linię równoległą do linii AB.
Korzystając ze sprawdzonych twierdzeń o znakach równoległości prostych, problem ten można rozwiązać na różne sposoby,
Rozwiązanie. 1. s o b (ryc. 199).
Rysujemy MN⊥AB i przez punkt M rysujemy CD⊥MN;
otrzymujemy CD⊥MN i AB⊥MN.
Na podstawie twierdzenia ("Jeżeli dwie proste są prostopadłe do tej samej, to są równoległe.") wnioskujemy, że СD || AB.
Druga część (ryc. 200).
Rysujemy MK przecinający AB pod dowolnym kątem α, a przez punkt M rysujemy prostą EF, tworząc kąt EMK z prostą MK, równy kątowi α. Na podstawie twierdzenia () wnioskujemy, że EF || AB.
Po rozwiązaniu tego problemu możemy uznać, że udowodniono, że przez dowolny punkt M, wyprowadzony poza prostą AB, można narysować linię równoległą do niej. Powstaje pytanie, ile linii równoległych do danej linii i przechodzących przez dany punkt może istnieć?
Praktyka konstrukcji pozwala założyć, że istnieje tylko jedna taka linia, ponieważ przy starannie wykonanym rysunku linie rysowane na różne sposoby przez ten sam punkt równolegle do tej samej linii łączą się.
Teoretycznie odpowiedź na to pytanie daje tak zwany aksjomat równoległości Euklidesa; formułuje się to tak:
Przez punkt wyprowadzony poza daną linię można narysować tylko jedną linię równoległą do tej linii.
Na rysunku 201 linia prosta SK jest poprowadzona przez punkt O, równoległa do linii prostej AB.
Każda inna linia przechodząca przez punkt O nie będzie już równoległa do prostej AB, ale będzie ją przecinać.
Aksjomat przyjęty przez Euklidesa w jego Elementach, który mówi, że na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt wyprowadzony poza daną linię, tylko jedna linia może być narysowana równolegle do tej linii, nazywa się Aksjomat równoległości Euklidesa.
Przez ponad dwa tysiące lat po Euklidesie wielu matematyków próbowało udowodnić to matematyczne twierdzenie, ale ich próby zawsze kończyły się niepowodzeniem. Dopiero w 1826 roku wielki rosyjski naukowiec, profesor Uniwersytetu Kazańskiego Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski udowodnił, że używając wszystkich innych aksjomatów Euklidesa, nie można udowodnić tego matematycznego twierdzenia, że naprawdę należy je traktować jako aksjomat. N. I. Łobaczewski stworzył nową geometrię, którą w przeciwieństwie do geometrii Euklidesa nazwano geometrią Łobaczewskiego.
AB oraz ZD przekroczony przez trzecią linię MN, to utworzone w tym przypadku kąty otrzymują parami następujące nazwy:odpowiednie kąty: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;
wewnętrzne narożniki krzyżujące się: 3 i 5, 4 i 6;
zewnętrzne narożniki krzyżujące się: 1 i 7, 2 i 8;
narożniki wewnętrzne jednostronne: 3 i 6, 4 i 5;
narożniki zewnętrzne jednostronne: 1 i 8, 2 i 7.
Tak więc ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ale przez udowodnione ∠ 4 = ∠ 6.
Dlatego ∠ 2 = ∠ 8.
3. Odpowiednie kąty 2 i 6 są takie same, ponieważ ∠ 2 = ∠ 4, a ∠ 4 = ∠ 6. Upewniamy się również, że pozostałe odpowiednie kąty są równe.
4. Suma narożniki wewnętrzne jednostronne 3 i 6 będą 2d, ponieważ suma sąsiednie rogi 3 i 4 są równe 2d = 180 0 , a ∠ 4 można zastąpić identycznym ∠ 6. Upewnij się również, że suma kątów 4 i 5 równa się 2d.
5. Suma narożniki zewnętrzne jednostronne będzie 2d, ponieważ te kąty są odpowiednio równe narożniki wewnętrzne jednostronne jak rogi pionowy.
Z powyższego uzasadnienia otrzymujemy twierdzenia odwrotne.
Gdy na przecięciu dwóch prostych dowolnej trzeciej linii otrzymujemy, że:
1. Wewnętrzne kąty leżenia krzyżowego są takie same;
lub 2. Zewnętrzne kąty leżenia krzyżowego są takie same;
lub 3. Odpowiednie kąty są takie same;
lub 4. Suma kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 2d = 180 0 ;
lub 5. Suma zewnętrznej jednostronnej wynosi 2d = 180 0 ,
wtedy pierwsze dwie linie są równoległe.
Znaki równoległości dwóch linii
Twierdzenie 1. Jeśli na przecięciu dwóch linii siecznej:
kąty leżące po przekątnej są równe lub
odpowiednie kąty są równe, lub
suma kątów jednostronnych wynosi 180°, to
linie są równoległe(rys. 1).
Dowód. Ograniczamy się do dowodu przypadku 1.
Załóżmy, że na przecięciu prostych aib o sieczną AB w poprzek leżących kątów są równe. Na przykład ∠ 4 = ∠ 6. Udowodnijmy, że a || b.
Załóżmy, że proste a i b nie są równoległe. Następnie przecinają się w pewnym punkcie M iw konsekwencji jeden z kątów 4 lub 6 będzie zewnętrznym kątem trójkąta ABM. Niech 4 będzie zewnętrznym rogiem trójkąta ABM, a ∠ 6 wewnętrznym. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta wynika, że ∠ 4 jest większe niż ∠ 6, co jest sprzeczne z warunkiem, co oznacza, że proste a i 6 nie mogą się przecinać, dlatego są równoległe.
Wniosek 1. Dwie wyraźne linie w płaszczyźnie prostopadłej do tej samej linii są równoległe(rys. 2).
Komentarz. Sposób, w jaki właśnie udowodniliśmy przypadek 1 Twierdzenia 1, nazywa się metodą dowodu przez sprzeczność lub redukcję do absurdu. Metoda ta ma swoje imię, ponieważ na początku rozumowania przyjmuje się założenie przeciwne (przeciwne) do tego, co należy udowodnić. Nazywa się to redukcją do absurdu ze względu na to, że argumentując na podstawie przyjętego założenia dochodzimy do absurdalnego wniosku (absurd). Przyjęcie takiego wniosku zmusza nas do odrzucenia założenia poczynionego na początku i przyjęcia tego, które wymagało udowodnienia.
Zadanie 1. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt M i równoległą do danej prostej a, nie przechodzącą przez punkt M.
Rozwiązanie. Rysujemy linię p przez punkt M prostopadle do linii a (ryc. 3).
Następnie rysujemy linię b przez punkt M prostopadle do prostej p. Prosta b jest równoległa do prostej a zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1.
Z rozważanego problemu wynika ważny wniosek:
Przez punkt, który nie znajduje się na danej linii, zawsze można narysować linię równoległą do danej linii..
Główna właściwość linii równoległych jest następująca.
Aksjomat linii równoległych. Przez dany punkt nie na danej linii jest tylko jedna linia równoległa do danej linii.
Rozważ niektóre właściwości linii równoległych, które wynikają z tego aksjomatu.
1) Jeśli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina drugą (rys. 4).
2) Jeśli dwie różne linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe (rys. 5).
Poniższe twierdzenie jest również prawdziwe.
Twierdzenie 2. Jeżeli dwie równoległe linie przecina sieczna, to:
kąty leżenia są równe;
odpowiednie kąty są równe;
suma kątów jednostronnych wynosi 180°.
Konsekwencja 2. Jeśli linia jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest również prostopadła do drugiej.(patrz rys.2).
Komentarz. Twierdzenie 2 nazywamy odwrotnością Twierdzenia 1. Konkluzja Twierdzenia 1 jest warunkiem Twierdzenia 2. A warunkiem Twierdzenia 1 jest konkluzja Twierdzenia 2. Nie każde twierdzenie ma odwrotność, tzn. jeśli dane twierdzenie jest prawdziwe, wtedy twierdzenie odwrotne może być fałszywe.
Wyjaśnijmy to na przykładzie twierdzenia o kątach pionowych. Twierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeśli dwa kąty są pionowe, to są równe. Twierdzenie odwrotne byłoby następujące: jeśli dwa kąty są równe, to są one pionowe. I to oczywiście nie jest prawdą. Dwa równe kąty wcale nie muszą być pionowe.
Przykład 1 Dwie równoległe linie przecina trzecia. Wiadomo, że różnica między dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi wynosi 30°. Znajdź te kąty.
Rozwiązanie. Niech rysunek 6 spełnia warunek.
