W życiu często musimy zmierzyć się z problemami matematycznymi: w szkole, na uczelni, a potem pomagać dziecku w odrabianiu zadań domowych. Osoby niektórych zawodów na co dzień zetkną się z matematyką. Dlatego warto zapamiętać lub przywołać reguły matematyczne. W tym artykule przeanalizujemy jeden z nich: znalezienie odnogi trójkąta prostokątnego.
Co to jest trójkąt prostokątny
Najpierw pamiętajmy, co to jest trójkąt prostokątny. Trójkąt prostokątny to figura geometryczna trzech segmentów, które łączą punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej, a jeden z kątów tej figury wynosi 90 stopni. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami, a strona leżąca naprzeciwko kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną.
Znalezienie odnogi trójkąta prostokątnego
Istnieje kilka sposobów na sprawdzenie długości nogi. Chciałbym omówić je bardziej szczegółowo.
Twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć nogę trójkąta prostokątnego
Jeśli znamy przeciwprostokątną i odnogę, możemy obliczyć długość nieznanej odnogi za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Brzmi to tak: „Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Wzór: c²=a²+b², gdzie c to przeciwprostokątna, a i b to nogi. Przekształcamy wzór i otrzymujemy: a²=c²-b².
Przykład. Przeciwprostokątna ma 5 cm, a noga 3 cm Przekształcamy wzór: c²=a²+b² → a²=c²-b². Następnie decydujemy: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Relacje trygonometryczne, aby znaleźć ramię trójkąta prostokątnego
Możliwe jest również znalezienie nieznanej nogi, jeśli znany jest jakikolwiek inny bok i dowolny kąt ostry trójkąta prostokątnego. Istnieją cztery opcje znajdowania odnogi za pomocą funkcji trygonometrycznych: według sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. W rozwiązaniu problemów pomoże nam poniższa tabela. Rozważmy te opcje.
Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą sinusa
Sinus kąta (sin) to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej. Wzór: sin \u003d a / c, gdzie a to noga przeciwna do danego kąta, a c to przeciwprostokątna. Następnie przekształcamy formułę i otrzymujemy: a=sin*c.
Przykład. Przeciwprostokątna ma 10 cm, a kąt A 30 stopni. Zgodnie z tabelą obliczamy sinus kąta A, jest on równy 1/2. Następnie, korzystając z przekształconego wzoru, rozwiązujemy: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cosinusa
Cosinus kąta (cos) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Wzór: cos=b/c, gdzie b jest nogą przylegającą do ten róg, ic jest przeciwprostokątną. Przekształćmy formułę i otrzymajmy: b=cos*c.
Przykład. Kąt A wynosi 60 stopni, przeciwprostokątna 10 cm Zgodnie z tabelą obliczamy cosinus kąta A, który jest równy 1/2. Następnie rozwiązujemy: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Znajdź odnogę trójkąta prostokątnego za pomocą stycznej
Tangens kąta (tg) to stosunek przeciwległego ramienia do sąsiedniego. Wzór: tg \u003d a / b, gdzie a jest nogą przeciwległą do rogu, a b sąsiaduje. Przekształćmy formułę i otrzymajmy: a=tg*b.
Przykład. Kąt A wynosi 45 stopni, przeciwprostokątna 10 cm Zgodnie z tabelą obliczamy tangens kąta A, jest on równy Solve: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cotangensa
Cotangens kąta (ctg) jest stosunkiem odnogi sąsiedniej do odnogi przeciwnej. Wzór: ctg \u003d b / a, gdzie b jest nogą przylegającą do rogu i jest przeciwna. Innymi słowy, cotangens jest „odwróconym tangensem”. Otrzymujemy: b=ctg*a.
Przykład. Kąt A to 30 stopni, przeciwległa noga to 5 cm, zgodnie z tabelą tangens kąta A to √3. Oblicz: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Więc teraz wiesz, jak znaleźć nogę w prawym trójkącie. Jak widać, nie jest to takie trudne, najważniejsze jest zapamiętanie formuł.
Nasze badanie trygonometrii rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, co to jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.
Odwołaj to prosty kąt jest kątem równym . Innymi słowy połowa rozłożonego narożnika.
Ostry róg- mniejszy .
Kąt rozwarty- większy . W stosunku do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, a matematycznym terminem :-)
Narysujmy trójkąt prostokątny. Zazwyczaj oznaczany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczona jest strona leżąca przeciwnie do kąta.
Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.
Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.
Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.
Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciwko(w stosunku do kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.
Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:
Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:
Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):
Zwróć uwagę na podstawowe współczynniki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.
Udowodnijmy niektóre z nich.
1. Suma kątów dowolnego trójkąta wynosi . Oznacza, suma dwóch kątów ostrych trójkąta prostokątnego wynosi .
2. Z jednej strony jako stosunek przeciwprostej nogi do przeciwprostokątnej. Z drugiej strony, ponieważ dla kąta noga będzie przylegała.
Rozumiemy to. Innymi słowy, .
3. Weź twierdzenie Pitagorasa: . Podzielmy obie części przez:
Mamy podstawowa tożsamość trygonometryczna:
Tak więc znając sinus kąta, możemy znaleźć jego cosinus i na odwrót.
4. Dzieląc obie części głównej tożsamości trygonometrycznej przez , otrzymujemy:
Oznacza to, że jeśli otrzymamy tangens kąta ostrego, to od razu możemy znaleźć jego cosinus.
Podobnie,
Dobra, podaliśmy definicje i napisane formuły. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?
Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.
Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. Oto twierdzenie Pitagorasa: .
Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (oprócz prawego) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?
Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.
Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy oraz rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.
Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.
Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów tangens i cotangens nie istnieją.
Przeanalizujmy kilka problemów z trygonometrii z zadań Banku FIPI.
1. W trójkącie kąt to , . Odnaleźć .
Problem został rozwiązany w cztery sekundy.
Od , mamy: .
2. W trójkącie kąt to , , . Odnaleźć . , jest równe połowa przeciwprostokątnej.
Trójkąt z kątami i równoramiennymi. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.
Jedną z gałęzi matematyki, z którą uczniowie radzą sobie z największymi trudnościami, jest trygonometria. Nic dziwnego: aby swobodnie opanować tę dziedzinę wiedzy, potrzebne jest myślenie przestrzenne, umiejętność znajdowania sinusów, cosinusów, tangensów, cotangensów za pomocą wzorów, upraszczanie wyrażeń, umiejętność posługiwania się liczbą pi w obliczeniach. Ponadto musisz umieć zastosować trygonometrię podczas dowodzenia twierdzeń, a to wymaga albo rozwiniętej pamięci matematycznej, albo umiejętności wyprowadzania złożonych łańcuchów logicznych.
Początki trygonometrii
Znajomość tej nauki powinna rozpocząć się od zdefiniowania sinusa, cosinusa i tangensa kąta, ale najpierw musisz dowiedzieć się, co ogólnie robi trygonometria.
Historycznie, trójkąty prostokątne były głównym przedmiotem badań w tej części nauk matematycznych. Obecność kąta 90 stopni umożliwia wykonywanie różnych operacji, które pozwalają określić wartości wszystkich parametrów rozważanej figury za pomocą dwóch stron i jednego kąta lub dwóch kątów i jednego boku. W przeszłości ludzie zauważyli ten wzór i zaczęli go aktywnie wykorzystywać w budowie budynków, nawigacji, astronomii, a nawet sztuce.
Pierwszy etap
Początkowo mówiono o relacji kątów i boków wyłącznie na przykładzie trójkątów prostokątnych. Następnie odkryto specjalne formuły, które umożliwiły poszerzenie granic zastosowania w życiu codziennym tego działu matematyki.
Nauka trygonometrii w szkole zaczyna się dziś od trójkątów prostokątnych, po czym nabyta wiedza jest wykorzystywana przez uczniów w fizyce i rozwiązywaniu abstrakcyjnych równań trygonometrycznych, z którymi praca zaczyna się w szkole średniej.
Trygonometria sferyczna
Później, gdy nauka osiągnęła kolejny poziom rozwoju, wzory z sinusem, cosinusem, tangensem, cotangensem zaczęto stosować w geometrii sferycznej, gdzie obowiązują inne zasady, a suma kątów w trójkącie jest zawsze większa niż 180 stopni. Ta sekcja nie jest studiowana w szkole, ale trzeba wiedzieć o jej istnieniu, chociażby dlatego, że powierzchnia Ziemi, jak również powierzchnia każdej innej planety, jest wypukła, co oznacza, że wszelkie oznakowanie powierzchni będzie miało kształt łuku. trójwymiarowa przestrzeń.
Weź kulę ziemską i wątek. Przymocuj nić do dowolnych dwóch punktów na kuli ziemskiej, aby była napięta. Zwróć uwagę - nabrał kształtu łuku. Właśnie z takimi formami radzi sobie geometria sferyczna, która jest wykorzystywana w geodezji, astronomii i innych dziedzinach teoretycznych i stosowanych.
Trójkąt prostokątny
Po zapoznaniu się trochę ze sposobami korzystania z trygonometrii, wróćmy do podstawowej trygonometrii, aby lepiej zrozumieć, czym są sinus, cosinus, tangens, jakie obliczenia można wykonać za ich pomocą i jakich formuł użyć.
Pierwszym krokiem jest zrozumienie pojęć związanych z trójkątem prostokątnym. Po pierwsze, przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta 90 stopni. Ona jest najdłuższa. Pamiętamy, że zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jego wartość liczbowa jest równa pierwiastkowi sumy kwadratów pozostałych dwóch boków.
Na przykład, jeśli dwa boki mają odpowiednio 3 i 4 centymetry, długość przeciwprostokątnej wyniesie 5 centymetrów. Nawiasem mówiąc, starożytni Egipcjanie wiedzieli o tym około cztery i pół tysiąca lat temu.
Dwie pozostałe strony, które tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Dodatkowo musimy pamiętać, że suma kątów w trójkącie w prostokątnym układzie współrzędnych wynosi 180 stopni.
Definicja
Wreszcie, mając solidne zrozumienie podstawy geometrycznej, możemy przejść do definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta.
Sinus kąta jest stosunkiem przeciwległej nogi (tj. strony przeciwnej do pożądanego kąta) do przeciwprostokątnej. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Pamiętaj, że ani sinus, ani cosinus nie mogą być większe niż jeden! Czemu? Ponieważ przeciwprostokątna jest domyślnie najdłuższa, bez względu na długość nogi, będzie ona krótsza od przeciwprostokątnej, co oznacza, że ich stosunek będzie zawsze mniejszy niż jeden. Tak więc, jeśli otrzymasz sinus lub cosinus o wartości większej niż 1 w odpowiedzi na problem, poszukaj błędu w obliczeniach lub w rozumowaniu. Ta odpowiedź jest wyraźnie błędna.
Wreszcie tangens kąta jest stosunkiem strony przeciwnej do sąsiedniej. Ten sam wynik da dzielenie sinusa przez cosinus. Spójrz: zgodnie ze wzorem dzielimy długość boku przez przeciwprostokątną, po czym dzielimy przez długość drugiego boku i mnożymy przez przeciwprostokątną. W ten sposób otrzymujemy taki sam stosunek jak w definicji tangensa.
Cotangens, odpowiednio, jest stosunkiem boku przylegającego do narożnika do strony przeciwnej. Ten sam wynik otrzymujemy dzieląc jednostkę przez tangens.
Rozważyliśmy więc definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa i możemy zajmować się wzorami.
Najprostsze formuły
W trygonometrii nie można obejść się bez formuł - jak bez nich znaleźć sinus, cosinus, tangens, cotangens? I właśnie tego wymaga się przy rozwiązywaniu problemów.
Pierwsza formuła, którą musisz znać, zaczynając studiować trygonometrię, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa kąta jest równa jeden. Ta formuła jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ale oszczędza czas, jeśli chcesz poznać wartość kąta, a nie boku.
Wielu uczniów nie pamięta drugiej formuły, która jest również bardzo popularna przy rozwiązywaniu zadań szkolnych: suma jedynki i kwadratu tangensa kąta równa się jednemu podzielonemu przez kwadrat cosinusa kąta. Przyjrzyjmy się bliżej: w końcu jest to to samo stwierdzenie, co w pierwszym wzorze, tylko obie strony tożsamości zostały podzielone kwadratem cosinusa. Okazuje się, że prosta operacja matematyczna sprawia, że wzór trygonometryczny jest zupełnie nierozpoznawalny. Pamiętaj: wiedząc, co to są sinus, cosinus, tangens i cotangens, zasady przeliczania i kilka podstawowych formuł, możesz w każdej chwili samodzielnie wyprowadzić wymagane bardziej złożone formuły na kartce papieru.
Formuły podwójnego kąta i dodawanie argumentów
Dwie kolejne formuły, których musisz się nauczyć, są związane z wartościami sinusa i cosinusa dla sumy i różnicy kątów. Pokazano je na poniższym rysunku. Zwróć uwagę, że w pierwszym przypadku sinus i cosinus są mnożone oba razy, aw drugim dodawany jest iloczyn par sinusa i cosinusa.
Istnieją również formuły związane z argumentami podwójnego kąta. Są one całkowicie wyprowadzone z poprzednich - w ramach praktyki postaraj się je zdobyć samemu, przyjmując kąt alfa równy kątowi beta.
Na koniec zwróć uwagę, że formuły podwójnego kąta można przekonwertować, aby obniżyć stopień sinusa, cosinusa i tangensa alfa.
Twierdzenia
Dwa główne twierdzenia w podstawowej trygonometrii to twierdzenie sinus i twierdzenie cosinus. Za pomocą tych twierdzeń możesz łatwo zrozumieć, jak znaleźć sinus, cosinus i tangens, a tym samym obszar figury i rozmiar każdej strony itp.
Twierdzenie sinus mówi, że w wyniku podzielenia długości każdego z boków trójkąta przez wartość przeciwnego kąta otrzymujemy tę samą liczbę. Co więcej, liczba ta będzie równa dwóm promieniom koła opisanego, czyli koła zawierającego wszystkie punkty danego trójkąta.
Twierdzenie cosinus uogólnia twierdzenie Pitagorasa, rzutując je na dowolne trójkąty. Okazuje się, że od sumy kwadratów dwóch boków odejmij ich iloczyn pomnożony przez podwójny cosinus kąta sąsiedniego - otrzymana wartość będzie równa kwadratowi trzeciego boku. Tak więc twierdzenie Pitagorasa okazuje się szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.
Błędy spowodowane nieuwagą
Nawet wiedząc, co to jest sinus, cosinus i tangens, łatwo popełnić błąd z powodu roztargnienia lub błędu w najprostszych obliczeniach. Aby uniknąć takich błędów, zapoznajmy się z najpopularniejszymi z nich.
Po pierwsze, nie należy konwertować zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne do czasu uzyskania końcowego wyniku - możesz zostawić odpowiedź jako zwykły ułamek zwykły, chyba że warunek stanowi inaczej. Takiej transformacji nie można nazwać błędem, należy jednak pamiętać, że na każdym etapie problemu mogą pojawić się nowe korzenie, które zgodnie z zamysłem autora powinny zostać zredukowane. W takim przypadku zmarnujesz czas na niepotrzebne operacje matematyczne. Dotyczy to zwłaszcza wartości takich jak pierwiastek z trzech lub dwóch, ponieważ występują one w zadaniach na każdym kroku. To samo dotyczy zaokrąglania „brzydkich” liczb.
Ponadto zauważ, że twierdzenie cosinus dotyczy dowolnego trójkąta, ale nie twierdzenia Pitagorasa! Jeśli omyłkowo zapomnisz odjąć dwukrotnie iloczyn boków pomnożony przez cosinus kąta między nimi, nie tylko uzyskasz całkowicie błędny wynik, ale także zademonstrujesz całkowite niezrozumienie tematu. To gorsze niż nieostrożny błąd.
Po trzecie, nie myl wartości dla kątów 30 i 60 stopni dla sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Zapamiętaj te wartości, ponieważ sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 i na odwrót. Łatwo je pomieszać, w wyniku czego nieuchronnie uzyskasz błędny wynik.
Aplikacja
Wielu uczniów nie spieszy się z rozpoczęciem nauki trygonometrii, ponieważ nie rozumieją jej stosowanego znaczenia. Czym jest sinus, cosinus, tangens dla inżyniera lub astronoma? Są to koncepcje, dzięki którym można obliczyć odległość do odległych gwiazd, przewidzieć upadek meteorytu, wysłać sondę badawczą na inną planetę. Bez nich nie da się zbudować budynku, zaprojektować samochodu, obliczyć obciążenia powierzchni lub trajektorii obiektu. A to tylko najbardziej oczywiste przykłady! W końcu trygonometria w takiej czy innej formie jest używana wszędzie, od muzyki po medycynę.
Wreszcie
Więc jesteś sinus, cosinus, tangens. Możesz ich używać w obliczeniach i skutecznie rozwiązywać problemy szkolne.
Cała istota trygonometrii sprowadza się do tego, że nieznane parametry należy obliczyć ze znanych parametrów trójkąta. W sumie jest sześć parametrów: długości trzech boków i wielkości trzech kątów. Cała różnica w zadaniach polega na tym, że podawane są różne dane wejściowe.
Jak znaleźć sinus, cosinus, tangens na podstawie znanych długości nóg lub przeciwprostokątnej, już wiesz. Ponieważ te terminy oznaczają tylko stosunek, a stosunek jest ułamkiem, głównym celem zadania trygonometrycznego jest znalezienie pierwiastków równania zwyczajnego lub układu równań. A tutaj pomoże ci zwykła matematyka szkolna.
Rozdział I. Rozwiązanie trójkątów prostokątnych
§3 (37). Podstawowe wskaźniki i zadania
W trygonometrii rozważane są problemy, w których wymagane jest obliczenie niektórych elementów trójkąta przez wystarczającą liczbę wartości liczbowych jego danych elementów. Zadania te są zwykle określane jako rozwiązanie trójkąt.
Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym, C kątem prostym, a oraz b- nogi przeciwległe do kątów ostrych A i B, Z- przeciwprostokątna (ryc. 3);
Następnie mamy:
Cosinus kąta ostrego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
cos A = b/ c, cos B = a / c (1)
Sinus kąta ostrego to stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej:
grzech A = a / c, grzech B = b/ c (2)
Tangens kąta ostrego to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:
tan A = a / b, tg B = b/ a (3)
Cotangens kąta ostrego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej:
ctgA= b/ a, ctg B = a / b (4)
Suma kątów ostrych wynosi 90°.
Podstawowe problemy dla trójkątów prostokątnych.
Zadanie I. Mając przeciwprostokątną i jeden z kątów ostrych, oblicz pozostałe elementy.
Rozwiązanie. Niech dane Z i A. Kąt B = 90° - A jest również znany; nogi znajdują się ze wzorów (1) i (2).
a = c grzechA, b = c cos A.
Zadanie II . Mając nogę i jeden z kątów ostrych, oblicz pozostałe elementy.
Rozwiązanie. Niech dane a i A. Kąt B = 90° - A jest znany; ze wzorów (3) i (2) znajdujemy:
b = a tg B (= a ctg A), Z = a/grzech A
Zadanie III. Biorąc pod uwagę nogę i przeciwprostokątną, oblicz pozostałe elementy.
Rozwiązanie. Niech dane a oraz Z(oraz a< с ). Z równości (2) znajdujemy kąt A:
grzech A = a / c i A = arc sin a / c ,
i wreszcie noga b:
b = Z cos A (= Z grzech B).
Zadanie IV. Nogi a i b są podane, aby znaleźć inne elementy.
Rozwiązanie. Z równości (3) znajdujemy kąt ostry, na przykład A:
tg A = a / b, A = arctan a / b ,
kąt B \u003d 90 ° - A,
przeciwprostokątna: c = a/sin A (= b/sinB; = a/cos B)
Poniżej znajduje się przykład rozwiązania trójkąta prostokątnego za pomocą tablic logarytmicznych*.
* Obliczanie elementów trójkątów prostokątnych według tablic naturalnych znane jest z kursu geometrii klasy VIII.
Obliczając za pomocą tablic logarytmicznych należy wypisać odpowiednie wzory, prologarytmować je, podstawić dane liczbowe, znaleźć wymagane logarytmy znanych elementów (lub ich funkcji trygonometrycznych) z tablic, obliczyć logarytmy żądanych elementów (lub ich funkcji trygonometrycznych). ) i znajdź wymagane elementy z tabel.
Przykład. Dana noga a= 166,1 i przeciwprostokątna Z= 187,3; obliczyć kąty ostre, inne nogi i powierzchnię.
Rozwiązanie. Mamy:
grzech A = a / c; lg grzech A = lg a-lg c; 
A ≈ 62 ° 30", B ≈ 90 ° - 62 ° 30" 27 ° 30".
Obliczamy nogę b:
b = a tg B ; LG b= log b+ lg tg B ; 
Pole trójkąta można obliczyć za pomocą wzoru
S=1/2 ab = 0,5 a 2 kg B; 
Do kontroli obliczamy kąt A na suwaku:
\u003d grzech łukowy a / c= arc sin 166/187 ≈ 62°.
Notatka. noga b można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, korzystając z tablic kwadratów i pierwiastków kwadratowych (tabele III i IV):
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Rozbieżność z wcześniej uzyskaną wartością b= 86,48 tłumaczy się błędami tabel, które podają przybliżone wartości funkcji. Wynik 86,54 jest dokładniejszy.
Jak widać, okrąg ten zbudowany jest w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, natomiast środek okręgu leży w początku, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).
Każdy punkt okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej wzdłuż osi i współrzędnej wzdłuż osi. Jakie są te numery współrzędnych? A ogólnie, co mają wspólnego z omawianym tematem? Aby to zrobić, pamiętaj o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe prawe trójkąty. Rozważ trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do osi.
Co jest równe z trójkąta? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okręgu jednostkowego, a więc . Podstaw tę wartość do naszego wzoru cosinusa. Oto, co się dzieje:
A co jest równe z trójkąta? Ależ oczywiście, ! Podstaw wartość promienia do tego wzoru i uzyskaj:
Czy możesz mi powiedzieć, jakie są współrzędne punktu, który należy do okręgu? Cóż, nie ma mowy? A jeśli zdajesz sobie z tego sprawę i to tylko liczby? Jakiej współrzędnej to odpowiada? Oczywiście współrzędne! Jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, koordynuj! Tak więc punkt.
A co wtedy są równe i? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensa i cotangensa i zdobądźmy to.
Co jeśli kąt jest większy? Tutaj np. jak na tym obrazku:
Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, ponownie zwracamy się do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (jako sąsiadujący z kątem). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta? Zgadza się, przestrzegamy odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:
Jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; a wartości tangensa i cotangensa do odpowiednich stosunków. Zatem te relacje mają zastosowanie do dowolnych obrotów wektora promienia.
Wspomniano już, że początkowe położenie wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obróciliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go zgodnie z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, dostaniesz też kąt o określonej wielkości, ale tylko to będzie ujemne. Tak więc, obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy dodatnie kąty, a przy obrocie w prawo - negatywny.
Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu to lub. Czy można obrócić wektor promienia o lub o? Oczywiście, że możesz! Dlatego w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.
W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.
Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.
Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi i tak dalej. Ta lista może być kontynuowana w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)
Teraz, znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i używając okręgu jednostkowego, spróbuj odpowiedzieć, jakie wartości są równe:
Oto krąg jednostek, który może ci pomóc:
Jakieś trudności? Więc zastanówmy się. Wiemy więc, że:
Stąd określamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy w kolejności: róg w odpowiada punktowi o współrzędnych, dlatego:
Nie istnieje;
Ponadto, przestrzegając tej samej logiki, dowiadujemy się, że narożniki odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym łatwo wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.
Odpowiedzi:
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
W ten sposób możemy wykonać następującą tabelę:
Nie trzeba pamiętać wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:
Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i podane w poniższej tabeli: trzeba pamiętać:
Nie bój się, teraz pokażemy jeden z przykładów dość proste zapamiętywanie odpowiednich wartości:
Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać wartości sinusa dla wszystkich trzech miar kąta (), a także wartość tangensa kąta w. Znając te wartości dość łatwo odtworzyć całą tabelę – wartości cosinusów są przenoszone zgodnie ze strzałkami, czyli:
Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości. Licznik „ ” i mianownik „ ” będą się zgadzać. Wartości cotangensa są przenoszone zgodnie ze strzałkami pokazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz schemat ze strzałkami, wystarczy zapamiętać całą wartość z tabeli.
Współrzędne punktu na okręgu
Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?
Oczywiście, że możesz! Wydobądźmy ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu.
Tutaj np. mamy taki krąg:
Dano nam, że punkt jest środkiem koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrót punktu o stopnie.
Jak widać na rysunku, współrzędna punktu odpowiada długości odcinka. Długość segmentu odpowiada współrzędnej środka koła, czyli jest równa. Długość segmentu można wyrazić za pomocą definicji cosinusa:
Wtedy mamy to dla punktu współrzędnej.
Zgodnie z tą samą logiką znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. W ten sposób,
Tak więc, ogólnie rzecz biorąc, współrzędne punktów są określone wzorami:
Współrzędne środka okręgu,
promień okręgu,
Kąt obrotu wektora promienia.
Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka wynoszą zero, a promień jest równy jeden:
Cóż, wypróbujmy te formuły dla smaku, ćwicząc znajdowanie punktów na kole?
1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.
2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrót punktu.
3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.
4. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.
5. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.
Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?
Rozwiąż te pięć przykładów (lub dobrze zrozum rozwiązanie), a dowiesz się, jak je znaleźć!
1.
Można zauważyć, że. I wiemy, co odpowiada pełnemu obrocie punktu wyjścia. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:
2. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że możemy używać uproszczonych wzorów:
Można zauważyć, że. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu startowego. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:
Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Zapamiętujemy ich wartości i otrzymujemy:
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
3. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że możemy używać uproszczonych wzorów:
Można zauważyć, że. Przedstawmy rozważany przykład na rysunku:
Promień tworzy kąty z osią równą i. Wiedząc, że tabelaryczne wartości cosinusa i sinusa są równe i po ustaleniu, że cosinus ma tutaj wartość ujemną, a sinus jest dodatni, mamy:
Podobne przykłady są analizowane bardziej szczegółowo podczas studiowania wzorów redukcji funkcji trygonometrycznych w temacie.
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
4.
Kąt obrotu wektora promienia (według warunku)
Aby wyznaczyć odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt:
Jak widać, wartość, to znaczy jest dodatnia, a wartość, to znaczy jest ujemna. Znając tabelaryczne wartości odpowiednich funkcji trygonometrycznych otrzymujemy, że:
Otrzymane wartości podstawmy do naszego wzoru i znajdźmy współrzędne:
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
5. Aby rozwiązać ten problem, używamy formuł w postaci ogólnej, gdzie
Współrzędne środka okręgu (w naszym przykładzie
Promień okręgu (według warunku)
Kąt obrotu wektora promienia (według warunku).
Zastąp wszystkie wartości formułą i uzyskaj:
oraz - wartości tabeli. Zapamiętujemy je i podstawiamy do formuły:
W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.
PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA
Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).
Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).
