Når man studerer systemer med tilfeldige variabler, bør man alltid være oppmerksom på graden og arten av deres avhengighet. Denne avhengigheten kan være mer eller mindre nær.
Konseptet med uavhengige tilfeldige variabler er et av de viktige begrepene i sannsynlighetsteori.
Definisjon 1. Tilfeldig verdi Y kalles uavhengig av den tilfeldige variabelen x, hvis fordelingsloven av mengden Y er ikke avhengig av verdien tatt av verdien x.
For kontinuerlige tilfeldige variabler, uavhengighetsbetingelsen Y fra X kan skrives som:
Tvert imot, hvis Y kommer an på x, deretter
La oss bevise det avhengigheten eller uavhengigheten til tilfeldige variabler er alltid gjensidig: hvis verdien Y er ikke avhengig av x, deretter verdien X er ikke avhengig av Y.
Faktisk, la Y er ikke avhengig av X, deretter
Fugefordelingstettheten i henhold til (5.4.5) og (5.4.6) kan skrives
hvor vi får:
Q.E.D.
Siden avhengigheten og uavhengigheten til tilfeldige variabler alltid er gjensidig, er det mulig å gi en ny definisjon av uavhengige tilfeldige variabler.
Definisjon 2. tilfeldige variabler X og Y kalles uavhengige hvis fordelingsloven for hver av dem ikke avhenger av hvilken verdi den andre har. Ellers verdiene X og Y kalt avhengig.
For uavhengige kontinuerlige tilfeldige variabler har fordelingslovens multiplikasjonsteoremet formen:
de. distribusjonstettheten til et system av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av distribusjonstettheten til individuelle variabler inkludert i systemet.
La oss dvele mer detaljert ved de viktige begrepene "avhengighet" og "uavhengighet" av tilfeldige variabler.
Konseptet "avhengighet" av tilfeldige variabler, som vi bruker i sannsynlighetsteori, er noe forskjellig fra det vanlige begrepet "avhengighet" av variabler, som vi opererer i matematikk. Faktisk, vanligvis under "avhengighet" av mengder betyr de bare én type avhengighet - fullstendig, rigid, s.k. funksjonelle avhengighet. To mengder X og Y kalles funksjonelt avhengige hvis man vet verdien av en av dem nøyaktig kan indikere verdien av den andre.
I sannsynlighetsteori møter vi en annen, mer generell, type avhengighet – med sannsynlighet eller "stokastisk" avhengighet. Hvis verdien Y knyttet til verdien X probabilistisk avhengighet, da å vite verdien x, kan ikke spesifisere eksakt verdi Y, og du kan bare spesifisere distribusjonsloven, avhengig av hvilken verdi verdien har tatt x.
Sannsynlighetsavhengighet mellom tilfeldige variabler er svært vanlig i praksis. Hvis tilfeldige variabler X og Y er i en probabilistisk avhengighet, betyr ikke dette at med en endring i verdien X omfanget Y endringer på en veldig bestemt måte; det betyr bare det med en endring i verdien X omfanget Y har en tendens til også å endre seg (for eksempel øke eller redusere med økende x).
Tenk for eksempel på to slike tilfeldige variabler: X- veksten til en tilfeldig tatt person, Y-- vekten. Selvfølgelig, mengdene X og Y er i en viss sannsynlighetsavhengighet; det kommer til uttrykk i det faktum at generelt sett har personer med større høyde mer vekt.
Noen av dem avhenger ikke av hvilke verdier de andre tilfeldige variablene har tatt (eller vil ta).
For eksempel systemet med to terninger - det er helt klart at resultatet av å kaste en terning ikke påvirker sannsynligheten for at ansiktene til en annen terning faller ut på noen måte. Eller de samme uavhengig opererende spilleautomatene. Og sannsynligvis har noen inntrykk av at enhver SV generelt sett er uavhengig. Dette er imidlertid ikke alltid tilfelle.
Ta i betraktning samtidig forkaste to magnetterninger hvis nordpoler er på siden av 1-punktsflaten og sørpolene er på motsatt 6-punktsflate. Vil lignende tilfeldige variabler være uavhengige? Ja de vil. Sannsynlighetene for å droppe "1" og "6" vil ganske enkelt reduseres og sjansene for andre ansikter vil øke, fordi som et resultat av testen kan kubene tiltrekkes av motsatte poler.
Tenk nå på et system der terningene kastes suksessivt:
- antall poeng kastet på den første terningen;
- antall poeng kastet på den andre terningen, forutsatt at den alltid kastes til høyre (for eksempel) side av den første terningen.
I dette tilfellet fordelingsloven til den tilfeldige variabelen avhenger på hvordan 1. kuben er plassert. Det andre beinet kan enten tiltrekkes, eller omvendt - rebound (hvis polene med samme navn "møttes"), eller delvis eller fullstendig ignorere den første kuben.
Andre eksempel: anta at de samme spilleautomatene er samlet i et enkelt nettverk, og 
- det er et system med tilfeldige variabler - gevinster på de tilsvarende maskinene. Jeg vet ikke om denne ordningen er lovlig, men eieren av spillehallen kan enkelt sette opp nettverket på følgende måte: når en stor gevinst oppstår på en hvilken som helst maskin, vil lovene for fordeling av gevinster generelt på alle automater automatisk endring. Spesielt er det tilrådelig å tilbakestille sannsynlighetene for store gevinster i noen tid, slik at institusjonen ikke står overfor mangel på midler (i tilfelle noen plutselig vinner stort igjen). Dermed vil det vurderte systemet være avhengig.
Som et demonstrasjonseksempel kan du vurdere en kortstokk med 8 kort, la det være konger og dronninger, og et enkelt spill der to spillere etter hverandre (uansett i hvilken rekkefølge) trekker ett kort fra kortstokken. Tenk på en tilfeldig variabel , som symboliserer én spiller og har følgende verdier: 1 , hvis han trakk et hjertekort, og 0 - hvis kortet er av en annen farge.
På samme måte, la den tilfeldige variabelen symbolisere en annen spiller og ta også verdiene 0 eller 1 hvis han ikke har tegnet henholdsvis et hjerte og et hjerte.
er sannsynligheten for at begge spillerne vil trekke ut ormen,
er sannsynligheten for den motsatte hendelsen, og:
- sannsynligheten for at den ene vil trekke ut ormen, og den andre - nei; eller vice versa:
Dermed er sannsynlighetsfordelingsloven til det avhengige systemet: 
Styre: 
, som skulle verifiseres. ...Kanskje du har et spørsmål, hvorfor vurderer jeg akkurat 8, og ikke 36 kort? Ja, bare for at brøkene ikke skal bli så tungvinte.
La oss nå analysere resultatene litt. Hvis vi summerer sannsynlighetene linje for linje: , da får vi nøyaktig fordelingsloven til den tilfeldige variabelen : 
Det er lett å forstå at denne fordelingen tilsvarer situasjonen når "X"-spilleren trekker et kort alene, uten en "G"-kamerat, og hans matematiske forventning: 
- er lik sannsynligheten for å trekke ut hjerter fra kortstokken vår.
Tilsvarende hvis vi summerer sannsynlighetene etter kolonner, så får vi distribusjonsloven for et enkelt spill for den andre spilleren: 
med samme forventning
På grunn av "symmetrien" til spillereglene, viste distribusjonene seg å være de samme, men i det generelle tilfellet er de selvfølgelig forskjellige.
I tillegg er det nyttig å vurdere betingede lover om sannsynlighetsfordeling . Dette er en situasjon hvor en av de tilfeldige variablene allerede har fått en bestemt verdi, eller vi antar dette hypotetisk.
La "spilleren"-spilleren trekke et kort først og ikke trekke et hjerte. Sannsynligheten for denne hendelsen er (sum sannsynlighetene over den første kolonne tabeller - se ovenfor). Så fra det samme multiplikasjonsteoremer for sannsynlighetene for avhengige hendelser vi får følgende betingede sannsynligheter: 
- sannsynligheten for at "X"-spilleren ikke trekker et hjerte, forutsatt at den "spillende" spilleren ikke trekker et hjerte; 
- sannsynligheten for at "X"-spilleren trekker et hjerte, forutsatt at "spilleren" ikke har tegnet et hjerte.
... alle husker hvordan man blir kvitt fire-etasjers brøker? Og ja, formell, men veldig behagelig teknisk regel for beregning av disse sannsynlighetene: første sum alle sannsynligheter ved kolonne, og del deretter hver sannsynlighet med den resulterende summen.
Dermed vil den betingede loven for distribusjon av en tilfeldig variabel skrives som følger: 
, OK. La oss beregne den betingede matematiske forventningen: 
La oss nå utarbeide fordelingsloven for en tilfeldig variabel under forutsetning av at den tilfeldige variabelen har tatt verdien , dvs. "Spiller"-spilleren trakk et hjerte-egnet kort. For å gjøre dette oppsummerer vi sannsynlighetene for den andre kolonne tabeller ( se ovenfor): 
og beregne de betingede sannsynlighetene: 
- det faktum at "X"-spilleren ikke vil tegne en orm, 
- og en orm.
Dermed vil den ønskede betingede distribusjonsloven: 
Kontroll: , og betinget forventning: 
- selvfølgelig viste det seg å være mindre enn i forrige tilfelle, siden "spiller"-spilleren reduserte antall hjerter i kortstokken.
"Speil" måte (arbeid med tabellrader) kan være sammensatt - loven om distribusjon av en tilfeldig variabel, forutsatt at den tilfeldige variabelen har tatt verdien , og betinget fordeling, når "X"-spilleren har tatt ormen. Det er lett å forstå at på grunn av spillets "symmetri", vil de samme distribusjonene og de samme verdiene oppnås.
Til kontinuerlige tilfeldige variabler introdusere de samme konseptene. betingede fordelinger og matematiske forventninger, men hvis det ikke er noe varmt behov for dem, er det bedre å fortsette å studere denne leksjonen.
I praksis vil du i de fleste tilfeller bli tilbudt en ferdig distribusjonslov for et system med tilfeldige variabler:
Eksempel 4
En todimensjonal tilfeldig variabel er gitt av sin egen sannsynlighetsfordelingslov: 
... Jeg ønsket å vurdere et større bord, men jeg bestemte meg for ikke å være manisk, fordi det viktigste er å forstå selve prinsippet for løsningen.
Påkrevd:
1) Lag fordelingslover og beregn tilsvarende matematiske forventninger. Lag en rimelig konklusjon om avhengigheten eller uavhengigheten til tilfeldige variabler .
Dette er en oppgave å løse på egenhånd! Jeg minner om at når det gjelder NEs uavhengighet, gjelder lovene 
må vise seg å være den samme og sammenfalle med fordelingsloven til en tilfeldig variabel , og lovene må sammenfalle med . Desimalbrøker, som ikke vet eller har glemt, er det praktisk å dele slik:.
Du kan sjekke ut prøven nederst på siden.
2) Beregn kovarianskoeffisienten.
La oss først se på selve begrepet, og hvor det i det hele tatt kom fra: når en tilfeldig variabel får forskjellige verdier, så sier de at den varierer, og den kvantitative målingen av dette variasjoner, som du vet, kommer til uttrykk spredning. Ved å bruke formelen for å beregne variansen, samt egenskapene til forventningen og variansen, er det lett å fastslå at:
det vil si at når man legger til to tilfeldige variabler summeres deres varians og det legges til et ekstra ledd som karakteriserer leddvariasjon eller snart - kovarians
tilfeldige variabler.
kovarians eller korrelasjonsmoment - dette er mål på leddvariasjon tilfeldige variabler.
Betegnelse: eller
Kovariansen til diskrete tilfeldige variabler er definert, nå vil jeg "uttrykke" :), som den matematiske forventningen til produktet lineære avvik av disse tilfeldige variablene fra de tilsvarende matematiske forventningene:
Hvis , så tilfeldige variabler avhengig. Figurativt sett forteller en verdi som ikke er null oss om naturlig"svar" fra en SW på en endring i en annen SW.
Kovarians kan beregnes på to måter, jeg skal dekke begge.
Metode én. Av definisjon av matematisk forventning:
En "forferdelig" formel og slett ikke forferdelige utregninger. Først komponerer vi lovene for fordeling av tilfeldige variabler og - for dette oppsummerer vi sannsynlighetene over radene ("X"-verdi) og etter kolonner ("spill"-verdi):
Ta en titt på den originale topptabellen – forstår alle hvordan utdelingene ble? Beregn forventninger:
og avvik verdier av tilfeldige variabler fra de tilsvarende matematiske forventningene: 
Det er praktisk å plassere de resulterende avvikene i en todimensjonal tabell, inne som deretter omskriver sannsynlighetene fra den opprinnelige tabellen: 
Nå må du beregne alle mulige produkter, som et eksempel fremhevet jeg: (Rød farge) og (blå farge). Det er praktisk å utføre beregninger i Excel, og skrive alt i detalj på en ren kopi. Jeg er vant til å jobbe "linje for linje" fra venstre til høyre, og derfor vil jeg først liste opp alle mulige produkter med et "X" avvik på -1,6, deretter med et avvik på 0,4: 
Metode to, enklere og mer vanlig. I henhold til formelen:
Forventningen til produktet SW er definert som 
og teknisk er alt veldig enkelt: vi tar den originale tabellen over problemet og finner alle mulige produkter etter de tilsvarende sannsynlighetene ; i figuren under markerte jeg arbeidet med rødt 
og blått produkt: 
Først vil jeg liste opp alle produktene med verdien , deretter med verdien , men du kan selvfølgelig bruke en annen oppregningsrekkefølge - som du foretrekker: 
Verdiene er allerede beregnet (se metode 1), og det gjenstår å bruke formelen:
Som nevnt ovenfor, forteller ikke-null verdien av kovariansen oss om avhengigheten av tilfeldige variabler, og jo mer det er modulo, jo mer denne avhengigheten nærmere til funksjonell lineær avhengigheter. For det er bestemt gjennom lineære avvik.
Dermed kan definisjonen formuleres mer presist:
kovarians er et tiltak lineær avhengigheter av tilfeldige variabler.
Med en verdi på null er alt mer interessant. Hvis det fastslås at , kan de tilfeldige variablene vise seg å være det både uavhengig og avhengig(fordi avhengigheten ikke bare kan være lineær). På denne måten, dette faktum kan generelt ikke brukes til å underbygge SV:s uavhengighet!
Men hvis det er kjent at de er uavhengige, så . Dette kan enkelt verifiseres analytisk: siden for uavhengige tilfeldige variabler egenskapen ( se forrige leksjon), deretter i henhold til formelen for å beregne kovariansen:
Hvilke verdier kan denne koeffisienten ta? Kovarianskoeffisient tar verdier som ikke overstiger modulo– og jo mer, jo sterkere er lineær avhengighet. Og alt ser ut til å være bra, men det er en betydelig ulempe med et slikt tiltak:
Anta at vi utforsker todimensjonal kontinuerlig tilfeldig variabel(forbereder mentalt :)), komponentene som måles i centimeter, og mottok verdien 
. Hva er forresten dimensjonen av kovarians? Siden, - centimeter, og - også centimeter, så deres produkt og forventningen til dette produktet 
– uttrykt i kvadratcentimeter, dvs. kovarians, som varians, er kvadratisk verdi.
Anta nå at noen lærte det samme systemet, men brukte ikke centimeter, men millimeter. Siden 1 cm = 10 mm vil kovariansen øke med 100 ganger og være lik 
!
Derfor er det praktisk å vurdere normalisert en kovarianskoeffisient som ville gitt oss samme og dimensjonsløse verdi. Denne koeffisienten kalles, vi fortsetter vår oppgave:
3) Koeffisient korrelasjoner . Eller, mer presist, den lineære korrelasjonskoeffisienten:
, hvor - standardavvik tilfeldige variabler.
Korrelasjonskoeffisient dimensjonsløs og tar verdier fra området:
(hvis du har noe annet i praksis - se etter en feil).
Jo mer modulo til enhet, jo nærmere det lineære forholdet mellom verdiene er, og jo nærmere null, jo mindre uttalt er denne avhengigheten. Forholdet anses som betydelig fra ca. De ekstreme verdiene tilsvarer en streng funksjonell avhengighet, men i praksis er det selvfølgelig ingen "ideelle" tilfeller.
Jeg vil egentlig gi mange interessante eksempler, men sammenhengen er mer relevant i kurset matematisk statistikk og så skal jeg spare dem for fremtiden. Vel, la oss nå finne korrelasjonskoeffisienten i problemet vårt. Så. Distribusjonslovene er allerede kjent, jeg vil kopiere ovenfra:
Forventninger er funnet: , og det gjenstår å beregne standardavvikene. skilt Jeg vil ikke tegne det, det er raskere å beregne med linjen: 
Kovarians funnet i forrige avsnitt 
, og det gjenstår å beregne korrelasjonskoeffisienten: 
, dermed er det en lineær avhengighet av gjennomsnittlig tetthet mellom verdiene.
Den fjerde oppgaven er igjen mer typisk for oppgaver matematisk statistikk, men bare i tilfelle, vurder det her:
4) Skriv en lineær regresjonsligning for .
Ligningen lineær regresjon
er en funksjon 
, hvilken den beste måten tilnærmer verdiene til den tilfeldige variabelen. For den beste tilnærmingen bruker man vanligvis minste kvadrat-metoden, og deretter kan regresjonskoeffisientene beregnes med formlene: 
, dette er mirakler, og den andre koeffisienten:
Betingede distribusjonslover. Regresjon.
Definisjon. Den betingede distribusjonsloven til en av de endimensjonale komponentene i en todimensjonal tilfeldig variabel (X, Y) er dens distribusjonslov, beregnet under forutsetning av at den andre komponenten tok en viss verdi (eller falt inn i et intervall). I forrige forelesning ble det vurdert å finne betingede fordelinger for diskrete stokastiske variabler. Det finnes også formler for betingede sannsynligheter:
Ved kontinuerlige tilfeldige variabler er det nødvendig å bestemme sannsynlighetstetthetene til de betingede fordelingene j y (x) og j X (y). For dette formål, i formlene ovenfor, vil vi erstatte sannsynlighetene for hendelser med deres "sannsynlighetselementer",!
etter reduksjon med dx og dy får vi:
de. den betingede sannsynlighetstettheten til en av de endimensjonale komponentene i en todimensjonal tilfeldig variabel er lik forholdet mellom dens leddtetthet og sannsynlighetstettheten til den andre komponenten. Disse forholdstallene er skrevet i skjemaet
kalles teoremet (regelen) for multiplikasjon av distribusjonstettheter.
Betingede tettheter j y (x) og j X (y). har alle egenskapene til "ubetinget" tetthet.
Når man studerer todimensjonale tilfeldige variabler, vurderes numeriske egenskaper til endimensjonale komponenter X og Y - matematiske forventninger og varianser. For en kontinuerlig tilfeldig variabel (X, Y) bestemmes de av formlene:
Sammen med dem vurderes også numeriske egenskaper ved betingede fordelinger: betingede matematiske forventninger M x (Y) og M y (X) og betingede varianser D x (Y) og D Y (X). Disse egenskapene finnes av de vanlige formlene for matematisk forventning og varians, der betingede sannsynligheter eller betingede sannsynlighetstettheter brukes i stedet for hendelsessannsynligheter eller sannsynlighetstettheter.
Betinget matematisk forventning til en stokastisk variabel Y for X = x, dvs. M x (Y), det er en funksjon av x, kalt regresjonsfunksjonen eller ganske enkelt regresjon Y på X. På samme måte kalles M Y (X) regresjonsfunksjonen eller ganske enkelt regresjon X på Y. Grafene til disse funksjonene kalles hhv. regresjonslinjer (eller regresjonskurver) Y ved X eller X ved Y.
Avhengige og uavhengige tilfeldige variabler.
Definisjon. Tilfeldige variabler X og Y kalles uavhengige dersom deres felles fordelingsfunksjon F(x,y) er representert som et produkt av fordelingsfunksjonene F 1 (x) og F 2 (y) av disse tilfeldige variablene, dvs.
Ellers kalles tilfeldige variabler X og Y avhengige.
Å differensiere likheten to ganger med hensyn til argumentene x og y, får vi
de. for uavhengige kontinuerlige stokastiske variabler X og Y er deres fellestetthet j(x, y) lik produktet av sannsynlighetstetthetene j 1 (x) og j 2 (y) til disse tilfeldige variablene.
Til nå har vi møtt konseptet med en funksjonell sammenheng mellom variablene X og Y, når hver verdi av x i den ene variabelen tilsvarte en strengt definert verdi i den andre. For eksempel er forholdet mellom to tilfeldige variabler - antall mislykkede utstyrsdeler i en viss tidsperiode og kostnadene deres - funksjonell.
Generelt møter man en annen type avhengighet, mindre rigid enn den funksjonelle avhengigheten.
Definisjon. Forholdet mellom to tilfeldige variabler kalles probabilistisk (stokastisk eller statistisk) hvis hver verdi av en av dem tilsvarer en viss (betinget) fordeling av den andre.
I tilfelle av en sannsynlighetsavhengig (stokastisk) avhengighet, er det umulig å vite verdien av en av dem nøyaktig å bestemme verdien av den andre, men bare fordelingen av den andre mengden kan angis. For eksempel forholdet mellom antall utstyrsfeil og kostnadene for dets forebyggende vedlikehold, vekten og høyden til en person, tiden brukt av et skolebarn på å se på TV-programmer og lese bøker, etc. er sannsynlige (stokastiske).
På fig. 5.10 viser eksempler på avhengige og uavhengige stokastiske variabler X og Y.
Når man studerer systemer med tilfeldige variabler, bør man alltid være oppmerksom på graden og arten av deres avhengighet. Denne avhengigheten kan være mer eller mindre uttalt, mer eller mindre nær. I noen tilfeller kan forholdet mellom tilfeldige variabler være så nært at du kan angi verdien til en annen, ved å vite verdien av en tilfeldig variabel. I det andre ekstreme tilfellet er avhengigheten mellom tilfeldige variabler så svak og fjern at de praktisk talt kan betraktes som uavhengige.
Konseptet med uavhengige tilfeldige variabler er et av de viktige begrepene i sannsynlighetsteori.
En tilfeldig variabel kalles uavhengig av en tilfeldig variabel hvis fordelingsloven til verdien ikke er avhengig av hvilken verdi verdien har tatt.
For kontinuerlige tilfeldige variabler kan betingelsen for uavhengighet fra skrives som:
for noen.
Tvert imot, hvis avhenger av , da
.
La oss bevise at avhengigheten eller uavhengigheten til tilfeldige variabler alltid er gjensidig: hvis verdien ikke er avhengig av .
Faktisk, la det ikke avhenge av:
. (8.5.1)
Fra formlene (8.4.4) og (8.4.5) har vi:
hvorfra, tatt i betraktning (8.5.1), får vi:
Q.E.D.
Siden avhengigheten og uavhengigheten til tilfeldige variabler alltid er gjensidig, er det mulig å gi en ny definisjon av uavhengige tilfeldige variabler.
Tilfeldige variabler og kalles uavhengige hvis fordelingsloven for hver av dem ikke er avhengig av hvilken verdi den andre har tatt. Ellers kalles mengdene og avhengige.
For uavhengige kontinuerlige tilfeldige variabler har fordelingslovens multiplikasjonsteoremet formen:
, (8.5.2)
dvs. distribusjonstettheten til et system av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av distribusjonstettheten til individuelle variabler inkludert i systemet.
Tilstand (8.5.2) kan betraktes som en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for uavhengighet av tilfeldige variabler.
Ofte, ved selve formen av funksjonen, kan man konkludere med at de tilfeldige variablene er uavhengige, nemlig hvis distribusjonstettheten er delt inn i produktet av to funksjoner, hvorav den ene bare avhenger av , den andre bare av , så den tilfeldige variabler er uavhengige.
Eksempel. Distribusjonstettheten til systemet har formen:
.
Bestem om de tilfeldige variablene og er avhengige eller uavhengige.
Løsning. Når vi tar hensyn til nevneren, har vi:
.
Fra det faktum at funksjonen delt seg inn i et produkt av to funksjoner, hvorav den ene bare avhenger av og den andre kun av , konkluderer vi med at mengdene og må være uavhengige. Ved å bruke formlene (8.4.2) og (8.4.3), har vi:
;
like måte
,
hvordan sikrer vi det
og derav mengdene og er uavhengige.
Kriteriet ovenfor for å bedømme avhengigheten eller uavhengigheten til tilfeldige variabler er basert på antakelsen om at vi kjenner distribusjonsloven til systemet. I praksis skjer det ofte omvendt: distribusjonsloven for systemet er ikke kjent; kun lovene for fordeling av individuelle mengder som inngår i systemet er kjent, og det er grunn til å tro at mengdene og er uavhengige. Da er det mulig å skrive distribusjonstettheten til systemet som et produkt av distribusjonstettheten til de enkelte mengdene som inngår i systemet.
La oss dvele mer detaljert ved de viktige begrepene "avhengighet" og "uavhengighet" av tilfeldige variabler.
Konseptet "uavhengighet" av tilfeldige variabler, som vi bruker i sannsynlighetsteori, er noe forskjellig fra det vanlige begrepet "avhengighet" av variabler, som vi opererer i matematikk. Faktisk, vanligvis under "avhengighet" av mengder betyr de bare én type avhengighet - en fullstendig, rigid, såkalt - funksjonell avhengighet. To størrelser og kalles funksjonelt avhengige hvis man vet verdien av en av dem nøyaktig kan indikere verdien av den andre.
I sannsynlighetsteori møter vi en annen, mer generell, type avhengighet – med en sannsynlighet eller «stokastisk» avhengighet. Hvis verdien er relatert til verdien av en sannsynlighetsavhengighet, er det umulig å spesifisere den eksakte verdien av, når du kjenner verdien, men du kan bare angi fordelingsloven, avhengig av hvilken verdi verdien har tatt.
Den sannsynlige avhengigheten kan være mer eller mindre nær; ettersom stramheten av den sannsynlige avhengigheten øker, nærmer den seg den funksjonelle mer og mer. Dermed kan funksjonell avhengighet betraktes som et ekstremt, begrensende tilfelle av den nærmeste sannsynlige avhengigheten. Et annet ekstremt tilfelle er den fullstendige uavhengigheten av tilfeldige variabler. Mellom disse to ekstremtilfellene ligger alle gradasjoner av sannsynlighetsavhengighet – fra de sterkeste til de svakeste. De fysiske størrelsene som vi i praksis anser som funksjonelt avhengige er faktisk forbundet med en svært nær sannsynlighetsavhengighet: For en gitt verdi av en av disse størrelsene varierer den andre innenfor så snevre grenser at den praktisk talt kan anses som ganske bestemt. På den annen side er de størrelsene som vi anser som uavhengige i praksis og virkelighet ofte i en viss gjensidig avhengighet, men denne avhengigheten er så svak at den kan neglisjeres av praktiske formål.
Sannsynlighetsavhengighet mellom tilfeldige variabler er svært vanlig i praksis. Hvis tilfeldige variabler og er i en sannsynlighetsavhengighet, betyr ikke dette at med en endring i størrelse, endres størrelsen på en helt bestemt måte; det betyr bare at når verdien endres, har verdien en tendens til å endre seg også (for eksempel øke eller redusere med økende ). Denne trenden observeres bare "i gjennomsnitt", generelt sett, og i hvert enkelt tilfelle er avvik fra den mulig.
Tenk for eksempel på to slike tilfeldige variabler: - høyden til en tilfeldig tatt person, - vekten hans. Det er klart at mengdene og er i en viss sannsynlighetsavhengighet; det kommer til uttrykk i det faktum at generelt sett har personer med større høyde mer vekt. Det er til og med mulig å lage en empirisk formel som omtrent erstatter denne sannsynlighetsavhengigheten med en funksjonell. Slik er for eksempel den velkjente formelen som omtrent uttrykker forholdet mellom høyde og vekt.
TILFELDIGE UAVHENGIGE HENDELSER - slike tilfeldige hendelser MEN og PÅ, for hvilket sannsynlighet P samtidig forekomst av 2 hendelser A til B er lik produktet av sannsynlighetene for forekomst av hver av dem separat: P(AB) = P(A) P(B). Tilsvarende definisjonen av uavhengighet P tilfeldige hendelser. Denne definisjonen strekker seg til uavhengighet tilfeldige variabler, nemlig tilfeldige variabler X 1 , X 2 , ...,
X p
er uavhengige hvis for noen gruppe Х i1 , X i2 , ..., X jeg, av disse mengdene er likheten sann: Р(Х i1 ≤ x i1, Х i2 ≤ x i2, ...,
X ik ≤ x ik) = P(X i1 ≤ x i2)P(X i2 ≤ x i2)...(P(X ik ≤ x ik); 1 ≤ k ≤ n.
Ved løsning av geol. problemer ved metoder for sannsynlighetsteori og matematisk statistikk den korrekte avhengigheten av de studerte mengdene er ofte den mest komplekse og ansvarlige delen av studien.
Geologisk ordbok: i 2 bind. - M.: Nedra. Redigert av K. N. Paffengolts et al.. 1978 .
Se hva "uavhengige tilfeldige hendelser" er i andre ordbøker:
Se uavhengige tilfeldige hendelser. Geologisk ordbok: i 2 bind. M.: Nedra. Redigert av K. N. Paffengolts et al. 1978 ... Geologisk leksikon
Dette begrepet har andre betydninger, se Uavhengighet (betydninger). I sannsynlighetsteori kalles to tilfeldige hendelser uavhengige hvis forekomsten av en av dem ikke endrer sannsynligheten for forekomsten av den andre. Tilsvarende to tilfeldige ... Wikipedia
Korrelasjonskoeffisient- (Korrelasjonskoeffisient) Korrelasjonskoeffisienten er en statistisk indikator på avhengigheten av to tilfeldige variabler Definisjon av korrelasjonskoeffisienten, typer korrelasjonskoeffisienter, egenskaper til korrelasjonskoeffisienten, beregning og anvendelse ... ... Encyclopedia of investor
Matematisk vitenskap, som lar en finne sannsynlighetene for andre tilfeldige hendelser relatert til kosmiske stråler fra sannsynlighetene for noen tilfeldige hendelser. måte med den første. Uttalelsen om at k. l. hendelsen inntreffer med en sannsynlighet lik for eksempel 1/2, ikke ennå ... ... Matematisk leksikon
I sannsynlighetsteori, et av de viktigste konseptene i denne teorien. Noen ganger brukes begrepene statistisk uavhengighet, stokastisk uavhengighet. Antakelsen om N. av hendelsene, forsøkene og tilfeldige variabler under vurdering var et vanlig premiss ... Matematisk leksikon
Matematisk vitenskap, som tillater, ved sannsynlighetene for noen tilfeldige hendelser, å finne sannsynlighetene for andre tilfeldige hendelser relatert på en eller annen måte til den første. Utsagnet om at en hendelse skjer med en sannsynlighet, ... ... Stor sovjetisk leksikon
GOST R 50779.10-2000: Statistiske metoder. Sannsynlighet og statistikkgrunnlag. Begreper og definisjoner- Terminologi GOST R 50779.10 2000: Statistiske metoder. Sannsynlighet og statistikkgrunnlag. Begreper og definisjoner originaldokument: 2.3. (generelt) sett Settet med alle betraktede enheter. Merk For en tilfeldig variabel ... ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon
Engasjert i studiet av hendelser, hvis forekomst ikke er kjent med sikkerhet. Det lar deg bedømme rimeligheten av å forvente forekomsten av noen hendelser sammenlignet med andre, selv om å tilskrive numeriske verdier til sannsynlighetene for hendelser ofte er overflødig ... ... Collier Encyclopedia
En gren av matematikken der de bygger og studerer matematikk. modeller av tilfeldige hendelser. Tilfeldighet er i en eller annen grad iboende i de aller fleste prosesser som skjer i naturen. Vanligvis er den tilstede der skapningene er. innflytelse på forløpet av prosessen ... ... Fysisk leksikon
I matematisk statistikk statistisk metode, designet for å identifisere påvirkningen av individuelle faktorer på resultatet av eksperimentet, så vel som for den påfølgende planleggingen av lignende eksperimenter. Opprinnelig D. og. ble foreslått av R. Fisher ... ... Matematisk leksikon
