To vinkler kalles vertikale hvis sidene til den ene vinkelen er en forlengelse av sidene til den andre.
Figuren viser hjørnene 1 og 3 , samt vinkler 2 og 4 - vertikal. Hjørne 2 er ved siden av begge vinklene 1 , og med vinkelen 3. I henhold til egenskapen til tilstøtende vinkler 1 +2 =180 0 og 3 +2 =1800. Herfra får vi: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Dermed gradmålene til vinklene 1 og 3 er like. Det følger at vinklene i seg selv er like. Så de vertikale vinklene er like.
2. Tegn på likhet av trekanter.
Hvis to sider og vinkelen mellom dem i en trekant er henholdsvis lik to sider og vinkelen mellom dem i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
Hvis en side og to tilstøtende vinkler i en trekant er lik henholdsvis en side og to tilstøtende vinkler i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente.
3. Hvis tre sider av en trekant er lik henholdsvis tre sider av en annen trekant, så er slike trekanter like.
1 tegn på likhet i trekanter:
Tenk på trekanter ABC og A 1 B 1 C 1, der AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, vinklene A og A 1 er like. La oss bevise at ABC=A 1 B 1 C 1 .
Siden (y) A \u003d (y) A 1, kan trekanten ABC legges over trekanten A 1 B 1 C 1 slik at toppunktet A er på linje med toppunktet A1, og sidene AB og AC er lagt over hverandre, henholdsvis på strålene A 1 B 1 og A 1 C 1 . Siden AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, vil siden AB bli kombinert med side A 1 B 1, og side AC - med side A 1 C 1; spesielt vil punktene B og B 1, C og C 1 falle sammen. Derfor vil sidene BC og B 1 C 1 være på linje. Så trekantene ABC og A 1 B 1 C 1 er fullstendig kompatible, noe som betyr at de er like. CTD
3. Teoremet om halveringslinjen til en likebenet trekant.
I en likebenet trekant er halveringslinjen trukket til basen medianen og høyden.
La oss gå til figuren, der ABC er en likebenet trekant med grunnflaten BC, AD er halveringslinjen.
Fra likheten til trekantene ABD og ACD (i henhold til 2. kriterium for trekanters likhet: AD er felles; vinklene 1 og 2 er like fordi AD-halveringslinjen; AB=AC, siden trekanten er likebenet) følger det at BD = DC og 3 = 4. Likheten BD = DC betyr at punktet D er midtpunktet på siden BC og derfor er AD medianen til trekanten ABC. Siden vinkler 3 og 4 er tilstøtende og like hverandre, er de rette vinkler. Derfor er segment AO også høyden på trekanten ABC. CHTD.
4. Hvis linjene er parallelle -> vinkel…. (valgfri)
5. Hvis vinkelen ... ..-> linjene er parallelle (valgfritt)
Hvis i skjæringspunktet mellom to linjer i en sekant de tilsvarende vinklene er like, så er linjene parallelle.
La i skjæringspunktet mellom linjene a og b av sekanten med de tilsvarende vinklene være like, for eksempel 1=2.
Siden vinklene 2 og 3 er vertikale, så er 2=3. Av disse to likhetene følger det at 1=3. Men vinklene 1 og 3 er på tvers, så linjene a og b er parallelle. CHTD.
6. Teorem om summen av vinklene til en trekant.
Summen av vinklene til en trekant er 180 0.
Betrakt en vilkårlig trekant ABC og bevis at A+B+C=180 0 .
La oss tegne en rett linje a gjennom toppunktet B, parallelt med siden AC. Vinkler 1 og 4 er kryssende liggende vinkler i skjæringspunktet mellom parallelle linjer a og AC ved sekanten AB, og vinklene 3 og 5 er tverrliggende liggende vinkler i skjæringspunktet mellom de samme parallelle linjene med sekanten BC. Derfor (1)4=1; 5=3.
Det er klart at summen av vinklene 4, 2 og 5 er lik den rette vinkelen med toppunktet B, dvs. 4+2+5=1800 . Tar vi hensyn til likheter (1), får vi derfor: 1+2+3=180 0 eller A+B+C=180 0 .
7. Tegn på likhet av rette trekanter.
1. Det første tegnet på parallellisme.
Hvis de indre vinklene som ligger på tvers i skjæringspunktet mellom to linjer og en tredje er like, så er disse linjene parallelle.
La linjene AB og CD krysses av linje EF og ∠1 = ∠2. La oss ta punktet O - midten av segmentet KL til sekanten EF (fig.).
La oss slippe perpendikulæren OM fra punktet O til linjen AB og fortsette den til den skjærer linjen CD, AB ⊥ MN. La oss bevise at CD ⊥ MN også.
For å gjøre dette, vurdere to trekanter: MOE og NOK. Disse trekantene er like med hverandre. Faktisk: ∠1 = ∠2 ved hypotesen til teoremet; OK = OL - etter konstruksjon;
∠MOL = ∠NOK som vertikale vinkler. Dermed er siden og to vinkler ved siden av den av en trekant henholdsvis lik siden og to vinkler ved siden av den til en annen trekant; derfor, ΔMOL = ΔNOK, og dermed ∠LMO = ∠KNO,
men ∠LMO er direkte, derfor er ∠KNO også direkte. Dermed er linjene AB og CD vinkelrett på den samme linjen MN, derfor er de parallelle, noe som skulle bevises.
Merk. Skjæringspunktet mellom linjene MO og CD kan etableres ved å rotere trekanten MOL rundt punktet O med 180°.
2. Det andre tegnet på parallellisme.
La oss se om linjene AB og CD er parallelle hvis, i skjæringspunktet mellom deres tredje linje EF, de tilsvarende vinklene er like.
La noen tilsvarende vinkler være like, for eksempel ∠ 3 = ∠2 (Fig.);
∠3 = ∠1 som vertikale vinkler; så ∠2 vil være lik ∠1. Men vinklene 2 og 1 er indre tverrgående vinkler, og vi vet allerede at hvis i skjæringspunktet mellom to linjer med en tredje, de indre tverrgående vinklene er like, så er disse linjene parallelle. Derfor AB || CD.
Hvis de korresponderende vinklene i skjæringspunktet mellom to linjer i den tredje er like, så er disse to linjene parallelle.
Konstruksjonen av parallelle linjer ved hjelp av en linjal og en tegnetrekant er basert på denne egenskapen. Dette gjøres som følger.
La oss feste en trekant til linjalen som vist i fig. Vi vil flytte trekanten slik at den ene siden av den glir langs linjalen, og tegne flere rette linjer langs en hvilken som helst annen side av trekanten. Disse linjene vil være parallelle.
3. Det tredje tegnet på parallellisme.
La oss vite at i skjæringspunktet mellom to linjer AB og CD ved den tredje linjen, er summen av alle interne ensidige vinkler lik 2 d(eller 180°). Vil linjene AB og CD være parallelle i dette tilfellet (fig.).
La ∠1 og ∠2 være ensidige indre vinkler og legge til 2 d.
Men ∠3 + ∠2 = 2 d som tilstøtende vinkler. Derfor er ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Derfor ∠1 = ∠3, og disse indre vinklene er på tvers. Derfor AB || CD.
Hvis i skjæringspunktet mellom to linjer med en tredje, er summen av de indre ensidige vinklene lik 2 d (eller 180°), så er de to linjene parallelle.
Tegn på parallelle linjer:
1. Hvis ved skjæringspunktet mellom to rette linjer med en tredje, de indre tverrliggende vinklene er like, så er disse linjene parallelle.2. Hvis i skjæringspunktet mellom to linjer i den tredje, de tilsvarende vinklene er like, så er disse to linjene parallelle.
3. Hvis i skjæringspunktet mellom to linjer i den tredje er summen av de indre ensidige vinklene 180 °, så er disse to linjene parallelle.
4. Hvis to linjer er parallelle med den tredje linjen, så er de parallelle med hverandre.
5. Hvis to linjer er vinkelrett på den tredje linjen, så er de parallelle med hverandre.
Euklids aksiom for parallellisme
En oppgave. Gjennom et punkt M tatt utenfor linjen AB, tegn en linje parallelt med linjen AB.
Ved å bruke de utprøvde teoremene om tegn på parallellitet til linjer, kan dette problemet løses på forskjellige måter,
Løsning. 1. s o s o b (Fig. 199).
Vi tegner MN⊥AB og gjennom punktet M tegner vi CD⊥MN;
vi får CD⊥MN og AB⊥MN.
Basert på teoremet ("Hvis to linjer er vinkelrett på samme linje, så er de parallelle.") konkluderer vi med at СD || AB.
2. s p o s o b (fig. 200).
Vi tegner en MK som skjærer AB i en hvilken som helst vinkel α, og gjennom punktet M trekker vi en rett linje EF, og danner en vinkel EMK med en rett linje MK, lik vinkelen α. Basert på teoremet () konkluderer vi med at EF || AB.
Etter å ha løst dette problemet, kan vi betrakte det som bevist at gjennom ethvert punkt M, tatt utenfor linjen AB, er det mulig å tegne en linje parallelt med den. Spørsmålet oppstår, hvor mange linjer parallelle med en gitt linje og som går gjennom et gitt punkt kan eksistere?
Praksisen med konstruksjoner lar oss anta at det bare er én slik linje, siden med en nøye utført tegning smelter linjer tegnet på forskjellige måter gjennom samme punkt parallelt med samme linje.
I teorien er svaret på dette spørsmålet gitt av det såkalte aksiomet til Euklids parallellisme; det er formulert slik:
Gjennom et punkt tatt utenfor en gitt linje, kan bare én linje trekkes parallelt med denne linjen.
På tegningen 201 er en rett linje SK trukket gjennom punktet O, parallelt med den rette linjen AB.
Enhver annen linje som går gjennom punktet O vil ikke lenger være parallell med linjen AB, men vil skjære den.
Aksiomet som Euclid adopterte i hans Elements, som sier at på et plan gjennom et punkt tatt utenfor en gitt linje, kan bare én linje trekkes parallelt med denne linjen, kalles Euklids aksiom for parallellisme.
I mer enn to tusen år etter Euklid prøvde mange matematikere å bevise dette matematiske påstanden, men deres forsøk var alltid mislykket. Først i 1826 beviste den store russiske vitenskapsmannen, professor ved Kazan-universitetet Nikolai Ivanovich Lobatsjovskij at ved å bruke alle andre Euklids aksiomer, kan denne matematiske påstanden ikke bevises, at den virkelig bør tas som et aksiom. N. I. Lobachevsky skapte en ny geometri, som, i motsetning til Euklids geometri, ble kalt Lobachevskys geometri.
AB og FRAD krysset av den tredje linjen MN, så får vinklene dannet i dette tilfellet følgende navn i par:tilsvarende vinkler: 1 og 5, 4 og 8, 2 og 6, 3 og 7;
innvendige tverrliggende hjørner 3 og 5, 4 og 6;
utvendige tverrliggende hjørner: 1 og 7, 2 og 8;
innvendige ensidige hjørner: 3 og 6, 4 og 5;
utvendige ensidige hjørner: 1 og 8, 2 og 7.
Altså, ∠ 2 = ∠ 4 og ∠ 8 = ∠ 6, men av de beviste ∠ 4 = ∠ 6.
Derfor er ∠ 2 = ∠ 8.
3. Respektive vinkler 2 og 6 er like, siden ∠ 2 = ∠ 4, og ∠ 4 = ∠ 6. Vi sørger også for at de andre tilsvarende vinklene er like.
4. Sum innvendige ensidige hjørner 3 og 6 vil være 2d fordi summen tilstøtende hjørner 3 og 4 er lik 2d = 180 0 , og ∠ 4 kan erstattes med identiske ∠ 6. Pass også på at summen av vinkler 4 og 5 er lik 2d.
5. Sum utvendige ensidige hjørner vil være 2d fordi disse vinklene er like hhv innvendige ensidige hjørner som hjørner vertikal.
Fra begrunnelsen bevist ovenfor, får vi inverse teoremer.
Når, i skjæringspunktet mellom to linjer på en vilkårlig tredje linje, får vi at:
1. Innvendige tverrliggende vinkler er de samme;
eller 2. Ytre kryssliggende vinkler er de samme;
eller 3. De tilsvarende vinklene er de samme;
eller 4. Summen av indre ensidige vinkler er lik 2d = 180 0 ;
eller 5. Summen av den ytre ensidige er 2d = 180 0 ,
da er de to første linjene parallelle.
Tegn på parallellitet av to linjer
Teorem 1. Hvis i skjæringspunktet mellom to linjer i en sekant:
diagonalt liggende vinkler er like, eller
tilsvarende vinkler er like, eller
summen av ensidige vinkler er 180°, da
linjene er parallelle(Figur 1).
Bevis. Vi begrenser oss til beviset for sak 1.
Anta at i skjæringspunktet mellom linjene a og b ved en sekant AB på tvers av de liggende vinklene er like. For eksempel, ∠ 4 = ∠ 6. La oss bevise at en || b.
Anta at linjene a og b ikke er parallelle. Deretter krysser de på et eller annet punkt M, og følgelig vil en av vinklene 4 eller 6 være den ytre vinkelen til trekanten ABM. La, for bestemthetens skyld, ∠ 4 være det ytre hjørnet av trekanten ABM, og ∠ 6 være det indre. Det følger av teoremet om den ytre vinkelen til en trekant at ∠ 4 er større enn ∠ 6, og dette motsier betingelsen, som betyr at linjene a og 6 ikke kan skjære hverandre, derfor er de parallelle.
Konsekvens 1. To distinkte linjer i et plan vinkelrett på samme linje er parallelle(Fig. 2).
Kommentar. Måten vi nettopp beviste tilfelle 1 av teorem 1 kalles bevismetoden ved selvmotsigelse eller reduksjon til absurditet. Denne metoden har fått sitt fornavn fordi det i begynnelsen av resonnementet gjøres en antagelse som er motsatt (motsatt) av det som kreves bevist. Det kalles reduksjon til absurditet på grunn av at vi, ved å argumentere ut fra den antagelsen som er gjort, kommer til en absurd konklusjon (absurditet). Å motta en slik konklusjon tvinger oss til å avvise antagelsen som ble gjort i begynnelsen og akseptere den som var påkrevd å bli bevist.
Oppgave 1. Konstruer en linje som går gjennom et gitt punkt M og parallelt med en gitt linje a, og går ikke gjennom punktet M.
Løsning. Vi trekker en linje p gjennom punktet M vinkelrett på linjen a (fig. 3).
Deretter trekker vi en linje b gjennom punktet M vinkelrett på linjen p. Linjen b er parallell med linjen a i henhold til konsekvensen av setning 1.
En viktig konklusjon følger av det vurderte problemet:
Gjennom et punkt som ikke er på en gitt linje, kan man alltid trekke en linje parallelt med den gitte linjen..
Hovedegenskapen til parallelle linjer er som følger.
Aksiomet for parallelle linjer. Gjennom et gitt punkt som ikke er på en gitt linje, er det bare en linje parallelt med den gitte linjen.
Tenk på noen egenskaper ved parallelle linjer som følger av dette aksiomet.
1) Hvis en linje skjærer en av de to parallelle linjene, så skjærer den den andre (fig. 4).
2) Hvis to forskjellige linjer er parallelle med den tredje linjen, så er de parallelle (fig. 5).
Følgende teorem er også sant.
Teorem 2. Hvis to parallelle linjer krysses av en sekant, så:
de liggende vinklene er like;
tilsvarende vinkler er like;
summen av ensidige vinkler er 180°.
Konsekvens 2. Hvis en linje er vinkelrett på en av to parallelle linjer, er den også vinkelrett på den andre.(se fig.2).
Kommentar. Teorem 2 kalles inversen av setning 1. Konklusjonen av setning 1 er betingelsen til setning 2. Og betingelsen til setning 1 er konklusjonen av setning 2. Ikke alle setninger har en invers, dvs. hvis en gitt setning er sann, da kan det inverse teoremet være usant.
La oss forklare dette med eksemplet med teoremet om vertikale vinkler. Denne teoremet kan formuleres som følger: hvis to vinkler er vertikale, så er de like. Det inverse teoremet vil være dette: Hvis to vinkler er like, så er de vertikale. Og dette er selvfølgelig ikke sant. To like vinkler trenger ikke å være vertikale i det hele tatt.
Eksempel 1 To parallelle linjer krysses av en tredje. Det er kjent at forskjellen mellom to indre ensidige vinkler er 30°. Finn disse vinklene.
Løsning. La figur 6 oppfylle betingelsen.
