Vi har sett at den deriverte har mange bruksområder: den deriverte er bevegelseshastigheten (eller mer generelt hastigheten til enhver prosess); derivert er helningen til tangenten til grafen til funksjonen; ved å bruke den deriverte kan du undersøke en funksjon for monotonisitet og ekstrema; derivatet hjelper til med å løse optimaliseringsproblemer.
Men i det virkelige liv må vi også løse inverse problemer: for eksempel, sammen med problemet med å finne hastigheten i henhold til en kjent bevegelseslov, møter vi også problemet med å gjenopprette bevegelsesloven i henhold til en kjent hastighet. La oss vurdere ett av disse problemene.
Eksempel 1. Et materialpunkt beveger seg i en rett linje, hastigheten på tidspunktet t er gitt av formelen u = tg. Finn bevegelsesloven.
Løsning. La s = s(t) være den ønskede bevegelsesloven. Det er kjent at s"(t) = u"(t). Dette betyr at for å løse problemet må du velge funksjon s = s(t), hvis deriverte er lik tg. Det er ikke vanskelig å gjette det
La oss umiddelbart merke at eksemplet er løst riktig, men ufullstendig. Vi fant ut at problemet faktisk har uendelig mange løsninger: hvilken som helst funksjon av formen 
en vilkårlig konstant kan tjene som en bevegelseslov, siden
For å gjøre oppgaven mer spesifikk, trengte vi å fikse startsituasjonen: angi koordinaten til et bevegelig punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t=0. Hvis for eksempel s(0) = s 0, så får vi fra likheten s(0) = 0 + C, dvs. S 0 = C. Nå er bevegelsesloven unikt definert:
I matematikk gis gjensidig inverse operasjoner forskjellige navn og spesielle notasjoner er oppfunnet: for eksempel kvadrering (x 2) og ta kvadratroten av sinus (sinх) og arcsine(arcsin x), etc. Prosessen med å finne den deriverte av en gitt funksjon kalles differensiering, og den inverse operasjonen, dvs. prosessen med å finne en funksjon fra en gitt derivert - integrasjon.
Selve begrepet "derivat" kan rettferdiggjøres "i hverdagen": funksjonen y - f(x) "føder" en ny funksjon y"= f"(x). Funksjonen y = f(x) fungerer som en "forelder" , men matematikere kaller det naturligvis ikke en "forelder" eller "produsent"; de sier at dette, i forhold til funksjonen y"=f"(x), er det primære bildet, eller i kort, antiderivatet.
Definisjon 1. Funksjonen y = F(x) kalles antiderivert for funksjonen y = f(x) på et gitt intervall X hvis likheten F"(x)=f(x) gjelder for alle x fra X.
I praksis er intervallet X vanligvis ikke spesifisert, men antydet (som det naturlige domene for definisjon av funksjonen).
Her er noen eksempler:
1) Funksjonen y = x 2 er antiderivert for funksjonen y = 2x, siden for alle x er likheten (x 2)" = 2x sann.
2) funksjonen y - x 3 er antiderivert for funksjonen y-3x 2, siden for alle x er likheten (x 3)" = 3x 2 sann.
3) Funksjonen y-sinх er antiderivert for funksjonen y = cosx, siden for alle x er likheten (sinx)" = cosx sann.
4) Funksjonen er antiderivert for en funksjon på intervallet siden for alle x > 0 er likheten sann
Generelt, å kjenne formlene for å finne derivater, er det ikke vanskelig å kompilere en tabell med formler for å finne antiderivater.
Vi håper du forstår hvordan denne tabellen er kompilert: den deriverte av funksjonen, som er skrevet i den andre kolonnen, er lik funksjonen som er skrevet i den tilsvarende raden i den første kolonnen (sjekk det, ikke vær lat, det er veldig nyttig). For eksempel, for funksjonen y = x 5, er antideriverten, som du vil fastslå, funksjonen (se den fjerde raden i tabellen).
Merknader: 1. Nedenfor skal vi bevise teoremet om at hvis y = F(x) er en antideriverte for funksjonen y = f(x), så har funksjonen y = f(x) uendelig mange antideriverte og de har alle formen y = F(x ) + C. Derfor vil det være mer riktig å legge til begrepet C overalt i den andre kolonnen i tabellen, der C er et vilkårlig reelt tall.
2. For korthets skyld, noen ganger i stedet for uttrykket "funksjonen y = F(x) er en antiderivert av funksjonen y = f(x)," sier de at F(x) er en antiderivert av f(x) ."
2. Regler for å finne antiderivater
Ved å finne antiderivater, samt ved å finne derivater, brukes ikke bare formler (de er oppført i tabellen på s. 196), men også noen regler. De er direkte relatert til de tilsvarende reglene for beregning av derivater.
Vi vet at den deriverte av en sum er lik summen av dens deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.
Regel 1. Antideriverten til en sum er lik summen av antiderivatene.
Vi henleder oppmerksomheten på den noe "lette" i denne formuleringen. Faktisk bør man formulere teoremet: hvis funksjonene y = f(x) og y = g(x) har antideriverte på intervallet X, henholdsvis y-F(x) og y-G(x), så er summen av funksjonene y = f(x)+g(x) har en antideriverte på intervallet X, og denne antideriverten er funksjonen y = F(x)+G(x). Men vanligvis, når du formulerer regler (ikke teoremer), er det bare nøkkelord igjen - dette er mer praktisk for å bruke reglene i praksis
Eksempel 2. Finn antideriverten for funksjonen y = 2x + cos x.
Løsning. Antideriverten for 2x er x"; antideriverten for cox er sin x. Dette betyr at antideriverten for funksjonen y = 2x + cos x vil være funksjonen y = x 2 + sin x (og generelt en hvilken som helst funksjon av formen) Y = x 1 + sinx + C).
Vi vet at konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.
Regel 2. Den konstante faktoren kan tas ut av tegnet til antiderivatet.
Eksempel 3.
Løsning. a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Dette betyr at for funksjonen y = 5 sin x vil antiderivertefunksjonen være funksjonen y = -5 cos x.
b) Antideriverten for cos x er sin x; Dette betyr at antideriverten til en funksjon er funksjonen
c) Antideriverten for x 3 er antideriverten for x, antideriverten for funksjonen y = 1 er funksjonen y = x. Ved å bruke de første og andre reglene for å finne antideriverte finner vi at antideriverten for funksjonen y = 12x 3 + 8x-1 er funksjonen
Kommentar. Som kjent er derivatet av et produkt ikke lik produktet av derivater (regelen for å differensiere et produkt er mer kompleks) og derivatet av en kvotient er ikke lik kvotienten av derivater. Derfor er det ingen regler for å finne antiderivatet til produktet eller antiderivatet til kvotienten av to funksjoner. Vær forsiktig!
La oss få en annen regel for å finne antiderivater. Vi vet at den deriverte av funksjonen y = f(kx+m) beregnes av formelen
Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.
Regel 3. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x), så er antideriverten for funksjonen y=f(kx+m) funksjonen
Faktisk,
Dette betyr at det er en antiderivert for funksjonen y = f(kx+m).
Betydningen av den tredje regelen er som følger. Hvis du vet at antideriverten til funksjonen y = f(x) er funksjonen y = F(x), og du må finne antideriverten til funksjonen y = f(kx+m), fortsett slik: ta den samme funksjonen F, men i stedet for argumentet x, erstatte uttrykket kx+m; i tillegg, ikke glem å skrive "korreksjonsfaktor" før funksjonstegnet
Eksempel 4. Finn antiderivater for gitte funksjoner:
Løsning, a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Dette betyr at for funksjonen y = sin2x vil antideriverten være funksjonen
b) Antideriverten for cos x er sin x; Dette betyr at antideriverten til en funksjon er funksjonen
c) Antideriverten for x 7 betyr at for funksjonen y = (4-5x) 7 vil antideriverten være funksjonen
3. Ubestemt integral
Vi har allerede bemerket ovenfor at problemet med å finne en antiderivert for en gitt funksjon y = f(x) har mer enn én løsning. La oss diskutere dette problemet mer detaljert.
Bevis. 1. La y = F(x) være antideriverten for funksjonen y = f(x) på intervallet X. Dette betyr at for alle x fra X gjelder likheten x"(x) = f(x). La oss finn den deriverte av en funksjon av formen y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Så, (F(x)+C) = f(x). Dette betyr at y = F(x) + C er en antiderivert for funksjonen y = f(x).
Dermed har vi bevist at hvis funksjonen y = f(x) har en antiderivert y=F(x), så har funksjonen (f = f(x) uendelig mange antideriverte, for eksempel en hvilken som helst funksjon av formen y = F(x) +C er et antiderivat.
2. La oss nå bevise at den angitte typen funksjoner uttømmer hele settet med antiderivater.
La y=F 1 (x) og y=F(x) være to antideriverte for funksjonen Y = f(x) på intervallet X. Dette betyr at for alle x fra intervallet X gjelder følgende relasjoner: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
La oss vurdere funksjonen y = F 1 (x) -.F(x) og finne dens deriverte: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Det er kjent at dersom den deriverte av en funksjon på et intervall X er identisk lik null, så er funksjonen konstant på intervallet X (se setning 3 fra § 35). Dette betyr at F 1 (x) - F (x) = C, dvs. Fx) = F(x)+C.
Teoremet er bevist.
Eksempel 5. Loven for endring av hastighet med tiden er gitt: v = -5sin2t. Finn bevegelsesloven s = s(t), hvis det er kjent at på tidspunktet t=0 var koordinaten til punktet lik tallet 1,5 (dvs. s(t) = 1,5).
Løsning. Siden hastighet er en derivert av koordinaten som funksjon av tid, må vi først finne antideriverten av hastigheten, dvs. antiderivat for funksjonen v = -5sin2t. En av slike antiderivater er funksjonen , og settet med alle antiderivater har formen:
For å finne den spesifikke verdien av konstanten C bruker vi startbetingelsene, ifølge hvilke s(0) = 1,5. Ved å erstatte verdiene t=0, S = 1,5 i formel (1), får vi:
Ved å erstatte den funnet verdien av C i formel (1), får vi bevegelsesloven som interesserer oss:
Definisjon 2. Hvis en funksjon y = f(x) har en antideriverte y = F(x) på et intervall X, vil settet av alle antideriverte, dvs. settet med funksjoner av formen y = F(x) + C kalles det ubestemte integralet av funksjonen y = f(x) og er betegnet med:
(les: "ubestemt integral ef fra x de x").
I neste avsnitt vil vi finne ut hva den skjulte betydningen av denne betegnelsen er.
Basert på tabellen over antiderivater tilgjengelig i denne delen, vil vi kompilere en tabell over de viktigste ubestemte integralene:
Basert på de tre ovennevnte reglene for å finne antiderivater, kan vi formulere de tilsvarende integrasjonsreglene.
Regel 1. Integralet av summen av funksjoner er lik summen av integralene til disse funksjonene:
Regel 2. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:
Regel 3. Hvis
Eksempel 6. Finn ubestemte integraler:
Løsning, a) Ved å bruke de første og andre reglene for integrering får vi:
La oss nå bruke 3. og 4. integrasjonsformler:
Som et resultat får vi:
b) Ved å bruke den tredje integrasjonsregelen og formel 8 får vi:
c) For direkte å finne et gitt integral har vi verken den tilsvarende formelen eller den tilsvarende regelen. I slike tilfeller hjelper tidligere utførte identiske transformasjoner av uttrykket under integrertegnet noen ganger.
La oss bruke den trigonometriske formelen for å redusere graden:
Så finner vi sekvensielt:
A.G. Mordkovich Algebra 10. klasse
Kalendertematisk planlegging i matematikk, video i matematikk på nett, Matematikk på skolen
Hovedoppgaven til differensialregning er å finne differensialen til en gitt funksjon eller dens deriverte. Integralregning løser det inverse problemet: gitt en differensial, og følgelig den deriverte av en ukjent funksjon F(x), du må definere denne funksjonen. Med andre ord å ha uttrykket
eller tilsvarende
,
Hvor f(x)– kjent funksjon, må finne funksjonen F(x). Nødvendig funksjon F(x) det kalles antiderivative funksjon i forhold til funksjon f(x). For enkelhets skyld vil vi anta at likhet (1) holder på et begrenset eller uendelig intervall.
Definisjon: Antideriverte funksjon for en gitt funksjon f(x) på et gitt intervall kalles en slik funksjon F(x), hvis deriverte er lik f(x) eller hvis differensial er lik f(x)dx på intervallet som vurderes.
For eksempel vil en av antiderivatfunksjonene for en funksjon være , fordi 
. Den antiderivative funksjonen er ikke unik, siden osv., og derfor funksjonene 
og så videre. er også antiderivater for funksjonen. Følgelig har denne funksjonen et uendelig antall antiderivater.
I vårt eksempel skilte hver to antiderivater seg fra hverandre med en viss konstant term. La oss vise at dette også vil skje i den generelle saken.
Teorem: To forskjellige antiderivater av samme funksjon definert på et bestemt intervall skiller seg fra hverandre på dette intervallet med en konstant term.
Bevis: Faktisk la f(x)– noen funksjoner definert på intervallet 
, Og F 1 (x), F 2 (x)– dens primitiver, dvs.
Og 
.
Herfra 
.
| y=F 1 (x) |
| y=F 2 (x) |
| F 1 (x) |
| F2(x) |
| MED |
| M 2 |
| M 1 |
| X |
| α |
| X |
| α |
| Y |
| Ris. 1. |
Men hvis to funksjoner har de samme deriverte, så skiller disse funksjonene seg fra hverandre med et konstant ledd. Derfor,
F 1 (x) - F 2 (x) = C,
Hvor MED– konstant verdi. Teoremet er bevist.
Tenk på en geometrisk illustrasjon. Hvis y = F 1 (x) og Y = F 2 (x)
Antiderivater med samme funksjon f(x), tangenter deretter til grafene deres i punkter med en felles abscisse X parallelt med hverandre (fig. 1):
tgα = = f(x).
I dette tilfellet, avstanden mellom disse kurvene langs aksen OU forblir konstant: F 2 (x) – F 1 (x) = C, de. disse kurvene er på en måte "parallelle" med hverandre.
Konsekvens: Legger til enhver antiderivatfunksjon f(x), definert på intervallet , alle mulige konstanter MED, vi får alle antiderivatene for funksjonen f(x).
Faktisk, hvis F(x) det er en antiderivert funksjon for f(x), deretter funksjonen F(x)+C, Hvor MED- enhver konstant vil også være en antiderivert av funksjonen f(x), fordi .
På den annen side har vi bevist at alle antiderivater av funksjonen f(x) kan hentes fra en funksjon F(x) ved å legge til en riktig valgt konstant term MED.
Derfor uttrykket F(x) + C, Hvor 
, (2)
Hvor F(x)– ethvert antiderivat for en funksjon f(x), uttømmer hele settet med antiderivater for en gitt funksjon f(x).
I det følgende vil vi anta, med mindre annet er uttrykkelig angitt, at funksjonen som vurderes f(x) definert og kontinuerlig på et begrenset eller uendelig intervall .
La oss nå introdusere det grunnleggende begrepet integralregning - begrepet et ubestemt integral.
Definisjon: Generelt uttrykk for alle antiderivater av en gitt kontinuerlig funksjon f(x) kalt det ubestemte integralet av funksjonen f(x) eller fra differensialuttrykket f(x)dx og er indikert med symbolet 
.
I dette tilfellet, funksjonen f(x) kalles integranden, og uttrykket f(x)dx kalles en integrand.
I henhold til definisjonen av det ubestemte integralet kan vi skrive
, (3)
| C 4 |
| C 3 |
| C 2 |
| C 1 |
| X |
| Y |
| Ris. 2. |
, konstant MED kan ta hvilken som helst verdi og kalles derfor en vilkårlig konstant. Eksempel. Som vi har sett, for en funksjon er en av antiderivatene funksjonen. Derfor 
.
Geometrisk ubestemt integral y=F(x)+C representerer en familie av "parallelle" kurver (fig. 2).
IKTIB ITA SFU
FOREDRAGSKURS I MATEMATIKK
Kapittel 5 Integralregning
funksjoner til én variabel
Forelesning 21 Antiderivativ, ubestemt integral
Forelesningsoversikt
Antiderivativ og ubestemt integral. Egenskaper til det ubestemte integralet. Tabellintegrasjon. Invariansegenskapen til integrasjonsformler. Sende inn differensialtegnet. Endre en variabel i et ubestemt integral. Integrasjon av deler. Faktorering av polynomer. Dekomponering av riktige rasjonelle brøker til deres enkleste brøker. Integrering av enkle og rasjonelle brøker. Integrasjon av trigonometriske funksjoner og noen irrasjonelle uttrykk.
Konseptet med antiderivativ og ubestemt integral
Hva er en integral? Er det sant at integrering er det motsatte av differensiering? La oss svare på disse og andre spørsmål.
Definisjon 1 . En antiderivat av en funksjon er en funksjon slik at .
Så et antiderivat er en funksjon hvis deriverte er lik den gitte funksjonen. Merk at antiderivatet for en gitt funksjon ikke er unikt bestemt. For eksempel er den deriverte av en funksjon lik funksjonen. Derfor er funksjonen et antiderivat av funksjonen. Men den deriverte av en funksjon er også lik funksjonen. Følgelig er funksjonen også en antiderivert av funksjonen, det samme er funksjonen, hvor er en vilkårlig konstant.
Teorem 1 . (Generell form for antiderivater for en gitt funksjon) La funksjonen være et antiderivat for funksjonen . Da er enhver antiderivert av en funksjon representert i formen , hvor er en vilkårlig konstant. Og omvendt, for enhver funksjon er et antiderivat av funksjonen.
Bevis
. Den andre delen av teoremet er åpenbar, fordi åpenbart . Nå er det nok å bevise at hvis de deriverte av to funksjoner er like, så skiller disse funksjonene seg med en konstant. Faktisk er det nok å bevise at hvis den deriverte av en funksjon (forskjellen mellom de nevnte funksjonene) er lik 0, så er det en derivert av en konstant. Men dette er sant. La oss ta to punkter. Forskjellen mellom verdiene til funksjonen ved disse punktene i henhold til Lagranges endelige inkrementformel er lik den deriverte på et mellomliggende punkt multiplisert med forskjellen i argumentene ( 
). Men den deriverte er lik 0 overalt, derfor er inkrementet til funksjonen alltid lik 0, dvs. funksjonen er lik en konstant. Teoremet er bevist.
Definisjon 2 . Settet med alle antiderivater for en funksjon kalles det ubestemte integralet til funksjonen og er betegnet med symbolet.
Så, faktisk, å beregne et ubestemt integral betyr å gjøre det motsatte av å beregne den deriverte. I tillegg, med tanke på teorem 1, er formelen for å beregne det ubestemte integralet gyldig 
, (1)
hvor er en av antiderivatene for funksjonen, som kalles sub s integrert funksjon.
Vi vet allerede at den deriverte av en funksjon har mange bruksområder. I applikasjoner snakker vi selvfølgelig om betydningen av derivater på individuelle punkter, det vil si om tall. Merk at et ubestemt integral er en samling funksjoner. Derfor er den direkte anvendelsen av det ubestemte integralet svært begrenset. I applikasjoner finnes det andre typer integraler, hvor resultatet er et tall, og teknisk sett reduseres beregningen til å finne antiderivertefunksjonen. Derfor er det veldig viktig å lære å beregne det ubestemte integralet.
1. Ut fra hvilke funksjoner kan man beregne
ubestemt integral
Vi vet at vi kan beregne den deriverte av en hvilken som helst elementær funksjon ved å bruke tabellen over deriverte av grunnleggende elementære funksjoner og reglene for beregning av deriverte (deriverte av en sum, differanse, produkt, kvotient, kompleks funksjon).
Herfra kan du skrive en tabell over antiderivater ved å lese tabellen over derivater fra høyre til venstre. Det er også mulig å formulere regler tilsvarende reglene for beregning av derivatet. Med sum, forskjell og subtraksjon av et numerisk sett er reglene for differensiering og integrasjon identiske. Men med produktet, kvotienten og beregningen av den deriverte av en kompleks funksjon, er situasjonen mer komplisert. Tross alt er derivatet av for eksempel et produkt ikke lik "produktet av derivater." Derfor tillater ikke tabellen over antiderivater og reglene for beregning av antiderivater en å finne antiderivatet til noen elementær funksjon. Det er såkalte "kan ikke tas"-integraler av elementære funksjoner. For eksempel ser det ut til at et enkelt integral ikke kan beregnes i vår forståelse, siden det blant de elementære funksjonene ikke er noen funksjon hvis deriverte er lik . Et antiderivat for en kontinuerlig funksjon eksisterer alltid, men i dette tilfellet er det ikke blant de elementære. Slike funksjoner kalles spesielle. Mange av dem trengs i søknader, og de studeres spesifikt.
Så, i motsetning til å beregne den deriverte av en funksjon, er vi ikke pålagt å kunne beregne det ubestemte integralet til en elementær funksjon. Vi vil studere visse typer elementære funksjoner som vi må lære å evaluere ubestemte integraler fra.
Tabell over de enkleste ubestemte integralene
La oss huske tabellen over derivater av grunnleggende elementære funksjoner:
| 1) | 2) | 3) | 4)  |
| 5) | 6)  | 7) | 8)  |
9)  | 10)  | 11)  | 12)  |
På mange måter genererer den en tabell over de enkleste ubestemte integralene. Det er andre integraler her også. Alle kan enkelt verifiseres ved å beregne den deriverte av høyresidene.
| 1) | 2) | 3)  |
| 4) | 5)  | 6)  |
7)  | 8)  | 9)  |
10)  | 11)  | 12)  |
13)  | 14)  | 15)  |
| | | neste forelesning ==> | |
| | |
UBESTEMMET INTEGRAL
Vi begynner å studere integraler, som er mye brukt i mange teknologifelt. La oss starte studiet med den ubestemte integralen.
Antiderivativ og ubestemt integral
Hovedoppgaven til differensialregning er differensiering av gitte funksjoner, med andre ord oppgaven med å finne endringshastigheten til en gitt funksjon. Tallrike spørsmål om vitenskap og teknologi fører til formuleringen av det inverse problemet: gitt en funksjon f (x), rekonstruer en funksjon F (x) som f (x) ville være en derivert for: F ¢ (x) = f (x) ).
Definisjon. En funksjon F(x) kalles antiderivert for f (x) if
F ¢ (x) = f (x) eller dF(x) = f (x) dx.
Eksempler. 1) f(x) = 3x2, F(x) = x3;
2) f (x) = cosx, F(x) = sinx.
Det er lett å se at denne funksjonen f (x) = 3x 2 ikke tilsvarer én antiderivert, men til en mengde: x 3 ; x 3 + 1; x 3-1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.
Faktisk, (x 3)¢ = 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C)¢ = 3x 2.
Generelt, hvis F(x) er et antiderivat av en gitt funksjon f (x), så vil funksjonen F(x) + c, "СОR også være en antiderivert funksjon, siden:
¢ = F¢(x) = f (x).
Er settet av alle antiderivater av f (x) uttømt av uttrykk på formen F(x) + C, eller er det antiderivater av denne funksjonen som ikke kan oppnås fra F(x) + C for noen verdi av C? Det viser seg at utsagnet er sant: det er ingen andre antiderivater av funksjonen f (x). Med andre ord, hvis F 1 (x) og F 2 (x) er to antiderivater for f (x), så F 1 (x) = F 2 (x) + C,
hvor C er en konstant.
Faktisk fordi F 1 (x) og F 2 (x) er antiderivater for f (x), da
La oss vurdere forskjellen 
for alle x.
La x 0 være en fast verdi av argumentet,
x er en vilkårlig annen verdi.
I følge Lagranges formel
hvor er et tall mellom x 0 og x. Fordi:
Har hver funksjon f (x) en antiderivert?
Teorem. Hvis en funksjon f (x) er kontinuerlig på et eller annet intervall, har den en antiderivert på seg (ingen bevis).
Definisjon. Hvis F (x) er en slags antiderivert for f (x), så kalles uttrykket F (x) + C, hvor C er en vilkårlig konstant, et ubestemt integral og betegnes: , mens f (x) kalles en integrandfunksjon, og uttrykket f (x) dx - ved integranden:
Handlingen med å finne et ubestemt integral, ellers å finne alle antiderivater av en gitt funksjon, kalles integrering denne funksjonen. Det er åpenbart at operasjonene med differensiering og integrasjon er gjensidig omvendt.
Addisjon og subtraksjon, eksponentiasjon og rotekstraksjon, multiplikasjon og divisjon gir eksempler på inverse matematiske operasjoner.
Definisjon av en antiderivativ funksjon
- Funksjon y=F(x) kalles antiderivatet av funksjonen y=f(x) ved et gitt intervall X, hvis for alle X ∈X likestilling gjelder: F′(x) = f(x)
Kan leses på to måter:
- f avledet av en funksjon F
- F antiderivat av en funksjon f
Egenskapen til antiderivater
- Hvis F(x)- antiderivat av en funksjon f(x) på et gitt intervall, så har funksjonen f(x) uendelig mange antiderivater, og alle disse antiderivatene kan skrives på formen F(x) + C, hvor C er en vilkårlig konstant.
Geometrisk tolkning
- Grafer over alle antiderivater av en gitt funksjon f(x) er hentet fra grafen til et hvilket som helst antiderivat ved parallelle translasjoner langs O-aksen på.
Regler for beregning av antiderivater
- Antideriverten av summen er lik summen av antiderivatene. Hvis F(x)- antiderivat for f(x), og G(x) er et antiderivat for g(x), Det F(x) + G(x)- antiderivat for f(x) + g(x).
- Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte. Hvis F(x)- antiderivat for f(x), Og k- konstant altså k·F(x)- antiderivat for k f(x).
- Hvis F(x)- antiderivat for f(x), Og k, b- konstant, og k ≠ 0, Det 1/k F(kx + b)- antiderivat for f(kx + b).
Huske!
Enhver funksjon F(x) = x 2 + C , hvor C er en vilkårlig konstant, og bare en slik funksjon er en antiderivert for funksjonen f(x) = 2x.
- For eksempel:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, fordi F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, fordi F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
Forholdet mellom grafene til en funksjon og dens antideriverte:
- Hvis grafen til en funksjon f(x)>0 på intervallet, deretter grafen til dets antideriverte F(x)øker over dette intervallet.
- Hvis grafen til en funksjon f(x) på intervallet, deretter grafen til dets antideriverte F(x) avtar over dette intervallet.
- Hvis f(x)=0, deretter grafen til antiderivatet F(x) på dette tidspunktet endres fra økende til synkende (eller omvendt).
For å betegne et antiderivat brukes tegnet på et ubestemt integral, det vil si et integral uten å indikere grensene for integrasjon.
Ubestemt integral
Definisjon:
- Det ubestemte integralet til funksjonen f(x) er uttrykket F(x) + C, det vil si settet av alle antiderivater av en gitt funksjon f(x). Det ubestemte integralet er betegnet som følger: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- kalt integrand-funksjonen;
- f(x) dx- kalt integranden;
- x- kalt variabelen for integrering;
- F(x)- en av antiderivatene til funksjonen f(x);
- MED- vilkårlig konstant.
Egenskaper til det ubestemte integralet
- Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Den konstante faktoren til integranden kan tas ut av integrertegnet: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Integralet av summen (forskjellen) av funksjoner er lik summen (forskjellen) av integralene til disse funksjonene: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Hvis k, b er konstanter, og k ≠ 0, da \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.
Tabell over antiderivater og ubestemte integraler
| Funksjon f(x) | Antiderivat F(x) + C | Ubestemte integraler \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\ikke =-1 | F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C | \int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( x ) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e ( ^x ) dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C | \int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x ) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x ) | F(x) = \tg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt ( x ) | F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C | |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) ) | F(x) =2\sqrt ( x ) + C | |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2) ) | F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2) ) | F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C |
| f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 ) | F(x)=\arctg + C | \int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2) ) (a \not= 0) | F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x ) | F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C |
| f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x ) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C | \int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C |
Newton–Leibniz formel
La f(x) denne funksjonen F dets vilkårlige antiderivat.
\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)
Hvor F(x)- antiderivat for f(x)
Det vil si integralet til funksjonen f(x) på et intervall er lik differansen av antiderivater på punkter b Og en.
Arealet av en buet trapes
Krumlinjeformet trapes er en figur avgrenset av grafen til en funksjon som er ikke-negativ og kontinuerlig i et intervall f, Okseakse og rette linjer x = a Og x = b.
Arealet til en buet trapes er funnet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen:
S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx
