I artikkelen vil vi vurdere løse ulikheter. Vi vil fortelle deg tydelig om hvordan konstruere en løsning på ulikheter, med klare eksempler!
Før vi ser på å løse ulikheter ved hjelp av eksempler, la oss forstå de grunnleggende konseptene.
Generell informasjon om ulikheter
Ulikhet er et uttrykk der funksjoner er forbundet med relasjonstegn >, . Ulikheter kan være både numeriske og bokstavelige.
Ulikheter med to tegn på forholdet kalles dobbel, med tre - trippel, etc. For eksempel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Ulikheter som inneholder tegnet > eller eller - er ikke strenge.
Løse ulikheten er en hvilken som helst verdi av variabelen som denne ulikheten vil være sann for.
"Løs ulikhet betyr at vi må finne settet med alle løsningene. Det er forskjellige metoder for å løse ulikheter. Til ulikhetsløsninger De bruker tallinjen, som er uendelig. For eksempel, løsning på ulikhet x > 3 er intervallet fra 3 til +, og tallet 3 er ikke inkludert i dette intervallet, derfor er punktet på linjen angitt med en tom sirkel, fordi ulikhet er streng. 
+
Svaret vil være: x (3; +).
Verdien x=3 er ikke inkludert i løsningssettet, så parentesen er rund. Uendelighetstegnet er alltid uthevet med en parentes. Tegnet betyr "tilhørighet".
La oss se på hvordan du løser ulikheter ved å bruke et annet eksempel med et tegn:
x 2
-
+
Verdien x=2 er inkludert i løsningssettet, så parentesen er firkantet og punktet på linjen er angitt med en fylt sirkel.
Svaret vil være: x " title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
For å løse et system trenger du hver av dets konstituerende ulikheter. Bare avgjørelsen ble tatt om ikke å skrive separat, men sammen, og kombinere dem med en krøllete tannregulering.
I hver av ulikhetene i systemet flytter vi de ukjente til den ene siden, de kjente til den andre med motsatt fortegn:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Etter forenkling må begge sider av ulikheten deles på tallet foran X. Vi deler den første ulikheten med et positivt tall, slik at tegnet på ulikheten ikke endres. Vi deler den andre ulikheten med et negativt tall, så ulikhetstegnet må snus:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Vi markerer løsningen på ulikhetene på talllinjene:
Som svar skriver vi ned skjæringspunktet mellom løsningene, det vil si den delen der det er skyggelegging på begge linjene.
Svar: x∈[-2;1).
I den første ulikheten, la oss bli kvitt brøken. For å gjøre dette multipliserer vi begge sider ledd for ledd med minste fellesnevner 2. Når det multipliseres med et positivt tall, endres ikke ulikhetstegnet.
I den andre ulikheten åpner vi parentesene. Produktet av summen og differansen av to uttrykk er lik differansen av kvadratene til disse uttrykkene. På høyre side er kvadratet av forskjellen mellom de to uttrykkene.
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Vi flytter de ukjente til den ene siden, de kjente til den andre med motsatt fortegn og forenkler:
Vi deler begge sider av ulikheten med tallet foran X. I den første ulikheten deler vi med et negativt tall, slik at tegnet på ulikheten blir snudd. I det andre deler vi med et positivt tall, ulikhetstegnet endres ikke:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Begge ulikhetene har et "mindre enn"-tegn (det spiller ingen rolle at ett tegn er strengt tatt "mindre enn", det andre er løst, "mindre enn eller lik"). Vi kan ikke markere begge løsningene, men bruker " "-regelen. Den minste er 1, derfor reduseres systemet til ulikheten
Vi markerer løsningen på talllinjen:
Svar: x∈(-∞;1].
Åpne parentesen. I den første ulikheten - . Det er lik summen av kubene til disse uttrykkene.
I det andre produktet av summen og forskjellen av to uttrykk, som er lik forskjellen av kvadrater. Siden det her er et minustegn foran parentesene, er det bedre å åpne dem i to trinn: bruk først formelen, og først deretter åpne parentesene, og endre tegnet for hvert ledd til det motsatte.
Vi flytter de ukjente i én retning, de kjente i den andre med motsatt fortegn:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Begge er større enn tegn. Ved å bruke «mer enn mer»-regelen reduserer vi systemet med ulikheter til én ulikhet. Det største av de to tallene er 5, derfor,
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Vi markerer løsningen på ulikheten på tallinjen og skriver ned svaret: 
Svar: x∈(5;∞).
Siden lineære ulikheter i algebrasystemer ikke bare oppstår som uavhengige oppgaver, men også i løpet av å løse ulike typer ligninger, ulikheter osv., er det viktig å mestre dette emnet i tide.
Neste gang skal vi se på eksempler på løsning av systemer med lineære ulikheter i spesielle tilfeller når en av ulikhetene ikke har noen løsninger eller løsningen er et hvilket som helst tall.
Kategori: |Det er bare "X-er" og bare x-aksen, men nå legges "Y" til og aktivitetsfeltet utvides til hele koordinatplanet. Videre i teksten blir uttrykket "lineær ulikhet" forstått i en todimensjonal betydning, som vil bli tydelig i løpet av sekunder.
I tillegg til analytisk geometri er materialet relevant for en rekke problemstillinger innen matematisk analyse og økonomisk og matematisk modellering, så jeg anbefaler å studere denne forelesningen med fullt alvor.
Lineære ulikheter
Det er to typer lineære ulikheter:
1) Streng ulikheter:.
2) Slapp ulikheter:.
Hvilken geometrisk betydning disse ulikhetene? Hvis en lineær ligning definerer en linje, definerer en lineær ulikhet halvfly.
For å forstå informasjonen nedenfor, må du kjenne til typene rette linjer på et plan og kunne konstruere rette linjer. Hvis du har noen problemer i denne delen, les hjelpen Grafer og egenskaper til funksjoner– avsnitt om lineær funksjon.
La oss starte med de enkleste lineære ulikhetene. Drømmen til enhver fattig student er et koordinatplan der det ikke er noe:
Som du vet, er x-aksen gitt av ligningen - "y" er alltid (for enhver verdi av "x") lik null
La oss vurdere ulikhet. Hvordan forstå det uformelt? "Y" er alltid (for enhver verdi av "x") positiv. Åpenbart definerer denne ulikheten det øvre halvplanet - tross alt er alle punktene med positive "spill" plassert der.
I tilfelle at ulikheten ikke er streng, til det øvre halvplanet i tillegg selve aksen legges til.
Tilsvarende: ulikheten tilfredsstilles av alle punkter i det nedre halvplanet en ikke-streng ulikhet tilsvarer det nedre halvplanet + aksen.
Det er den samme prosaiske historien med y-aksen:
– ulikheten spesifiserer det høyre halvplanet;
– ulikheten spesifiserer det høyre halvplanet, inkludert ordinataksen;
– ulikheten spesifiserer venstre halvplan;
– ulikheten spesifiserer venstre halvplan, inkludert ordinataksen.
I det andre trinnet tar vi for oss ulikheter der en av variablene mangler.
Mangler "y":
Eller det er ingen "x":
Disse ulikhetene kan håndteres på to måter: Vennligst vurder begge tilnærmingene. La oss underveis huske og konsolidere skolehandlinger med ulikheter, allerede diskutert i klassen Funksjon Domene.
Eksempel 1
Løs lineære ulikheter:
Hva vil det si å løse en lineær ulikhet?
Å løse en lineær ulikhet betyr å finne et halvplan, hvis punkter tilfredsstiller denne ulikheten (pluss selve linjen, hvis ulikheten ikke er streng). Løsning, som oftest, grafikk.
Det er mer praktisk å utføre tegningen umiddelbart og deretter kommentere alt: 
a) Løs ulikheten
Metode én
Metoden minner mye om historien med koordinatakser, som vi diskuterte ovenfor. Tanken er å transformere ulikheten - å la én variabel stå på venstre side uten konstanter, til i dette tilfellet– variabel "x".
Regel: I en ulikhet overføres begrepene fra del til del med fortegnsendring, mens tegnet på ulikheten SELV endres ikke(hvis det for eksempel var et "mindre enn"-tegn, vil det forbli "mindre enn").
Vi flytter "fem" til høyre side med et tegnskifte:
Regel POSITIV endres ikke.
Tegn nå en rett linje (blå stiplet linje). Den rette linjen er tegnet som en stiplet linje fordi ulikheten streng, og punkter som hører til denne linjen vil absolutt ikke være med i løsningen.
Hva er meningen med ulikhet? "X" er alltid (for enhver verdi av "Y") mindre enn . Dette utsagnet er åpenbart tilfredsstilt av alle punkter i venstre halvplan. Dette halvplanet kan i prinsippet skygges, men jeg vil begrense meg til små blå piler for ikke å gjøre tegningen om til en kunstnerisk palett.
Metode to
Dette er en universell metode. LES VELDIG NØYE!
Først tegner vi en rett linje. For klarhetens skyld er det forresten tilrådelig å presentere ligningen i skjemaet .
Velg nå et hvilket som helst punkt på flyet, ikke tilhører direkte. I de fleste tilfeller er sweet spot, selvfølgelig. La oss erstatte koordinatene til dette punktet med ulikheten: 
Mottatt falsk ulikhet (med enkle ord, dette kan ikke være), noe som betyr at punktet ikke tilfredsstiller ulikheten .
Nøkkelregelen for vår oppgave:
tilfredsstiller ikke ulikhet altså ALLE punkter i et gitt halvplan ikke tilfredsstiller denne ulikheten.
– Hvis noe punkt i halvplanet (tilhører ikke en linje) tilfredsstiller ulikhet altså ALLE punkter i et gitt halvplan tilfredsstille denne ulikheten.
Du kan teste: ethvert punkt til høyre for linjen vil ikke tilfredsstille ulikheten.
Hva er konklusjonen fra eksperimentet med punktet? Det er ingen steder å gå, ulikheten er tilfredsstilt av alle punkter i det andre - venstre halvplan (du kan også sjekke).
b) Løs ulikheten
Metode én
La oss transformere ulikheten:
Regel: Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med NEGATIV tall, med ulikhetstegnet ENDRINGER til det motsatte (hvis det for eksempel var et "større enn eller lik"-tegn, vil det bli "mindre enn eller lik").
Vi multipliserer begge sider av ulikheten med:
La oss tegne en rett linje (rød farge), og tegne en hel linje, siden vi har ulikhet ikke-streng, og den rette linjen hører åpenbart til løsningen.
Etter å ha analysert den resulterende ulikheten, kommer vi til den konklusjon at løsningen er det nedre halvplanet (+ selve den rette linjen).
Vi skygger eller markerer passende halvplan med piler.
Metode to
La oss tegne en rett linje. La oss velge vilkårlig poeng plan (som ikke tilhører en rett linje), for eksempel, og erstatter dens koordinater med vår ulikhet: 
Mottatt ekte ulikhet, som betyr at punktet tilfredsstiller ulikheten, og generelt tilfredsstiller ALLE punkter i det nedre halvplanet denne ulikheten.
Her, med det eksperimentelle punktet, "treffer" vi ønsket halvplan.
Løsningen på problemet er indikert med en rød linje og røde piler.
Personlig foretrekker jeg den første løsningen, siden den andre er mer formell.
Eksempel 2
Løs lineære ulikheter:
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Prøv å løse problemet på to måter (det er forresten riktig vei sjekke løsningen). Svaret på slutten av leksjonen vil kun inneholde den endelige tegningen.
Jeg tror at etter alle handlingene som er gjort i eksemplene, vil du måtte gifte deg med dem, det vil ikke være vanskelig å løse den enkleste ulikheten, etc.
La oss gå videre til å vurdere det tredje, generelle tilfellet, når begge variablene er tilstede i ulikheten:
Alternativt kan det frie uttrykket "ce" være null.
Eksempel 3
Finn halvplan som tilsvarer følgende ulikheter:
Løsning: Her brukes universalløsningsmetoden med punktsubstitusjon.
a) La oss konstruere en ligning for den rette linjen, og linjen skal tegnes som en stiplet linje, siden ulikheten er streng og den rette linjen i seg selv ikke vil inkluderes i løsningen.
Vi velger for eksempel et eksperimentelt punkt på planet som ikke tilhører en gitt linje, og erstatter dets koordinater med vår ulikhet:
Mottatt falsk ulikhet, som betyr at punktet og ALLE punktene til et gitt halvplan ikke tilfredsstiller ulikheten. Løsningen på ulikheten vil være et annet halvplan, la oss beundre det blå lynet: 
b) La oss løse ulikheten. Først, la oss konstruere en rett linje. Dette er ikke vanskelig å gjøre; vi har den kanoniske direkte proporsjonaliteten. Vi trekker grensen fortløpende, siden ulikheten ikke er streng.
La oss velge et vilkårlig punkt på planet som ikke tilhører den rette linjen. Jeg vil gjerne bruke opprinnelsen igjen, men dessverre er den ikke egnet nå. Derfor må du jobbe med en annen venn. Det er mer lønnsomt å ta et punkt med små koordinatverdier, for eksempel . La oss erstatte dens koordinater med vår ulikhet:
Mottatt ekte ulikhet, som betyr at punktet og alle punktene i et gitt halvplan tilfredsstiller ulikheten . Ønsket halvplan er markert med røde piler. I tillegg inkluderer løsningen selve den rette linjen.
Eksempel 4
Finn halvplan som tilsvarer ulikhetene:
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Komplett løsning, et omtrentlig utvalg av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen.
La oss se på det omvendte problemet:
Eksempel 5
a) Gitt en rett linje. Definere halvplanet som punktet ligger i, mens selve den rette linjen skal inkluderes i løsningen.
b) Gitt en rett linje. Definere halvplanet som punktet befinner seg i. Selve den rette linjen er ikke inkludert i løsningen.
Løsning: Det er ikke behov for en tegning her og løsningen vil være analytisk. Ikke noe vanskelig:
a) La oss lage et hjelpepolynom 
og beregn verdien ved punktet:
. Dermed vil den ønskede ulikheten ha et "mindre enn"-tegn. Etter betingelse er den rette linjen inkludert i løsningen, så ulikheten vil ikke være streng:
b) La oss komponere et polynom og beregne verdien ved punktet:
. Dermed vil den ønskede ulikheten ha et "større enn"-tegn. Etter betingelse er den rette linjen ikke inkludert i løsningen, derfor vil ulikheten være streng: .
Svar:
Kreativt eksempel for selvstudium:
Eksempel 6
Gitt poeng og en rett linje. Blant de listede punktene, finn de som, sammen med origo for koordinater, ligger på samme side av den gitte linjen.
Et lite hint: først må du lage en ulikhet som bestemmer halvplanet der opprinnelsen til koordinatene er plassert. Analytisk løsning og svar på slutten av timen.
Systemer med lineære ulikheter
Et system med lineære ulikheter er, som du forstår, et system sammensatt av flere ulikheter. Lol, vel, jeg ga ut definisjonen =) Et pinnsvin er et pinnsvin, en kniv er en kniv. Men det er sant - det viste seg enkelt og tilgjengelig! Nei, seriøst, jeg ønsker ikke å gi noen generelle eksempler, så la oss gå rett til de presserende problemene:
Hva vil det si å løse et system med lineære ulikheter?
Løs et system med lineære ulikheter- Dette betyr finn settet med punkter på flyet, som tilfredsstiller til hver ulikhet i systemet.
Som de enkleste eksemplene kan du vurdere systemene med ulikheter som bestemmer koordinatfjerdingene til et rektangulært koordinatsystem ("bildet av de fattige elevene" er helt i begynnelsen av leksjonen):
Systemet med ulikheter definerer det første koordinatkvartalet (øverst til høyre). Koordinater for et hvilket som helst punkt i første kvartal, for eksempel, 
etc. tilfredsstille til hver ulikheten i dette systemet.
Like måte:
– systemet med ulikheter spesifiserer det andre koordinatkvartalet (øverst til venstre);
– systemet med ulikheter definerer det tredje koordinatkvartalet (nederst til venstre);
– systemet med ulikheter definerer det fjerde koordinatkvartalet (nedre til høyre).
Et system med lineære ulikheter har kanskje ingen løsninger, det vil si å være ikke-ledd. Igjen det enkleste eksemplet: . Det er ganske åpenbart at "x" ikke samtidig kan være mer enn tre og mindre enn to.
Løsningen på ulikhetssystemet kan være en rett linje, for eksempel: . Svane, kreps, uten gjedde, trekker en vogn i to forskjellige sider. Ja, ting er der fortsatt - løsningen på dette systemet er den rette linjen.
Men det vanligste tilfellet er når løsningen på systemet er noen flyregion. Løsningsområde Kan være Ikke begrenset(for eksempel koordinatkvartaler) eller begrenset. Den begrensede løsningsregionen kalles polygonløsningssystem.
Eksempel 7
Løs et system med lineære ulikheter
I praksis må vi i de fleste tilfeller forholde oss til svake ulikheter, så det er de som leder runddansene resten av timen.
Løsning: Det at det er for mange ulikheter burde ikke være skummelt. Hvor mange ulikheter kan det være i systemet? Ja, så mye du vil. Det viktigste er å følge en rasjonell algoritme for å konstruere et løsningsområde:
1) Først tar vi for oss de enkleste ulikhetene. Ulikhetene definerer det første koordinatkvartalet, inkludert grensen til koordinataksene. Det er allerede mye enklere, siden søkeområdet har blitt betydelig redusert. På tegningen markerer vi umiddelbart de tilsvarende halvplanene med piler (røde og blå piler)
2) Den nest enkleste ulikheten er at det ikke er noen "Y" her. For det første konstruerer vi selve den rette linjen, og for det andre, etter å ha konvertert ulikheten til formen , blir det umiddelbart klart at alle "X-ene" er mindre enn 6. Vi markerer det tilsvarende halvplanet med grønne piler. Vel, søkeområdet har blitt enda mindre - et slikt rektangel er ikke begrenset ovenfra.
3) På siste trinn løser vi ulikhetene "med full ammunisjon": . Vi diskuterte løsningsalgoritmen i detalj i forrige avsnitt. Kort sagt: først bygger vi en rett linje, deretter, ved hjelp av et eksperimentelt punkt, finner vi halvplanet vi trenger.
Stå opp, barn, stå i en sirkel: 
Løsningsområdet til systemet er en polygon, på tegningen er den skissert med en rød linje og skyggelagt. Jeg overdrev det litt =) I notatboken er det nok å enten skyggelegge løsningsområdet eller tegne det dristigere med en enkel blyant.
Ethvert punkt i en gitt polygon tilfredsstiller HVER ulikhet i systemet (du kan sjekke det for moro skyld).
Svar: Løsningen til systemet er en polygon.
Når du søker om en ren kopi, vil det være en god idé å beskrive i detalj hvilke punkter du brukte for å konstruere rette linjer (se leksjon Grafer og egenskaper til funksjoner), og hvordan halvplan ble bestemt (se første avsnitt i denne leksjonen). Men i praksis vil du i de fleste tilfeller bli kreditert med akkurat den riktige tegningen. Selve beregningene kan utføres på utkast eller til og med muntlig.
I tillegg til løsningspolygonen til systemet er det i praksis, om enn sjeldnere, et åpent område. Prøv å forstå følgende eksempel selv. Selv om det for nøyaktighetens skyld ikke er noen tortur her - konstruksjonsalgoritmen er den samme, det er bare at området ikke vil være begrenset.
Eksempel 8
Løs systemet
Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen. Du vil mest sannsynlig ha forskjellige bokstaver for toppunktene i den resulterende regionen. Dette er ikke viktig, det viktigste er å finne toppunktene riktig og konstruere området riktig.
Det er ikke uvanlig når problemer krever ikke bare å konstruere et løsningsdomene til et system, men også å finne koordinatene til toppunktene til domenet. I de to foregående eksemplene var koordinatene til disse punktene åpenbare, men i praksis er alt langt fra is:
Eksempel 9
Løs systemet og finn koordinatene til toppunktene til det resulterende området
Løsning: La oss på tegningen skildre løsningsområdet til dette systemet. Ulikheten definerer det venstre halvplanet med ordinataksen, og det er ikke mer gratis her. Etter beregninger på et rent/trekkpapir eller dypt tankeprosesser, får vi følgende løsningsområde: 
