I livet må vi ofte møte matematikkproblemer: på skolen, på universitetet, og deretter hjelpe barnet vårt med lekser. Folk fra visse yrker vil møte matematikk på daglig basis. Derfor er det nyttig å huske eller huske matematiske regler. I denne artikkelen vil vi analysere en av dem: finne benet til en rettvinklet trekant.
Hva er en rettvinklet trekant
Først, la oss huske hva som er høyre trekant. En rettvinklet trekant er en geometrisk figur av tre segmenter som forbinder punkter som ikke ligger på samme rette linje, og en av vinklene til denne figuren er 90 grader. Sidene som danner en rett vinkel kalles bena, og siden som ligger motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen.
Finne beinet til en rettvinklet trekant
Det er flere måter å finne ut lengden på benet. Jeg vil gjerne vurdere dem mer detaljert.
Pythagoras teorem for å finne benet til en rettvinklet trekant
Hvis vi kjenner hypotenusen og benet, kan vi finne lengden på det ukjente benet ved å bruke Pythagoras teorem. Det høres slik ut: "Kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena." Formel: c²=a²+b², hvor c er hypotenusen, a og b er bena. Vi transformerer formelen og får: a²=c²-b².
Eksempel. Hypotenusen er 5 cm, og benet er 3 cm Vi transformerer formelen: c²=a²+b² → a²=c²-b². Deretter bestemmer vi: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Trigonometriske relasjoner for å finne beinet til en rettvinklet trekant
Det er også mulig å finne et ukjent ben hvis en annen side og en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er kjent. Det er fire alternativer for å finne benet ved hjelp av trigonometriske funksjoner: etter sinus, cosinus, tangens, cotangens. For å løse problemene vil tabellen nedenfor hjelpe oss. La oss vurdere disse alternativene.
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke sinusen
Sinusen til en vinkel (sin) er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen. Formel: sin \u003d a / c, der a er benet motsatt den gitte vinkelen, og c er hypotenusen. Deretter transformerer vi formelen og får: a=sin*c.
Eksempel. Hypotenusen er 10 cm og vinkel A er 30 grader. I følge tabellen beregner vi sinusen til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter, ved hjelp av den transformerte formelen, løser vi: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke cosinus
Cosinus til en vinkel (cos) er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Formel: cos=b/c, hvor b er benet ved siden av dette hjørnet, og c er hypotenusen. La oss transformere formelen og få: b=cos*c.
Eksempel. Vinkel A er 60 grader, hypotenusen er 10 cm I følge tabellen regner vi ut cosinus til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter løser vi: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Finn beinet til en rettvinklet trekant ved hjelp av tangenten
Tangensen til en vinkel (tg) er forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende. Formel: tg \u003d a / b, der a er benet motsatt hjørnet, og b er tilstøtende. La oss transformere formelen og få: a=tg*b.
Eksempel. Vinkel A er 45 grader, hypotenusen er 10 cm I følge tabellen regner vi ut tangenten til vinkel A, den er lik Løs: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Finn benet til en rettvinklet trekant ved å bruke cotangensen
Kotangensen til en vinkel (ctg) er forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte benet. Formel: ctg \u003d b / a, hvor b er benet ved siden av hjørnet, og er motsatt. Med andre ord, cotangensen er den "inverterte tangenten". Vi får: b=ctg*a.
Eksempel. Vinkel A er 30 grader, motsatt ben er 5 cm. I følge tabellen er tangenten til vinkel A √3. Regn ut: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Så nå vet du hvordan du finner benet i en rettvinklet trekant. Som du kan se, er det ikke så vanskelig, det viktigste er å huske formlene.
Vi begynner studiet av trigonometri med en rettvinklet trekant. La oss definere hva sinus og cosinus er, samt tangenten og cotangensen til en spiss vinkel. Dette er det grunnleggende om trigonometri.
Husk det rett vinkel er en vinkel lik . Med andre ord halvparten av det utfoldede hjørnet.
Skarpt hjørne- mindre.
Stump vinkel- større. I forhold til en slik vinkling er ikke "stump" en fornærmelse, men et matematisk begrep :-)
La oss tegne en rettvinklet trekant. En rett vinkel er vanligvis betegnet . Merk at siden motsatt hjørnet er merket med samme bokstav, bare liten. Så siden som ligger motsatt vinkelen er angitt.
En vinkel er angitt med den tilsvarende greske bokstaven.
Hypotenus En rettvinklet trekant er siden motsatt den rette vinkelen.
Ben- sider motsatt skarpe hjørner.
Benet motsatt hjørnet kalles motsatte(i forhold til vinkel). Det andre benet, som ligger på den ene siden av hjørnet, kalles ved siden av.
Sinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen:
Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
Tangent spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende:
En annen (tilsvarende) definisjon: tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom sinusen til en vinkel og dens cosinus:
Cotangens spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte (eller tilsvarende forholdet mellom cosinus og sinus):
Vær oppmerksom på de grunnleggende forholdene for sinus, cosinus, tangens og cotangens, som er gitt nedenfor. De vil være nyttige for oss for å løse problemer.
La oss bevise noen av dem.
1. Summen av vinklene til en trekant er . Midler, summen av to spisse vinkler i en rettvinklet trekant er .
2. På den ene siden, som forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen. På den annen side, siden for vinkelen vil benet være tilstøtende.
Det skjønner vi. Med andre ord, .
3. Ta Pythagoras teorem: . La oss dele begge deler med:
Vi fikk grunnleggende trigonometrisk identitet:
Når vi kjenner sinusen til en vinkel, kan vi finne dens cosinus, og omvendt.
4. Ved å dele begge deler av den trigonometriske hovedidentiteten med får vi:
Dette betyr at hvis vi får tangenten til en spiss vinkel, kan vi umiddelbart finne dens cosinus.
Like måte,
Ok, vi har gitt definisjoner og skrevet formler. Men hvorfor trenger vi sinus, cosinus, tangens og cotangens?
Vi vet det summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er.
Vi kjenner forholdet mellom fester høyre trekant. Dette er Pythagoras teorem: .
Det viser seg at når du kjenner to vinkler i en trekant, kan du finne den tredje. Når du kjenner to sider i en rettvinklet trekant, kan du finne den tredje. Så for vinkler - deres forhold, for sider - deres egne. Men hva skal jeg gjøre hvis en vinkel (bortsett fra en rett) og en side i en rettvinklet trekant er kjent, men du må finne andre sider?
Dette er hva folk møtte tidligere, og laget kart over området og stjernehimmelen. Det er tross alt ikke alltid mulig å måle alle sidene i en trekant direkte.
Sinus, cosinus og tangens – de kalles også trigonometriske funksjoner til vinkelen- gi forholdet mellom fester og hjørner triangel. Når du kjenner vinkelen, kan du finne alle trigonometriske funksjoner ved hjelp av spesielle tabeller. Og når du kjenner sinus, cosinus og tangens til vinklene til en trekant og en av sidene, kan du finne resten.
Vi vil også tegne en tabell med sinus-, cosinus-, tangens- og cotangensverdier for "gode" vinkler fra til.
Legg merke til de to røde strekene i tabellen. For de tilsvarende verdiene til vinklene eksisterer ikke tangens og cotangens.
La oss analysere flere problemer i trigonometri fra Bank of FIPI-oppgaver.
1. I en trekant er vinkelen , . Finn .
Problemet er løst på fire sekunder.
Siden har vi: .
2. I en trekant er vinkelen , , . Finn . , er lik halvparten av hypotenusen.
Trekant med vinkler , og er likebenet. I den er hypotenusen ganger større enn benet.
En av matematikkens grener som skolebarn takler de største vanskelighetene med, er trigonometri. Ikke rart: for å mestre dette kunnskapsområdet fritt, trenger du romlig tenkning, evnen til å finne sinus, cosinus, tangenter, cotangenter ved hjelp av formler, forenkle uttrykk og kunne bruke tallet pi i beregninger. I tillegg må du kunne bruke trigonometri når du skal bevise teoremer, og dette krever enten et utviklet matematisk minne eller evnen til å utlede komplekse logiske kjeder.
Opprinnelsen til trigonometri
Bekjentskap med denne vitenskapen bør begynne med definisjonen av sinus, cosinus og tangens til vinkelen, men først må du finne ut hva trigonometri gjør generelt.
Historisk sett har rettvinklede trekanter vært hovedobjektet for studiet i denne delen av matematisk vitenskap. Tilstedeværelsen av en vinkel på 90 grader gjør det mulig å utføre forskjellige operasjoner som lar en bestemme verdiene til alle parametere i figuren under vurdering ved å bruke to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Tidligere la folk merke til dette mønsteret og begynte å bruke det aktivt i bygging av bygninger, navigasjon, astronomi og til og med kunst.
Første etappe
Opprinnelig snakket folk om forholdet mellom vinkler og sider utelukkende på eksemplet med rette trekanter. Da ble det oppdaget spesielle formler som gjorde det mulig å utvide bruksgrensene i hverdagen til denne delen av matematikken.
Studiet av trigonometri på skolen i dag begynner med rette trekanter, hvoretter den ervervede kunnskapen brukes av elever i fysikk og løse abstrakte trigonometriske ligninger, arbeid med som begynner på videregående.
Sfærisk trigonometri
Senere, da vitenskapen nådde neste utviklingsnivå, begynte formler med sinus, cosinus, tangens, cotangens å bli brukt i sfærisk geometri, der andre regler gjelder, og summen av vinklene i en trekant er alltid mer enn 180 grader. Denne delen studeres ikke på skolen, men det er nødvendig å vite om dens eksistens, i det minste fordi jordoverflaten, og overflaten til enhver annen planet, er konveks, noe som betyr at enhver overflatemarkering vil være "bueformet" i tredimensjonalt rom.
Ta jordkloden og tråden. Fest tråden til to punkter på jordkloden slik at den er stram. Vær oppmerksom - den har fått formen av en bue. Det er med slike former at sfærisk geometri, som brukes i geodesi, astronomi og andre teoretiske og anvendte felt, handler.
Høyre trekant
Etter å ha lært litt om måtene å bruke trigonometri på, la oss gå tilbake til grunnleggende trigonometri for å forstå ytterligere hva sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger som kan utføres med deres hjelp og hvilke formler som skal brukes.
Det første trinnet er å forstå begrepene knyttet til en rettvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden motsatt 90 graders vinkel. Hun er den lengste. Vi husker at ifølge Pythagoras teorem er dens numeriske verdi lik roten av summen av kvadratene til de to andre sidene.
For eksempel, hvis to sider er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil lengden på hypotenusen være 5 centimeter. Forresten, de gamle egypterne visste om dette for rundt fire og et halvt tusen år siden.
De to gjenværende sidene som danner en rett vinkel kalles ben. I tillegg må vi huske at summen av vinklene i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er 180 grader.
Definisjon
Til slutt, med en solid forståelse av den geometriske basen, kan vi gå til definisjonen av sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte benet (dvs. siden motsatt ønsket vinkel) og hypotenusen. Cosinus til en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Husk at verken sinus eller cosinus kan være større enn én! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den lengste. Uansett hvor lang benet er, vil den være kortere enn hypotenusen, noe som betyr at forholdet deres alltid vil være mindre enn én. Så hvis du får en sinus eller cosinus med en verdi større enn 1 i svaret på oppgaven, se etter en feil i beregninger eller resonnement. Dette svaret er helt klart feil.
Til slutt er tangenten til en vinkel forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Det samme resultatet vil gi deling av sinus med cosinus. Se: i samsvar med formelen deler vi lengden på siden med hypotenusen, hvoretter vi deler med lengden på den andre siden og multipliserer med hypotenusen. Dermed får vi samme forhold som i definisjonen av tangent.
Cotangensen er henholdsvis forholdet mellom siden ved siden av hjørnet og motsatt side. Vi får samme resultat ved å dele enheten på tangenten.
Så vi har vurdert definisjonene av hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, og vi kan forholde oss til formler.
De enkleste formlene
I trigonometri kan man ikke klare seg uten formler - hvordan finner man sinus, cosinus, tangens, cotangens uten dem? Og det er nettopp dette som kreves når man skal løse problemer.
Den første formelen du trenger å vite når du begynner å studere trigonometri sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus til en vinkel er lik én. Denne formelen er en direkte konsekvens av Pythagoras teorem, men det sparer tid hvis du vil vite verdien av vinkelen, ikke siden.
Mange elever kan ikke huske den andre formelen, som også er veldig populær når de løser skoleoppgaver: summen av en og kvadratet av tangens til en vinkel er lik en delt på kvadratet av vinkelens cosinus. Ta en nærmere titt: dette er tross alt det samme utsagnet som i den første formelen, bare begge sider av identiteten ble delt med kvadratet av cosinus. Det viser seg at en enkel matematisk operasjon gjør den trigonometriske formelen helt ugjenkjennelig. Husk: Når du vet hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, konverteringsreglene og noen få grunnleggende formler, kan du når som helst uavhengig utlede de nødvendige mer komplekse formlene på et ark.
Dobbelvinkelformler og addisjon av argumenter
Ytterligere to formler du trenger å lære er relatert til verdiene av sinus og cosinus for summen og differansen av vinklene. De er vist i figuren nedenfor. Vær oppmerksom på at i det første tilfellet multipliseres sinus og cosinus begge ganger, og i det andre blir det parvise produktet av sinus og cosinus lagt til.
Det er også formler knyttet til dobbeltvinkelargumenter. De er fullstendig avledet fra de forrige - som en praksis, prøv å få dem selv, ta vinkelen på alfa lik betavinkelen.
Merk til slutt at dobbeltvinkelformlene kan konverteres for å senke graden av sinus, cosinus, tangent alfa.
Teoremer
De to hovedsetningene i grunnleggende trigonometri er sinussetningen og cosinussetningen. Ved hjelp av disse teoremene kan du enkelt forstå hvordan du finner sinus, cosinus og tangens, og derfor arealet av figuren, og størrelsen på hver side, etc.
Sinussetningen sier at som et resultat av å dele lengden på hver av sidene i trekanten med verdien av den motsatte vinkelen, får vi samme tall. Dessuten vil dette tallet være lik to radier av den omskrevne sirkelen, det vil si sirkelen som inneholder alle punktene i den gitte trekanten.
Cosinussetningen generaliserer Pythagoras setning, og projiserer den på alle trekanter. Det viser seg at fra summen av kvadratene til de to sidene, trekker du produktet deres multiplisert med den doble cosinus til vinkelen ved siden av dem - den resulterende verdien vil være lik kvadratet på den tredje siden. Dermed viser Pythagorean-setningen seg å være et spesialtilfelle av cosinus-teoremet.
Feil på grunn av uoppmerksomhet
Selv om du vet hva sinus, cosinus og tangens er, er det lett å gjøre feil på grunn av fravær eller feil i de enkleste beregningene. For å unngå slike feil, la oss bli kjent med de mest populære av dem.
For det første bør du ikke gjøre om vanlige brøker til desimaler før det endelige resultatet er oppnådd – du kan la svaret være en vanlig brøk, med mindre betingelsen sier noe annet. En slik transformasjon kan ikke kalles en feil, men det bør huskes at på hvert stadium av problemet kan nye røtter dukke opp, som ifølge forfatterens idé bør reduseres. I dette tilfellet vil du kaste bort tid på unødvendige matematiske operasjoner. Dette gjelder spesielt for verdier som roten til tre eller to, fordi de forekommer i oppgaver ved hvert trinn. Det samme gjelder avrunding av «stygge» tall.
Merk videre at cosinus-setningen gjelder for alle trekanter, men ikke Pythagoras setning! Hvis du feilaktig glemmer å trekke fra to ganger produktet av sidene multiplisert med cosinus til vinkelen mellom dem, vil du ikke bare få et helt feil resultat, men også demonstrere en fullstendig misforståelse av emnet. Dette er verre enn en uforsiktig feil.
For det tredje, ikke forveksle verdiene for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse verdiene, fordi sinus på 30 grader er lik cosinus på 60, og omvendt. Det er lett å blande dem, som et resultat av at du uunngåelig vil få et feilaktig resultat.
applikasjon
Mange studenter har ikke hastverk med å begynne å studere trigonometri, fordi de ikke forstår dens anvendte betydning. Hva er sinus, cosinus, tangens for en ingeniør eller astronom? Dette er konsepter som du kan bruke til å beregne avstanden til fjerne stjerner, forutsi fallet til en meteoritt, sende en forskningssonde til en annen planet. Uten dem er det umulig å bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på overflaten eller banen til et objekt. Og dette er bare de mest åpenbare eksemplene! Tross alt brukes trigonometri i en eller annen form overalt, fra musikk til medisin.
Til slutt
Så du er sinus, cosinus, tangens. Du kan bruke dem i beregninger og løse skoleproblemer.
Hele essensen av trigonometri koker ned til det faktum at ukjente parametere må beregnes fra trekantens kjente parametere. Det er seks parametere totalt: lengden på tre sider og størrelsen på tre vinkler. Hele forskjellen i oppgavene ligger i at det gis ulike inputdata.
Hvordan finne sinus, cosinus, tangens basert på de kjente lengdene på bena eller hypotenusen, vet du nå. Siden disse begrepene ikke betyr noe mer enn et forhold, og et forhold er en brøk, er hovedmålet med det trigonometriske problemet å finne røttene til en vanlig ligning eller et ligningssystem. Og her får du hjelp av vanlig skolematematikk.
Kapittel I. Løsning av rettvinklede trekanter
§3 (37). Grunnleggende forholdstall og oppgaver
I trigonometri vurderes problemer der det er nødvendig å beregne visse elementer i en trekant med et tilstrekkelig antall numeriske verdier av dens gitte elementer. Disse oppgavene blir vanligvis referert til som løsning triangel.
La ABC være en rettvinklet trekant, C en rett vinkel, en og b- ben motsatt spisse vinkler A og B, Med- hypotenuse (fig. 3);
så har vi:
Cosinus til en spiss vinkel er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
fordi A = b/ c, cos B = en / c (1)
Sinusen til en spiss vinkel er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen:
synd A = en / c, sin B = b/ c (2)
Tangensen til en spiss vinkel er forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende:
tan A = en / b, tg B = b/ en (3)
Kotangensen til en spiss vinkel er forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte:
ctgA= b/ en, ctg B = en / b (4)
Summen av spisse vinkler er 90°.
Grunnleggende oppgaver for rettvinklede trekanter.
Oppgave I. Gitt hypotenusen og en av de spisse vinklene, beregne de andre elementene.
Løsning. La gitt Med og A. Vinkel B = 90° - A er også kjent; ben er funnet fra formlene (1) og (2).
a = c sinA, b = c fordi A.
Oppgave II . Gitt et ben og en av de spisse vinklene, beregne de andre elementene.
Løsning. La gitt en og A. Vinkel B = 90° - A er kjent; fra formlene (3) og (2) finner vi:
b = en tg B (= en ctg A), Med = en/sin A
Oppgave III. Gitt benet og hypotenusen, beregne de resterende elementene.
Løsning. La gitt en og Med(og en< с ). Fra likheter (2) finner vi vinkelen A:
synd A = en / c og A = arc sin en / c ,
og til slutt beinet b:
b = Med cos A (= Med synd B).
Oppgave IV. Ben a og b er gitt for å finne andre elementer.
Løsning. Fra likheter (3) finner vi en spiss vinkel, for eksempel A:
tg A = en / b, A = arktan en / b ,
vinkel B \u003d 90 ° - A,
hypotenuse: c = en/sin A (= b/sinB; = en/cos B)
Nedenfor er et eksempel på å løse en rettvinklet trekant ved hjelp av logaritmiske tabeller*.
* Beregningen av elementene i rettvinklede trekanter i henhold til naturlige tabeller er kjent fra geometrikurset til VIII-klassen.
Når man regner med logaritmiske tabeller, bør man skrive ut de tilsvarende formlene, prologaritme dem, erstatte numeriske data, finne de nødvendige logaritmene til kjente elementer (eller deres trigonometriske funksjoner) fra tabellene, beregne logaritmene til de ønskede elementene (eller deres trigonometriske funksjoner) ) og finn de nødvendige elementene fra tabellene.
Eksempel. Dana ben en= 166,1 og hypotenusa Med= 187,3; beregne spisse vinkler, annet ben og areal.
Løsning. Vi har:
synd A = en / c; lg sin A = lg en-lg c; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Vi beregner beinet b:
b = a tg B ; lg b= logg b+ lg tg B; 
Arealet av en trekant kan beregnes ved hjelp av formelen
S=1/2 ab = 0,5 en 2 tg B; 
For kontroll beregner vi vinkelen A på en linjal:
En lysbuesynd en / c= bue sin 166 / 187 ≈ 62°.
Merk. bein b kan beregnes ved hjelp av Pythagoras teorem, ved å bruke tabellene med kvadrater og kvadratrøtter (tabell III og IV):
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Avvik med tidligere oppnådd verdi b= 86.48 er forklart av feilene i tabellene, som gir de omtrentlige verdiene til funksjonene. Resultatet på 86,54 er mer nøyaktig.
Som du kan se er denne sirkelen bygget i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved origo, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).
Hvert punkt i sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs aksen og koordinaten langs aksen. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette, husk om den betraktede rettvinklede trekanten. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.
Hva er lik fra en trekant? Det er riktig. I tillegg vet vi at det er radiusen til enhetssirkelen, og derfor . Bytt denne verdien inn i cosinusformelen vår. Her er hva som skjer:
Og hva er lik fra en trekant? Selvfølgelig, ! Bytt inn verdien av radiusen i denne formelen og få:
Så, kan du fortelle meg hva er koordinatene til et punkt som tilhører sirkelen? Vel, ingen måte? Og hvis du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinaten! Hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinere! Dermed er poenget.
Og hva er da like og? Det stemmer, la oss bruke de passende definisjonene av tangent og cotangens og få det, en.
Hva om vinkelen er større? Her, for eksempel, som på dette bildet:
Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vender vi igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: en vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens til en vinkel? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:
Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av vinkelens cosinus - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed er disse relasjonene anvendelige for alle rotasjoner av radiusvektoren.
Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel av en viss størrelse, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.
Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt sirkelen er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren med eller ved? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjon eller.
I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjon eller.
Fra eksemplene ovenfor kan vi derfor konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.
Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet, og så videre. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)
Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er lik:
Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:
Noen vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:
Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse mål på vinkelen. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:
Eksisterer ikke;
Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.
Svar:
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Dermed kan vi lage følgende tabell:
Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:
Men verdiene for de trigonometriske funksjonene til vinklene i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:
Ikke vær redd, nå skal vi vise et av eksemplene ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:
For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre målene på vinkelen (), samt verdien av tangenten til vinkelen i. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:
Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med piler, vil det være nok å huske hele verdien fra tabellen.
Koordinater til et punkt på en sirkel
Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?
Vel, selvfølgelig kan du det! La oss ta frem generell formel for å finne koordinatene til et punkt.
Her har vi for eksempel en slik sirkel:
Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere punktet i grader.
Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:
Så har vi det for punktet koordinaten.
Med samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet. På denne måten,
Så generelt sett bestemmes koordinatene til punktene av formlene:
Sirkelsenterkoordinater,
sirkelradius,
Rotasjonsvinkelen til radiusvektoren.
Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er null, og radius er lik en:
Vel, la oss prøve disse formlene for en smak, og øve på å finne punkter på en sirkel?
1. Finn koordinatene til et punkt på en enhetssirkel oppnådd ved å slå på et punkt.
2. Finn koordinatene til et punkt på en enhetssirkel oppnådd ved å rotere et punkt på.
3. Finn koordinatene til et punkt på en enhetssirkel oppnådd ved å slå på et punkt.
4. Punkt - midten av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
5. Punkt - midten av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?
Løs disse fem eksemplene (eller forstå løsningen godt) og du vil lære hvordan du finner dem!
1.
Det kan sees. Og vi vet hva som tilsvarer en hel vending av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de ønskede koordinatene til punktet:
2. Sirkelen er enhet med et senter i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan sees. Vi vet hva som tilsvarer to hele rotasjoner av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de ønskede koordinatene til punktet:
Sinus og cosinus er tabellverdier. Vi husker verdiene deres og får:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
3. Sirkelen er enhet med et senter i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan sees. La oss skildre det vurderte eksemplet i figuren:
Radius gjør vinkler med aksen lik og. Når vi vet at tabellverdiene til cosinus og sinus er like, og etter å ha bestemt at cosinus her tar en negativ verdi, og sinus er positiv, har vi:
Lignende eksempler analyseres mer detaljert når man studerer formlene for å redusere trigonometriske funksjoner i emnet.
Dermed har ønsket punkt koordinater.
4.
Rotasjonsvinkelen til radiusvektoren (etter tilstand)
For å bestemme de tilsvarende tegnene på sinus og cosinus, konstruerer vi en enhetssirkel og en vinkel:
Som du kan se, er verdien, det vil si, positiv, og verdien, det vil si, er negativ. Når vi kjenner tabellverdiene til de tilsvarende trigonometriske funksjonene, får vi at:
La oss erstatte de oppnådde verdiene i formelen vår og finne koordinatene:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
5. For å løse dette problemet bruker vi formler i generell form, hvor
Koordinatene til sentrum av sirkelen (i vårt eksempel,
Sirkelradius (etter tilstand)
Rotasjonsvinkel for radiusvektoren (etter tilstand).
Bytt inn alle verdiene i formelen og få:
og - tabellverdier. Vi husker og erstatter dem med formelen:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMEL
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
Tangensen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og det tilstøtende (nære).
Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
