Мақалада біз қарастырамыз теңсіздіктерді шешу. туралы анық айтып береміз теңсіздіктердің шешімін қалай құрастыруға болады, айқын мысалдармен!
Мысалдар арқылы теңсіздіктерді шешуді қарастырмас бұрын, негізгі ұғымдарды түсінейік.
Теңсіздіктер туралы жалпы мәліметтер
Теңсіздікфункциялары қатынас белгілері арқылы байланысатын өрнек >, . Теңсіздіктер сандық та, әріптік те болуы мүмкін.
Қатынастың екі белгісі бар теңсіздіктер қос, үшеуі үштік, т.б. Мысалы:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > немесе немесе - белгісі бар теңсіздіктер қатаң емес.
Теңсіздікті шешубұл теңсіздік ақиқат болатын айнымалының кез келген мәні.
"Теңсіздікті шешу« оның барлық шешімдерінің жиынтығын табу керек дегенді білдіреді. Әртүрлі теңсіздіктерді шешу әдістері. Үшін теңсіздік шешімдеріОлар шексіз сандық сызықты пайдаланады. Мысалы, теңсіздіктің шешімі x > 3 - 3-тен + аралығындағы интервал, ал 3 саны бұл интервалға кірмейді, сондықтан түзудегі нүкте бос шеңбермен белгіленеді, өйткені теңсіздік қатаң. 
+
Жауап мынадай болады: x (3; +).
x=3 мәні шешімдер жиынына кірмейді, сондықтан жақша дөңгелек. Шексіздік белгісі әрқашан жақшамен ерекшеленеді. Белгі «тиісті» дегенді білдіреді.
Таңбасы бар басқа мысалды пайдаланып, теңсіздіктерді қалай шешуге болатынын қарастырайық:
x 2
-
+
x=2 мәні шешімдер жиынына кіреді, сондықтан жақша төртбұрышты және сызықтағы нүкте толтырылған шеңбермен көрсетілген.
Жауап мынадай болады: x " title=" QuickLaTeX.com ұсынған">!}
Жүйені шешу үшін оның әрбір құрамдас теңсіздіктері қажет. Тек бұйра жақшамен біріктіріп, бөлек емес, бірге жазуға шешім қабылданды.
Жүйенің әрбір теңсіздігінде белгісіздерді бір жағына, белгіліні екінші жағына қарама-қарсы таңбамен жылжытамыз:
Title=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген">!}
Жеңілдетілгеннен кейін теңсіздіктің екі жағын Х-тің алдындағы санға бөлу керек. Бірінші теңсіздікті оң санға бөлеміз, сондықтан теңсіздіктің таңбасы өзгермейді. Екінші теңсіздікті теріс санға бөлеміз, сондықтан теңсіздік белгісін өзгерту керек:
Title=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген">!}
Сан түзулеріндегі теңсіздіктердің шешімін белгілейміз:
Жауап ретінде біз шешімдердің қиылысуын, яғни екі жолдың көлеңкесі бар бөлігін жазамыз.
Жауабы: x∈[-2;1).
Бірінші теңсіздікте бөлшекті алып тастаймыз. Ол үшін екі жақтың екі мүшесін ең кіші ортақ бөлгішке көбейтеміз 2. Оң санға көбейткенде теңсіздік таңбасы өзгермейді.
Екінші теңсіздікте жақшаларды ашамыз. Екі өрнектің қосындысы мен айырмасының көбейтіндісі осы өрнектердің квадраттарының айырмасына тең. Оң жағында екі өрнектің айырмасының квадраты берілген.
Title=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген">!}
Белгісіздерді бір жағына, белгіліні екінші жағына қарама-қарсы таңбамен жылжытып, жеңілдетеміз:
Теңсіздіктің екі жағын да Х-тің алдындағы санға бөлеміз. Бірінші теңсіздікте теріс санға бөлеміз, сондықтан теңсіздіктің таңбасы кері болады. Екіншісінде оң санға бөлеміз, теңсіздік белгісі өзгермейді:
Title=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген">!}
Екі теңсіздікте де «кем» белгісі бар (бір белгі қатаң «кем», екіншісі бос, «кем немесе тең» екені маңызды емес). Біз екі шешімді де белгілей алмаймыз, бірақ « » ережесін қолданыңыз. Кіші 1-ге тең, сондықтан жүйе теңсіздікке дейін азаяды
Оның шешімін сан түзуінде белгілейміз:
Жауабы: x∈(-∞;1].
Жақшаларды ашу. Бірінші теңсіздікте - . Ол осы өрнектердің текшелерінің қосындысына тең.
Екіншісінде квадраттардың айырмасына тең екі өрнектің қосындысы мен айырмасының көбейтіндісі. Мұнда жақшалардың алдында минус таңбасы бар болғандықтан, оларды екі кезеңде ашқан дұрыс: алдымен формуланы қолданыңыз, содан кейін ғана жақшаларды ашыңыз, әр терминнің таңбасын керісінше өзгертіңіз.
Белгісіздерді бір бағытта, белгілілерді екінші бағытта қарама-қарсы таңбамен жылжытамыз:
Title=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген">!}
Екеуі де белгілерден үлкен. «Артық» ережесін пайдаланып, теңсіздіктер жүйесін бір теңсіздікке келтіреміз. Екі санның үлкені 5-ке тең, сондықтан
Title=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген">!}
Теңсіздіктің шешімін сандар түзуіне белгілеп, жауабын жазамыз: 
Жауабы: x∈(5;∞).
Сызықтық теңсіздіктер алгебра жүйелерінде тек дербес тапсырмалар ретінде ғана емес, әр түрлі теңдеулерді, теңсіздіктерді және т.б. шешу барысында кездесетіндіктен, бұл тақырыпты дер кезінде меңгеру маңызды.
Келесі жолы теңсіздіктердің біреуінің шешімі жоқ немесе оның шешімі кез келген сан болатын ерекше жағдайларда сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешу мысалдарын қарастырамыз.
Санат: |Тек «X» және тек х осі бар, бірақ енді «Y» қосылып, қызмет өрісі бүкіл координаталық жазықтыққа дейін кеңейеді. Әрі қарай мәтінде «сызықтық теңсіздік» тіркесі екі өлшемді мағынада түсініледі, ол бірнеше секундта анық болады.
Аналитикалық геометриядан басқа, материал математикалық талдау мен экономикалық-математикалық модельдеудің бірқатар мәселелеріне қатысты, сондықтан мен бұл дәрісті бар ынтамен оқуды ұсынамын.
Сызықтық теңсіздіктер
Сызықтық теңсіздіктің екі түрі бар:
1) Қатаңтеңсіздіктер: .
2) Лакстеңсіздіктер: .
Қайсы геометриялық мағынасыбұл теңсіздіктер?Егер сызықтық теңдеу сызықты анықтаса, онда сызықтық теңсіздік анықталады жарты жазықтық.
Төмендегі ақпаратты түсіну үшін жазықтықтағы түзулердің түрлерін білу керек және түзулерді сала білу керек. Осы бөлімде қандай да бір қиындықтар туындаса, анықтаманы оқыңыз Функциялардың графиктері және қасиеттері– сызықтық функция туралы абзац.
Ең қарапайым сызықтық теңсіздіктерден бастайық. Әрбір кедей студенттің арманы - координаталық жазықтық, онда ештеңе жоқ:
Өздеріңіз білетіндей, х осі теңдеу арқылы берілген - «y» әрқашан («x» мәні үшін) нөлге тең.
Теңсіздікті қарастырайық. Оны бейресми түрде қалай түсінуге болады? «Y» әрқашан («x» кез келген мәні үшін) оң болады. Әлбетте, бұл теңсіздік жоғарғы жарты жазықтықты анықтайды - оң «ойындары» бар барлық нүктелер сонда орналасқан.
Теңсіздік қатаң болмаған жағдайда, жоғарғы жарты жазықтыққа қосымшаосьтің өзі қосылады.
Сол сияқты: теңсіздік төменгі жарты жазықтықтың барлық нүктелерімен қанағаттандырылады, төменгі жарты жазықтық + осіне қатаң емес теңсіздік сәйкес келеді.
Дәл сол прозалық оқиға y осімен:
– теңсіздік оң жақ жарты жазықтықты анықтайды;
– теңсіздік оң жақ жарты жазықтықты, оның ішінде ордината осін анықтайды;
– теңсіздік сол жақ жарты жазықтықты анықтайды;
– теңсіздік сол жақ жарты жазықтықты, оның ішінде ордината осін анықтайды.
Екінші қадамда айнымалылардың бірі жоқ теңсіздіктерді қарастырамыз.
«Y» жоқ:
Немесе «x» жоқ:
Бұл теңсіздіктерді екі жолмен шешуге болады: екі тәсілді де қарастырыңыз. Жол бойында сыныпта талқыланған теңсіздіктермен мектеп әрекеттерін еске түсіріп, біріктірейік Функция домені.
1-мысал
Сызықтық теңсіздіктерді шешу:
Сызықтық теңсіздікті шешу нені білдіреді?
Сызықтық теңсіздікті шешу жарты жазықтықты табуды білдіреді, кімнің нүктелері осы теңсіздікті қанағаттандырады (плюс түзудің өзі, егер теңсіздік қатаң болмаса). Шешім, ереже бойынша, графика.
Сызбаны дереу орындап, барлығына түсініктеме беру ыңғайлы: 
а) Теңсіздікті шешу
Бірінші әдіс
Әдіс біз жоғарыда талқылаған координат осьтері бар оқиғаны өте еске түсіреді. Идеясы теңсіздікті түрлендіру – бір айнымалыны сол жағында ешбір тұрақтысыз қалдыру бұл жағдайда– «х» айнымалысы.
Ереже: Теңсіздікте мүшелер таңбасының өзгеруімен бөліктен бөлікке ауысады, ал теңсіздіктің белгісі ӨЗІ. өзгерген емес(мысалы, егер «кем» белгісі болса, ол «кем» болып қалады).
Таңбаны өзгерту арқылы «бесті» оң жаққа жылжытамыз:
Ереже ОҢ өзгерген емес.
Енді түзу сызық сызыңыз (көк нүктелі сызық). Түзу сызық нүктелі сызық ретінде сызылады, өйткені теңсіздік қатаң, және осы сызыққа жататын нүктелер шешімге қосылмайды.
Теңсіздіктің мәні неде? «X» әрқашан («Y»-дің кез келген мәні үшін) -ден кіші. Әлбетте, бұл мәлімдеме сол жақ жарты жазықтықтың барлық нүктелерімен қанағаттандырылады. Бұл жарты жазықтықты, негізінен, көлеңкелеуге болады, бірақ мен суретті көркем палитраға айналдырмау үшін кішкентай көк көрсеткілермен шектелемін.
Екінші әдіс
Бұл әмбебап әдіс. Мұқият ОҚЫҢЫЗ!
Алдымен түзу сызық жүргіземіз. Түсінікті болу үшін, айтпақшы, теңдеуді түрінде ұсынған жөн.
Енді ұшақтың кез келген нүктесін таңдаңыз, тікелей тиесілі емес. Көп жағдайда тәтті нүкте, әрине. Осы нүктенің координаталарын теңсіздікке ауыстырайық: 
Алынған жалған теңсіздік (қарапайым сөзбен айтқанда, бұл мүмкін емес), бұл нүкте теңсіздікті қанағаттандырмайды дегенді білдіреді.
Біздің міндетіміздің негізгі ережесі:
қанағаттандырмайдытеңсіздік, онда БАРЛЫҚберілген жарты жазықтықтың нүктелері қанағаттандырмаубұл теңсіздік.
– Егер жарты жазықтықтың кез келген нүктесі (түзу сызыққа жатпайтын) қанағаттандырадытеңсіздік, онда БАРЛЫҚберілген жарты жазықтықтың нүктелері қанағаттандырубұл теңсіздік.
Тестілеуге болады: түзудің оң жағындағы кез келген нүкте теңсіздікті қанағаттандырмайды.
Нүктемен тәжірибеден қандай қорытынды шығады? Баратын жер жоқ, теңсіздік басқа - сол жақ жарты жазықтықтың барлық нүктелерімен қанағаттандырылады (тексеруге болады).
б) Теңсіздікті шешу
Бірінші әдіс
Теңсіздікті түрлендірейік:
Ереже: Теңсіздіктің екі жағын көбейтуге (бөлуге) болады ТЕРІСтеңсіздік белгісі бар сан ӨЗГЕРТУкерісінше (мысалы, «үлкен немесе тең» белгісі болса, ол «кіші немесе тең» болады).
Теңсіздіктің екі жағын келесіге көбейтеміз:
Бізде теңсіздік болғандықтан түзу (қызыл) және тұтас сызық сызайық қатаң емес, ал түзу шешімге жататыны анық.
Пайда болған теңсіздікті талдай келе, оның шешімі төменгі жарты жазықтық (+ түзудің өзі) деген қорытындыға келеміз.
Біз тиісті жарты жазықтықты көрсеткілермен көлеңкелейміз немесе белгілейміз.
Екінші әдіс
Түзу сызық сызайық. Таңдаймыз ерікті нүктежазықтықты (түзу сызыққа жатпайды), мысалы, оның координаттарын теңсіздігімізбен ауыстырыңыз: 
Алынған шынайы теңсіздік, бұл нүкте теңсіздікті қанағаттандырады дегенді білдіреді және жалпы алғанда төменгі жарты жазықтықтың БАРЛЫҚ нүктелері осы теңсіздікті қанағаттандырады.
Міне, эксперименттік нүктемен біз қалаған жарты жазықтықты «соқтық».
Мәселені шешу қызыл сызықпен және қызыл көрсеткілермен көрсетіледі.
Жеке өзім бірінші шешімді ұнатамын, өйткені екіншісі ресми.
2-мысал
Сызықтық теңсіздіктерді шешу:
Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Мәселені екі жолмен шешуге тырысыңыз (айтпақшы, бұл жақсы жолшешімін тексеру). Сабақтың соңындағы жауапта тек қорытынды сызба болады.
Менің ойымша, мысалдардағы барлық әрекеттерден кейін сіз оларға үйленуге тура келеді, т.б. сияқты қарапайым теңсіздікті шешу қиын болмайды;
Теңсіздікте екі айнымалы да болған кезде үшінші, жалпы жағдайды қарастыруға көшейік:
Немесе бос термин «ce» нөлге тең болуы мүмкін.
3-мысал
Мына теңсіздіктерге сәйкес жарты жазықтықтарды табыңыз:
Шешім: Мұнда нүктені алмастыратын әмбебап шешім әдісі қолданылады.
а) Түзу үшін теңдеу құрайық, ал түзуді нүктелі сызық ретінде салу керек, өйткені теңсіздік қатаң және түзудің өзі шешімге қосылмайды.
Мысалы, берілген түзуге жатпайтын жазықтықтың тәжірибелік нүктесін таңдаймыз және оның координатасын теңсіздігімізбен ауыстырамыз:
Алынған жалған теңсіздік, бұл берілген жарты жазықтықтың нүктесі мен БАРЛЫҚ нүктелері теңсіздікті қанағаттандырмайды дегенді білдіреді. Теңсіздіктің шешімі тағы бір жарты жазықтық болады, біз көк найзағайға таңданамыз: 
б) Теңсіздікті шешейік. Алдымен түзу сызықты салайық. Мұны істеу қиын емес, бізде канондық тура пропорционалдық бар. Біз сызықты үздіксіз жүргіземіз, өйткені теңсіздік қатаң емес.
Жазықтықтың түзу сызыққа жатпайтын ерікті нүктесін таңдап алайық. Мен шығу тегін қайтадан қолданғым келеді, бірақ, өкінішке орай, бұл қазір қолайлы емес. Сондықтан басқа досыңызбен жұмыс істеуге тура келеді. Координаталары шағын нүктені алу тиімдірек, мысалы, . Оның координаталарын теңсіздігімізбен алмастырайық:
Алынған шынайы теңсіздік, бұл берілген жарты жазықтықтың нүктесі мен барлық нүктелері теңсіздікті қанағаттандыратынын білдіреді. Қалаған жарты жазықтық қызыл көрсеткілермен белгіленген. Сонымен қатар, шешім түзудің өзін қамтиды.
4-мысал
Теңсіздіктерге сәйкес жарты жазықтықтарды табыңыз:
Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Толық шешім, қорытынды жобаның шамамен үлгісі және сабақ соңында жауап.
Кері есепті қарастырайық:
5-мысал
а) түзу берілген. Анықтаңыз нүкте орналасқан жарты жазықтық, ал түзудің өзі шешімге қосылуы керек.
б) Түзу сызық берілген. Анықтаңыз нүкте орналасқан жарты жазықтық. Түзу сызықтың өзі шешімге кірмейді.
Шешім: Мұнда сурет салудың қажеті жоқ және шешім аналитикалық болады. Ештеңе қиын емес:
а) Көмекші көпмүшені құрайық 
нүктедегі мәнін есептеңіз:
. Осылайша, қалаған теңсіздіктің «кем» белгісі болады. Шарт бойынша түзу шешімге кіреді, сондықтан теңсіздік қатаң болмайды:
б) Көпмүшені құрастырып, оның нүктесіндегі мәнін есептейік:
. Осылайша, қалаған теңсіздіктің «үлкен» белгісі болады. Шарты бойынша түзу шешімге кірмейді, сондықтан теңсіздік қатаң болады: .
Жауап:
үшін шығармашылық үлгі өздігінен оқу:
6-мысал
Берілген нүктелер мен түзу. Көрсетілген нүктелердің арасынан координаталар басымен бірге берілген түзудің бір жағында жатқан нүктелерді табыңыз.
Кішкене кеңес: алдымен координаталар басы орналасқан жарты жазықтықты анықтайтын теңсіздікті жасау керек. Сабақ соңында аналитикалық шешім және жауап.
Сызықтық теңсіздіктер жүйелері
Сызықтық теңсіздіктер жүйесі, сіз түсінгендей, бірнеше теңсіздіктерден тұратын жүйе. Лол, жарайды, мен анықтама бердім =) Кірпі - кірпі, пышақ - пышақ. Бірақ бұл шындық - бұл қарапайым және қол жетімді болды! Жоқ, шындап айтсам, мен жалпы мысалдар келтіргім келмейді, сондықтан өзекті мәселелерге тікелей көшейік:
Сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешу нені білдіреді?
Сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешу- бұл білдіреді жазықтықтағы нүктелер жиынын табыңыз, қанағаттандырады әрқайсысынажүйенің теңсіздігі.
Қарапайым мысалдар ретінде тікбұрышты координаталар жүйесінің координаталық ширектерін анықтайтын теңсіздіктер жүйесін қарастырайық («кедей оқушылардың суреті» сабақтың басында):
Теңсіздіктер жүйесі координаттардың бірінші ширегін (жоғарғы оң жақта) анықтайды. Бірінші тоқсандағы кез келген нүктенің координаттары, мысалы, 
және т.б. қанағаттандыру әрқайсысынабұл жүйенің теңсіздігі.
Сияқты:
– теңсіздіктер жүйесі координаттардың екінші ширегін көрсетеді (жоғарғы сол жақта);
– теңсіздіктер жүйесі координаттардың үшінші ширегін анықтайды (төменгі сол жақта);
– теңсіздіктер жүйесі төртінші координаталық кварталды (төменгі оң жақта) анықтайды.
Сызықтық теңсіздіктер жүйесінің шешімі болмауы мүмкін, яғни болу бірлескен емес. Тағы да қарапайым мысал: . «Х» бір уақытта үштен көп және екіден кем бола алмайтыны анық.
Теңсіздіктер жүйесінің шешімі түзу болуы мүмкін, мысалы: . Аққу, шаян, шортансыз, Арбаны екіге тартып әртүрлі жақтары. Иә, әлі де бар - бұл жүйенің шешімі түзу сызық.
Бірақ ең көп таралған жағдай жүйенің шешімі кейбір болып табылады ұшақ ауданы. Шешім аймағымүмкін шектелмеген(мысалы, координаталық кварталдар) немесе шектелген. Шектеулі шешім аймағы деп аталады көпбұрышты шешімдер жүйесі.
7-мысал
Сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешу
Практикада көп жағдайда әлсіз теңсіздіктермен күресуге тура келеді, сондықтан олар сабақтың қалған бөлігінде дөңгелек билерді басқарады.
Шешім: Теңсіздіктердің көп болуы қорқынышты болмауы керек. Жүйеде қанша теңсіздік болуы мүмкін?Иә, қалағаныңызша. Ең бастысы - шешім аймағын құрудың ұтымды алгоритмін ұстану:
1) Алдымен ең қарапайым теңсіздіктерді қарастырамыз. Теңсіздіктер координаталар осьтерінің шекарасын қоса алғанда, бірінші координаталар ширегін анықтайды. Бұл әлдеқайда оңай, өйткені іздеу аймағы айтарлықтай тарылды. Сызбада біз бірден сәйкес жарты жазықтықтарды көрсеткілермен белгілейміз (қызыл және көк көрсеткілер)
2) Екінші қарапайым теңсіздік мынада: мұнда «У» жоқ. Біріншіден, біз түзудің өзін саламыз, екіншіден, теңсіздікті пішінге түрлендіруден кейін барлық «Х» 6-дан аз екені бірден белгілі болады. Сәйкес жарты жазықтықты жасыл көрсеткілермен белгілейміз. Ал, іздеу аймағы одан да кішірейді - мұндай тіктөртбұрыш жоғарыдан шектелмейді.
3) Соңғы кезеңде «толық оқпен» теңсіздіктерді шешеміз: . Біз алдыңғы абзацта шешім алгоритмін егжей-тегжейлі талқыладық. Қысқасы: алдымен түзу саламыз, содан кейін эксперименттік нүктені пайдаланып, қажетті жарты жазықтықты табамыз.
Балалар, орындарынан тұрыңдар, шеңберге тұрыңдар: 
Жүйенің шешім аймағы - бұл сызбада ол қызыл түсті сызықпен белгіленген және көлеңкеленген. Мен оны сәл асырып жібердім =) Дәптерде шешім аймағын көлеңкелеу немесе қарапайым қарындашпен оның контурын қою жеткілікті.
Берілген көпбұрыштың кез келген нүктесі жүйенің БАРЛЫҚ теңсіздігін қанағаттандырады (оны көңіл көтеру үшін тексеруге болады).
Жауап: Жүйенің шешімі - көпбұрыш.
Таза көшірмеге өтініш бергенде, түзу сызықтарды салу үшін қай нүктелерді пайдаланғаныңызды егжей-тегжейлі сипаттаған дұрыс (сабақты қараңыз). Функциялардың графиктері және қасиеттері) және жартылай жазықтықтар қалай анықталғаны (осы сабақтың бірінші абзацын қараңыз). Дегенмен, іс жүзінде, көп жағдайда сізге дұрыс сызба ғана есептеледі. Есептердің өзі жобада немесе тіпті ауызша да жүргізілуі мүмкін.
Жүйенің шешім полигонынан басқа, тәжірибеде сирек болса да, ашық аймақ бар. Төмендегі мысалды өзіңіз түсінуге тырысыңыз. Дәлдік үшін мұнда ешқандай азаптау жоқ - құрылыс алгоритмі бірдей, жай ғана аумақ шектелмейді.
8-мысал
Жүйені шешу
Шешімі мен жауабы сабақтың соңында. Сізде алынған аймақтың шыңдары үшін әртүрлі әріптер болуы мүмкін. Бұл маңызды емес, ең бастысы - шыңдарды дұрыс табу және аумақты дұрыс салу.
Мәселелер тек жүйенің шешу облысын құруды ғана емес, сонымен қатар облыстың төбелерінің координаталарын табуды талап ететін кезде жиі кездеседі. Алдыңғы екі мысалда бұл нүктелердің координаталары анық болды, бірақ іс жүзінде бәрі мұздан алыс:
9-мысал
Жүйені шешіңіз және алынған аймақтың төбелерінің координаталарын табыңыз
Шешім: Осы жүйенің шешім аймағын сызбада көрсетейік. Теңсіздік ордината осімен сол жақ жарты жазықтықты анықтайды және мұнда артық бос орын жоқ. Таза/таза қағазда немесе тереңде есептеулерден кейін ойлау процестері, біз келесі шешім аймағын аламыз: 
