Өмірде біз жиі математикалық мәселелерге тап боламыз: мектепте, университетте, содан кейін балаға үй тапсырмасын орындауға көмектесу. Белгілі бір мамандық иелері күнделікті математикамен кездеседі. Сондықтан математикалық ережелерді есте сақтау немесе еске түсіру пайдалы. Бұл мақалада біз олардың біреуін талдаймыз: тікбұрышты үшбұрыштың катетін табу.
Тікбұрышты үшбұрыш дегеніміз не
Алдымен, не екенін еске түсірейік тікбұрышты үшбұрыш. Тік бұрышты үшбұрыш – бір түзуде жатпайтын нүктелерді қосатын үш кесіндіден тұратын геометриялық фигура және бұл фигураның бір бұрышы 90 градус. Тік бұрышты құрайтын қабырғалар катет, ал тік бұрышқа қарама-қарсы жатқан қабырға гипотенуза деп аталады.
Тік бұрышты үшбұрыштың катетін табу
Аяқтың ұзындығын білудің бірнеше жолы бар. Мен оларды толығырақ қарастырғым келеді.
Тікбұрышты үшбұрыштың катетін табу үшін Пифагор теоремасы
Егер біз гипотенузаны және катетті білсек, онда Пифагор теоремасы арқылы белгісіз катеттің ұзындығын таба аламыз. Бұл келесідей естіледі: «Гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең». Формула: c²=a²+b², мұндағы c – гипотенуза, a және b – катеттері. Біз формуланы түрлендіреміз және аламыз: a²=c²-b².
Мысал. Гипотенуза 5 см, ал катет 3 см.Формуланы түрлендіреміз: c²=a²+b² → a²=c²-b². Әрі қарай шешеміз: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).
Тікбұрышты үшбұрыштың катетін табу үшін тригонометриялық қатынастар
Тікбұрышты үшбұрыштың кез келген басқа қабырғасы мен кез келген сүйір бұрышы белгілі болса, белгісіз катетті де табуға болады. Тригонометриялық функциялардың көмегімен катетті табудың төрт нұсқасы бар: синус, косинус, тангенс, котангенс бойынша. Мәселелерді шешу үшін төмендегі кесте бізге көмектеседі. Осы опцияларды қарастырайық.
Тік бұрышты үшбұрыштың катетін синусын пайдаланып табыңыз
Бұрыштың синусы (sin) – қарама-қарсы катеттің гипотенузаға қатынасы. Формула: sin \u003d a/c, мұндағы a - берілген бұрышқа қарама-қарсы аяқ, ал c - гипотенуза. Әрі қарай, формуланы түрлендіреміз және аламыз: a=sin*c.
Мысал. Гипотенузасы 10 см, А бұрышы 30 градус. Кестеге сәйкес А бұрышының синусын есептейміз, ол 1/2-ге тең. Содан кейін түрлендірілген формуланы пайдаланып шешеміз: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (см).
Косинусын пайдаланып тікбұрышты үшбұрыштың катетін табыңыз
Бұрыштың косинусы (cos) - көршілес катеттің гипотенузаға қатынасы. Формула: cos=b/c, мұндағы b - көршілес катет осы бұрыш, ал с - гипотенуза. Формуланы түрлендірейік және мынаны аламыз: b=cos*c.
Мысал. А бұрышы 60 градус, гипотенузасы 10 см.Кесте бойынша А бұрышының косинусын есептейміз, ол 1/2-ге тең. Әрі қарай шешеміз: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).
Жанама арқылы тікбұрышты үшбұрыштың катетін табыңыз
Бұрыштың тангенсі (tg) - қарама-қарсы катеттің көршілес катетке қатынасы. Формула: tg \u003d a / b, мұндағы а - бұрышқа қарама-қарсы аяқ, ал b іргелес. Формуланы түрлендірейік және мынаны аламыз: a=tg*b.
Мысал. А бұрышы 45 градус, гипотенузасы 10 см.Кесте бойынша А бұрышының тангенсін есептейміз, ол тең Шешу: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).
Котангенсін пайдаланып тікбұрышты үшбұрыштың катетін табыңыз
Бұрыштың котангенсі (ctg) - көршілес катеттің қарама-қарсы катетке қатынасы. Формула: ctg \u003d b / a, мұнда b - бұрышқа іргелес жатқан аяқ және қарама-қарсы. Басқаша айтқанда, котангенс «төңкерілген жанама». Біз мынаны аламыз: b=ctg*a.
Мысал. А бұрышы 30 градус, қарама-қарсы катет 5 см.Кесте бойынша А бұрышының тангенсі √3. Есептеңіз: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).
Сонымен, енді сіз тікбұрышты үшбұрышта катетті қалай табуға болатынын білесіз. Көріп отырғаныңыздай, бұл соншалықты қиын емес, ең бастысы - формулаларды есте сақтау.
Тригонометрияны зерттеуді тікбұрышты үшбұрыштан бастаймыз. Сүйір бұрыштың тангенсі мен котангенсі сияқты синус пен косинустың не екенін анықтайық. Бұл тригонометрияның негіздері.
Еске салайық тікбұрыш-ге тең бұрыш болып табылады. Басқаша айтқанда, ашылған бұрыштың жартысы.
Өткір бұрыш- кішірек.
Доғал бұрыш- үлкенірек. Мұндай бұрышқа қатысты «доғал» қорлау емес, математикалық термин :-)
Тік бұрышты үшбұрыш салайық. Тік бұрыш әдетте белгіленеді. Бұрышқа қарама-қарсы жағы бірдей әріппен белгіленетінін ескеріңіз, тек кішкентай. Сонымен, бұрышқа қарама-қарсы жатқан жағы белгіленеді.
Бұрыш сәйкес грек әрпімен белгіленеді.
ГипотенузаТік бұрышқа қарама-қарсы қабырғасы тікбұрышты үшбұрыш болып табылады.
Аяқтар- өткір бұрыштарға қарама-қарсы жақтары.
Бұрышқа қарама-қарсы аяқ деп аталады қарама-қарсы(бұрышқа қатысты). Бұрыштың бір жағында жатқан екінші аяқ деп аталады іргелес.
СинусТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы – қарама-қарсы катеттің гипотенузаға қатынасы:
КосинусТік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышы – көршілес катеттің гипотенузаға қатынасы:
ТангенсТікбұрышты үшбұрыштағы сүйір бұрыш - қарама-қарсы катеттің көршіге қатынасы:
Басқа (эквивалентті) анықтама: сүйір бұрыштың тангенсі – бұрыштың синусының оның косинусына қатынасы:
Котангенстікбұрышты үшбұрыштағы сүйір бұрыш - іргелес катеттің қарама-қарсыға қатынасы (немесе эквивалентті түрде косинустың синусына қатынасы):
Төменде келтірілген синус, косинус, тангенс және котангенстің негізгі қатынасына назар аударыңыз. Олар бізге мәселелерді шешуде пайдалы болады.
Олардың кейбіреулерін дәлелдеп көрейік.
1. Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы . білдіреді, тікбұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қосындысы .
2. Бір жағынан қарама-қарсы аяқтың гипотенузаға қатынасы ретінде. Екінші жағынан, бұрыш үшін аяқ іргелес болады.
Біз мұны түсінеміз. Басқа сөздермен айтқанда, .
3. Пифагор теоремасын алайық: . Екі бөлікті де келесіге бөлейік:
Біз алдық негізгі тригонометриялық сәйкестік:
Осылайша, бұрыштың синусын біле отырып, оның косинусын таба аламыз және керісінше.
4. Негізгі тригонометриялық сәйкестіктің екі бөлігін де -ге бөлсек, мынаны аламыз:
Бұл сүйір бұрыштың тангенсі берілсе, оның косинусын бірден табуға болады дегенді білдіреді.
Сияқты,
Жарайды, біз анықтамалар мен формулаларды жаздық. Бірақ бізге синус, косинус, тангенс және котангенс не үшін қажет?
Біз мұны білеміз кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы тең.
арасындағы қатынасты білеміз партиялартікбұрышты үшбұрыш. Бұл Пифагор теоремасы: .
Үшбұрыштың екі бұрышын біле отырып, үшіншісін табуға болады екен. Тікбұрышты үшбұрыштың екі қабырғасын біле отырып, үшіншісін табуға болады. Сонымен, бұрыштар үшін - олардың қатынасы, қабырғалар үшін - өздерінің. Бірақ тікбұрышты үшбұрышта бір бұрыш (тік бұрыштан басқа) және бір қабырғасы белгілі болса, бірақ басқа жақтарын табу керек болса не істеу керек?
Өткенде адамдар аймақтың және жұлдызды аспанның картасын жасаған кезде осылай болды. Өйткені, үшбұрыштың барлық қабырғаларын тікелей өлшеу әрқашан мүмкін емес.
Синус, косинус және тангенс - олар да аталады бұрыштың тригонометриялық функциялары- арасындағы қатынасты көрсетіңіз партияларжәне бұрыштарүшбұрыш. Бұрышты біле отырып, оның барлық тригонометриялық функцияларын арнайы кестелер арқылы табуға болады. Ал үшбұрыштың және оның бір қабырғасының бұрыштарының синусын, косинусын және жанамаларын біле отырып, қалған бөлігін табуға болады.
Біз сондай-ақ «жақсы» бұрыштар үшін синус, косинус, тангенс және котангенс мәндерінің кестесін саламыз.
Кестедегі екі қызыл сызықшаға назар аударыңыз. Бұрыштардың сәйкес мәндері үшін тангенс пен котангенс болмайды.
FIPI банкінің тапсырмаларынан тригонометриядағы бірнеше есептерді талдап көрейік.
1. Үшбұрыштың бұрышы , . Табыңыз.
Мәселе төрт секундта шешіледі.
бастап, бізде: .
2. Үшбұрыштың бұрышы , , . Табыңыз. , тең гипотенузаның жартысы.
Бұрыштары бар үшбұрыш , және тең қабырғалы. Онда гипотенуза аяққа қарағанда есе үлкен.
Мектеп оқушылары үлкен қиындықтарды жеңетін математиканың бір саласы - тригонометрия. Таңқаларлық емес: білімнің бұл саласын еркін меңгеру үшін сізге кеңістіктік ойлау, формулалар арқылы синустар, косинустар, тангенстер, котангенстерді табу, өрнектерді оңайлату және есептеулерде pi санын қолдана білу қажет. Сонымен қатар, теоремаларды дәлелдеу кезінде тригонометрияны қолдана білу керек және бұл үшін дамыған математикалық жады немесе күрделі логикалық тізбектерді шығару мүмкіндігі қажет.
Тригонометрияның шығу тегі
Бұл ғылыммен танысу бұрыштың синусын, косинусын және тангенсін анықтаудан басталуы керек, бірақ алдымен тригонометрияның жалпы не істейтінін анықтау керек.
Тарихи тұрғыдан тікбұрышты үшбұрыштар математика ғылымының осы бөлімінде негізгі зерттеу нысаны болды. 90 градус бұрыштың болуы екі жағы мен бір бұрышын немесе екі бұрыш пен бір жағын пайдаланып қарастырылатын фигураның барлық параметрлерінің мәндерін анықтауға мүмкіндік беретін әртүрлі операцияларды орындауға мүмкіндік береді. Бұрын адамдар бұл үлгіні байқап, оны ғимараттар салуда, навигацияда, астрономияда, тіпті өнерде белсенді қолдана бастады.
Бірінші кезең
Бастапқыда адамдар бұрыштар мен қабырғалардың байланысы туралы тек тікбұрышты үшбұрыштар мысалында айтты. Содан кейін математиканың осы бөлімін күнделікті өмірде қолдану шекарасын кеңейтуге мүмкіндік беретін арнайы формулалар ашылды.
Бүгінгі таңда мектепте тригонометрияны оқыту тік бұрышты үшбұрыштардан басталады, одан кейін алған білімдерін оқушылар физикада және абстрактілі тригонометриялық теңдеулерді шешуде пайдаланады, онымен жұмыс орта мектептен басталады.
Сфералық тригонометрия
Кейін ғылым келесі даму деңгейіне жеткенде, басқа ережелер қолданылатын сфералық геометрияда синусы, косинусы, тангенсі, котангенсі бар формулалар қолданыла бастады және үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы әрқашан 180 градустан жоғары болады. Бұл бөлім мектепте оқытылмайды, бірақ оның бар болуы туралы білу қажет, кем дегенде, жер беті және кез келген басқа планетаның беті дөңес болғандықтан, кез келген бет таңбалау жылы «доға тәрізді» болады дегенді білдіреді. үш өлшемді кеңістік.
Глобусты алып, жіпті тартыңыз. Жіпті жер шарының кез келген екі нүктесіне бекітіңіз, сонда ол тартылады. Назар аударыңыз - ол доғаның пішініне ие болды. Дәл осындай формалармен геодезияда, астрономияда және басқа да теориялық және қолданбалы салаларда қолданылатын сфералық геометрия айналысады.
Тік бұрышты үшбұрыш
Тригонометрияны қолдану жолдары туралы аздап біліп алғаннан кейін синус, косинус, тангенс деген не екенін, олардың көмегімен қандай есептеулер жүргізуге болатынын және қандай формулаларды қолдану керектігін түсіну үшін негізгі тригонометрияға оралайық.
Бірінші қадам – тікбұрышты үшбұрышқа қатысты ұғымдарды түсіну. Біріншіден, гипотенуза 90 градус бұрышқа қарама-қарсы жақ болып табылады. Ол ең ұзын. Пифагор теоремасы бойынша оның сандық мәні қалған екі жақтың квадраттарының қосындысының түбірімен тең болатыны есімізде.
Мысалы, егер екі қабырға сәйкесінше 3 және 4 сантиметр болса, гипотенузаның ұзындығы 5 сантиметр болады. Айтпақшы, ежелгі мысырлықтар бұл туралы шамамен төрт жарым мың жыл бұрын білген.
Тік бұрышты құрайтын қалған екі жақ аяқ деп аталады. Сонымен қатар, тікбұрышты координаталар жүйесіндегі үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градус екенін есте ұстауымыз керек.
Анықтама
Соңында, геометриялық негізді жақсы түсініп, біз бұрыштың синусын, косинусын және тангенсін анықтауға жүгіне аламыз.
Бұрыштың синусы – қарама-қарсы катеттің (яғни, қажетті бұрышқа қарама-қарсы жағының) гипотенузаға қатынасы. Бұрыштың косинусы - көршілес катеттің гипотенузаға қатынасы.
Есіңізде болсын, синус та, косинус та біреуден артық болмайды! Неліктен? Өйткені гипотенуза әдепкі бойынша ең ұзын болып табылады.Аяғы қанша болса да, ол гипотенузаға қарағанда қысқа болады, яғни олардың қатынасы әрқашан бірден аз болады. Осылайша, есептің жауабында 1-ден жоғары мәні бар синус немесе косинус алсаңыз, есептеулерде немесе дәлелдеуде қатені іздеңіз. Бұл жауап анық қате.
Соңында, бұрыштың тангенсі - қарама-қарсы жақтың көрші жаққа қатынасы. Сол нәтиже синустың косинусқа бөлінуін береді. Қараңыз: формулаға сәйкес қабырғаның ұзындығын гипотенузаға бөлеміз, содан кейін екінші қабырғасының ұзындығына бөлеміз және гипотенузаға көбейтеміз. Осылайша, жанама анықтамасындағыдай қатынасты аламыз.
Котангенс, сәйкесінше, бұрышқа іргелес жатқан жақтың қарама-қарсы жағына қатынасы. Бірлікті жанамаға бөлу арқылы бірдей нәтиже аламыз.
Сонымен, біз синус, косинус, тангенс және котангенс деген ненің анықтамаларын қарастырдық және формулалармен жұмыс істей аламыз.
Ең қарапайым формулалар
Тригонометрияда формулаларсыз істеу мүмкін емес - оларсыз синусты, косинусты, тангенсті, котангенсті қалай табуға болады? Міне, проблемаларды шешу кезінде дәл осы нәрсе талап етіледі.
Тригонометрияны оқуды бастағанда білу қажет бірінші формула бұрыштың синусы мен косинусының квадраттарының қосындысы бірге тең екенін айтады. Бұл формула Пифагор теоремасының тікелей салдары болып табылады, бірақ бүйір жағын емес, бұрыштың мәнін білгіңіз келсе, уақытты үнемдейді.
Көптеген оқушылар екінші формуланы есіне түсіре алмайды, ол мектеп есептерін шешуде де өте танымал: бірдің қосындысы мен бұрыштың жанамасының квадраты бұрыштың косинусының квадратына бөлінгенге тең. Мұқият қараңыз: түптеп келгенде, бұл бірінші формуладағыдай мәлімдеме, тек сәйкестендірудің екі жағы да косинустың квадратына бөлінген. Қарапайым математикалық операция тригонометриялық формуланы мүлдем танылмайтын етеді екен. Есіңізде болсын: синустың, косинустың, тангенстің және котангенстің не екенін, түрлендіру ережелерін және бірнеше негізгі формулаларды біле отырып, сіз кез келген уақытта қағаз парағына қажетті күрделірек формулаларды дербес шығара аласыз.
Қос бұрыш формулалары және аргументтерді қосу
Сізге үйрену керек тағы екі формула бұрыштардың қосындысы мен айырмасы үшін синус пен косинус мәндеріне қатысты. Олар төмендегі суретте көрсетілген. Назар аударыңыз, бірінші жағдайда синус пен косинус екі есеге көбейтіледі, ал екіншісінде синус пен косинустың жұптық көбейтіндісі қосылады.
Қос бұрыштық аргументтермен байланысты формулалар да бар. Олар бұрынғылардан толығымен алынған - тәжірибе ретінде бета бұрышына тең альфа бұрышын алып, оларды өзіңіз алуға тырысыңыз.
Соңында, қос бұрыш формулаларын синус, косинус, тангенс альфа дәрежесін төмендету үшін түрлендіруге болатынын ескеріңіз.
Теоремалар
Негізгі тригонометриядағы екі негізгі теорема синустар теоремасы және косинус теоремасы. Осы теоремалардың көмегімен сіз синусты, косинусты және тангенсті, демек фигураның ауданын, әр жағының өлшемін және т.б. табуды оңай түсінуге болады.
Синустар теоремасы үшбұрыштың қабырғаларының әрқайсысының ұзындығын қарама-қарсы бұрыштың мәніне бөлу нәтижесінде бірдей сан шығатынын айтады. Сонымен қатар, бұл сан шектелген шеңбердің екі радиусына тең болады, яғни берілген үшбұрыштың барлық нүктелерін қамтитын шеңбер.
Косинус теоремасы Пифагор теоремасын жалпылайды, оны кез келген үшбұрыштарға проекциялайды. Екі жақтың квадраттарының қосындысынан оларға іргелес бұрыштың қос косинусына көбейтілген көбейтіндісін алып тастаңыз - алынған мән үшінші жақтың квадратына тең болады. Осылайша, Пифагор теоремасы косинус теоремасының ерекше жағдайы болып шығады.
Назар аудармау салдарынан болатын қателер
Синустың, косинустың және тангенстің не екенін біле тұра, ойсыздықтан немесе қарапайым есептеулердегі қателіктен қателесу оңай. Мұндай қателерді болдырмау үшін олардың ең танымалдарымен танысайық.
Біріншіден, соңғы нәтиже алынғанша жай бөлшектерді ондық бөлшектерге түрлендіруге болмайды - шарт басқаша айтылмаса, жауапты жай бөлшек ретінде қалдыруға болады. Мұндай түрлендіруді қате деп атауға болмайды, бірақ тапсырманың әр кезеңінде жаңа тамырлар пайда болуы мүмкін екенін есте ұстаған жөн, автордың идеясына сәйкес оларды азайту керек. Бұл жағдайда қажетсіз математикалық операцияларға уақыт жоғалтасыз. Бұл әсіресе үш немесе екі түбір сияқты мәндерге қатысты, өйткені олар әр қадамда тапсырмаларда кездеседі. Дәл солай «ұсқынсыз» сандарды дөңгелектеуге де қатысты.
Әрі қарай, косинус теоремасы кез келген үшбұрышқа қолданылады, бірақ Пифагор теоремасы емес! Егер сіз олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтілген жақтардың екі еселенген көбейтіндісін алуды қателесіп ұмытып кетсеңіз, сіз мүлде қате нәтиже алып қана қоймай, сонымен қатар тақырыпты толық түсінбеуіңізді көрсетесіз. Бұл абайсызда жасалған қателіктен де жаман.
Үшіншіден, синустар, косинустар, тангенстер, котангенстер үшін 30 және 60 градус бұрыштардың мәндерін шатастырмаңыз. Бұл мәндерді есте сақтаңыз, өйткені 30 градус синусы 60 косинусына тең және керісінше. Оларды шатастыру оңай, нәтижесінде сіз сөзсіз қате нәтиже аласыз.
Қолдану
Көптеген студенттер тригонометрияны оқуға асықпайды, өйткені олар оның қолданбалы мағынасын түсінбейді. Инженер немесе астроном үшін синус, косинус, тангенс дегеніміз не? Бұл алыстағы жұлдыздарға дейінгі қашықтықты есептеуге, метеориттің құлауын болжауға, басқа планетаға зерттеу зондын жіберуге болатын тұжырымдамалар. Оларсыз ғимарат салу, машинаны жобалау, жер бетіндегі жүктемені немесе объектінің траекториясын есептеу мүмкін емес. Және бұл ең айқын мысалдар ғана! Өйткені, тригонометрия музыкадан медицинаға дейін барлық жерде қолданылады.
Қорытындылай келе
Сонымен, сіз синус, косинус, тангенссіз. Сіз оларды есептеулерде пайдалана аласыз және мектеп мәселелерін сәтті шеше аласыз.
Тригонометрияның бүкіл мәні белгісіз параметрлерді үшбұрыштың белгілі параметрлерінен есептеу керек екендігіне дейін қайнатылады. Барлығы алты параметр бар: үш жақтың ұзындығы және үш бұрыштың шамасы. Тапсырмалардағы барлық айырмашылық әртүрлі кіріс деректерінің берілгендігінде.
Аяқтардың белгілі ұзындықтары немесе гипотенузаға негізделген синусын, косинусын, тангенсін қалай табуға болады, енді сіз білесіз. Бұл терминдер қатынастан басқа ештеңені білдірмейтіндіктен, ал қатынас бөлшек болғандықтан, тригонометриялық есептің негізгі мақсаты қарапайым теңдеудің немесе теңдеулер жүйесінің түбірін табу болып табылады. Ал мұнда сізге қарапайым мектеп математикасы көмектеседі.
I тарау. Тікбұрышты үшбұрыштарды шешу
§3 (37). Негізгі коэффициенттер мен тапсырмалар
Тригонометрияда үшбұрыштың белгілі бір элементтерін оның берілген элементтерінің сандық мәндерінің жеткілікті саны бойынша есептеу қажет болатын есептер қарастырылады. Бұл тапсырмалар әдетте деп аталады шешімүшбұрыш.
ABC тік бұрышты үшбұрыш, С тік бұрыш болсын, ажәне б- А және В сүйір бұрыштарына қарама-қарсы аяқтары, бірге- гипотенуза (3-сурет);
онда бізде:
Сүйір бұрыштың косинусы деп көрші катеттің гипотенузаға қатынасын айтады:
cos A = б/ в, cos B = а / в (1)
Сүйір бұрыштың синусы – қарама-қарсы катеттің гипотенузаға қатынасы:
күнә А = а / в, sin B = б/ в (2)
Сүйір бұрыштың тангенсі – қарама-қарсы катеттің көршіге қатынасы:
қызғылт А = а / б, tg B = б/ а (3)
Сүйір бұрыштың котангенсі деп көршілес катеттің қарама-қарсы жаққа қатынасын айтады:
ctgA= б/ а, ctg B = а / б (4)
Сүйір бұрыштардың қосындысы 90°.
Тікбұрышты үшбұрыштарға арналған негізгі есептер.
І тапсырма. Гипотенузаны және сүйір бұрыштардың бірін ескере отырып, басқа элементтерді есептеңіз.
Шешім.Берсін біргежәне A. Бұрыш B = 90° - A да белгілі; аяқтары (1) және (2) формулалардан табылады.
a = c sinA, b = cөйткені А.
ІІ тапсырма . Аяқ пен сүйір бұрыштардың бірі берілген, басқа элементтерді есептеңіз.
Шешім.Берсін ажәне A. B бұрышы = 90° - A белгілі; (3) және (2) формулалардан табамыз:
б = атг B (= а ctg A), бірге = а/күнә А
ІІІ тапсырма. Аяқ пен гипотенузаны ескере отырып, қалған элементтерді есептеңіз.
Шешім.Берсін ажәне бірге(және а< с ). (2) теңдіктерінен А бұрышын табамыз:
күнә А = а / вжәне A = доғалық күнә а / в ,
және соңында аяқ б:
б = бірге cos A (= біргекүнә B).
IV тапсырма. Басқа элементтерді табу үшін a және b аяқтары беріледі.
Шешім.(3) теңдіктерінен сүйір бұрышты табамыз, мысалы А:
tg A = а / б, A = арктан а / б ,
B бұрышы \u003d 90 ° - A,
гипотенузасы: в = а/sin A (= б/sinB; = а/cos B)
Төменде логарифмдік кестелер көмегімен тікбұрышты үшбұрышты шешудің мысалы келтірілген*.
* Тік бұрышты үшбұрыштардың элементтерін табиғи кестелер бойынша есептеу VIII сыныптың геометрия курсынан белгілі.
Логарифмдік кестелер арқылы есептеу кезінде сәйкес формулаларды жазу, оларды прологарифмдеу, сандық мәліметтерді ауыстыру, кестелерден белгілі элементтердің (немесе олардың тригонометриялық функцияларының) қажетті логарифмдерін табу, қажетті элементтердің (немесе олардың тригонометриялық функцияларының) логарифмдерін есептеу керек. ) және кестелерден қажетті элементтерді табыңыз.
Мысал.Дана аяғы а= 166,1 және гипотенуза бірге= 187,3; сүйір бұрыштарды, басқа катет пен ауданды есептеу.
Шешім.Бізде бар:
күнә А = а / в; lg sin A = lg а-лг в; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Біз аяқты есептейміз б:
b = aтг B ; lg б= журнал б+ lg tg B ; 
Үшбұрыштың ауданын формула арқылы есептеуге болады
S=1/2 аб = 0,5 а 2 тг B; 
Басқару үшін слайд ережесінде А бұрышын есептейміз:
\u003d доғалы күнә а / в= доғаның күнәсы 166 / 187 ≈ 62°.
Ескерту.аяқ бквадраттар мен квадрат түбірлер кестелерін (III және IV кестелер) пайдалана отырып, Пифагор теоремасы бойынша есептеуге болады:
б= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Бұрын алынған мәнмен сәйкессіздік b= 86.48 функциялардың жуық мәндерін беретін кестелердің қателерімен түсіндіріледі. 86,54 нәтижесі дәлірек.
Көріп отырғаныңыздай, бұл шеңбер декарттық координаталар жүйесінде салынған. Шеңбердің радиусы біреуге тең, ал шеңбердің центрі координат басында жатқанда, радиус векторының бастапқы орны осьтің оң бағыты бойынша бекітілген (біздің мысалда бұл радиус).
Шеңбердің әрбір нүктесі екі санға сәйкес келеді: ось бойындағы координат және ось бойындағы координат. Бұл координаталық сандар қандай? Ал жалпы олардың талқыланатын тақырыпқа қандай қатысы бар? Мұны істеу үшін қарастырылған тік бұрышты үшбұрыш туралы есте сақтаңыз. Жоғарыдағы суретте сіз екі толық тікбұрышты үшбұрышты көре аласыз. Үшбұрышты қарастырайық. Ол тік бұрышты, өйткені ол оське перпендикуляр.
Үшбұрыштан неге тең? Барлығы дұрыс. Сонымен қатар, біз бұл бірлік шеңбердің радиусы екенін білеміз, демек, . Бұл мәнді косинус формуласына ауыстырыңыз. Не болады:
Ал үшбұрыштан неге тең болады? Әрине, ! Осы формулаға радиустың мәнін қойып, мынаны алыңыз:
Сонымен, шеңберге жататын нүктенің координаталары қандай екенін айта аласыз ба? Амал жоқ па? Ал егер сіз мұны түсінсеңіз және жай ғана сандар болса? Ол қандай координатаға сәйкес келеді? Әрине, координат! Ол қандай координатаға сәйкес келеді? Дұрыс, үйлестіріңіз! Осылайша, нүкте.
Сонда не тең және? Дұрыс, тангенс пен котангенстің сәйкес анықтамаларын қолданып, мынаны алайық, а.
Бұрыш үлкенірек болса ше? Мұнда, мысалы, мына суреттегідей:
Бұл мысалда не өзгерді? Оны анықтап көрейік. Мұны істеу үшін біз қайтадан тік бұрышты үшбұрышқа бұрыламыз. Тікбұрышты үшбұрышты қарастырайық: бұрыш (бұрышқа іргелес). Бұрыштың синусы, косинусы, тангенсі және котангенсінің мәні неге тең? Дұрыс, біз тригонометриялық функциялардың сәйкес анықтамаларын ұстанамыз:
Көріп отырғаныңыздай, бұрыштың синусының мәні әлі де координатаға сәйкес келеді; бұрыштың косинусының мәні – координатасы; және сәйкес қатынасқа жанама мен котангенс мәндері. Осылайша, бұл қатынастар радиус векторының кез келген айналуларына қолданылады.
Радиус векторының бастапқы орны осьтің оң бағытының бойында екендігі жоғарыда айтылған. Осы уақытқа дейін біз бұл векторды сағат тіліне қарсы айналдырдық, бірақ оны сағат тілімен бұрсақ не болады? Ерекше ештеңе жоқ, сіз белгілі бір мөлшердегі бұрышты аласыз, бірақ тек теріс болады. Осылайша, радиус векторын сағат тіліне қарсы айналдырғанда, біз аламыз оң бұрыштар, ал сағат тілімен айналдырғанда - теріс.
Сонымен, радиус векторының шеңбер айналасындағы тұтас революциясы немесе екенін білеміз. Радиус векторын айналдыруға болады ма? Әрине, мүмкін! Бірінші жағдайда, демек, радиус векторы бір толық айналым жасайды және немесе орнында тоқтайды.
Екінші жағдайда, яғни радиус векторы үш толық айналым жасап, немесе орнында тоқтайды.
Сонымен, жоғарыда келтірілген мысалдардан немесе айырмашылығы бар бұрыштар (мұндағы кез келген бүтін сан) радиус векторының бірдей орнына сәйкес келеді деген қорытынды жасауға болады.
Төмендегі сурет бұрышты көрсетеді. Сол сурет бұрышқа сәйкес келеді және т.б. Бұл тізімді шексіз жалғастыруға болады. Бұл бұрыштардың барлығын жалпы формуламен немесе (мұнда кез келген бүтін сан) жазуға болады.
Енді негізгі тригонометриялық функциялардың анықтамаларын біле отырып және бірлік шеңберін пайдалана отырып, мәндердің неге тең екеніне жауап беруге тырысыңыз:
Мұнда сізге көмектесетін бірлік шеңбері берілген:
Қандай да бір қиындықтар бар ма? Сосын анықтап алайық. Сондықтан біз білеміз:
Осы жерден бұрыштың белгілі өлшемдеріне сәйкес нүктелердің координаталарын анықтаймыз. Ал, ретімен бастайық: бұрыш координаттары бар нүктеге сәйкес келеді, сондықтан:
Жоқ;
Әрі қарай, сол логикаға сүйене отырып, біз бұрыштардың сәйкесінше координаттары бар нүктелерге сәйкес келетінін анықтаймыз. Мұны біле отырып, сәйкес нүктелердегі тригонометриялық функциялардың мәндерін анықтау оңай. Алдымен өзіңіз көріңіз, содан кейін жауаптарды тексеріңіз.
Жауаптары:
Жоқ
Жоқ
Жоқ
Жоқ
Осылайша, біз келесі кестені жасай аламыз:
Бұл құндылықтардың барлығын есте сақтаудың қажеті жоқ. Бірлік шеңбердегі нүктелердің координаталары мен тригонометриялық функциялардың мәндері арасындағы сәйкестікті есте сақтау жеткілікті:
Бірақ төмендегі кестеде келтірілген және бұрыштардың тригонометриялық функцияларының мәндері, есте сақтау керек:
Қорықпаңыз, енді біз мысалдардың бірін көрсетеміз сәйкес мәндерді қарапайым есте сақтау:
Бұл әдісті қолдану үшін бұрыштың барлық үш өлшемі үшін синустың мәндерін () есте сақтау өте маңызды, сонымен қатар бұрыштың тангенсінің мәні. Осы мәндерді біле отырып, бүкіл кестені қалпына келтіру өте оңай - косинус мәндері көрсеткілерге сәйкес тасымалданады, яғни:
Мұны біле отырып, сіз үшін мәндерді қалпына келтіруге болады. « » алымы сәйкес келеді, ал бөлгіш « » сәйкес келеді. Котангенс мәндері суретте көрсетілген көрсеткілерге сәйкес тасымалданады. Егер сіз мұны түсінсеңіз және көрсеткілері бар диаграмманы есте сақтасаңыз, кестедегі барлық мәнді есте сақтау жеткілікті болады.
Шеңбердегі нүктенің координаталары
Шеңбердегі нүктені (оның координаталарын) табуға болады ма? шеңбер центрінің координаталарын, оның радиусын және айналу бұрышын білу?
Әрине, мүмкін! Шығарайық нүктенің координаталарын табудың жалпы формуласы.
Мұнда, мысалы, бізде осындай шеңбер бар:
Бізге нүктенің шеңбердің центрі екендігі берілген. Шеңбердің радиусы тең. Нүктені градусқа айналдыру арқылы алынған нүктенің координаталарын табу керек.
Суреттен көрініп тұрғандай, нүктенің координатасы кесіндінің ұзындығына сәйкес келеді. Кесіндінің ұзындығы шеңбер центрінің координатасына сәйкес келеді, яғни оған тең. Кесіндінің ұзындығын косинус анықтамасы арқылы көрсетуге болады:
Содан кейін бізде координаталар нүктесі бар.
Сол логика бойынша нүкте үшін у координатының мәнін табамыз. Осылайша,
Сонымен, жалпы түрде нүктелердің координаталары мына формулалармен анықталады:
Шеңбер центрінің координаттары,
шеңбер радиусы,
Радиус векторының айналу бұрышы.
Көріп отырғаныңыздай, біз қарастырып отырған бірлік шеңбері үшін бұл формулалар айтарлықтай азаяды, өйткені центрдің координаталары нөлге тең, ал радиусы біреуге тең:
Ендеше, шеңбердегі нүктелерді табуға жаттыға отырып, дәм татуға арналған формулаларды қолданып көрейікші?
1. Нүктені қосу арқылы алынған бірлік шеңбердегі нүктенің координаталарын табыңыз.
2. Нүктені айналдыру арқылы алынған бірлік шеңбердегі нүктенің координаталарын табыңыз.
3. Нүктені қосу арқылы алынған бірлік шеңбердегі нүктенің координаталарын табыңыз.
4. Нүкте – шеңбердің центрі. Шеңбердің радиусы тең. Бастапқы радиус векторын айналдыру арқылы алынған нүктенің координаталарын табу керек.
5. Нүкте – шеңбердің центрі. Шеңбердің радиусы тең. Бастапқы радиус векторын айналдыру арқылы алынған нүктенің координаталарын табу керек.
Шеңбердегі нүктенің координаталарын табу қиын ба?
Осы бес мысалды шешіңіз (немесе шешімді жақсы түсініңіз) және сіз оларды қалай табуға болатынын білесіз!
1.
Мұны көруге болады. Ал біз бастапқы нүктенің толық айналымына не сәйкес келетінін білеміз. Осылайша, қалаған нүкте бұрылу кезіндегідей күйде болады. Осыны біле отырып, біз нүктенің қажетті координаталарын табамыз:
2. Шеңбер нүктеде центрі бар бірлік болып табылады, яғни біз жеңілдетілген формулаларды пайдалана аламыз:
Мұны көруге болады. Біз бастапқы нүктенің екі толық айналуына не сәйкес келетінін білеміз. Осылайша, қалаған нүкте бұрылу кезіндегідей күйде болады. Осыны біле отырып, біз нүктенің қажетті координаталарын табамыз:
Синус және косинус кестелік мәндер болып табылады. Біз олардың құндылықтарын есте сақтаймыз және аламыз:
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
3. Шеңбер нүктеде центрі бар бірлік болып табылады, яғни біз жеңілдетілген формулаларды пайдалана аламыз:
Мұны көруге болады. Қарастырылған мысалды суретте көрсетейік:
Радиус осімен бұрыштарды және-ге тең етеді. Косинус пен синустың кестелік мәндері тең екенін біле отырып және мұндағы косинус теріс мән алатынын, ал синус оң екенін анықтай отырып, бізде:
Ұқсас мысалдар тақырыптағы тригонометриялық функцияларды азайту формулаларын оқығанда толығырақ талданады.
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
4.
Радиус векторының айналу бұрышы (шарт бойынша)
Синус пен косинустың сәйкес белгілерін анықтау үшін бірлік шеңбер мен бұрышты саламыз:
Көріп отырғаныңыздай, мән, яғни оң, ал мән, яғни теріс. Сәйкес тригонометриялық функциялардың кестелік мәндерін біле отырып, біз мынаны аламыз:
Алынған мәндерді формуламызға қойып, координаталарды табайық:
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
5. Бұл мәселені шешу үшін формулаларды жалпы түрде қолданамыз, мұнда
Шеңбер центрінің координаталары (біздің мысалда,
Шеңбер радиусы (шарт бойынша)
Радиус векторының айналу бұрышы (шарт бойынша).
Барлық мәндерді формулаға қойып, мынаны алыңыз:
және - кесте мәндері. Біз оларды еске түсіріп, формулаға ауыстырамыз:
Осылайша, қажетті нүктенің координаттары болады.
ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛА
Бұрыштың синусы – қарама-қарсы (алыс) катеттің гипотенузаға қатынасы.
Бұрыштың косинусы - көршілес (жақын) катеттің гипотенузаға қатынасы.
Бұрыштың тангенсі – қарама-қарсы (алыс) катеттің көршілес (жақын) қатынасы.
Бұрыштың котангенсі - көрші (жақын) катеттің қарама-қарсы (алыс) катетінің қатынасы.
