კოორდინატთა მეთოდი, რომელიც მე-17 საუკუნეში შემოგვთავაზეს ფრანგმა მათემატიკოსებმა რ. დეკარტმა (1596-1650) და პ. ფერმამ (1601-1665), არის მძლავრი აპარატი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ თარგმნოთ გეომეტრიული ცნებები ალგებრულ ენაზე. ეს მეთოდი ეფუძნება კოორდინატთა სისტემის კონცეფციას. ჩვენ განვიხილავთ მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლას მისი წვეროების კოორდინატებიდან მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.
სამკუთხედის ფართობი
თეორემა 1. თუ არის სამკუთხედის ფართობი
მაშინ თანასწორობა მართალია
ჩვენ მას სამკუთხედის ფართობის განმსაზღვრელს ვუწოდებთ.
მტკიცებულება. მოდით, სამკუთხედის წვეროები განთავსდეს პირველ კოორდინატულ კვადრატში. არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა.
შემთხვევა 1. სამკუთხედის წვეროების მდებარეობის მიმართულება (ან, ან) ემთხვევა საათის ისრის ბოლოს მოძრაობის მიმართულებას (სურ. 1.30).
ვინაიდან ფიგურა არის ტრაპეცია.
ანალოგიურად ჩვენ ვხვდებით ამას
ალგებრული გარდაქმნების შესრულებით
ჩვენ ვიღებთ ამას:
ტოლობაში (1.9) ფართობის განმსაზღვრელი, o შესაბამისად გამოსახულების წინ არის მინუს ნიშანი, ვინაიდან.
ეს ვაჩვენოთ. მართლაც, აქ
(მართკუთხედის ფართობი ფუძითა და სიმაღლეებით მეტია, ვიდრე მართკუთხედების ფართობების ჯამი ფუძითა და სიმაღლეებით; (ნახ. 1.30), საიდანაც
შემთხვევა 2. 1-ში მითითებული მიმართულებები ეწინააღმდეგება საათის ისრის ბოლოს მოძრაობის მიმართულებას (ნახ. 1.31).
ვინაიდან ფიგურა ტრაპეციაა და
სად. მართლაც, აქ
თეორემა მტკიცდება, როდესაც სამკუთხედის წვეროები განლაგებულია პირველ კოორდინატულ კვადრატში.
მოდულის კონცეფციის გამოყენებით, ტოლობები (1.9) და (1.10) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
შენიშვნა 1. ჩვენ გამოვიყვანეთ ფორმულა (1.8) წვეროების უმარტივესი განლაგების გათვალისწინებით, რომელიც ნაჩვენებია სურათებზე 1.30 და 1.31; თუმცა, ფორმულა (1.8) მართალია წვეროების ნებისმიერი მოწყობისთვის.
განვიხილოთ სურათი 1.32-ზე გამოსახული შემთხვევა.
ამიტომ, მარტივი გეომეტრიული გარდაქმნების შესრულებით:
ისევ ვიღებთ რა, სად
n-gon-ის ფართობი
მრავალკუთხედი შეიძლება იყოს ამოზნექილი ან არაამოზნექილი. მრავალკუთხედს, რომელსაც არ აქვს გვერდების თვითგადაკვეთა, მარტივი ეწოდება. მარტივისთვის არის ნ- მართალია შემდეგი
თეორემა 2. თუ არის პირველის ფართობი ნ-გონ, სად, მაშინ თანასწორობა მართალია
ჩვენ დავარქმევთ პირველის ფართობის განმსაზღვრელს ნ-გონი.
მტკიცებულება. არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა.
შემთხვევა 1. ნ-gon - ამოზნექილი. დავამტკიცოთ ფორმულა (1.11) მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით.
რადგან ეს უკვე დადასტურებულია (თეორემა 1). დავუშვათ, რომ ეს მართალია ნ-გონი; მოდით დავამტკიცოთ, რომ ის მოქმედებს ამოზნექილისთვის ( ნ+1)-gon.
კიდევ ერთი წვერო დავამატოთ მრავალკუთხედს (სურ. 1.33).
ამრიგად, ფორმულა მოქმედებს ( ნ+1)-gon და, შესაბამისად, დაკმაყოფილებულია მათემატიკური ინდუქციის პირობები, ანუ ფორმულა (1.11) ამოზნექილი შემთხვევისთვის. ნ-გონი დადასტურდა.
შემთხვევა 2. ნ-gon - არაამოზნექილი.
ნებისმიერ არაამოზნექილში ნშესაძლებელია მის შიგნით მყოფი დიაგონალის დახატვა და, შესაბამისად, მე-2 შემთხვევის დადასტურება არაამოზნექილისთვის. ნ-გონი ამოზნექილის მტკიცებულების მსგავსია ნ-გონი.
შენიშვნა 2. გამონათქვამები არ არის ადვილი დასამახსოვრებელი. ამიტომ მისი მნიშვნელობების გამოსათვლელად მოსახერხებელია პირველი, მეორე, მესამე, ... კოორდინატების ჩაწერა სვეტში. ნ-ე და ისევ პირველი წვერები ნ-gon და გავამრავლოთ სქემის მიხედვით:
(1.12) სვეტის ნიშნები უნდა იყოს მოწყობილი ისე, როგორც ეს მითითებულია დიაგრამაში (1.13).
შენიშვნა 3. სამკუთხედისთვის (1.12) სვეტის შედგენისას შეგიძლიათ დაიწყოთ ნებისმიერი წვეროდან.
შენიშვნა 4. სვეტის (1.12) შედგენისას ამისთვის ნ-gon () აუცილებელია დავიცვათ წვეროების კოორდინატების ამოწერის თანმიმდევრობა ნ-gon (არ აქვს მნიშვნელობა რომელი წვეროდან უნდა დაიწყოს გავლა). ამიტომ, ფართობის გაანგარიშება ნ-გონი უნდა დაიწყოს "უხეში" ნახაზის აგებით.
სამკუთხედი ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებულია გეომეტრიული ფორმები, რომელსაც ჩვენ უკვე ვხვდებით დაწყებითი სკოლა. ყველა სტუდენტს აწყდება კითხვა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი გეომეტრიის გაკვეთილებზე. მაშ, მოცემული ფიგურის ფართობის პოვნის რა თავისებურებები შეიძლება გამოვლინდეს? ამ სტატიაში განვიხილავთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც აუცილებელია ასეთი ამოცანის შესასრულებლად და ასევე გავაანალიზებთ სამკუთხედების ტიპებს.
სამკუთხედების სახეები
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი სრულიად განსხვავებული გზით, რადგან გეომეტრიაში არის ერთზე მეტი ტიპის ფიგურა, რომელიც შეიცავს სამ კუთხეს. ეს ტიპები მოიცავს:
- ბუნდოვანი.
- ტოლგვერდა (სწორი).
- მართკუთხა სამკუთხედი.
- ტოლფერდა.
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ სამკუთხედების თითოეულ არსებულ ტიპს.
ეს გეომეტრიული ფიგურა ითვლება ყველაზე გავრცელებულად გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრისას. როდესაც ჩნდება თვითნებური სამკუთხედის დახატვის საჭიროება, ეს ვარიანტი სამაშველოში მოდის.
მახვილ სამკუთხედში, როგორც სახელიდან ჩანს, ყველა კუთხე არის მახვილი და ემატება 180°.
ამ ტიპის სამკუთხედი ასევე ძალიან გავრცელებულია, მაგრამ გარკვეულწილად ნაკლებად გავრცელებულია, ვიდრე მწვავე სამკუთხედი. მაგალითად, სამკუთხედების ამოხსნისას (ანუ ცნობილია მისი რამდენიმე გვერდი და კუთხე და საჭიროა დარჩენილი ელემენტების პოვნა), ზოგჯერ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა კუთხე ბლაგვი. კოსინუსი არის უარყოფითი რიცხვი.
B, ერთ-ერთი კუთხის მნიშვნელობა აღემატება 90°-ს, ამიტომ დარჩენილ ორ კუთხეს შეუძლია მიიღოს მცირე მნიშვნელობები (მაგალითად, 15° ან თუნდაც 3°).
ამ ტიპის სამკუთხედის ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ნიუანსი, რომელზეც მოგვიანებით ვისაუბრებთ.
რეგულარული და ტოლფერდა სამკუთხედები
რეგულარული მრავალკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც მოიცავს n კუთხეს და რომლის გვერდები და კუთხეები ტოლია. ეს არის ჩვეულებრივი სამკუთხედი. ვინაიდან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°, მაშინ სამივე კუთხიდან თითოეული არის 60°.
წესიერ სამკუთხედს, თავისი თვისების გამო, ტოლგვერდა ფიგურასაც უწოდებენ.
აღსანიშნავია ისიც, რომ მხოლოდ ერთი წრე შეიძლება ჩაიწეროს რეგულარულ სამკუთხედში და მხოლოდ ერთი წრე შეიძლება იყოს აღწერილი მის გარშემო და მათი ცენტრები განლაგებულია იმავე წერტილში.
ტოლგვერდა ტიპის გარდა, ასევე შეიძლება განვასხვავოთ მისგან ოდნავ განსხვავებული ტოლფერდა სამკუთხედი. ასეთ სამკუთხედში ორი გვერდი და ორი კუთხე ერთმანეთის ტოლია, ხოლო მესამე გვერდი (რომელსაც თანაბარი კუთხეები ესაზღვრება) არის ფუძე.
ნახატზე ნაჩვენებია ტოლფერდა სამკუთხედი DEF, რომლის კუთხეები D და F ტოლია და DF არის ფუძე.
მართკუთხა სამკუთხედი
მართკუთხა სამკუთხედს ასე უწოდებენ, რადგან მისი ერთ-ერთი კუთხე მართია, ანუ ტოლია 90°-ისა. დანარჩენი ორი კუთხე ემატება 90°-ს.
ასეთი სამკუთხედის ყველაზე დიდი გვერდი, რომელიც მდებარეობს 90° კუთხის საპირისპიროდ, არის ჰიპოტენუზა, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი არის ფეხები. ამ ტიპის სამკუთხედისთვის გამოიყენება პითაგორას თეორემა:
ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატს.
ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა სამკუთხედი BAC ჰიპოტენუზა AC-ით და AB და BC ფეხებით.
მართი კუთხით სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფეხების რიცხვითი მნიშვნელობები.
მოდით გადავიდეთ მოცემული ფიგურის ფართობის პოვნის ფორმულებზე.
ფართობის პოვნის ძირითადი ფორმულები
გეომეტრიაში არსებობს ორი ფორმულა, რომლებიც შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესი ტიპების ფართობის საპოვნელად, კერძოდ, მწვავე, ბლაგვი, რეგულარული და ტოლფერდა სამკუთხედებისთვის. მოდით შევხედოთ თითოეულ მათგანს.
გვერდით და სიმაღლეზე
ეს ფორმულა უნივერსალურია იმ ფიგურის ფართობის დასადგენად, რომელსაც განვიხილავთ. ამისათვის საკმარისია ვიცოდეთ გვერდის სიგრძე და მასზე დახატული სიმაღლის სიგრძე. თავად ფორმულა (ძირის ნამრავლის ნახევარი და სიმაღლე) ასეთია:
სადაც A არის მოცემული სამკუთხედის გვერდი, ხოლო H არის სამკუთხედის სიმაღლე.
მაგალითად, ACB მწვავე სამკუთხედის ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი გვერდი AB სიმაღლეზე CD და გაყოთ მიღებული მნიშვნელობა ორზე.
თუმცა, ყოველთვის ადვილი არ არის ამ გზით სამკუთხედის ფართობის პოვნა. მაგალითად, ბლაგვი სამკუთხედისთვის ამ ფორმულის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა გააფართოვოთ მისი ერთ-ერთი გვერდი და მხოლოდ ამის შემდეგ მიაპყროთ მას სიმაღლე.
პრაქტიკაში, ეს ფორმულა უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე სხვები.
ორივე მხარეს და კუთხეში
ეს ფორმულა, ისევე როგორც წინა, შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესობისთვის და მისი მნიშვნელობით არის სამკუთხედის გვერდითი ფართობისა და სიმაღლის ფორმულის შედეგი. ანუ განსახილველი ფორმულა ადვილად შეიძლება იყოს მიღებული წინადან. მისი ფორმულირება ასე გამოიყურება:
S = ½*sinO*A*B,
სადაც A და B არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო O არის კუთხე A და B გვერდებს შორის.
შეგახსენებთ, რომ კუთხის სინუსის ნახვა შესაძლებელია გამოჩენილი საბჭოთა მათემატიკოსის V.M. Bradis-ის სახელობის სპეციალურ ცხრილში.
ახლა გადავიდეთ სხვა ფორმულებზე, რომლებიც შესაფერისია მხოლოდ განსაკუთრებული ტიპის სამკუთხედებისთვის.
მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი
უნივერსალური ფორმულის გარდა, რომელიც მოიცავს სამკუთხედში სიმაღლის პოვნის აუცილებლობას, სამკუთხედის ფართობი, რომელიც შეიცავს მართ კუთხეს, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ფეხებიდან.
ამრიგად, სამკუთხედის ფართობი, რომელიც შეიცავს მართ კუთხეს, არის მისი ფეხების პროდუქტის ნახევარი, ან:
სადაც a და b არის ფეხები მართკუთხა სამკუთხედი.
რეგულარული სამკუთხედი
ამ ტიპის გეომეტრიული ფიგურა განსხვავდება იმით, რომ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს მხოლოდ მისი ერთი მხარის მითითებული მნიშვნელობით (რადგან რეგულარული სამკუთხედის ყველა გვერდი ტოლია). ასე რომ, როდესაც წინაშე დგახართ "სამკუთხედის ფართობის პოვნა, როდესაც გვერდები ტოლია", თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა:
S = A 2 *√3 / 4,
სადაც A არის მხარე ტოლგვერდა სამკუთხედი.
ჰერონის ფორმულა
სამკუთხედის ფართობის პოვნის ბოლო ვარიანტია ჰერონის ფორმულა. მისი გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფიგურის სამი მხარის სიგრძე. ჰერონის ფორმულა ასე გამოიყურება:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
სადაც a, b და c არის მოცემული სამკუთხედის გვერდები.
ზოგჯერ მოცემულია პრობლემა: ”რეგულარული სამკუთხედის ფართობი არის მისი გვერდის სიგრძის პოვნა”. IN ამ შემთხვევაშიჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფორმულა, რომელიც უკვე ვიცით რეგულარული სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად და მისგან გამოვიტანოთ გვერდის (ან მისი კვადრატის) მნიშვნელობა:
A 2 = 4S / √3.
საგამოცდო ამოცანები
მათემატიკაში GIA ამოცანებში ბევრი ფორმულაა. გარდა ამისა, საკმაოდ ხშირად საჭიროა სამკუთხედის ფართობის პოვნა ქაღალდზე.
ამ შემთხვევაში, ყველაზე მოსახერხებელია სიმაღლის დახატვა ფიგურის ერთ-ერთ მხარეს, განსაზღვროს მისი სიგრძე უჯრედებიდან და გამოიყენოთ უნივერსალური ფორმულა ფართობის საპოვნელად:
ასე რომ, სტატიაში წარმოდგენილი ფორმულების შესწავლის შემდეგ, არანაირი პრობლემა არ გექნებათ რაიმე სახის სამკუთხედის ფართობის პოვნაში.
