Dans la vie, nous devons souvent faire face à des problèmes de mathématiques : à l'école, à l'université, puis aider notre enfant à faire ses devoirs. Les personnes de certaines professions rencontreront les mathématiques au quotidien. Par conséquent, il est utile de mémoriser ou de rappeler des règles mathématiques. Dans cet article, nous allons analyser l'une d'elles : trouver la jambe d'un triangle rectangle.
Qu'est-ce qu'un triangle rectangle
Rappelons d'abord ce qu'est triangle rectangle. Un triangle rectangle est une figure géométrique de trois segments qui relient des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite, et l'un des angles de cette figure est de 90 degrés. Les côtés qui forment un angle droit s'appellent les jambes et le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse.
Trouver la jambe d'un triangle rectangle
Il existe plusieurs façons de connaître la longueur de la jambe. Je voudrais les examiner plus en détail.
Théorème de Pythagore pour trouver la jambe d'un triangle rectangle
Si nous connaissons l'hypoténuse et la jambe, nous pouvons trouver la longueur de la jambe inconnue en utilisant le théorème de Pythagore. Cela ressemble à ceci: "Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes." Formule : c²=a²+b², où c est l'hypoténuse, a et b sont les jambes. On transforme la formule et on obtient : a²=c²-b².
Exemple. L'hypoténuse mesure 5 cm et la jambe 3 cm On transforme la formule : c²=a²+b² → a²=c²-b². Ensuite, on décide : a²=5²-3² ; a²=25-9; a²=16; a=√16 ; a=4 (cm).
Relations trigonométriques pour trouver la jambe d'un triangle rectangle
Il est également possible de trouver une jambe inconnue si n'importe quel autre côté et n'importe quel angle aigu d'un triangle rectangle sont connus. Il existe quatre options pour trouver la jambe à l'aide de fonctions trigonométriques : par sinus, cosinus, tangente, cotangente. Pour résoudre les problèmes, le tableau ci-dessous nous aidera. Considérons ces options.
Trouver la jambe d'un triangle rectangle à l'aide du sinus
Le sinus d'un angle (sin) est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse. Formule: sin \u003d a / c, où a est la jambe opposée à l'angle donné et c est l'hypoténuse. Ensuite, nous transformons la formule et obtenons : a=sin*c.
Exemple. L'hypoténuse est de 10 cm et l'angle A est de 30 degrés. Selon le tableau, nous calculons le sinus de l'angle A, il est égal à 1/2. Puis, en utilisant la formule transformée, on résout : a=sin∠A*c ; a=1/2*10 ; a=5 (cm).
Trouver la jambe d'un triangle rectangle à l'aide du cosinus
Le cosinus d'un angle (cos) est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse. Formule : cos=b/c, où b est la branche adjacente à ce coin, et c est l'hypoténuse. Transformons la formule et obtenons : b=cos*c.
Exemple. L'angle A est de 60 degrés, l'hypoténuse est de 10 cm Selon le tableau, nous calculons le cosinus de l'angle A, il est égal à 1/2. Ensuite, on résout : b=cos∠A*c ; b=1/2*10, b=5 (cm).
Trouver la jambe d'un triangle rectangle en utilisant la tangente
La tangente d'un angle (tg) est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente. Formule: tg \u003d a / b, où a est la jambe opposée au coin et b est adjacent. Transformons la formule et obtenons : a=tg*b.
Exemple. L'angle A est de 45 degrés, l'hypoténuse est de 10 cm Selon le tableau, on calcule la tangente de l'angle A, elle est égale à Résoudre : a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Trouver la jambe d'un triangle rectangle en utilisant la cotangente
La cotangente d'un angle (ctg) est le rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée. Formule: ctg \u003d b / a, où b est la jambe adjacente au coin et opposée. En d'autres termes, la cotangente est la "tangente inversée". On obtient : b=ctg*a.
Exemple. L'angle A est de 30 degrés, la jambe opposée est de 5 cm Selon le tableau, la tangente de l'angle A est √3. Calculer : b=ctg∠A*a ; b=√3*5 ; b=5√3 (cm).
Donc, maintenant vous savez comment trouver la jambe dans un triangle rectangle. Comme vous pouvez le voir, ce n'est pas si difficile, l'essentiel est de se souvenir des formules.
Nous commençons notre étude de la trigonométrie avec un triangle rectangle. Définissons ce que sont le sinus et le cosinus, ainsi que la tangente et la cotangente d'un angle aigu. Ce sont les bases de la trigonométrie.
Rappeler que angle droit est un angle égal à . En d'autres termes, la moitié du coin déplié.
Angle vif- plus petit .
Angle obtus- plus grande . Par rapport à un tel angle, "blunt" n'est pas une insulte, mais un terme mathématique :-)
Traçons un triangle rectangle. Un angle droit est généralement noté . Notez que le côté opposé au coin est désigné par la même lettre, seulement petite. Ainsi, le côté opposé à l'angle est noté.
Un angle est désigné par la lettre grecque correspondante.
Hypoténuse Un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.
Les jambes- côtés opposés aux angles vifs.
La jambe opposée au coin s'appelle opposé(par rapport à l'angle). L'autre jambe, qui se trouve d'un côté du coin, s'appelle adjacent.
Sinus l'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
Tangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
Autre définition (équivalente) : la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus d'un angle à son cosinus :
Cotangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe adjacente à l'opposé (ou, de manière équivalente, le rapport du cosinus au sinus):
Faites attention aux rapports de base pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, qui sont donnés ci-dessous. Ils nous seront utiles pour résoudre les problèmes.
Prouvons-en quelques-uns.
1. La somme des angles de tout triangle est . Moyens, la somme de deux angles aigus d'un triangle rectangle est .
2. D'une part, comme le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse. Par contre, puisque pour l'angle la jambe sera adjacente.
Nous comprenons cela. Autrement dit, .
3. Prenez le théorème de Pythagore : . Divisons les deux parties par :
Nous avons identité trigonométrique de base:
Ainsi, connaissant le sinus d'un angle, on peut trouver son cosinus, et inversement.
4. En divisant les deux parties de l'identité trigonométrique principale par , on obtient :
Cela signifie que si on nous donne la tangente d'un angle aigu, alors nous pouvons immédiatement trouver son cosinus.
De même,
D'accord, nous avons donné des définitions et des formules écrites. Mais pourquoi avons-nous besoin de sinus, cosinus, tangente et cotangente ?
Nous savons que la somme des angles de tout triangle est.
Nous connaissons la relation entre des soirées triangle rectangle. C'est le théorème de Pythagore : .
Il s'avère que connaissant deux angles dans un triangle, vous pouvez trouver le troisième. Connaissant deux côtés d'un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième. Ainsi, pour les angles - leur rapport, pour les côtés - les leurs. Mais que faire si dans un triangle rectangle un angle (sauf un droit) et un côté sont connus, mais que vous devez trouver d'autres côtés ?
C'est ce à quoi les gens étaient confrontés dans le passé, en faisant des cartes de la région et du ciel étoilé. Après tout, il n'est pas toujours possible de mesurer directement tous les côtés d'un triangle.
Sinus, cosinus et tangente - ils sont aussi appelés fonctions trigonométriques de l'angle- donner le rapport entre des soirées et coins Triangle. Connaissant l'angle, vous pouvez trouver toutes ses fonctions trigonométriques à l'aide de tables spéciales. Et connaissant les sinus, cosinus et tangentes des angles d'un triangle et de l'un de ses côtés, vous pouvez trouver le reste.
Nous dessinerons également un tableau des valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente pour les "bons" angles de à.
Remarquez les deux tirets rouges dans le tableau. Pour les valeurs correspondantes des angles, la tangente et la cotangente n'existent pas.
Analysons plusieurs problèmes en trigonométrie de la Banque de tâches FIPI.
1. Dans un triangle, l'angle est , . Trouver .
Le problème est résolu en quatre secondes.
Depuis que nous avons: .
2. Dans un triangle, l'angle est , , . Trouver . , est égal à la moitié de l'hypoténuse.
Triangle avec angles , et est isocèle. Dans celui-ci, l'hypoténuse est fois plus grande que la jambe.
L'une des branches des mathématiques avec lesquelles les écoliers rencontrent le plus de difficultés est la trigonométrie. Pas étonnant: pour maîtriser librement ce domaine de connaissances, vous avez besoin d'une pensée spatiale, de la capacité de trouver des sinus, des cosinus, des tangentes, des cotangentes à l'aide de formules, de simplifier des expressions et de pouvoir utiliser le nombre pi dans les calculs. De plus, vous devez être capable d'appliquer la trigonométrie lors de la démonstration de théorèmes, ce qui nécessite soit une mémoire mathématique développée, soit la capacité de déduire des chaînes logiques complexes.
Origines de la trigonométrie
La connaissance de cette science devrait commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.
Historiquement, les triangles rectangles ont été le principal objet d'étude dans cette section des sciences mathématiques. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure considérée en utilisant deux côtés et un angle ou deux angles et un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même l'art.
Première étape
Au départ, les gens parlaient de la relation des angles et des côtés exclusivement sur l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans la vie quotidienne de cette section des mathématiques.
L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les connaissances acquises sont utilisées par les étudiants en physique et en résolution d'équations trigonométriques abstraites, travail avec lequel commence au lycée.
Trigonométrie sphérique
Plus tard, lorsque la science a atteint le niveau de développement suivant, les formules avec sinus, cosinus, tangente, cotangente ont commencé à être utilisées dans la géométrie sphérique, où d'autres règles s'appliquent, et la somme des angles dans un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette section n'est pas étudiée à l'école, mais il est nécessaire de connaître son existence, du moins parce que la surface de la Terre, et la surface de toute autre planète, est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface sera "en forme d'arc" dans espace tridimensionnel.
Prenez le globe et le fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Faites attention - il a acquis la forme d'un arc. C'est avec de telles formes que traite la géométrie sphérique, qui est utilisée en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.
Triangle rectangle
Après avoir appris un peu sur les façons d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont les sinus, cosinus, tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.
La première étape consiste à comprendre les concepts liés à un triangle rectangle. Premièrement, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle de 90 degrés. Elle est la plus longue. Rappelons que, selon le théorème de Pythagore, sa valeur numérique est égale à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.
Par exemple, si deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. Soit dit en passant, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.
Les deux côtés restants qui forment un angle droit sont appelés jambes. De plus, nous devons nous rappeler que la somme des angles d'un triangle dans un système de coordonnées rectangulaire est de 180 degrés.
Définition
Enfin, avec une solide compréhension de la base géométrique, nous pouvons nous tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle.
Le sinus d'un angle est le rapport de la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) à l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.
N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue, quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si vous obtenez un sinus ou un cosinus avec une valeur supérieure à 1 dans la réponse au problème, recherchez une erreur de calcul ou de raisonnement. Cette réponse est clairement fausse.
Enfin, la tangente d'un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Le même résultat donnera la division du sinus par le cosinus. Regardez: selon la formule, nous divisons la longueur du côté par l'hypoténuse, après quoi nous divisons par la longueur du deuxième côté et multiplions par l'hypoténuse. Ainsi, nous obtenons le même rapport que dans la définition de la tangente.
La cotangente, respectivement, est le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant l'unité par la tangente.
Nous avons donc examiné les définitions de ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, et nous pouvons traiter des formules.
Les formules les plus simples
En trigonométrie, on ne peut pas se passer de formules - comment trouver sinus, cosinus, tangente, cotangente sans elles ? Et c'est exactement ce qu'il faut pour résoudre des problèmes.
La première formule que vous devez connaître lorsque vous commencez à étudier la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais elle fait gagner du temps si vous voulez connaître la valeur de l'angle, pas le côté.
De nombreux élèves ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire lors de la résolution de problèmes scolaires : la somme de un et le carré de la tangente d'un angle est égal à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près: après tout, c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s'avère qu'une simple opération mathématique rend la formule trigonométrique complètement méconnaissable. Rappelez-vous: connaissant ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, les règles de conversion et quelques formules de base, vous pouvez à tout moment dériver indépendamment les formules plus complexes requises sur une feuille de papier.
Formules à double angle et ajout d'arguments
Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second cas, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.
Il existe également des formules associées aux arguments à double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - en pratique, essayez de les obtenir vous-même, en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.
Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être converties pour abaisser le degré de sinus, cosinus, tangente alpha.
Théorèmes
Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. À l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la taille de chaque côté, etc.
Le théorème des sinus indique qu'en divisant la longueur de chacun des côtés du triangle par la valeur de l'angle opposé, nous obtenons le même nombre. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire le cercle contenant tous les points du triangle donné.
Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit, multiplié par le double cosinus de l'angle qui leur est adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s'avère être un cas particulier du théorème du cosinus.
Erreurs dues à l'inattention
Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de faire une erreur due à une distraction ou à une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, familiarisons-nous avec les plus populaires d'entre elles.
Tout d'abord, vous ne devez pas convertir les fractions ordinaires en nombres décimaux tant que le résultat final n'est pas obtenu - vous pouvez laisser la réponse sous forme de fraction ordinaire, à moins que la condition n'indique le contraire. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d'erreur, mais il convient de rappeler qu'à chaque étape de la tâche, de nouvelles racines peuvent apparaître, qui, selon l'idée de l'auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez du temps en opérations mathématiques inutiles. Cela est particulièrement vrai pour des valeurs telles que la racine de trois ou deux, car elles apparaissent dans les tâches à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres "moches".
De plus, notez que le théorème du cosinus s'applique à n'importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle entre eux, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement erroné, mais démontrerez également une incompréhension complète du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.
Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. Rappelez-vous ces valeurs, car le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60, et vice versa. Il est facile de les mélanger, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.
Application
De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie, car ils ne comprennent pas sa signification appliquée. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts grâce auxquels vous pouvez calculer la distance aux étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite, envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur la surface ou la trajectoire d'un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie sous une forme ou une autre est utilisée partout, de la musique à la médecine.
Pour terminer
Donc vous êtes sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.
Toute l'essence de la trigonométrie se résume au fait que des paramètres inconnus doivent être calculés à partir des paramètres connus du triangle. Il y a six paramètres au total : les longueurs de trois côtés et les grandeurs de trois angles. Toute la différence dans les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont données.
Comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse, vous savez maintenant. Étant donné que ces termes ne signifient rien de plus qu'un rapport et qu'un rapport est une fraction, l'objectif principal du problème trigonométrique est de trouver les racines d'une équation ordinaire ou d'un système d'équations. Et ici, vous serez aidé par les mathématiques de l'école ordinaire.
Chapitre I. Solution de triangles rectangles
§3 (37). Ratios et tâches de base
En trigonométrie, on considère des problèmes dans lesquels il est nécessaire de calculer certains éléments d'un triangle par un nombre suffisant de valeurs numériques de ses éléments donnés. Ces tâches sont généralement appelées la solution Triangle.
Soit ABC un triangle rectangle, C un angle droit, un et b- jambes opposées aux angles aigus A et B, Avec- hypoténuse (Fig. 3) ;
ensuite nous avons:
Le cosinus d'un angle aigu est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
cos A = b/ c, cos B = un / c (1)
Le sinus d'un angle aigu est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
péché A = un / c, péché B = b/ c (2)
La tangente d'un angle aigu est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
bronzer A = un / b, tg B = b/ un (3)
La cotangente d'un angle aigu est le rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée :
ctgA= b/ un, ctg B = un / b (4)
La somme des angles aigus est 90°.
Problèmes de base pour les triangles rectangles.
Tâche I. Étant donné l'hypoténuse et l'un des angles aigus, calculez les autres éléments.
La solution. Laisser donné Avec et A. Angle B = 90° - A est également connu ; les jambes sont trouvées à partir des formules (1) et (2).
un = c sinA, b = c car A.
Tâche II . Étant donné une jambe et l'un des angles aigus, calculez les autres éléments.
La solution. Laisser donné un et A. Angle B = 90° - A est connu ; d'après les formules (3) et (2) on trouve :
b = un tg B (= un ctg A), Avec = un/sin A
Tâche III. Compte tenu de la jambe et de l'hypoténuse, calculez les éléments restants.
La solution. Laisser donné un et Avec(et un< с ). A partir des égalités (2) on trouve l'angle A :
péché A = un / c et A = arc sin un / c ,
et enfin la jambe b:
b = Avec cos A (= Avec péché B).
Tâche IV. Les jambes a et b sont données pour trouver d'autres éléments.
La solution. A partir des égalités (3) on trouve un angle aigu, par exemple A :
tg A = un / b, A = arctan un / b ,
angle B \u003d 90 ° - A,
hypoténuse: c = un/sin A (= b/sinB ; = un/cos B)
Voici un exemple de résolution d'un triangle rectangle à l'aide de tables logarithmiques*.
* Le calcul des éléments des triangles rectangles selon les tables naturelles est connu du cours de géométrie de la classe VIII.
Lors du calcul à l'aide de tables logarithmiques, il convient d'écrire les formules correspondantes, de les prologarithmer, de substituer des données numériques, de trouver les logarithmes requis d'éléments connus (ou leurs fonctions trigonométriques) à partir des tables, de calculer les logarithmes des éléments souhaités (ou leurs fonctions trigonométriques ) et recherchez les éléments requis dans les tableaux.
Exemple. Jambe de Dana un= 166,1 et hypoténuse Avec= 187,3 ; calculer les angles aigus, l'autre jambe et l'aire.
La solution. Nous avons:
péché A = un / c; lg sin A = lg un-lg c; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Nous calculons la jambe b:
b = un tg B ; lg b= journal b+ lg tg B ; 
L'aire d'un triangle peut être calculée à l'aide de la formule
S=1/2 un B = 0,5 un 2 tg B ; 
Pour le contrôle, on calcule l'angle A sur une règle à calcul :
Un péché d'arc \u003d un / c= arc sin 166 / 187 ≈ 62°.
Noter. jambe b peut être calculée par le théorème de Pythagore, en utilisant les tableaux des carrés et des racines carrées (tableaux III et IV) :
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Écart avec la valeur précédemment obtenue b= 86,48 s'explique par les erreurs des tables, qui donnent les valeurs approximatives des fonctions. Le résultat de 86,54 est plus précis.
Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine, la position initiale du rayon vecteur est fixée le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).
Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée selon l'axe et la coordonnée selon l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et en général, qu'ont-ils à voir avec le sujet traité ? Pour ce faire, rappelez-vous du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérez un triangle. Elle est rectangulaire car perpendiculaire à l'axe.
Qu'est-ce qui est égal à partir d'un triangle ? C'est vrai. De plus, nous savons que est le rayon du cercle unitaire, et donc, . Remplacez cette valeur dans notre formule de cosinus. Voici ce qui se passe :
Et qu'est-ce qui est égal à partir d'un triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :
Alors, pouvez-vous me dire quelles sont les coordonnées d'un point qui appartient au cercle ? Eh bien, pas moyen? Et si vous vous en rendez compte et que vous n'êtes que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée! A quelle coordonnée correspond-il ? C'est vrai, coordonnez-vous! Ainsi, le point.
Et quels sont alors égaux et? C'est vrai, utilisons les définitions appropriées de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.
Et si l'angle est plus grand ? Ici, par exemple, comme sur cette image :
Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Essayons de comprendre. Pour ce faire, nous nous tournons à nouveau vers un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : un angle (comme adjacent à un angle). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :
Eh bien, comme vous pouvez le voir, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée; et les valeurs de tangente et cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations sont applicables à toutes les rotations du rayon vecteur.
Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur est le long de la direction positive de l'axe. Jusqu'à présent, nous avons fait tourner ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons tourner dans le sens des aiguilles d'une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez également un angle d'une certaine taille, mais seulement celui-ci sera négatif. Ainsi, lors de la rotation du vecteur de rayon dans le sens antihoraire, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.
Ainsi, nous savons qu'une révolution entière du rayon vecteur autour du cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de ou de ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, le rayon vecteur fera donc un tour complet et s'arrêtera à la position ou.
Dans le second cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera à la position ou.
Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.
La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, et ainsi de suite. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits avec la formule générale ou (où est un nombre entier)
Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unitaire, essayez de répondre à quoi les valeurs sont égales :
Voici un cercle unitaire pour vous aider :
Des difficultés ? Alors découvrons-le. Donc on sait que :
A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures de l'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin à correspond à un point de coordonnées, donc :
N'existe pas;
De plus, en respectant la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.
Réponses:
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :
Il n'est pas nécessaire de se souvenir de toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :
Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, doit être rappelé:
N'ayez pas peur, nous allons maintenant montrer l'un des exemples mémorisation assez simple des valeurs correspondantes:
Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de se souvenir des valeurs du sinus pour les trois mesures de l'angle (), ainsi que de la valeur de la tangente de l'angle en. Connaissant ces valeurs, il est assez facile de restaurer l'ensemble du tableau - les valeurs de cosinus sont transférées conformément aux flèches, c'est-à-dire :
Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs pour. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec des flèches, il suffira de vous souvenir de la valeur entière du tableau.
Coordonnées d'un point sur un cercle
Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaissant les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?
Bien sûr que tu peux! Faisons ressortir formule générale pour trouver les coordonnées d'un point.
Ici, par exemple, nous avons un tel cercle:
On nous donne que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le point de degrés.
Comme on peut le voir sur la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :
Ensuite, nous avons pour le point la coordonnée.
Par la même logique, on trouve la valeur de la coordonnée y pour le point. De cette façon,
Ainsi, en termes généraux, les coordonnées des points sont déterminées par les formules :
Coordonnées du centre du cercle,
rayon du cercle,
Angle de rotation du rayon vecteur.
Comme vous pouvez le voir, pour le cercle unitaire que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, car les coordonnées du centre sont nulles et le rayon est égal à un:
Eh bien, essayons ces formules pour un avant-goût, en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?
1. Trouver les coordonnées d'un point sur un cercle unité obtenu en activant un point.
2. Trouver les coordonnées d'un point sur un cercle unité obtenu en faisant tourner un point sur.
3. Trouver les coordonnées d'un point sur un cercle unité obtenu en activant un point.
4. Point - le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
5. Point - le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.
Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?
Résolvez ces cinq exemples (ou comprenez bien la solution) et vous apprendrez à les trouver !
1.
Cela se voit. Et on sait ce qui correspond à un tour complet du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage vers. Sachant cela, on trouve les coordonnées désirées du point :
2. Le cercle est unité avec un centre en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Cela se voit. On sait ce qui correspond à deux rotations complètes du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage vers. Sachant cela, on trouve les coordonnées désirées du point :
Le sinus et le cosinus sont des valeurs tabulaires. Nous nous souvenons de leurs valeurs et obtenons:
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
3. Le cercle est unité avec un centre en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :
Cela se voit. Décrivons l'exemple considéré dans la figure:
Le rayon fait des angles avec l'axe égal à et. Sachant que les valeurs tabulaires du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici une valeur négative, et que le sinus est positif, on a :
Des exemples similaires sont analysés plus en détail lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
4.
Angle de rotation du rayon vecteur (par condition)
Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, on construit un cercle unité et un angle :
Comme vous pouvez le voir, la valeur, c'est-à-dire est positive, et la valeur, c'est-à-dire est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :
Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées:
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où
Les coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,
Rayon du cercle (par condition)
Angle de rotation du rayon vecteur (par condition).
Remplacez toutes les valeurs dans la formule et obtenez :
et - les valeurs du tableau. Nous les rappelons et les substituons dans la formule :
Ainsi, le point recherché a des coordonnées.
RÉSUMÉ ET FORMULE DE BASE
Le sinus d'un angle est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.
Le cosinus d'un angle est le rapport de la jambe adjacente (proche) à l'hypoténuse.
La tangente d'un angle est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à la jambe adjacente (proche).
La cotangente d'un angle est le rapport de la jambe adjacente (proche) à la jambe opposée (éloignée).
